Fysik 3 Frie Øvelser Titel: Egenskaber af sæbefilm

Fysik 3 Frie Øvelser Titel: Egenskaber af sæbefilm Udført af: Henriette Wase Hansen, Stefan Alaric Petersen og Jonatan Selsing Københavns Universitet Forår 2009

Indhold 1 Projektformulering 1 2 Gennemgang af eksperimentet 1 2.1 Opstilling.................................. 1 2.2 Målte værdier................................ 2 2.2.1 Plot over målt data........................ 2 2.2.2 Nulpunktsmålinger......................... 3 2.2.3 Lyskildedata............................ 3 3 Teoretisk gennemgang 3 3.1 Sæbefilm................................... 3 3.1.1 Flydehastighed........................... 3 3.2 Interferens.................................. 4 3.3 Snells lov.................................. 4 3.4 Polarisation................................. 5 3.4.1 Brewsters vinkel.......................... 5 3.5 Fresnels ligninger.............................. 5 3.6 Homogene dielektriske film........................ 6 3.7 Path length difference........................... 7 4 Databehandling 9 4.1 3D-plot................................... 9 4.1.1 Tykkelsesafhængighed....................... 9 4.2 Nulpunkter og tykkelse........................... 11 4.3 Flydehastigheder.............................. 12 4.4 Sammenkobling af billeder og mass-flow-målinger............ 12 4.5 Usikkerheder................................ 12 4.5.1 Redegørelse for usikkerheder................... 13 5 Optimering og fejlkilder 13 5.1 Inkludering af polarisation......................... 14 6 Diskussion og konklusion 15 A Polarisation 17 B Opstilling 17 C Octave program 19 D Bibliography 20

Figurer 1 Opstilling (dimensioner ikke i skala)................... 1 2 Samlet oversigt over plottede data.................... 2 3 Vinkelændring og reflektion........................ 4 4 Vektor og vinkelillustration........................ 7 5 3D-plot................................... 9 6 2D-plot af tykkelse mod θ α........................ 10 7 Fitting af teoretisk og målt data..................... 10 8 Mass-flow mod tykkelse.......................... 11 9 Interferens-billeder............................. 13 10 Lineær, cirkulær og elliptisk polarisation................. 17 11 Opstilling.................................. 18

Resumé Vi har i det følgende valgt at foretage en undersøgelse af egenskaberne af en sæbefilm, hovedsageligt ved at betragte reflektionsegenskaber. Ved at kigge på reflektionsintensitetens afhængighed af indfaldsvinkel bestemmer vi således sæbefilmens tykkelse ved en serie af forskellige indstillinger. Vi beregner tykkelserne på baggrund af sammenhænge, der antager planpolariseret lys og argumenterer siden hen for, hvorfor dette er en god tilnærmelse. Vi tager billeder under monokromatisk lys (Na), og illustrerer på den måde hvorledes en tykkere sæbefilm ændrer reflektionsintensitetens afhængighed af vinklen. I sammenhæng med denne bestemmelse af filmens tykkelser vil vi udregne de dertilhørende flydehastigheder. Afslutningsvis vil vi diskutere forbedringer, samt de forskellige problemer vi har mødt undervejs i processen.

1 1 Projektformulering Ved at lave en opstilling af en stationær flydende sæbefilm ønsker vi at foretage målinger som leder os til bestemmelse af sæbefilmens tykkelser og flydehastigheder ved forskellige mass-flow. Vi vil førsøge at tage en række billeder af sæbefilmen under monokromatisk lys for at illustrere tykkelsesforskellene i denne vha. inteferensmønstre. 2 Gennemgang af eksperimentet I det følgende vil vi forklare, hvorledes vores eksperiment i praksis er blevet udført, samt hvilke data dette har forsynet os med. En forklaring af hvorledes vi kan bruge måledata som disse vil følge dette afsnit, hvorefter behandlingen af vores specifikke data vil gennemgås. 2.1 Opstilling Vores opstilling er bygget op med et reservoir i toppen, forbundet til en ventil via en slange. Fra ventilen er fastspændt to nylonsnore i et mundstykke. Sæbevandet løber ned langs de to nylonsnore, der deles i hver side ved hjælp af to mindre nylonsnore med lodder. Dette danner derved indløbsfasen i selve sæbefilmen. Længere nede er endnu to nylonsnore med lodder fastsat, så der dannes et rektangel i midten, hvori der opstår en homogen flade. De to nederste lodder afslutter dette rektangel og danner således også en udløbsfase i bunden (se figur 1). Figur 1: Opstilling (dimensioner ikke i skala) Det er vigtigt for måledataen med konstant vandstand i reservoiret, for at bevare ens tryk i vandsøjlen. Dermed bliver gennemstrømningen (mass-flow) og også tykkelsen konstant i tiden. Dette kræver konstant årvågenhed og genopfyldning. Vi har i vores forsøg brugt et reservoir med en diameter på kun ca. 10 cm, hvorfor vores vandsøjletryk hurtigt vil ændre sig, og dermed ændre mass-flow. Ventilen bruges til at indstille gennemstrømningen, således at det er muligt at tage målinger ved flere forskellige indstillinger af mass-flow. Denne opstilling er fastmonteret i et kabinet, som vi har dækket med sort karton, et lille mørkekammer, for at undgå unødige forstyrrelser fra såvel omgivende lys som vindstød eller luftpust.

