DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
|
|
|
- Niels Torp
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
2 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
3 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
4 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) I En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
5 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) I En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. I Egenrummet E λ = fv 2 V jf (v) = λv g er et underrum. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
6 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) I En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. I Egenrummet E λ = fv 2 V jf (v) = λv g er et underrum. I. Lad V = P n (R) og lad f : V! V være givet ved f (v) (x) = xv 0 (x) for alle x 2 R. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
7 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) I En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. I Egenrummet E λ = fv 2 V jf (v) = λv g er et underrum. I. Lad V = P n (R) og lad f : V! V være givet ved f (v) (x) = xv 0 (x) for alle x 2 R. I Så er polynomierne m 0 (x) = 1, m 1 (x) = x, m 2 (x) = x 2,..., m n (x) = x n egenvektorer for f hørende til ne 0, 1, 2,..., n, henholdsvis. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
8 I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). I Lad f : V! V være lineær. Tallet λ kaldes en egenværdi for f, hvis der ndes en vektor v 6= 0, så f (v) = λv (1) I En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. I Egenrummet E λ = fv 2 V jf (v) = λv g er et underrum. I. Lad V = P n (R) og lad f : V! V være givet ved f (v) (x) = xv 0 (x) for alle x 2 R. I Så er polynomierne m 0 (x) = 1, m 1 (x) = x, m 2 (x) = x 2,..., m n (x) = x n egenvektorer for f hørende til ne 0, 1, 2,..., n, henholdsvis. I Bevis: f (m k ) (x) = x d dx x k = xkx k 1 = kx k = km k (x), altså f (m k ) = km k for k = 0, 1, 2,..., n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
9 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
10 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). I Lad f : V! V være den lineære afbildning, der er givet ved f (a 1 ) = a 1, f (a 2 ) = 11a 2 + 6a, f (a ) = a a. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
11 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). I Lad f : V! V være den lineære afbildning, der er givet ved f (a 1 ) = a 1, f (a 2 ) = 11a 2 + 6a, f (a ) = a a. I Åbenbart er a 1 egenvektor med som tilhørende egenværdi. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
12 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). I Lad f : V! V være den lineære afbildning, der er givet ved f (a 1 ) = a 1, f (a 2 ) = 11a 2 + 6a, f (a ) = a a. I Åbenbart er a 1 egenvektor med som tilhørende egenværdi. I Det påstås, at u = a 2 + a også er egenvektor. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
13 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). I Lad f : V! V være den lineære afbildning, der er givet ved f (a 1 ) = a 1, f (a 2 ) = 11a 2 + 6a, f (a ) = a a. I Åbenbart er a 1 egenvektor med som tilhørende egenværdi. I Det påstås, at u = I Eftervisning: a 2 + a også er egenvektor. f (u) = f ( a 2 + a ) = f (a 2 ) + f (a ) = ( 11a 2 + 6a ) + ( a a ) = 2a 2 6a = 2u fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
14 I Lad V være et vektorrum med basis a = (a 1, a 2, a ). I Lad f : V! V være den lineære afbildning, der er givet ved f (a 1 ) = a 1, f (a 2 ) = 11a 2 + 6a, f (a ) = a a. I Åbenbart er a 1 egenvektor med som tilhørende egenværdi. I Det påstås, at u = I Eftervisning: a 2 + a også er egenvektor. f (u) = f ( a 2 + a ) = f (a 2 ) + f (a ) = ( 11a 2 + 6a ) + ( a a ) = 2a 2 6a = 2u I På samme vises, at v = a 2 + 4a er egenvektor hørende til egenværdien 1. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
15 fortsat I Afbildningsmatricen F for f mht. basen a er F = fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
16 fortsat I Afbildningsmatricen F for f mht. basen a er F = I Da K a (f (x)) = FK a (x) følger det af f (a 1 ) = a 1, f (u) = 2u og f (v) = v at 2 F = , F = , F fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II En lineær 2afbildning uden 0 med alle 4tal som =
17 fortsat I Afbildningsmatricen F for f mht. basen a er F = I Da K a (f (x)) = FK a (x) følger det af f (a 1 ) = a 1, f (u) = 2u og f (v) = v at 2 F = , F = 2 4 I Hvilket også let eftervises ved simpel matrixmultiplikation , F fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II En lineær 2afbildning uden 0 med alle 4tal som =
18 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
19 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
20 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax I Egenværdiproblemet for A består nu i at bestemme tal λ og søjlevektorer x 6= 0, så Ax = λx. 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
21 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax I Egenværdiproblemet for A består nu i at bestemme tal λ og søjlevektorer x 6= 0, så Ax = λx. I Altså (A λi ) x = 0 skal have en ikke-triviel løsning x. 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
