Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi 4 Udregn eller f () när den anden er kendt4 5 Grafer6 6 Opgave hvor tekst oversåttes til: Bestem sä f () = g()8 7 Udregne Åndring i eller f ()8 8 Graf og långde af linjestykke9 9 Évelser0 Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Ö 0 Karsten Juul Nyeste udgave af dette håfte kan downloades fra matdk/noterhtm /6-04 HÅftet mä bruges i undervisningen hvis låreren med det samme sender en e-mail om dette til kj@matdk og oplyser fulde titel og Ärstal samt hold, niveau, lårer og skole
Funktion, forskrift, definitionsmängde a Eksempel Det orange rektangel er konstrueret i et Nspire-dokument Ved hjålp af skyderen kan vi Åndre rektanglet Vi ser at der feks gålder Arealet er 9, cm när bredden er 8,5 cm Arealet er 0,5 cm när bredden er 4, cm b Funktion Vi siger at arealet er en funktion af bredden fordi der gålder at til hver bredde er der Üt bestemt areal c Forskrift Der stär at vi kan udregne arealet sädan: Tag kvadratroden af bredden og gang 0 med resultatet Hvis er bredden, kan vi skrive denne udregning sädan: 0 0 er en forskrift for funktionen Nspire: d SkrivemÅden f () Vi vålger ofte en betegnelse for forskriften, feks f ( ) 0 Her har vi kaldt funktionen f I stedet kunne vi feks kalde funktionen areal : areal( ) 0 Hvis vi kalder funktionen f, gålder: Da f ( ) 0 er f ( 4) 0 4 dvs f ( 4) 0 f (4) betyder arealet när bredden er 4 cm f ( 4) 0 betyder arealet er 0 cm när bredden er 4 cm f () låses f af e DefinitionsmÄngde f () er arealet af det orange rektangel när bredden er Vi kan Åndre bredden, men kan kun våre tal fra til Dette kan vi oplyse ved at sige DefinitionsmÄngden for f er intervallet Vi kan oplyse definitionsmångden ved at skrive f ( ) 0, låses mindre end eller lig Eksempler pä definitionsmångder: alle tal der er stçrre end alle tal der er stçrre end alle tal 0 t 5 alle tal der er stçrre end 0 og mindre end eller lig 5 låses uendelig Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
Find forskrift a Angiv som funktion af * * * Vi laver rektangler hvor bredden er 8 Bestem en forskrift for arealet som funktion af hçjden Svar: Vi skal finde forskriften for en funktion f () : Arealet f () er hçjden da der stär som funktion af hçjden f () er arealet da der stär arealet som funktion af f ( ) 8 kan vi finde ved at gange bredden 8 med hçjden, sä b Bestem omkreds eller areal som funktion af * * * Bestem klodsens overflade A som funktion af Svar: Arealer: SkrÄ forside: A( ) bla Pythagoras' såtning ( kvadrat og trekant ( ( ) ( ) To ens sider: ) Bund: ) Tag: Bagside: A( ) da A( ) A( ) ( ) c Udtryk h ved, og udtryk derefter A ved Der er et hegn om et bed Hegnets långde L og bedets areal A er givet ved L h og A h hvor h og er bedets långde og bredde Hegnets långde er 0 Udtryk h ved, og gçr rede for at A som funktion af kan beskrives ved A 5 ( ) Svar: L h 0 h Dette er oplyst Vi har indsat 0 for L Bedet set ovenfra 0 h 0 h 5 h Her er h udtrykt ved A A A A h Dette er oplyst ( 5 ) Vi har indsat 5 for h 5 5 ( ) Dette er formlen vi skulle gçre rede for Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