2.2 Målte værdier 2 Når sæbefilmen står, sendes lyset fra laseren, som er fastmonteret i kabinettet, ind på denne. Den røde laser vi har brugt i forsøget har en bølgelængde på 635nm og sendes ind på sæbefilmen med en horisontal vinkel på 9.8. Dette gøres for, at vi også kan måle intensiteten af den reflekterede stråle omkring nul grader i det vertikale plan. Den reflekterede lysstråle sendes gennem en linse, hvor den koncentreres således, at den rammer en diode, der omsætter intensiteten til en spænding. Dioden er tilsluttet et oscilloskop, hvorfra vi kan aflæse intensiteten målt i volt, som vi sammenholder med vinklen og bruger i senere udregninger. Laserens polarisation har desuden en indvirkning på intensiteten, hvilket vi vil komme nærmere ind på. Vores sæbeopløsning laver vi ved at opløse 1 2% Vel Ultra i varmt vandhanevand. Vi forsøgte os lidt frem med denne opløsning og fandt dermed frem til at det varme vand var mest optimalt (opløseligheden stiger), samt at vandhanevand var at foretrække frem for demineraliseret vand. Vi vil ikke komme nærmere ind på, hvorfor det hænger sådan sammen, men blot her nævne at vi har forsøgt os med forskellige sæbeopløsninger. 2.2 Målte værdier Vi har i vores målinger hovedsageligt været interesseret i vinkler, hvor intensiteten var nul. Vi har dog også målt data med kontinuerlige intensitetsmålinger og har sammenfattet disse i et plot (se figur 2). 2.2.1 Plot over målt data På figur 2 har vi plottet vores fire måleserier, i hvilke vi detaljeret har nedskrevet intensiteten. Det er kun Måling 4 vi reelt har kunnet bruge i vores bestemmelse af tykkelsen, idet flere nulpunkter er krævet hvis vi vil have et entydigt resultat (se afsnit 4.1.1) Figur 2: Samlet oversigt over plottede data

3 2.2.2 Nulpunktsmålinger Vores vigtigste måleserie, nulpunktsmålinger med tilhørende mass-flow, er specifikt den vi bruger til at bestemme tykkelserne af vores sæbefilm. Vi foretog den meget enkelt. Vi brugte ikke oscilloskopet som ved intensitetsmålingerne, men reflekterede blot laseren ind på et hvidt stykke papir. Dette lyder umiddelbart ikke særlig nøjagtigt, men det var dog meget tydeligt, hvornår reflektivitetsintensiteten nåede sit minimum, og usikkerhederne ved disse målinger er derfor meget lave. 2.2.3 Lyskildedata Flowstep Mass-flow (g/s) Nulpunkter (grader) 1 0.19 ±0.01-80, -44, 38, 64 2 0.26 ±0.02-56, -32, 5, 43, 68 3 0.34 ±0.01-58, -34, 19, 40 4 0.37 ±0.01-45, -20, 32, 50, 68 5 1 0.33 ±0.01-20, 21, 43 Vores målinger blev alle taget med et LASERmodul med følgende karakteristika: λ 0 = 635nm, P = 2.5mW Herudover brugte vi til billederne en Na-lampe med bølgelængde: λ Na = 589nm 3 Teoretisk gennemgang 3.1 Sæbefilm Vores sæbeblanding består som sagt af sæbe og vand. Da vand er en upolær væske, og sæbemolekylet er et langt molekyle med en henholdsvis hydrofil og hydrofob ende, vil sæben så vidt muligt forsøge at "fange"vandet. Det bliver gjort ved, at der kommer to meget tynde film, som indkapsler vandet i midten, og der fremkommer derved en vandflade der er "fanget"mellem to tynde sæbefilm. Da vores opløsning består af ca. 1% sæbe vil sæbefilmene altså blive meget tyndere en vandet. Da sæbefilmen er meget tynd vil alt lys, der bliver reflekteret fra selve sæbedelen af filmen cancellere ud med sig selv, da der ikke kommer nogen effektiv lysvejlængde. Vi kan altå gøre den tilnærmelse at se vores sæbefilm som en vandflade. På trods af at vi ser bort fra sæbens optiske egenskaber, er det alligevel den, der gør det muligt at lave vores film. Da sæbe har en overfladespæning der kun er ca. 1/3 af vands overfladespænding, vil der opstå Marangoni-effekt. Det er, at en væske med høj overfladespænding har tendens til at trække mere i omgivelserne end en væske med en lav overfladespændig. Da filmen hele tiden vil variere i tykkelse, vil der altså komme steder hvor sæben bliver tyndere end andre steder, men Marangoni-effekten vil sørge for at sæben får det mindst mulige overfladeareal, og som følge deraf, flyde derhen hvor sæbefilmen er svagest. Sæben stabiliserer altså filmen, så den bliver stående. 3.1.1 Flydehastighed På grund af gnidning langs nylonsnoren vil flydehastigheden variere hen over filmen. D.v.s. at hastigheden langs kanten af vores film vil være mindre end hastigheden inde i midten af filmen. Hastigheden på midten af filmen er desuden påvirket af