22 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax I Egenværdiproblemet for A består nu i at bestemme tal λ og søjlevektorer x 6= 0, så Ax = λx. I Altså (A λi ) x = 0 skal have en ikke-triviel løsning x. I Dette er tilfældet, hvis og kun hvis A λi ikke er invertibel. 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
23 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax I Egenværdiproblemet for A består nu i at bestemme tal λ og søjlevektorer x 6= 0, så Ax = λx. I Altså (A λi ) x = 0 skal have en ikke-triviel løsning x. I Dette er tilfældet, hvis og kun hvis A λi ikke er invertibel. I Vi ved, at A λi er invertibel hvis og kun hvis det (A λi ) 6= 0. 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
24 Eksempel : et I Lad A være matricen 2 A = I Vi kan opfatte den som mht. den kanoniske basis for afbildningen f : R! R givet ved f (x) = Ax I Egenværdiproblemet for A består nu i at bestemme tal λ og søjlevektorer x 6= 0, så Ax = λx. I Altså (A λi ) x = 0 skal have en ikke-triviel løsning x. I Dette er tilfældet, hvis og kun hvis A λi ikke er invertibel. I Vi ved, at A λi er invertibel hvis og kun hvis det (A λi ) 6= 0. I Egenværdierne for A er altså rødderne i karakterpolynomiet det (A λi ). 5 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
25 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
26 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til I (2 λ) 5 λ 8 2 λ = (2 λ) λ2 2λ. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
27 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til I (2 λ) 5 λ 8 2 λ = (2 λ) λ2 2λ. I Rødder: 2, og 1. Disse er altså ne. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
28 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til I (2 λ) 5 λ 8 2 λ = (2 λ) λ2 2λ. I Rødder: 2, og 1. Disse er altså ne. I hørende til egenværdien opfylder (A I ) x = 0. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
29 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til I (2 λ) 5 λ 8 2 λ = (2 λ) λ2 2λ. I Rødder: 2, og 1. Disse er altså ne. I hørende til egenværdien opfylder (A I ) x = 0. I Homogent ligningssystem. Gausselimination: ! fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
30 I er 5 λ 0 8 det (A λi ) = 2 λ 2 0 λ der udregnes til I (2 λ) 5 λ 8 2 λ = (2 λ) λ2 2λ. I Rødder: 2, og 1. Disse er altså ne. I hørende til egenværdien opfylder (A I ) x = 0. I Homogent ligningssystem. Gausselimination: ! I Dvs. x 1 4x = 0 og x 2 + 9x = 0, så x = x fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
31 Eksempel 4 () I Matricen A er givet ved 2 A = fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
32 Eksempel 4 () I Matricen A er givet ved 2 A = 4 I det (A λi ) = λ 5 λ λ = (λ 1) (λ + 2) 2 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden = λ λ 2 + 4
33 Eksempel 4 () I Matricen A er givet ved 2 A = 4 I det (A λi ) = I Så ne er 1 og λ 5 λ λ = (λ 1) (λ + 2) 2 2, denne med algebraisk fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden = λ λ 2 + 4
34 Eksempel 4 () I Matricen A er givet ved 2 A = 4 I det (A λi ) = I Så ne er 1 og λ 5 λ λ = (λ 1) (λ + 2) 2 2, denne med algebraisk I ne bestemmes i Maple-worksheet. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden = λ λ 2 + 4
35 I Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r, så er v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
36 I Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r, så er v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. I Bevis: Tag først r = 2. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 (2) fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
37 I Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r, så er v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. I Bevis: Tag først r = 2. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 (2) I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) = 0, altså c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0 () fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
38 I Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r, så er v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. I Bevis: Tag først r = 2. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 (2) I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) = 0, altså I Men vi har også af (2) at c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0 () c 1 λ 2 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0 (4) fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
39 I Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r, så er v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. I Bevis: Tag først r = 2. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 (2) I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) = 0, altså I Men vi har også af (2) at I () minus (4) giver c 1 (λ 1 (2) fås c 2 = 0. c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0 () c 1 λ 2 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0 (4) λ 2 ) v 1 = 0, så c 1 = 0. Af fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
40 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
41 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) + c f (v ) = 0 altså c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c λ v = 0 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
42 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) + c f (v ) = 0 altså I Men vi har også c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c λ v = 0 c 1 λ v 1 + c 2 λ v 2 + c λ v = 0 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