a Bestem sä g() er stçrst StÇrste og mindste värdi For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 9 er arealet og er hçjden Bestem sä arealet er stçrst muligt Svar: Nspire bestemmer i intervallet 9 sä 8,5, 4 er stçrst, og fär, 585 Arealet er stçrst muligt när, 4 Nspire: Bestemme q sä 7,q,4q er stçrst: b Bestem den stçrste vårdi af g() For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 9 er arealet og er hçjden Bestem det stçrst mulige areal Svar: Nspire bestemmer i intervallet 9 sä 8,5, 4 er stçrst, og fär, 585 NÄr har denne vårdi, er arealet g(,585) 8,5,585,4,585 g(,585) 7,5604 Det stçrst mulige areal er 7,5 Nspire: c Bestem t sä h(t) er mindst I en model er prisen for en vare fastlagt ved,6 t h( t), 0 t t 5 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem det tidspunkt hvor prisen er mindst Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä Prisen er mindst pä tidspunktet,7 timer,6 t er mindst, og fär t, 7477 t 5 Nspire: d Bestem den mindste vårdi af h(t) I en model er prisen for en vare fastlagt ved,6 t h( t), 0 t t 5 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem den mindst mulige pris Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä NÄr t har denne vårdi, er prisen,6,7477 h(,7477),7477 5 h(,7477),80 Den mindst mulige pris er,8 kr,6 t er mindst, og fär t, 7477 t 5 Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
4 Udregn eller f () når den anden er kendt 4a Bestem f ( ) En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () Svar: f ( ) sä f ( ) ( ) ( ) f ( ) 4 f ( ) 6 4b LÇs ligningen f () = En funktion f har forskriften f ( ) 8 LÇs ligningen f ( ) Svar: f ( ) 8 da f ( ) 8 5 5 5 er lçsningen til ligningen f ( ) 4c Bestem f ( ) og forklar hvad dette tal fortåller VÅgten af et dyr er givet ved hvor f () f ( ) 4 0, 94 er vågten i gram og er alderen i uger Bestem f (0), og forklar hvad dette tal fortåller Svar: f ( ) 4 0, 94 f ( 0) 4 0,94 f ( 0) 7,677 f ( 0) 7,6 0 sä udregnet pä Nspire f () er vågten i gram og er alderen i uger, sä tallet 7,6 fortåller at dyrets vågt er 7,6 gram när alderen er 0 uger 4d Bestem f () när er Svar: En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () när er, Dvs bestem f (, ) NÄr er,, er f () lig f ( ) f (,), Nspire udregner dette: f (,), 674 dvs f (,), 7, PÄ Nspire fär vi denne ligning sädan: Vi tager en kopi af den foregäende ligning, hçjreklikker pä den og vålger Attributter, Skjul input, OK og trykker pä Enter PÄ Nspire: Skriv i stedet for, Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 4 0 Karsten Juul
4e Bestem när f () er Svar: En funktion f har forskriften Bestem när f () er 4 f ( ) f ( ) Vi skal finde sä: 4 Nspire lçser denne ligning mht og fär, 867 sä, 9 när f () er 4 Nspire: 4f Opgave hvor tekst oversåttes til: Bestem f () när er (, 5 For nogle planter er f ) 0,45, 5 hvor f () er vågten i gram og er diameteren i cm Bestem vågten af en plante hvis diameter er,0 cm Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spçrgsmälet Bestem vägten när diameteren er,0 oversåttes til Bestem f () när er,0 Se ramme 4d f ( ) 0,45, 5 NÄr er,0, er f () lig f,0) 0,45,0, 5,5 (, 5 Nspire udregner dette: f (,0) 4, 04558 dvs vågten er 4,0 gram när diameteren er,0 