3.2 Interferens 4 megen gnidning i form af vindmodstand, hvilket gør hastigheden af vores sæbefilm meget anderledes end en tilsvarende film i vakuum. Se afsnit 4.3 for udregning af flydehastigheden. 3.2 Interferens Det grundlæggende princip i vores forsøg er interferens. Vi udnytter således interferens mellem reflektionen fra forsiden og bagsiden af vores stående sæbefilm. Når interferens mellem to lysbølger finder sted, sker det ved en superposition af de to bølger. Deres amplitude lægges hermed sammen som vektorer og giver en resulterende lysbølge med en anden karakteristika. Afhængigt af faseforholdet mellem de to interfererende bølger, varieres amplituden af den resulterende bølge mellem yderpunkterne, dobbelt eller ingen amplitude - konstruktiv eller destruktiv interferens. Hvis faseforskellen fx er 180 grader mødes bølgetop og bølgedal, og den resulterende bølge vil have amplituden nul (destruktiv interferens) og derfor ikke være synlig. Det er specielt disse tilfælde med destruktiv interferens der, for os, er de interessante. Man kan ikke direkte ud fra interferensmønstret på vores sæbefilm se tykkelsen. Man kan dog aflæse faseforskelle. Da vi i vores forsøg ændrer indfaldsvinklen af lysbølgen svarer det til en ændring i den effektive tykkelse af sæbefilmen. Dette resulterer i en ændring af faseforholdet mellem de to interfererende lysbølger, og vi kan således koble tilbagelagt vejlængde path length difference) i sæbefilmen sammen med faseforholdet og derved fremkomme med et udtryk for filmens tykkelse. 3.3 Snells lov En af mange ting, der skal tages højde for, når vi beregner den tilbagelagte afstand af bølgen der propagerer inden i sæbefilmen, er ændringen i propagationsvinklen forårsaget af ændringen i brydningsindexet mellem atmosfærisk luft og sæbefilmen. Denne sammenhæng mellem vinkel og brydningsindex er beskrevet af Snells lov (se figur 3): n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 ) (1) Vi bruger i vores beregninger et brydningsindex på 1 (vakuum) for atmosfærisk luft (n 1 ), og 1.33 for sæbefilmen (n 2 = n vand ). Figur 3: Vinkelændring og reflektion

3.4 Polarisation 5 3.4 Polarisation Når lys propagerer gennem et medie, kan vi opfatte lyset som en bølge. Hvis man opfatter lyset som en bølge, bliver man også nødt til at se på i hvilket plan, lyset bølger. Måden lyset bølger på, kalder man for lysets polarisation. Lyset kan være såvel cirkulært- som planpolariseret, og har afhængigt af dette forskellige egenskaber. Man kan altid dele lyset op i komposanter, hvilket gør det nemmere at beskrive polariseringen. Alt lys kan beskrives af to delkomposanter, som består af ortogonale bølger der oscillerer på hhv en x- og en y-akse (idet lyset propagerer i z-retningen). Hvorledes faserne af disse to delkomposanter af lysbølgen hænger sammen er, hvad der bestemmer naturen af polarisationen. Specielt er der planpolarisation, som er tilfældet, hvor de to delkomposanter er i fase. Dette giver en resulterende, bølge der har en konstant oscillationsretning. Når delkomposanterne ikke er i fase, vil denne oscillationsretning således konstant ændre sig og generelt resulterer dette i elliptiske polarisationer (hvor cirkulær polarisation er specialtilfældet med faseforskel på π 2 ) (se appendix A for visualiseringer). Den laser vi benytter i vores forsøg er (næsten) helt planpolariseret, og v.h.a. et polarisationsfilter har vi målt vinklen af denne polarisation (oscillationsretning for lysstrålen). 3.4.1 Brewsters vinkel Når lyset bevæger sig mellem to forskellige medier, vil lys med en bestemt polarisering ved én bestemt vinkel dog være helt transmitteret og altså ingen reflektion have (da R + T = 1), nemlig ved Brewsters vinkel også kaldet polariseringsvinkelen. Det vil sige, at vi ved denne vinkel, altid vil finde et nulpunkt. Brewsters vinkel er defineret således: tan θ = n 2 n 1 (2) θ = arctan( n 2 n 1 ) = arctan( 1.33 1 ) = 53.1 (3) Det betyder for vores eksperiment, at nulpunkter ved vinkelen målt ved 53 ±2 vil blive udelukket fra målingerne, for ikke at få nulpunkter, hvor ingen skal være. 3.5 Fresnels ligninger Når som helst en elektromagnetisk bølge går mellem to medier med forskellige reflektionsindex, vil en del af bølgen blive reflekteret, og som følge deraf vil den resterende del af bølgen blive transmitteret. Afhængig af hvilken polarisation bølgen har og hvilken vinkel hvormed den rammer mediefladen, vil vi få forskellige koefficienter for amplituden af vores reflekterede bølge og amplituden af vores transmitterede bølge. Hvis polarisationen er parallel med det plan, hvor lyset går ind (udspændt af laserstråle og normal på mediefladen), vil Fresnells ligning give os reflektionskoefficienten 2 : R = n 2 cos(θ i ) n 1 cos(θ t ) n 2 cos(θ i ) + n 1 cos(θ t ) A (4) hvor θ i er indfaldsvinklen af vores laser, θ t er transmissionsvinklen i sæbefilmen og A er amplituden af den paralelle del af polarisationen. Herefter kan vi ved hjælp af 2 Born and Wolf, Principles of Optics, 7th expanded edition, Cambridge University Press. Side 42

