Hvordan estimeres elasticitet af skattepligtig indkomst *

Hvordan estimeres elasticitet af skattepligtig indkomst * Ask Holme, Københavns Universitet 30. oktober 2012 Resumé Denne artikel undersøger hvordan elasticiteten af skattepligtig indkomst estimeres. I artiklen opstilles en teoretisk model som muliggør sammenligning af estimatorer. Samtidig foreslås en ny estimator der mere præcist kan korrigere for tilpasningstræghed. Gennem Monte Carlo eksperimenter vises, at den forbedrede estimator giver væsentligt mere præcise resultater end de eksisterende estimatorer samt at visse eksisterende estimatorer i praksis er yderst ustabile. På lovmodellens datagrundlag estimeres den danske elasticitet af skattepligtig indkomst til 0,11 med den forbedrede estimator og 0,00 ved brug af en traditionel estimator fra Gruber og Saez (2002). * Denne artikel er en videreudvikling af mit kandidatspeciale. Der rettes en stor tak til lektor Bertel Schjerning & fuldmægtig Gyrithe Rosenlund for hjælpsomme kommentarer samt til Arbejderbevægelsens Erhvervsråd for at stille deres mikrodata og skattesimulator til rådighed. Fejl, mangler, konklusioner mv. er alene mit eget ansvar

Indledning 1 Indledning Elasticiteten af skattepligtig indkomst er naturligt af stor interesse blandt både blandt fagøkonomer, i regeringer og hos det politiske landskab i øvrigt. Parameteren giver et mål for, hvordan indkomstbeskatning påvirker lønindkomsten og indeholder således den samlede effekt fra en skatteændring, uanset om den kommer fra arbejdsudbud, skattetænkning eller lignende. Tallet bliver dermed centralt ved beregning af den provenumæssige og samfundsøkonomiske effekt af en skatteændring. Siden slutningen af 90 erne er der gennemført utallige studier, som estimerer elasticiteten for forskellige lande. Studierne har dog givet meget forskellige resultater afhængigt af datagrundlag og metode. Det er derfor svært at se nogen videre konsensus om elasticitetens størrelse. For Danmark varierer estimaterne fra 0,00 til 0,27 en forskel, der er afgørende for, hvorvidt en dansk topskattelettelse vil være selvfinansierende eller ej *. En væsentlig barriere for at opnå generelt accepterede estimater er manglen på litteratur, som undersøger estimatorernes egenskaber og særligt svagheder. Det er derfor svært at forklare, hvorfor nogle studier finder forskellige resultater på samme data og derigennem komme tættere på en konsensus om elasticitetens størrelse. Denne artikel opstiller en teoretisk model for skatteoptimering, som via Monte Carlo eksperimenter anvendes til at sammenligne forskellige estimatorer og fastslå deres reaktion på tilpasningstræghed. Samtidig foreslås en forbedret estimator til korrektion for tilpasningstræghed, og det vises, at denne giver mere præcise estimator end de eksisterende. Endelig anvendes den forberede estimator på danske registerdata. 2 Litteraturgennemgang Der findes en lang række empiriske bidrag, der med forskellige metoder og data forsøger at estimere den langsigtede elasticitet af skattepligtig indkomst. Den efterfølgende gennemgang vil dog fokusere på paneldatabaserede metoder, der har været anvendt på danske registerdata. Den mest udbredte metode stammer fra Auten og Carroll (1999) og Gruber og Saez (2002), hvis empiriske strategi er en IV model med indkomstkontroller. I de senere år har der dog været 2 bidrag, der adskiller sig væsentligt metodemæssigt nemlig Holmlund og Söderström (2008), der anvender en fejlkorrektions model, samt Chetty et al. (2011), der bruger strukturel estimation. Disse tre metoder vil kort blive gennemgået i det følgende. For en mere grundig gennemgang, der også dækker flere metoder, hen- * For 2008 vil en elasticitet på over 0,17 placere Danmark over Lafferkurvens toppunkt. Efter afskaffelse af mellemskatten og hævelse af topskattegrænsen er tallet 0,14 under antagelse af en uændret gennemsnits indkomst for topskattebetalere 2008-2012(Holme, 2011; Saez, 2004; Kreiner og Kleven, 2006). Side 1 af 21