cm 4g Opgave hvor tekst oversåttes til: Bestem när f () er (, 5 For nogle planter er f ) 0,45, 5 hvor f () er vågten i gram og er diameteren i cm Bestem diameteren for en plante hvis vågt er er 5,0 gram Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spçrgsmälet Bestem diameteren när vägten er 5,0 oversåttes til Bestem när f () er 5,0 Se ramme 4e f ( ) 0,45, 5 5, 5 Vi skal altsä finde sä 0,45, 5 Nspire lçser denne ligning mht og fär, 765 sä diameter er, cm när vågt er 5,0 cm Nspire:,5 4h Opgaver hvor svår tekst oversåttes 0,8 For en vare gålder at f ( ) 6000 500 hvor f () er det gennemsnitlige overskud pr salgssted, og er antal salgssteder pr kvadratkilometer Bestem gennemsnitligt overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Svar: Da = antal salgssteder pr km og f () = gennemsnitligt overskud pr salgssted fär vi: Tekst: Bestem gennemsnitlig overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Oversat: Bestem f () när er 4,6 Tekst: Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Oversat: Bestem när f () er 7500 NÄr vi har oversat, bruger vi metoden fra ramme 4d eller metoden fra ramme 4e Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 5 0 Karsten Juul
5 Grafer 5a Tegn graf uden hjålpemidler Vi vil tegne grafen for funktionen f ( ) NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr er, er ) 4 f ( lig f ( ) 4 4 sä punktet (, ) ligger pä grafen for f Se figur til hçjre 4 PÄ samme mäde udregner vi flere stçttepunkter for grafen: 0 4 4 f () Vi tegner disse punkter i koordinatsystemet og tegner en afrundet kurve gennem dem 4 5b Ligger punktet P pä grafen? Ligger punktet P(4, 5) pä grafen for funktionen f ( ) 80? NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat Grafpunktet med -koordinat 4 har y-koordinat f ( 4) 80 4 6 som ikke er 5, sä P ligger ikke pä grafen 5c AflÅs graf uden hjålpemidler 5d Vi vil aflåse tallet f ( ) Vi gçr fçlgende: Vi finder det punkt pä grafen hvor er Vi ser at for dette punkt er y lig,8 AltsÄ er f ( ),8 f f ( ),8 5e Vi vil aflåse lçsningerne til ligningen g() =, Vi gçr fçlgende: Vi finder de punkter pä grafen hvor y er, Vi ser at for disse punkter er lig,5 og 4, AltsÄ er lçsningerne,5 eller 4, g Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 6 0 Karsten Juul
5f Udregne -koordinat eller y-koordinat när den anden er kendt Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) 0,4,4, 8 5g NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat Q 5h Udregn n (se figur) 5i Udregn m (se figur) PÄ figuren stär at = PÄ figuren stär at y = f ( ) n f ( m) 0,4,4, 8 n m 0,4 m,4,8,440 n Udregnet pä Nspire Nspire lçser denne ligning mht og fär n,4 m, 8447 m,84 P f 5j SkÅringspunkter mellem graf og -akse Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsåtter P's eller Q's -koordinat, fär vi 0: f ( ) 0 0 Nspire lçser denne ligning mht og fär eller Grafen skårer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Nspire: P Q f 5k SkÅringspunkt mellem graf og y-akse Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsåtter 0, fär vi R's y-koordinat: R ' s ykoordinat f (0) R ' s ykoordinat 0 0 R ' s ykoordinat Grafen skårer y-aksen i punktet ( 