3.6 Homogene dielektriske film 6 Snells lov omskrive udtrykket så det kun udtrykkes ved θ i. ( ) sin(θi )n 1 θ t = arcsin n 2 R = n 2 cos(θ i ) n 1 cos(arcsin( sin(θi)n1 n 2 )) n 2 cos(θ i ) + n 1 cos(arcsin( sin(θi)n1 n 2 )) A (6) På tilsvarende måde kan man finde reflektionskoefficienten, hvis bølgen er polariseret vinkelret på det plan, hvor lyset går ind: R = n 1 cos(θ i n 2 cos(θ t )) n 1 cos(θ i + n 2 cos(θ t )) A (7) R = n 1 cos(θ i ) n 2 cos(arcsin( sin(θi)n1 n 2 )) n 1 cos(θ i ) + n 2 cos(arcsin( sin(θi)n1 n 2 )) A (8) Vores lysbølge vil på forsiden af filmen både blive reflekteret og transmitteret, og det transmitterede lys vil derefter blive reflekteret på sæbefilmens bagside og bagefter transmitteret på forsiden. Derfor svarer sammenhængen til en uendelig sum af Fresnelligninger. Der skal desuden tages højde for interferens, idet vi vil have forskellige faser. Dette klares ved at kigge på ligninger for tynde film. 3.6 Homogene dielektriske film For en tynd film, som vores sæbefilm, har vi som sagt nogle ligninger der bygger videre på Fresnels ligninger. Følgende udtryk for amplitudekoefficienten (kun for planpolariseret lys), som tager højde for at noget lys bliver henholdvis transmitteret og reflekteret på hver side af sæbefilmen, er gældende 3 : r = R A = r 12 + r 23 e2iβ 1 + r 12 r 23 e2iβ (9) Hvor r 12 er amplitudekoefficienten fra Fresnel-ligningen, når lysstrålen går fra n 1 til n 2, og r 23 fra n 2 til n 3 (= n 1 ). Vi bruger desuden β, som er udtrykt ved 4 : β = 2π λ 0 n 2 h cos(θ t ) (10) Denne koefficient svarer til faseforskellen, og sørger altså for at udtrykket for amplitudekoefficienten tager højde for de interfererende bølgers faseforskel. Dette giver mening, hvis vi kigger på β, da der i den indgår tykkelsen af filmen (h), samt et udtryk for fase per bølgelængde( 2π λ 0 ). Vores udtryk for r gælder på helt tilsvarende måde for den ortogonale amplitudekoefficient. Da vores lysbølge går fra luft til vand og tilbage til luft igen, vil amplitudekoefficienten mellem de to medier have samme numeriske værdi, men modsat 3 Born and Wolf, Principles of Optics, 7th expanded edition, Cambridge University Press. Side 65 4 se fodnoten over (5)

3.7 Path length difference 7 fortegn, idet bølgen bevæger sig fra vand til luft: r 12 = r 23 (11) r 12 = r 21 = r 23 (12) Vi kan derfor regne med én samlet værdi for vores delvise amplitudekoefficienter, og opskrive en rimelig simpel sammenhæng for intensitetsreflektionskoefficienten: R = ( ) 2 R = r 2 4r 2 sin 2 (β) = A (1 r 2 ) 2 + 4r 2 sin 2 (β) (13) Hermed bliver vores reflektivitet nul for β = Nπ (hvor N = 0, 1, 2...). 3.7 Path length difference Når en lysbølge bevæger sig normalt ind på en film, vil man som sagt kunne se interferensen som β = 2π λ h, hvor h er filmens tykkelse. Men hvis man varierer indgangsvinklen på lysbølgen, vil vi få en såkaldt path length difference, da den effektive tilbagelagte strækning inde i filmen vil have ændret sig. Da vi både har en skrå vinkel i det vandrette plan, der holdes konstant og en varierende vinkel i det lodrette plan, vil vores effektive vinkel ind i sæbefilmen variere på en lidt mere kompliceret måde (se figur 4-A). Figur 4: A: Horisontal offset vinkel φ. B: Illustration af k α og k 0 Hvis vi definerer vores koordinatsystem med kartesiske koordinater, kan vi se vores sæbefilm i xz - planen. Vi vil så få normalen til vores sæbefilm som y - aksen eller givet ved vektoren: 0 n = 1 (14) 0 Hvis vi starter med at finde en vektorfremstillig for vores vinkel i det vandrette plan k 0, kan vi sige, at den vil fremkomme ved at sammensætte vores normalvektor

3.7 Path length difference 8 n med en rotationsmatrix D(z, φ), som fører vores n over i k0. Vi kan altså sige at: k0 = D( z, φ) cos(φ) sin(φ) 0 0 sin(φ) n = sin(φ) cos(φ) 0 1 = cos(φ) (15) 0 0 1 0 0 Nu har vi vores k 0, men vi kan ikke bare på tilsvarende måde rotere vores vektor langs x - aksen for at finde vores resulterende indfaldsvektor, da vores rotationsakse også er blevet drejet. Vi skal altså rotere vores k 0 omkring en x akse (se figur 4-B). Det kommer til at hedde: k α = D(x, α) k 0 (16) Det kan vi gøre ved først at rotere vores koordinatsystem ud til k 0 og så finde vores nye rotationsmatrix, hvorefter vi skal rotere tilbage igen, og så sammensætte med k 0. Vi får: k α = D( z, φ) D(x, α) D( z, φ) k 0 = D( z, φ) D(x, α) D( z, φ) D( z, φ) n (17) Vi kan se at D( z, φ) D( z, φ) giver enhedsmatricen, som derfor går ud, og vi får derfor at: k α = D( z, φ) D(x, α) n (18) Og hvis vi skriver det ud: cos(φ) sin(φ) 0 1 0 0 0 sin(φ) cos(α) k α = sin(φ) cos(φ) 0 0 cos(α) sin(α) 1 = cos(φ) cos(α) (19) 0 0 1 0 sin(α) cos(α) 0 sin(α) Vi skal finde vores effektive indgangsvinkel, så der bruger vi vinklen mellem normalvektoren n og lysbølgevektoren k α. Vi udnytter definitionen af vinklen mellem to vektorer: k α n cos(θ inc ) = k α n (20) Men da både k α og n er enhedsvektorer, får de begge længden 1 og (20) bliver derfor reduceret til: cos(θ inc ) = k α sin(φ) cos(α) n = cos(φ) cos(α) 0 1 = cos(α) cos(φ) (21) sin(α) 0 Dette giver os umiddelbart et udtryk for θ i, og ved at bruge snells lov (1) kan vi omskrive ligning (10) til: ( 1 β = 2π ( ) 2 2 n1 n 2 h 1 (1 cos 2 (φ) cos 2 (θ α ))) (22) λ 0 n 2 Vi bruger det nye udtryk for β i vores ligning for reflektivitetskoefficienten.