43 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) + c f (v ) = 0 altså I Men vi har også I Ved subtraktion fås c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c λ v = 0 c 1 λ v 1 + c 2 λ v 2 + c λ v = 0 c 1 (λ 1 λ ) v 1 + c 2 (λ 2 λ ) v 2 = 0 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
44 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) + c f (v ) = 0 altså I Men vi har også I Ved subtraktion fås c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c λ v = 0 c 1 λ v 1 + c 2 λ v 2 + c λ v = 0 c 1 (λ 1 λ ) v 1 + c 2 (λ 2 λ ) v 2 = 0 I Af resultatet for r = 2 følger, at c 1 = c 2 = 0 og derfor, at c = 0. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
45 Lineær I I Dernæst r =. Antag c 1 v 1 + c 2 v 2 + c v = 0. I Ved anvendelse af f på begge sider fås c 1 f (v 1 ) + c 2 f (v 2 ) + c f (v ) = 0 altså I Men vi har også I Ved subtraktion fås c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c λ v = 0 c 1 λ v 1 + c 2 λ v 2 + c λ v = 0 c 1 (λ 1 λ ) v 1 + c 2 (λ 2 λ ) v 2 = 0 I Af resultatet for r = 2 følger, at c 1 = c 2 = 0 og derfor, at c = 0. I Således kan fortsættes for r = 4 osv. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
46 II I Lad f have de indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r med egenrum E λ1, E λ2,..., E λr, der har dimensionerne q 1, q 2,..., q r. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
47 II I Lad f have de indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r med egenrum E λ1, E λ2,..., E λr, der har dimensionerne q 1, q 2,..., q r. I Vælges baser for hver af disse vil samlingen bestående af de q = q 1 + q q r vektorer være lineært uafhængigt. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
48 II I Lad f have de indbyrdes forskellige λ 1, λ 2,..., λ r med egenrum E λ1, E λ2,..., E λr, der har dimensionerne q 1, q 2,..., q r. I Vælges baser for hver af disse vil samlingen bestående af de q = q 1 + q q r vektorer være lineært uafhængigt. I Bevis: En linearkombination af de q vektorer vil kunne skrives som en sum af r vektorer v 1, v 2,..., v r fra E λ1, E λ2,..., E λr. Men en sådan sum kan kun være nul (i g. sætn. 7.), hvis alle er nul. Men v i = 0 medfører, at koe cienterne i linearkombinationen alle er nul. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
49 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C (komplekse) talfølger. være mængden af fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
50 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
51 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
52 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
53 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
54 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. I Thi antag, at f (x) = λx, så har vi (0, x 1, x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
55 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. I Thi antag, at f (x) = λx, så har vi (0, x 1, x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Af 0 = λx 1 følger, at enten λ = 0 eller x 1 = 0. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
56 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. I Thi antag, at f (x) = λx, så har vi (0, x 1, x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Af 0 = λx 1 følger, at enten λ = 0 eller x 1 = 0. I Hvis λ = 0 følger af x 1 = λx 2 at x 1 = 0 og videre, at x n = 0 for alle n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
57 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. I Thi antag, at f (x) = λx, så har vi (0, x 1, x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Af 0 = λx 1 følger, at enten λ = 0 eller x 1 = 0. I Hvis λ = 0 følger af x 1 = λx 2 at x 1 = 0 og videre, at x n = 0 for alle n. I Hvis x 1 = 0 og λ 6= 0, følger, at x 2 = 0 og videre, at x n = 0 for alle n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
58 uden I Lad V = x = (x n ) n=1 x n 2 C være mængden af (komplekse) talfølger. I V er et vektorrum under elementvis addition og multiplikation med skalar. I Et medlem af V er et talsæt med uendeligt mange tal. I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (0, x 1, x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, men f har ingen. I Thi antag, at f (x) = λx, så har vi (0, x 1, x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Af 0 = λx 1 følger, at enten λ = 0 eller x 1 = 0. I Hvis λ = 0 følger af x 1 = λx 2 at x 1 = 0 og videre, at x n = 0 for alle n. I Hvis x 1 = 0 og λ 6= 0, følger, at x 2 = 0 og videre, at x n = 0 for alle n. I Uanset værdien af λ medfører f (x) = λx altså, at x = 0 = (0, 0, 0,...). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
59 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
60 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
61 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, og ethvert λ 2 C er egenværdi. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
62 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, og ethvert λ 2 C er egenværdi. I Af f (x) = λx fås (x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
63 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, og ethvert λ 2 C er egenværdi. I Af f (x) = λx fås (x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Dette er tilfældet, når x 2 = λx 1, x = λx 2 = λ 2 x 1, osv. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