0, ) R f 5l SkÅringspunkt mellem to grafer Figuren viser graferne for f og g som har forskrifterne f ( ) 0,55, 4 og g( ),50, 5 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsåtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr vi indsåtter -koordinaten til skåringspunktet, giver de to forskrifter samme y : f ( ) g( ) f ( ) g( ) f g 0,55,4,50,5 Nspire lçser denne ligning mht og fär = 4,6045 Grafpunktet med denne -koordinat har y-koordinaten 4,6045 f ( 4,6045) 0,55,4 f ( 4,6045),85465 SkÅringspunktet er ( 4,60,,85) Udregnet pä Nspire Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 7 0 Karsten Juul
6 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem så f () = g() 6a Opgave hvor tekst oversåttes til: Bestem sä f () = g(): Svar: VÅgten af to orme M og N er givet ved m( t),7 0, t og n( t) 9,4 6,5 0, 98 hvor m(t) og n(t) er vågt i gram af M og N, og t er antal dçgn efter hudskifte Hvilket antal dçgn efter hudskifte er vågten af M og N den samme? At vågten af M og N er den samme pä tidspunktet t kan skrives sädan: m( t) n( t),7 0,t 9,4 6,5 0, 98 Nspire lçser denne ligning mht t for t 0 og fär t = 47,58 VÅgten af M og N er den samme 47 dçgn efter hudskifte t t Nspire: 7 Udregne Ändring i eller f () 7a Opgave hvor vi udregner Åndring i f () MÅngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0, 0,4 9,6 hvor f () er vandmångden mält i liter, og er antal minutter efter start Bestem Åndringen i vandmångden i tidsrummet fra til 5 minutter efter start Svar: minutter efter start er vandmångden f ( ) 0, 0,4 9,6 8, 4 5 minutter efter start er vandmångden f ( 5) 0,5 0,45 9,6 5, àndring i vandmångden: f ( 5) f () 5, 8,4, VandmÅngden aftager, liter i tidsrummet fra til 5 minutter efter start 7b Opgave hvor vi udregner Åndring i MÅngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0, 0,4 9,6 hvor f () er vandmångden mält i liter, og er antal minutter efter start Hvor lang tid er vandmångden om at falde fra til 0 liter Svar: Tidspunkt hvor vandmångden er : f ( ) 0, 0,4 9,6 Nspire lçser denne ligning mht for 0 og fär = 6,666 Tidspunkt hvor vandmångden er 0: f ( ) 0 0, 0,4 9,6 0 Nspire lçser denne ligning mht for 0 og fär = 8 8 6,666,64 VandmÅngden er,6 minutter om at falde fra til 0 liter Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 8 0 Karsten Juul
8 Graf og längde af linjestykke 8a LÄngde af AB AB er parallel med -aksen, sä vi skal bruge -koordinaterne Da B ligger långere til hçjre end A, skal 4 stä fçr minustegnet: AB 4 ( 6) 0 A (6, ) B(4,) 8b LÄngde af BC BC er parallel med y-aksen, sä vi skal bruge y-koordinaterne Da B ligger långere oppe end C, skal stä foran minustegnet: C(4, ) D(, ) BC 8 8c LÄngde af CD CD 4 Grafen for f ( ) 8 er pä figuren 8d LÄngde af PQ Q's y-koordinat er Med metoden 5i udregner vi Q's -koordinat : f ( ) 8 8 6 4 da > 0 PQ 4 9 P(, ) Q S R f 8e LÄngde af RS Med metoden 5g ser vi at R's y-koordinat er, sä 8 RS 9 ( 8 ) 8 8 8f Opgave g( ) 0 Figuren viser lidt af grafen for g og et grçnt linjestykke hvis hçjde er 4 Rammer grafen det grçnne linjestykke? Svar Vi ser pä det punkt pä grafen hvor er 7 Vi udregner dette punkts y-koordinat: g(7) y 0 y 7 7 4, y (metode 5g-5h) g g 4 y-koordinaten er stçrre end 4, sä grafen rammer ikke det grçnne linjestykke Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 9 0 Karsten Juul