9 4 Databehandling For at behandle vores data, har vi udnyttet programmet Octave til at opskrive en matematisk model for reflektivitetsintensiteten ud fra de teoretiske sammenhænge, som vi tidligere har redegjort for. Vi har i dette program lavet en overordnet sammenhæng mellem tykkelse, intensitet og den målte vinkel θ α. Dette giver os et flot 3-dimensionelt plot (se figur 5), der tydeligt viser sammenhængen mellem tykkelse, vinkel og intensitet. Vi har efterfølgende ud fra vores nulpunktsbestemmelser kunnet vurdere, hvilke tykkelser af sæbefilmen, der var sandsynlige for den enkelte mass-flow-indstilling og således lave et plot med grafer over sandsynlige tykkelser. Afslutningsvis udregner vi flowhastigheder i sæbefilmen. 4.1 3D-plot Hvis vi kigger nærmere på vores 3D-plot (figur 5), kan vi tydeligt se, hvordan intensiteten er afhængig af både tykkelse og θ α. Vi plotter således intensitetsreflektionskoefficienten mod tykkelse og θ α. Figur 5: 3D-plot 4.1.1 Tykkelsesafhængighed Vi udnytter 3D-plottet til at lave et 2D-plot ved konstant tykkelse, mod θ α. Ændringen i intensiteten er repræsenteret ved farveskift, hvor de lyse, varme farver svarer til høj intensitet og den mørke, sorte svarer til der, hvor vi vil se nulpunkter. Når vi kigger på dette 2D-plot, koncenterer vi os om der, hvor intensiteten er på sit laveste, altså der hvor den på grafen er repræsenteret ved sort (se figur 6). Vi vil først se på den måleserie, hvor vi har nulpunkt ved 21 og 43. Vi tager nu i hvert mørkt interval ud for 21 et udsnit, hvor tykkelsen bliver holdt konstant.

4.1 3D-plot 10 Figur 6: 2D-plot af tykkelse mod θ α Her kan vi se hvilken tykkelse, der helt præcist har nulpunkt ved. Der vil i alt være tre tykkelser, som er realistiske for os, og som også har nulpunkt omkring 40. Det er ikke blot vigtigt at kigge på hvorvidt, der er nulpunkter de samme steder som vi ser i vores målinger. Det er essentielt, at det udelukkende er de nulpunkter, vi finder, der er på plottet (inden for det målte interval), da det netop er dette, der begrænser vores tykkelse. Der vil altså altid være en række tykkelser, hvor der kan findes nulpunkter på givne steder, men kun netop en tykkelse, hvor netop de nulpunkter kan findes. De tre tykkelser er plottet med vinkel mod intensitet i plottet på figur 7. Figur 7: Lyserød: vores målte data, rød: 2.77µm, grøn: 2.52µm, blå: 2.28µm På denne graf er det tydeligt, at intensiteterne ikke stemmer overens, men det er heller ikke relevant for os, da vi udelukkende er interesserede i nulpunkterne (og desuden er de målte data målt i volt, hvor de teoretisk udregnede værdier, er et udtryk for procentdel af indsendt lys, der bliver reflekteret og derfor ikke umiddelbart

4.2 Nulpunkter og tykkelse 11 kan sammenlignes). Kigger man derimod på nulpunkterne er det tydeligt, at alle tre tykkelser passer fint i punktet omkring 20, og det er derfor omkring 40, det bliver interessant, da det er her, vi skal vælge mellem de mulige tykkelser. Vi har valgt den blå som vores tykkelse, da vi har noteret os (uden om målingerne dog) at andet nulpunkt var ved 43 og det er lige der, hvor den blå rammer. Den blå graf svarer til en tykkelse på 2.28µm, som altså er tykkelsen ved mass-flow 0.33gs 1 ± 0.01gs 1 4.2 Nulpunkter og tykkelse Ovenfor plottede vi en af vores detaljerede måleserier mod dem, der var sandsynlige teoretisk ved forskellige tykkelser, og derefter vurderede vi, hvilket én, der stemte bedst overens med vores nulpunkter. Det samme vil vi nu gøre med de nulpunkter fra skemaet i sektion 2.2.2 og derfra vurdere, hvilken tykkelse der gælder for hver mass-flow-indstilling. Vi får følgende tykkelser ved forskellige mass-flow 5 : Mass-flow (g/s) tykkelse (µm) 0.19 ±0.01 1.43 0.26 ±0.02 1.70 0.34 ±0.01 2.31 0.37 ±0.01 2.39 0.33 ±0.01 2.27 Figur 8: Mass-flow mod tykkelse Vi har lavet et plot over mass-flow mod tykkelse (se figur 8) for at vise, at der er en sammenhæng mellem de to størrelser. Vi har prøvet at finde ud af denne sammenhæng, men har desværre ikke helt nok måleserier. Det ser således næsten ud som en lineær sammenhæng på vores plot. Men hvis vi tager højde for grænsetilfældet (idet vi ser bort fra andre faktorer der begrænser tykkelse), hvor mass-flow går mod nul, ved vi, at når dette sker, må tykkelsen ligeledes være nul. Ud fra denne antagelse må 5 De herunder angivne tykkelser virker meget nøjagtige sammenlignet med vores øvrige præcision. Dette skyldes at usikkerheden udmønter sig i et antal mulige tykkelser, hvor vi har valgt den nærmest vores resultater. Dette vil blive omtalt under afsnit 4.5 om usikkerheder