Litteraturgennemgang vises til Holme (2011). 2.1 Auten og Carroll (1999) samt Gruber og Saez (2002) Auten og Carroll (1999) beskriver en reduceret model, hvor indkomsten efter skat maksimeres på basis af skattesystemet efter en ikke nærmere angivet nyttefunktion. Fra denne model opstilles en IV estimator, der regressere den skattepligtige indkomst på ændringen i skatteprocenten og skattebetalingen samt en række kontrolvariable. Estimatoren anvender såkaldte simulerede skatteprocenter og -betalinger til at fjerne det endogenitetsproblem, der opstår, fordi indkomstens (i niveau) ofte vil være korreleret med skatteændringen (fx vil en dansk topskattelettelse kun have effekt for tilpas høje indkomster). De simulerede skattedata er dannet ved at udregne skattebetalingen for år t baseret på en inflateret indkomst fra et tidligere år. For at skabe identifikation anvendes paneldata fra flere forskellige skattereformer samt perioder uden reformer, hvilket giver en bred variation i data. Støj fra tilpasningstræghed forsøges undgået ved at betragte ændringerne over 3-års intervaller. Forskellen på Auten og Carroll (1999) og Gruber og Saez (2002) er metoden til kontrol for indkomstændringer der, hvis de ikke opfanges korrekt, kan påvirke elasticitetsestimatet. Auten og Carroll (1999) anvender indkomstniveauet i udgangsåret, mens Gruber og Saez (2002) anvender en 10-delt spline i dette niveau for derigennem at kontrollere for flere forskellige funktionelle former for indkomstændringer. Endelig inkluderes en række kontrolvariable for fx køn, branche og alder. Langsigtselasticiteten måles ved at der estimeres på 3-års differencer. Metoden er anvendt på danske data af Kleven og Schultz (2011), Chetty et al. (2011) og Bækgaard (2010), der får resultater fra 0,00 0,10 afhængigt af kontrolvariable og den præcise indkomstdefinition. 2.2 Holmlund og Söderström (2008) Holmlund og Söderström (2008) er et forsøg på en mere formel skelnen mellem kort- og langsigtede effekter til erstatning fra den hidtige ad-hoc tilgang. Holmlund og Söderström anvender en fejlkorrektionsmodel, der ifølge dem kan adskille den kortog langsigtede effekt samt tage højde for eksogene indkomstændringer. Der anvendes fortsat instrumenter til at håndtere endogenitetsproblemet, men disse tages fra t 2 for at sikre fuld endogenitet (Holmlund og Söderström, 2008). Metoden er anvendt på danske data af Bækgaard (2010), der finder en langsigtselasticitet på 0,27 for mænd, mens estimatet for kvinder er insignifikant. Side 2 af 21

Model for skatteoptimering 2.3 Chetty et al. (2011) Chetty et al. (2011) adskiller sig markant fra de øvrige metoder ved at være en strukturel estimation. Estimatoren er baseret på en omfattende model, hvor individer med en iso-elastisk nyttefunktion optimerer deres arbejdsudbud efter et skattesystem med knæk (dvs. hvor skattesatsen stiger for indkomst over en grænseværdi). I sådan en situation opstår bundtning, hvor en større mængde personer placerer deres indkomst præcis i skattesystemets knæk. Chetty et al. udleder en præcis sammenhæng mellem den strukturelle elasticitet og omfanget af bundtning. Udfra denne sammenhæng kan elasticiteten estimeres ved at måle omfanget af bundtning i data. Chetty et al. (2011) anvender metoden på danske registerdata og finder en elasticitet på 0,01. 3 Model for skatteoptimering For at kunne sammenligne de forskellige estimatorer opstilles i dette afsnit en teoretisk model for skatteoptimering. Denne model muliggør de efterfølgende Monte Carlo eksperimenter ved at kunne fungere som datagenererende proces. 3.1 Nyttefunktionen og produktivitet Modellen følger tankegangen hos Chetty et al. (2011) og er bygget op omkring individer, der maksimerer efter en iso-elastisk og kvasilineær nyttefunktion u(c, h ), hvor c er forbrug og h arbejdsomfang, der begge er specifikke for hvert individ og tidsperiode. Opsparing er implicit medtaget, da c kan antages at indeholde den diskonterede fremtidige nytte af opsparing. u(c, h ) = c α 1 1 + h + (3.1) hvor e er den strukturelle elasticitet, og α er en teknisk skaleringsparameter. Arbejdsomfanget (h ) kan i modellens udgangsår t = 0 vælges frit, da der antages fuld beskæftigelse. Individerne i modellen adskiller sig i form af deres timeløn (w ), der kan betragtes som et produktivitetsmål. w trækkes fra en lognormal fordeling, men trunkeres, da der af tekniske årsager er en minimumsløn på 1. log(w ) N(μ ; σ ) (3.2) w = max(1; w ) (3.3) Side 3 af 21