64 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, og ethvert λ 2 C er egenværdi. I Af f (x) = λx fås (x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Dette er tilfældet, når x 2 = λx 1, x = λx 2 = λ 2 x 1, osv. I Generelt nder vi, at f (x) = λx er opfyldt, hvis og kun hvis x n = λ n 1 x 1. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
65 I Lad igen V = x = (x n ) n=1 x n 2 C af (komplekse) talfølger. være mængden I Lad f : V! V være givet ved f (x) = (x 2, x,...) for alle x 2 V. I f er lineær, og ethvert λ 2 C er egenværdi. I Af f (x) = λx fås (x 2, x,...) = (λx 1, λx 2, λx, λx 4,...). I Dette er tilfældet, når x 2 = λx 1, x = λx 2 = λ 2 x 1, osv. I Generelt nder vi, at f (x) = λx er opfyldt, hvis og kun hvis x n = λ n 1 x 1. I Ethvert tal λ 2 C er altså egenværdi og tilhørende egenvektorer er x = x 1 1, λ, λ 2, λ,... for x 1 2 C. Egenrummet E λ er altså endimensionalt. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
66 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
67 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 I Evt. for f er rødder i karakterpolynomiet for A. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
68 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 I Evt. for f er rødder i karakterpolynomiet for A. I det (A λi ) = λ 1 1 λ = λ fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
69 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 I Evt. for f er rødder i karakterpolynomiet for A. I det (A λi ) = λ 1 1 λ = λ I λ har ingen reelle rødder (men de to imaginære i). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
70 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 I Evt. for f er rødder i karakterpolynomiet for A. I det (A λi ) = λ 1 1 λ = λ I λ har ingen reelle rødder (men de to imaginære i). I Altså har f ingen. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
71 I Lad f : R 2! R 2 være givet ved f (x) = Ax for alle x 2 R 2, hvor 0 1 A = 1 0 I Evt. for f er rødder i karakterpolynomiet for A. I det (A λi ) = λ 1 1 λ = λ I λ har ingen reelle rødder (men de to imaginære i). I Altså har f ingen. I Men med samme A har f : C 2! C 2 givet ved f (x) = Ax for alle x 2 C 2 ne i. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
72 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
73 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
74 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Så er afbildningsmatricen F = v F v diagonal, hvis og kun hvis basen v = (v 1, v 2,..., v n ) består af egenvektorer for f. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
75 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Så er afbildningsmatricen F = v F v diagonal, hvis og kun hvis basen v = (v 1, v 2,..., v n ) består af egenvektorer for f. I Bevis: Da vi har v F v = [K v (f (v 1 )) K v (f (v 2 ))... K v (f (v n ))] fås fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
76 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Så er afbildningsmatricen F = v F v diagonal, hvis og kun hvis basen v = (v 1, v 2,..., v n ) består af egenvektorer for f. I Bevis: Da vi har v F v = [K v (f (v 1 )) K v (f (v 2 ))... K v (f (v n ))] fås I v F v = diag (µ 1, µ 2,..., µ n ), K v (f (v i )) = µi T for alle i. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
77 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Så er afbildningsmatricen F = v F v diagonal, hvis og kun hvis basen v = (v 1, v 2,..., v n ) består af egenvektorer for f. I Bevis: Da vi har v F v = [K v (f (v 1 )) K v (f (v 2 ))... K v (f (v n ))] fås I v F v = diag (µ 1, µ 2,..., µ n ), K v (f (v i )) = µi T for alle i. I Højre side siger f (v i ) = µ i v i for alle i. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
78 I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Så er afbildningsmatricen F = v F v diagonal, hvis og kun hvis basen v = (v 1, v 2,..., v n ) består af egenvektorer for f. I Bevis: Da vi har v F v = [K v (f (v 1 )) K v (f (v 2 ))... K v (f (v n ))] fås I v F v = diag (µ 1, µ 2,..., µ n ), K v (f (v i )) = µi T for alle i. I Højre side siger f (v i ) = µ i v i for alle i. I f har altså en diagonal hvis og kun hvis den har n lineært uafhængige egenvektorer. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
79 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
80 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
81 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
82 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. I Så gælder f (x) = λx () FK v (x) = λk v (x). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
83 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. I Så gælder f (x) = λx () FK v (x) = λk v (x). I f og F har altså samme. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
84 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. I Så gælder f (x) = λx () FK v (x) = λk v (x). I f og F har altså samme. I x 2 V er egenvektor for f hørende til egenværdien λ, hvis og kun hvis koordinatvektoren K v (x) er egenvektor for F hørende til egenværdien λ. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