4.3 Flydehastigheder 12 sammenhængen være eksponentiel, og det virker dog heller ikke usandsynligt at vores punkter vil passe nogenlunde i et sådant fit. 4.3 Flydehastigheder Når vi vil oversætte de ovenfor udregnede tykkelser og tilhørende mass-flow til en egentlig flydehastighed v i sæbefilmen, bruger vi blot den simple sammenhæng mellem filmens areal (A), densitet (ρ) og mass-flow (ṁ = dm dt ): v = ṁ ρa Hastighederne ved de forskellige mass-flow er, som følger: Mass-flow (kg/s) hastighed (m/s) Usikkerhed (m/s) 0.00019 1.88 ±0.11 0.00026 2.58 ±0.21 0.00034 3.37 ±0.13 0.00037 3.67 ±0.14 0.00033 3.27 ±0.13 4.4 Sammenkobling af billeder og mass-flow-målinger For at få en god illustration af tykkelses-forskellene i sæbefilmen belyste vi den med en monokromatisk Na-lampe. Ved normalt lys fra solen eller hvide lamper vil reflektioner fra sæbefilmen kunne ses som en regnbue af farver i forskellige mønstre. Dette fænomen forekommer, da der for visse bølgelængder er destruktiv hhv. konstruktiv interferens ved forskellige tykkelser. Ved at bruge det monokromatiske lys bliver dette fænomen tydeliggjort, idet man ser den destruktive interferens som sorte streger i mønstret på filmen. Ved at tage en serie af billeder ved forskellige mass-flowinstillinger er det lykkedes os, på en meget overskuelig måde, at illustrere hvorledes tykkelsen af sæbefilmen definerer, hvorvidt der er konstruktiv eller destruktiv interferens i et område. Den billedserie vi har lavet ses på figur 9. Det bliver her helt tydeligt at vores målinger kun er mulige for et begrænset interval af tykkelsen. Det er således klart at se, hvorledes det homogene felt, som tydeligt ses på de første billeder, forsvinder ved højere mass-flow-instillinger. 4.5 Usikkerheder Usikkerhederne er som tidligere nævnt en underlig størrelse at arbejde med i vores forsøg. Da vi har nogle usikkerhedsfaktorer, som vi ikke kan måle på, bliver det lidt omsonst at udtale sig om en egentlig usikkerhed på vores resultater. Det har været rigtig svært at få de optimale omstændigheder under vores forsøg, så det har klart gjort noget ved vores resultater. Som det ses på vores ræsonnement for vores valg af tykkelse, er der ikke særlig stor forskel på de forskellige muligheder for vores tykkelser. Da vi f.eks kan aflæse vores vinkel ned til ±1, kunne det jo have en indflydelse på vores valg af tykkelse. Da selve filmen, som laseren bliver reflekteret fra, hele tiden varierer, vil det også kunne bidrage til et andet valg af tykkelse. Vores samlede usikkerhed bliver altså et estimat af de enkelte usikkerheder, som vi også har måttet anslå. Da længdeforskellen mellem to mulige valg af tykkelse vil være λ 0 /2, vil vores tykkelse kunne variere med ±318nm. Vi har altså her valgt at sige, at vi kun kan angive tykkelsen inden for to ordners (antallet af bølgelængder) præcision. (23)

13 Figur 9: Billeder af interferens under Na-lys. Forskellige mass-flow-indstillinger, stigende fra venstre mod højre (Billederne er uafhængige af vores måleserier) 4.5.1 Redegørelse for usikkerheder Usikkerheder på mass-flow (se skemaet i sektion 2.2.2)er fundet ud fra et gennemsnit af fire målinger ved samme indstilling af mass-flow over 120 sekunder. Usikkerhed på vores θ α, og derfor også ved vores nulpunkter, er givet ved ±1 fra vores måleudstyr. Der er som nævnt stor usikkerhed på vores intensitetsamplitude, men det er egentlig ikke relevant, når vi kun kigger på nulpunkter. Nulpunkternes usikkerhed er beskrevet ovenfor. 5 Optimering og fejlkilder Vi har under udførelse af vores forsøg flere gange fundet ting, der tydeligvis kunne gøres bedre eller anderledes, men som vi desværre ikke har haft tid eller mulighed for at udføre. En ting der under målingerne har irriteret os en del var lokalet i hvilket vi foretog målingerne. En sæbefilm er utrolig følsom over for specielt vindstød, og idet vi var i et lokale med megen gennemgang, måtte vi vente til filmen var faldet til ro, hver gang en dør blev åbnet. Dette er dog ikke noget, der har påvirket vores data i nogen høj grad, da vi ofte blot ventede og dermed fik taget målingerne, som de skulle være. Noget af vores udstyr var ikke helt optimalt og specielt strømforsyningen til vores diode blev meget hurtigt varm. Dette resulterede i dårlige målinger, og er grunden til at de fleste af vores måleserier over intensiteten er for korte (og dermed egentlig ikke brugbare i vores sammenhæng). Signalet vi aflæste på vores oscilloskop havde desuden høj usikkerhed. Om dette var på grund af sæbefilmens ustabilitet, dioden eller strømforsyningens kvalitet er egentlig ikke så vigtigt (det var dog højest sandsynligt en kombination af alle tre ting), idet det igen ikke var de præcise værdier for intensiteten der interesserede os, men nulpunktet for denne - en information der kunne findes langt mere præcist. En parameter vi gerne ville have haft med i vores overvejelser