9 Évelser Évelse (a) LÅs ramme a pä side (b) Hvis vi Åndrer bredden fra 4, cm til 8,5 cm, bliver arealet sä stçrre eller mindre? Svar: Évelse (a) LÅs ramme c pä side (b) Hvis bredde er 9, er areal cm (c) Hvis bredde er 9, er hçjde cm Évelse (a) LÅs ramme d pä side (b) f (9) betyder og er (c) f () betyder og er (d) f ( )=0 (e) f ( )= 0 Évelse 4 En stang fäs i långder fra 5 til 5 cm NÄr långden er, er vågten mält i gram lig (a) g(8) betyder og er (se d) g( ), 5 (b) LÅs ramme e pä side (c) DefinitionsmÅngden for g er intervallet (d) g( ) = 9 Évelse 5 Billedet viser en interaktiv figur i et Nspire-dokument AB BC 5 Punktet P kan tråkkes frem og tilbage pä linjestykket BC Arealet af den orange figur er en funktion af afstanden fra A til P NÄr afstanden er, er arealet f ( ) 9 (a) f (7) betyder og er (b) LÅs ramme e side (c) DefinitionsmÅngden for f er intervallet (d) f ( ) =,5 og Évelse (a) LÅs ramme a pä side (b) Vi ser pä alle rektangler hvor hçjden er lig gange bredden Arealet som funktion af bredden er en funktion f () hvor er og f () er (c) Forskriften er f () =, og definitionsmångden er intervallet (d) Omkredsen som funktion af bredden er en funktion g() hvor er og g() er (e) Forskriften er g () =, og definitionsmångden er intervallet (f) f (4) (g) g (4) (h) f ( ) = 50 Évelse Figuren er fremkommet ved at fjerne et lille rektangel fra et stçrre rektangel (a) Bestem arealet f () som funktion af 0 f () = (b) f (5) = (c) f ( ) = 4 Évelse PÄ figuren er vist en metalramme der har form som et rektangel Desuden er der en metalstang der er skäret i fire stykker Rammen er lavet af de fire stykker (a) Bestem rektanglets areal f () som funktion af f () = = (b) f () = (c) DefinitionsmÅngden er intervallet Évelse 4 Vi laver en kasse af seks sideflader som vi skårer ud af en rektangulår plade der er 6 enheder bred og enheder lang Se figur Bestem kassens rumfang R() som funktion af 6 6 R() = = = Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 0 Karsten Juul
Évelse 5 Vi ser pä alle retvinklede trekanter hvor den ene katete er Den anden katete er (a) Bestem arealet A() som funktion af kateten : (c) Bestem omkredsen O() som funktion af kateten : A () = (b) A( ) = 0,75 O () = Évelse 6 Vi ser pä alle retvinklede trekanter hvor den ene katete er Hypotenusen er h (a) Bestem omkredsen O(h) som funktion af hypotenusen h: (b) Bestem arealet A(h) som funktion af hypotenusen h : O (h) = A (h) = Évelse 7 (a) PÄ side Figuren pä billedet har vi lavet ved at fjerne en kvart cirkel fra et kvadrat i formelsamlingen stär formler for areal og omkreds af cirkel (b) Bestem figurens omkreds O(r) som funktion af radius r : O (r) = = (c) Bestem figurens areal A(r) som funktion af radius r : A (r) = r r Évelse 8 PÄ billedet har vi tegnet en kasse hvor alle sideflader er rektangler (a) Bestem kassens overflade f () som funktion af f () f () f () Évelse 9 Bestem arealet f () af den grçnne figur som funktion af f () = Nedenfor har vi skrevet den grçnne figurs omkreds g() som funktion