Model for skatteoptimering 3.2 Forbrug og skattesystem Modellen har et simpelt progressivt skattesystem, hvor der betales en skattesats (τ ) af indkomsten op til en grænseværdi (G) og en anden sats (τ ) af den resterende indkomst. Dette er en simplificeret udgave af de progressive skattesystemer, der anvendes i de fleste industrialiserede lande. c kan defineres ud fra arbejdsudbud og den individuelle timeløn. c = (1 τ )min(w h + v ; G) + (1 τ )max(w h + v G; 0) (3.4) hvor v er et indkomststød, der består af en årlig komponent (x ) samt en påvirkning fra tidligere års stød styret af en vektor (m ). Årets stød trækkes fra en normalfordeling med middelværdi nul og varians σ. Støddet trunkeres dog til maksimalt at være 20 pct. af indkomsten. m angiver indflydelsen fra tidligere års stød x N(0, σ ) (3.5) x = x abs(x ) min(abs(x ); 0, 2 w h ) (3.6) v = x 0 (m v ) (3.7) = Selvom stødene er persistente, antages det, at de ikke påvirker agenternes forventninger. E[v ] = 0 (3.8) E[c ] = (1 τ )min(w h ; G) + (1 τ )max(w h G; 0) (3.9) 3.3 Træghed i tilpasning af arbejdsudbuddet Endelig indføres en begrænsning på tilpasningen af arbejdsudbuddet, sådan at en andel (r) af modelbefolkningen kun kan ændre arbejdsudbuddet med en bestemt procent (L ) hvert år. Med sandsynlighed L er der dog mulighed for at foretage fuld tilpasning. Den resterende andel (1 r) kan frit tilpasse arbejdsudbuddet i alle perioder. Det begrænsede arbejdsudbud kaldes h, mens det optimale valg i fraværet af en begrænsning betegnes h. h for (d = 1 j = 1) d = 0 h = arg max u(h, w ) for d = 1 j = 0 (3.10) st. ( ) (+ ) Side 4 af 21

Model for skatteoptimering hvor d, j er indikatorvariable, og h er det optimale arbejdsudbud uden begrænsninger. d = 1 angiver, at tilpasningen er begrænset, j = 1 at fuld tilpasning er muligt på trods at d = 1. Dette kan tolkes, som at en andel r har ansættelseskontrakter, der begrænser tilpasning af arbejdstiden. Der er dog en chance for at få nyt job og i den situation frit at kunne vælge arbejdstid. For andelen 1 r uden begrænsninger gælder, at de er selvstændige eller på anden måde fri for kontraktmæssige bindinger. Modelleringen er dog ikke bundet til denne tolkning og kan også dække andre kilder til begrænset tilpasning fx usikkerhed om skattereglernes stabilitet. 3.4 Det optimale arbejdsudbud Individets optimale arbejdsudbud (h ) kan ikke findes ved simpel optimering, da knækket i skattesystemet giver anledning til randløsninger. For nogle vil det være optimalt at vælge lønindkomst præcis svarende til skattesystemets grænse G, idet deres optimale punkt ved τ ligger højere end G, mens det ved τ ligger under G. For at løse problemet betragtes først tilfældet τ = τ = τ. Da gælder E[c ] = (1 τ)w h, og arbejdsudbuddet kan findes ved simpel maksimering. E[u(h, w )] = E[c ] α 1 1 + h + E[u(h, w )] = (1 τ)w h α 1 1 + h + E[u] h = (1 τ)w αh = 0 h = (1 τ)w (3.11) α hvor forventningsoperatoren angiver, at støddet ikke indgår, når arbejdsudbuddet fastlægges. Det mere komplicerede tilfælde τ < τ indeholder en randløsning, hvor individer bundter i w h = G. Denne opstår, hvis τ = τ medfører w h > G, mens τ = τ tilsiger w h < G. Randløsningen kan således afgrænses efter w, og den nedre grænse (w ) findes ved at løse w h < G. w h < G w (1 τ )w < G α w < G α 1 τ På samme måde kan den øvre grænse (w ) fastlægges til + = w (3.12) w > G α 1 τ + = w (3.13) Side 5 af 21