5.1 Inkludering af polarisation 14 var styrken af filmens overfladespænding, og hvordan denne afhang af mass-flow. Vi ville gerne have gjort dette ved at tage en række målinger af sæbefilmens bredde ved forskellige mass-flow, og derved udregne hvordan kraften, som denne trækker med, ændrer sig. Dette skulle dog have været gjort med vægt-snorene i vores opstilling fastgjort omkring lavfriktions-trisser. I vores eksperiment hang vores snore imidlertid blot udover stålskinner med høj friktion, så høj at bredden på vores film var fastsat, uanset mass-flow. 5.1 Inkludering af polarisation En lidt mere central ting, som vi har valgt at se bort fra, er polarisationens indflydelse på reflektiviteten. Vi er gået ud fra at vores lys er fuldstændig parallelt planpolariseret, men vi har rent faktisk en polarisation på 15 grader fra det horisontale plan, og vi vil derfor få en intensitet, der er noget anderledes. Vores lys er desuden ca. 10% cirkulært polariseret, men det kan vi se helt bort fra, da det bare vil blive en konstant faktor, der skal ganges på vores reflektivitet. Problemet med vores antagelse om at vores lys er planpolariseret, er at den effektive polarisation der går ind i sæbefilmen vil ændre sig, som vores indfaldsvinkel af laseren ændrer sig. Vi vil nu udlede, hvordan polarisationen vil afhænge af indfaldsvinklen. Det vil i høj grad komme til at minde om vores udledning af vores Path Length Difference. Hvis vi ligesom før, forestiller os at vores sæbefilm udspændes af xz - planen, kan vi derfor se vores polarisation som en vektor der udspænder en vinkel (φ p ) væk fra planpolarisation (x - aksen). Vi får altså vores polarisationsvektor: cos(φ p ) p = 0 (24) sin(φ p ) Det vil sige, at vores polarisationsvektor p er e x drejet omkring y - aksen. Vi kan så finde vores effektive polarisation, der fremkommer på følgende måde: Vi starter med en forskydning i overensstemmelse med vores vandrette vinkel-offset. Dette gør vi på en måde, der svarer til, hvad vi gjorde i afsnit 3.7: p0 = D( z, φ) p (25) Og med tilsvarende ræsonnement finder vi også polarisationsvektoren, når vi drejer om vores x - akse. p 0α = D( x, α) p 0 = D( z, φ) D(x, α) D( z, φ) p 0 = D( z, φ) D(x, α) p (26) Vi får derfor vores resulterende polarisationsmatrix: cos(φ) sin(φ) 0 1 0 0 cos(φ p ) p 0α = sin(φ) cos(φ) 0 0 cos(α) sin(α) 0 0 0 1 0 sin(α) cos(α) sin(φ p ) cos(φ) cos(φ p ) + sin(φ) sin(φ p ) sin(α) = sin(φ) cos(φ p ) sin(α) cos(φ) sin(φ p ) (27) cos(α) sin(φ p ) Så er p 0α altså vores polarisationsvektor, når vi drejer vores indfaldsvinkel. Når vi skal finde vores reflektivitets-afhængighed, skal vi finde den polarisationsvektor i,

15 der vil fremkomme under antagelsen om at vores lys er fuldstændig parallelt planpolariseret. Vi starter med at finde i, der altså vil være normalvektoren på vores plane of incidence. Dette plan er det, der udspændes af vores indfaldsvektor (laserstrålen) k α og vores normal langs y - aksen. For at finde i skal vi altså tage krydsproduktet af k α og n : i = kα sin(φ) cos(α) n = cos(φ) cos(α) 0 1 sin(α) 0 = sin(α) 0 sin(φ) cos(α) (28) Nu mangler vi bare at finde reflektivitetskoefficienten ) for henholdsvis R og R. For R er denne netop er cos(α i ) = kvadreret. Vi får heraf at: cos(α i ) 2 = ( p0α i p0α i ( sin(α) cos(φ) cos(φ p ) sin(φ) sin(φ p ) sin(α)2 + sin(φ) 2 cos(α) 2 ) 2 (29) Dette er således vores intensitetskoefficient til R. Vi ved at vi samlet for de to delkomposanter af reflektivitetskoefficienten skal have R, og da vi har at 1 = cos(α i ) 2 + sin(α) 2, kan vi se at sin(α) 2 må være intensitetskoefficienten til R. Vi får altså sammenfattet vores totale reflektivitet 6 : R total = R cos 2 (α) + R sin 2 (α) (30) Dette udtryk er vores egentlige reflektivitetkoefficient. Når vi nu ved dette kan vi se, at det måske ikke er så dum en approximation vi har gjort alligevel. For som vores indgangsvinkel i filmen ændrer sig, nærmer den effektive polarisation sig netop den horisontale polarisation. Dette betyder, at effekten vi ville se ved at redigere udtrykket er meget begrænset. Vi har på baggrund af dette vurderet at en omprogrammering af vores octaveprogram og redigering af alt databehandling ikke kan betale sig. 6 Diskussion og konklusion Vi har i dette projekt forsøgt at forstå og undersøge nogle forskellige egenskaber ved sæbefilm. Det har vi gjort ved, med stor hjælp fra vores vejleder, at lave en opstilling der netop var så simpel, at vi kunne udføre den, men stadig god nok, til at vi kunne få noget reelt brugbart data ud af den. Vi mener selv, at det er lykkes, og har ved at sammenligne med tilsvarende forsøg set, at vores tykkelser og flydehastigheder er nogenlunde konsistente med disse. Vi har altså foretaget målinger af to forskellige parametre; reflekteret intensitet samt indfaldsvinkel af vores laserstråle. Vi har sammenholdt disse data med teoretisk fremkomne modeller, og derudfra kunnet bestemme tykkelsen af sæbefilmen ned til ca. 300nm (svarende til en halv bølgelængde). Vi har desuden, ved hjælp af tilhørende mass-flow, kunnet bestemme hastigheden af sæbefilmen ved de forskellige tykkelser. Vi har gennem vores kendskab med teorien bag målingerne kunnet komme frem til en række forbedringer og udbygninger af vores forsøg, som eventuelt tilsvarende projekter kunne nyde godt af. Af tilsvarende projekter kunne vi forestille os en mere nuanceret gennemgang af selve dynamikken i sæbefilm eller sæbebobler. Et eksempel kunne være et studie af turbulens, da vi med vores 6 Born and Wolf, Principles of Optics, 7th expanded edition, Cambridge University Press. Side 44