85 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. I Så gælder f (x) = λx () FK v (x) = λk v (x). I f og F har altså samme. I x 2 V er egenvektor for f hørende til egenværdien λ, hvis og kun hvis koordinatvektoren K v (x) er egenvektor for F hørende til egenværdien λ. I Alle afbildningsmatricer er similære, så karakterpolynomiet er det samme for alle. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
86 et I Lad f : V! V være lineær og V endelig-dimensional, dim V = n. I Lad v = (v 1, v 2,..., v n ) være en basis for V. I Lad F være afbildningsmatricen v F v. I Så gælder f (x) = λx () FK v (x) = λk v (x). I f og F har altså samme. I x 2 V er egenvektor for f hørende til egenværdien λ, hvis og kun hvis koordinatvektoren K v (x) er egenvektor for F hørende til egenværdien λ. I Alle afbildningsmatricer er similære, så karakterpolynomiet er det samme for alle. I Vi kan tale om karakterpolynomiet for f uden at nævne en basis for V. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
87 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
88 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
89 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
90 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). I Ved indsættelse af λ = 0 fås det A = λ 1 λ 2 λ n. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
91 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). I Ved indsættelse af λ = 0 fås det A = λ 1 λ 2 λ n. I Koe cienten til λ n 1 er ( 1) n+1 (λ 1 + λ λ n ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
92 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). I Ved indsættelse af λ = 0 fås det A = λ 1 λ 2 λ n. I Koe cienten til λ n 1 er ( 1) n+1 (λ 1 + λ λ n ). I Men med A = [a ij ], er den også ( 1) n+1 (a 11 + a a nn ). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
93 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). I Ved indsættelse af λ = 0 fås det A = λ 1 λ 2 λ n. I Koe cienten til λ n 1 er ( 1) n+1 (λ 1 + λ λ n ). I Men med A = [a ij ], er den også ( 1) n+1 (a 11 + a a nn ). I Summen af diagonalelementerne i A er sporet af A, spor(a) = a 11 + a a nn. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
94 I Lad A være en n n-matrix med karakterpolynomium p (λ) = det (A λi ). I Lad rødderne være λ 1, λ 2,..., λ n (gentaget efter ). I p (λ) = det (A λi ) = ( 1) n det (λi A) = ( 1) n (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ n ). I Ved indsættelse af λ = 0 fås det A = λ 1 λ 2 λ n. I Koe cienten til λ n 1 er ( 1) n+1 (λ 1 + λ λ n ). I Men med A = [a ij ], er den også ( 1) n+1 (a 11 + a a nn ). I Summen af diagonalelementerne i A er sporet af A, spor(a) = a 11 + a a nn. I Altså λ 1 + λ λ n = spor (A) λ 1 λ 2 λ n = det A fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
95 I Lad A være en n n-matrix. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
96 I Lad A være en n n-matrix. I p (λ) = det (A regnet med. λi ) har n rødder fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
97 I Lad A være en n n-matrix. I p (λ) = det (A regnet med. λi ) har n rødder I Hvis roden λ 1 har k i p (λ), så har egenværdien λ 1 algebraisk k, (betegnelse am(λ 1 )). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
98 I Lad A være en n n-matrix. I p (λ) = det (A regnet med. λi ) har n rødder I Hvis roden λ 1 har k i p (λ), så har egenværdien λ 1 algebraisk k, (betegnelse am(λ 1 )). I Hvis egenrummet E λ1 = N (A λ 1 I ) har dimension j, så har λ 1 j, (betegnelse gm(λ 1 )). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
99 I Lad A være en n n-matrix. I p (λ) = det (A regnet med. λi ) har n rødder I Hvis roden λ 1 har k i p (λ), så har egenværdien λ 1 algebraisk k, (betegnelse am(λ 1 )). I Hvis egenrummet E λ1 = N (A λ 1 I ) har dimension j, så har λ 1 j, (betegnelse gm(λ 1 )). I Der gælder: 1 gm (λ) am (λ) for enhver egenværdi λ. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
100 I Lad A være en n n-matrix. I p (λ) = det (A regnet med. λi ) har n rødder I Hvis roden λ 1 har k i p (λ), så har egenværdien λ 1 algebraisk k, (betegnelse am(λ 1 )). I Hvis egenrummet E λ1 = N (A λ 1 I ) har dimension j, så har λ 1 j, (betegnelse gm(λ 1 )). I Der gælder: 1 gm (λ) am (λ) for enhver egenværdi λ. I Bevis: Se side 204. fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Egenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Egenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
DesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Symmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Mat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Lineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Ølopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Noter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Lineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Module 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Underrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2](/thumbs/82/86922880.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Mat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Lokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Lineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Teoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Anvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12
LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
DiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Reeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Note om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på