En forbedret estimator Figur 1: Effekt af tilpasningstræghed 10 0,60 År 9 12 5 1 τ 0,50 0,40 0,30.. 2,00 4,00 År 8 11 År 7 10 År 6 9 År 5 8. 1 τ (Venstre akse). h (Højre akse) 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 5 5 4 Arbejdstimer Tidsperiode Det optimale arbejdsudbud givet w kan da opskrives som h = ( ) ( ) hvis w < w hvis w w w hvis w > w (3.14) Selve fænomenet med bundtning ved skattegrænsen G er beskrevet indgående hos Chetty et al. (2011) og Saez (2010). En vigtig konsekvens, der bør nævnes her, er, at bundtning skaber en afvigelse mellem den strukturelle og den faktiske elasticitet. Årsagen til dette er 2-delt. Dels vil der være personer, som bundter både før og efter en skatteændring, og derfor har en faktisk effekt på nul, hvilket sænker den gennemsnitlige effekt. Derudover vil nogle bundte enten før eller efter en skatteændring og derfor reagere med en elasticitet, der er anderledes end den strukturelle. 4 En forbedret estimator Som demonstreret senere i denne artikel har de eksisterende estimatorer forskellige svagheder, som gør deres elasticitetsestimater usikre. Med baggrund i den formulerede teoretiske model er det derfor relevant at forbedre de eksisterende metoder til at håndtere tilpasningstræghed bedre, med henblik på at opnå mere robuste estimater. Nøglen her er tankerne fra Weber (2010), der påpeger en væsentlig ulempe hos Gruber og Saez (2002). Såfremt der er tilpasningstræghed, vil de løbende 3-års intervaller anvendt af Gruber og Saez (2002) og Auten og Carroll (1999) fange forskellige dele af skatteændringen. Som et eksempel betragt figur 1, hvor der er indført en skatteændring mellem år 7 og Side 6 af 21

En forbedret estimator år 8. Tilpasningstræghed betyder at arbejdsudbuddet først er endeligt tilpasset i år 10. Figurens pile angiver de 3-årige estimationsintervaller, det ses, at skatteændringen er tilstede i intervallerne 5 8, 6 9 og 7 10. Det er dog kun i sidstnævnte interval (7 10) at den fulde tilpasningseffekt også kan observeres. Dette vil lede til en undervurdering af effekten idet en del af tilpasningen vil blive placeret på års-konstanter i stedet for elasticitetsparameteren. For intervallerne år 8 11 og 9 12 gælder, at der ikke er nogen skatteændring, men stadigvæk en tilpasning af arbejdsudbuddet. Dette vil igen lede til en undervurdering af elasticiteten, da effekterne for disse intervaller kan ende i modellens konstantled. Disse problemer kan undgås ved at fokusere mere præcist på effekten fra en bestemt år-til-år skatteændring i stedet for en kombineret 3-års effekt. Dvs. effekten på log fra log. Effekten fra skatteændringer i andre perioder end (t 2) - (t 3) opfanges af kontrolvariable. En sådan estimator kan opstilles som (4.1) log Y Y = β + β log 1 τ 1 τ + β log 1 τ 1 τ + β log 1 τ 1 τ + = α spline (log Y ) + γ år + ε z = log 1 τ 1 τ ; log 1 τ 1 τ (4.1) hvor β er den 3-årige elasticitet, mens β og β opfanger skatteændringer henholdsvis før og efter. Det teoretiske grundlag er den simple statiske indkomstmodel opstillet af Gruber og Saez (2002). For eksemplet ovenfor vil det svare til, at lønindkomstintervallet år 5 8 sammenlignes med en skatteændring for år 5 6 (der er nul) og en kontrol for skatteændringer fra år 6 8 (der er positiv). Effekten for tilpasningen vil korrekt blive placeret på kontrollen og ikke ramme elasticitetsestimatet. En lignende process sker med intervallerne 6 9, 8 11 og 9 12. Fordelen ved denne fremgangsmåde er, at der - på 3-års niveau - skabes en mere præcis sammenhæng mellem skatteændring og effekt. Ulempen er, at der i et givet datasæt vil være væsentligt færre observationer, der reelt anvendes til at estimere elasticiteten, og at der generelt kræves observationer for 2 år mere end ved den traditionelle estimator. Ved moderne registerdata, der indeholder flere hundretusinder observationer og adskillige tidsperioder, bør dette dog ikke ses som en væsentlig ulempe. Side 7 af 21