opsætning har mulighed for at skabe et miljø der kan opfattes som 2-dimensionelt, og derigennem kunne betragte turbulens langt mere enkelt end ellers muligt. Til sidst vil vi gerne sige tak til vores vejleder, Jörg Helge Müller, der under hele forløbet har været til stor hjælp. 16

17 A Polarisation Se figur 10. Figur 10: Lineær, cirkulær og elliptisk polarisation B Opstilling Se figur 11. l 1 = 78.4cm l 2 = 45.7cm l 3 = 36.2cm l 4 = 8.47cm l total = 159.2cm m = 20g M = 300g h v = 32.0cm φ a = 13.4 φ b = 10.6

Figur 11: Opstilling 18

19 C Octave program theta_las = linspace(-pi/4,pi/4,201); % Vi definerer vores indgangsvinkel som en variabel, der skal køres fra -pi/4 til pi/4 af 201 linjer angle = 180/pi * theta_las; % Den vinkel vi plotter vil vi gerne have i grader n_water = 1.332; % Brydningsindekset for vand lambda = 0.64; %microns % vores bølgelængde thick = linspace(2, 3, 101); % microns % Vi definerer vores filmtykkelse som en variabel, der skal køres fra 2 til 3 mikrometer af 101 linjer theta_offs = 9.8 /180 * pi; % Vores skrå vinkel på 9.8 grader skal gives i radianer theta_inc = (acos((cos(theta_offs).* (cos(1.*theta_las))))); % Vores effektive indgangsvinkel i sæbefilmen arg_1 = (1. - (1/n_water).^2 * (sin(1.*theta_inc)).^2); arg_2 = (cos(1.*theta_inc) - n_water * (arg_1).^(1/2)); arg_3 = (cos(1.*theta_inc) + n_water * (arg_1).^(1/2)); Iref = (((arg_2)./ (arg_3)).^2); % Vores Fresnel ligning bliver delt op i små bidder. denom = (1 - Iref).^2; arg_root =(1.- (1/n_water)^2 *(1-(cos(1.*theta_las)).^2.*(cos(theta_offs))^2)); refl = ones(201,101); % Vores reflektivitet er en funktion af vores 2 andre variable for n=1:101 % Og skal regnes ud over hele vores funktion arg_sin = 2*pi/lambda *n_water * thick(n) *(arg_root).^(1/2); x = sin(arg_sin).^2; refl(:,n) = ((4. * Iref).* x)./ (denom + 4. * (Iref).* x) ; % Vores samlede reflektivitetsudtryk, som er delt i mindre dele endfor % slut på loop figure(1); plot(thick,refl(70,:)) %Vi plotter tykkelsen med intensiteten for en fasthold vinkel figure(2); surf(thick,angle,refl); shading interp; colormap copper %Vores 3D-plot over hele vores overflade figure(3); mint = 34; step = 1; num_lines = 5;

20 maxt = (num_lines-1) * step + mint; for different for n=mint:step:maxt linecolor = num2str(mod((n)/step,5) + 1 ); plot(angle,refl(:,n),linecolor) hold on endfor hold off % Her tager vi en bestemt tykkelses ud og ser hvordan vores intensitet afhænger af vinkel. Vi giver så vores tykkelsesgæt, og den giver det og de 5 sideligge tykkelseslinjer. figure(4); a=load "måling1.txt" b=load "måling2.txt" c=load "måling3.txt" d=load "måling4.txt" plot(angle,refl(:,28),angle,refl(:,53),angle,refl(:,78),d(:,1),d(:,2)/200, "4") % Her plotter vi vores mãěledata med de tre tykkelser, som er vores bedste gæt på en tykkelse. figure(5); plot (a(:,1),a(:,2)/100, "1",d(:,1),d(:,2)/100, "4",c(:,1),c(:,2)/100, "3",b(:,1),b(:,2)/100, "2") % Vores fire måleserier figure(6); e=load "måling5.txt" plot (e(:,1),e(:,2), "1") % vores tykkelse vs. massflow Lavet hovedsageligt af vores kære vejleder Jörg Helge Müller D Bibliography Born and Wolf, Principles of Optics, 7th expanded edition, Cambridge University Press, 1999 Rutgers et al., Conducting fluid dynamic experiments with vertically falling soap films, Review of scientific instruments - volume 72 - number 7 - juli 2001 Rutgers et al., Infrared technique for measuring thickness of a flowing soap film, Review of scientific instruments - volume 72 - number 5 - maj 2001 Young and Freedman, University physics, 12th edition, Pearson education inc., 2008