af Skriv mellemregninger g() g() g() 5 g ( ) 6 ( 5 ) Évelse 0 (a) I en retvinklet trekant er kateterne og k Udtryk trekantens areal ved og k : areal = (b) Trekantens areal er 6 Udtryk k ved : k = (c) Bestem trekantens omkreds O() som funktion af : O() = = = Mellemregninger: Évelse I en retvinklet trekant er kateterne og k Hypotenusen er (a) Udtryk k ved : k = Mellemregninger: (b) Udtryk trekantens areal ved og k: areal = (c) Bestem trekantens areal A() som funktion af : A() = Évelse En gråsplåne er afgrånset af en mur og et hegn PÄ figuren har vi vist at gråsplånen kan deles op i en halvcirkel og en retvinklet trekant (a) Udtryk gråsplånens areal ved k og r: areal = Mellemregninger: hegn k mur r r (b) Hegnets långde er 0 meter Udtryk k ved r: k = (c) Bestem arealet A(r) som funktion af r: A(r) = Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
( Évelse I et spil Åndres et omrädes areal sädan at p t) t t 55t 500, 0 t hvor p(t) er arealet i m, og t er antal minutter efter spillets start (a) LÅs ramme a (b) Arealet er stçrst minutter efter spillets start (c) LÅs ramme b (d) NÄr arealet er stçrst, er det m (e) LÅs ramme c (f ) Arealet er mindst minutter efter spillets start (g) LÅs ramme d (h) NÄr arealet er mindst, er det m ( Évelse For nogle klodser er overfladen O ) 8 0,06, 7, när hçjden er Overfladen er stçrst mulig när = ( Évelse For en afrikansk gnaver gålder at f ) 0,0 0,78 500, 0 80, hvor f () er antallet af individer, og er antal dage efter en skovbrand Antallet af individer er pä det tidspunkt hvor det er mindst ( Évelse 4 Ved fremstilling af en vare er omkostningen f ) 5 60, 6 5, hvor f () er omkostningen i kr og er varens vågt i gram NÄr vågten er, er omkostningen mindst mulig ( Évelse 5 Omkostningerne ved at fremstille en vare er f ), 47 79 50, 5, hvor f () er omkostningerne (i kr), og er mångden (i kg) der blev fremstillet den pägåldende dag f ( ) Omkostningen pr kg er givet ved g( ) Omkostning pr kg er mindst när mångden er kg, og denne mindste omkostning pr kg er kr pr kg ( Évelse 6 Hvis der fremstilles enheder, er omkostningerne f ) 6 70 650, 5 0 Fortjenesten er g( ) 50 4 f ( ), 5 0 ( f () og g() mäles i en speciel enhed) Fortjenesten er stçrst när =, og denne stçrste fortjeneste er Évelse 4 (a) LÅs ramme 4a side 4 (b) NÄr f ( ) 7 er (c) NÄr f () f () f ( ) 0 er (d) NÄr f ( ) 0 f () f () f () f (4) f (4) f (4) er Évelse 4 (a) NÄr f ( ) 0 er f (0) og f () og f () (b) NÄr g( ) er g(0) og g() og g () Évelse 4 (a) LÅs ramme 4b side 4 (b) f ( ) (c) g( ) 5 (d) h( ) 4 LÇs f ( ) 8 LÇs g( ) 40 LÇs h( ) 5 = 8 = 40 = 5 eller eller Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
Évelse 44 f ( ) 6 9 (a) Bestem f () (b) LÇs f ( ) Évelse 45 (a) LÅs ramme 4c pä side 4 (b) For en vare er f () prisen i kr og er långden i cm Det er oplyst at f ( 0) 5 Hvad fortåller dette om varen? Svar: Évelse 46 For en type slanger er g() alderen i Är og er tykkelsen i mm Det er oplyst at g ( 5) Hvad fortåller dette om denne type slanger? Svar: Évelse 47 Vi stiller en kande te pä bordet h() er teens temperatur efter minutter Det er oplyst at h ( 45) 40 Hvad fortåller dette om teen? Svar: Évelse 48 f ( ) 8 (a) LÅs rammerne 4d og 4e (b) Bestem f () när er 5, (c) Bestem när f () er,5 ( Évelse 49 g ) 6 (a) LÅs rammerne 4d og 4e (b) Bestem när g() er 6 (c) Bestem g() när er Évelse 40 Forestil dig at du har fäet en forskrift for hver af fçlgende funktioner: f() = udgift i kr til el när man har brugt kwh g() = antal elever pä en skole Är efter 000 h() = temperaturen i en beholder när trykket er hpa i() = antal dage efter fçdslen när dyrets vågt er gram j() = tråets diameter i cm när dets hçjde er Opgaven i ramme 4f kan oversåttes til Bestem f() när er,0, og opgaven i ramme 4g kan oversåttes til Bestem när f() er 5,0 OversÅt hver af fçlgende opgaver (a) Bestem udgiften til el när man har brugt 000 kwh (b) Bestem tidspunktet hvor der er 500 elever pä skolen (c) Bestem trykket i en beholder när temperaturen er 4 grader (d) Hvor mange dage efter fçdslen er dyrets vågt 7 gram? (e) Hvor hçjt er trået när diameteren er 40 cm? Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 0 Karsten Juul
Évelse 4 (a) LÅs ramme 4h (b) For nogle krybdyr er u P( u) 0,5 u, 06 hvor P(u) er forholdet mellem antal rygtakker og ryggens långde i cm när det gennemsnitlige antal Åg pr kuld er u Bestem det gennemsnitlige antal Åg pr kuld for et dyr hvor forholdet mellem antal rygtakker og ryggens långde i cm er,5 Évelse 4 For nogle planter er T ( h),4 h0, 9 hvor T (h) er tiden der er gäet siden våksten begyndte (mält i uger), og h er hçjdetilvåksten efter at våksten begyndte (mält i cm) HvornÄr er planten 0 cm hçjere end da våksten begyndte? Évelse 5 (a) f ( ) f ( ) f ( ) = (b) f ( ) = (c) 0 (d) LÅs ramme 5a, og tegn grafen for f f() 8 Évelse 5 4 g( ) (a) 0 (b) LÅs ramme 5a, og tegn grafen for g g() Évelse 5 (a) LÅs ramme 5b (b) Ligger punktet P(4,6 ) Mellemregning: pä grafen for 4 g( )? Svar: Évelse 54 (a) LÅs ramme 5c (b) Bestem h(,4) (c) Bestem h(,5 ) (d) Bestem h(0,7) (e) LÇs h( ) (f) LÇs h( ) h Évelse 55 Punkterne P, Q, R og S ligger pä grafen for funktionen f ( ) 0 4 (a) LÅs ramme 5f (b) P(, 6), Q(6, ), R(, ), S(, 6) Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 4 0 Karsten Juul
Évelse 56 g( ) 8 (a) Grafpunktet med -koordinat har y-koordinat (b) Grafpunktet med -koordinat 0 har y-koordinat (c) Grafpunktet med y-koordinat 6 har -koordinat (d) Grafpunktet med y-koordinat 0 har -koordinat (e) Grafen skårer -aksen i punktet (f) Grafen skårer y-aksen i punktet Évelse 57 f ( ) g( ) 0 I f-grafens punkt med = 4 er y = f(4) = I g-grafens punkt med = 4 er y = g(4) = I f-grafens punkt med = 5 er y = f(5) = I g-grafens punkt med = 5 er y = g(5) = Tallet = er en lçsning til ligningen f() = g() Évelse 58 Se figuren til hçjre (a) g (0) (b) f ( ) = 8 (c) f ( ) = g (8) (d) f ( ) = g(4) f g Évelse 59 9 g( ) f ( ) (a) LÅs ramme 5l (b) Bestem koordinatsåttet til skåringspunktet mellem graferne for f og g Évelse 6 b() er pris i kr for at kçre km i en blä bil, og g() er pris i kr for at kçre km i en grçn bil I ramme 6 oversåttes spçrgsmälet om ormes vågt til fçlgende matematiske spçrgsmäl: LÇs ligningen m(t) = n(t) OversÅt fçlgende spçrgsmäl om priser til matematiske spçrgsmäl: (a) Hvor mange km skal vi kçre i en blä bil for at prisen er den samme som prisen for at kçre 0 km i en grçn bil? (b) (c) Hvor mange km skal vi kçre i en grçn bil for at prisen er 00 kr? Hvor mange km skal vi kçre for at prisen for at kçre i en blä bil er den samme som prisen for at kçre i en grçn bil? Évelse 6 I denne opgave er f ( ) (6,5 7,0,99 ) og g ( ) 5,9 500 Hvis vi fremstiller gram af en vare, sä er udgiften i kr f () hvis vi bruger maskine A, og g() hvis vi bruger maskine B Hvor mange gram skal vi fremstille for at maskine A og maskine B giver samme udgift? Svar: gram Évelse 7 f ( ) 0 (a) NÄr = er f () = (b) NÄr = 5 er f () = (c) NÄr vi Åndrer fra til 5 vil f () blive enheder stçrre (d) f (5) f () = (e) NÄr vi Åndrer fra 6 til 8, sä vil f () blive enheder mindre (f) f (8) f (6) = Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 5 0 Karsten Juul
Évelse 7 f ( ) (a) NÄr f () = 0 er = (b) NÄr f () = 0 er = (c) NÄr f () Åndres fra 0 til 0, er blevet enheder stçrre (d) NÄr f () Åndres fra 0 til, er blevet enheder stçrre Évelse 7 Se figuren til hçjre (a) Nu er = Hvis gçres 6 enheder stçrre, sä vil g() blive enheder mindre (b) bliver enheder stçrre när g() aftager fra til,5 (c) g(0) g(4) = g Évelse 74 VÅgten af nogle kegler er v( d) 0d hvor v(d) er vågten i gram, og d er grundfladens diameter i cm (a) En lille kegle vejer 690 gram En stor kegle vejer 00 gram mere Hvor mange cm er den store kegles diameter stçrre end den lille kegles diameter Svar: cm (b) Hvor stor forskel er der pä vågten af to af keglerne hvis grundfladers diametre er 4 cm og 5 cm? Svar: (c) v ( 5) v(4) cm Évelse 75 En plantes hçjde er udplantningen h( t) 0,4t 0,05t, hvor h(t) er hçjden i cm og t er antal dage efter (a) Hvor lang tid er en plante om at vokse fra 0 cm til 0 cm? Svar: dage (b) h( 00) h(50) og dette tal fortåller at Évelse 8 (a) LÅs 8a, 8b, 8c (b) (c) (d) AB = AC AD = A (5, 8) B(, 8) C(t, 8) D( 5, n ) Évelse 8 (a) LÅs 8d, 8e (b) (c) (d) A B D A B g C(4, 6) D E (e) (f) CD EF F g( ) Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 6 0 Karsten Juul
Évelse 8 Bestem arealet af det grçnne rektangel som funktion af h( ) 8 Évelse 84 (a) LÅs 8f (b) AfgÇr ved udregning om grafen for f ( ),4,7 5, linjestykke med endepunkter A(6, 7) og B (6, 7) har et punkt fålles med det lodrette Évelse 85 Figuren viser en gavl Gavlens form kan beskrives ved funktionen (a) (b) f ( ) 0,05 Udregn gavlens bredde Udregn gavlens hçjde f Évelse 86 Figuren viser et rektangel og grafen for funktionen g ( ) 0,5,,7 Rektanglets bredde er 5 Udregn rektanglets omkreds Évelse 87 Figuren viser et kvadrat og grafen for h( ) 4 Udregn kvadratets areal Funktioner generelt for matematik pä B-nivea i st 7 0 Karsten Juul
A aflås graf6 D definitionsmångde F forskrift, funktion funktion af G graf 6, 7 L långde af linjestykke 9 M mindste vårdi S skåringspunkt 7 stçrste vårdi T tegn graf 6 tekstopgave 5, 8 U udregn -koordinat7 udregn y-koordinat7 udtryk h ved Ä Åndring i 8 Åndring i y 8 Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi 4 Udregn eller f () när den anden er kendt 4 5 Grafer 6 6 Opgave hvor tekst oversåttes til: Bestem sä f () = g() 8 7 Udregne Åndring i eller f () 8 8 Graf og långde af linjestykke 9 9 Évelser 0