Sammenligning af estimatorer 5 Sammenligning af estimatorer For at undersøge estimatorernes egenskaber herunder deres evne til at håndtere tilpasningstræghed udsættes de for Monte Carlo eksperimenter med modellen fra forrige afsnit som datagenererende proces. De undersøgte estimatorer er de traditionelle estimatorer fra Auten og Carroll (1999); Gruber og Saez (2002), fejlkorrektionsestimatoren fra Holmlund og Söderström (2008), den strukturelle estimator fra Chetty et al. (2011) og Saez (2010) samt den i afsnit 4 beskrevne model. De præcise modelspecifikationer, der estimeres, er kort beskrevet i nedenstående samt opsummeret i tabel 1 på næste side. For en gennemgang af den bagvedliggende teori henvises til tidligere afsnit. Ved estimation af modellerne vægtes de enkelte observationer med den skattepligtige indkomst. Auten og Carroll (1999) samt Gruber og Saez (2002) De traditionelle modeller har identisk opbygning bortset fra indkomstkontrollerne. Model (5.1), der bygger på Auten og Carroll (1999), har basisårets indkomstniveau som kontrol, mens model (5.2) baseret på Gruber og Saez (2002) bruger en 10-trins spline i basisårets indkomst. log Y = β Y + β log 1 τ + α log Y 1 τ + γ år + ε z = log 1 τ 1 τ (5.1) log Y Y = β + β log 1 τ 1 τ + α spline (log Y ) + = γ år + ε z = log 1 τ 1 τ (5.2) hvor z angiver sættet af instrumenter, og s t y angiver, at variablen er simuleret med data fra år t y. Holmlund og Söderström (2008) Fejlkorrektionsspecifikationen i model (5.3) giver 2 forskellige elasticitetsestimater nemlig en kortsigtselasticitet β og en langsigtselasticitet. log Y = β + β log(1 τ ) + β log(1 τ ) + ρ log Y + γ år + ε z = log Y, log(1 τ ), log(1 τ ) (5.3) hvor angiver et års differencer. Modellen og estimatorerne er programmeret i MATLAB, koden er tilgængelig på http://www. askholme.dk/thesis Side 8 af 21

Sammenligning af estimatorer Saez (2010) samt Chetty et al. (2011) Model (5.4) er en strukturel estimator. Teorien er i tråd med Chetty et al. (2011), men i praksis anvendes beregningsmetoden fra Saez (2010), der er mere velegnet til mindre datasæt (Saez, 2010). Estimatoren beregnes udelukkende på de første 7 år af kørslerne, da den kræver en stabil forskel i skatteprocent henover skattesystemets grænse. G(h e = log + h + ) G(h + h + ) 2B log 1 τ 1 τ B = H ( H + H ) (5.4) hvor H, H, H + angiver antallet af personer med indkomst i 3 intervaller med bredden δ omkring skattegrænsen G. H har centrum i G, mens H ligger på venstre og H + på højre side. h angiver tætheden i intervallerne. Interval bredden δ sættes lig standardafvigelsen på stødkomponenten. Tabel 1: Oversigt over modelspecifikationer Tidsperiode Indkomstkontroller Instrumentgrundlag Observationer Holmlund og Söderström- Fejlkorrektionsmodel: Kort (5.3) 1 år y t 2 130.000 Lang (5.3) 1 år y t 2 130.000 Auten og Carroll - Indkomst i niveau som kontrol: 3 År (5.1) 3 år y t 3 120.000 Gruber og Saez- Splines i indkomst som kontrol: 3 År (5.2) 3 år spline (y ) t 3 120.000 Holme - Håndtering af træghed: 3 År (5.2) 3 år spline (y ) t 3 100.000 Saez - Strukturel estimation: År 1-7 (5.4) År 1-7 70.000 Note: Instrumentår angiver hvilke dataår, der bruges ved dannelse af instrumenterne, subscript tallet på angiver antallet af variable. Den forbedrede estimator Model (5.5) er den forbedrede estimator, som gennemgået i afsnit 4. log Y Y = β + β log 1 τ 1 τ + β log 1 τ 1 τ + β log 1 τ 1 τ + α spline (log Y ) + γ år + ε = (5.5) z = log 1 τ 1 τ ; log 1 τ 1 τ Side 9 af 21

Sammenligning af estimatorer 5.1 Parametervalg og resultater Parametrene for den datagenerende proces er, som angivet i tabel 2, dog for lønfordelingens vedkommende i tabel 5. Der generes data for 10.000 individer over 15 tidsperioder med en strukturel elasticitet på 0,2. Lønfordelingen er indstillet til at være rimelig tæt og højreskæv, hvilket er nogenlunde i overensstemmelse med den gennemsnitlige skandinaviske økonomi. Tabel 2: Oversigt over grundlæggende parametre Parameter Beskrivelse Basiskørsel Tilpasningstræghed T Antal perioder estimeret 15 15 N Antal individer 10.000 10.000 ε Strukturel elasticitet 0, 2 0, 2 log N(μ ; σ) Lønfordeling log N(3, 4; 1, 0) log N(3, 4; 1, 0) N(0; σ ) Stødfordeling N(0; 80) N(0; 80) τ Lav skattesats 0, 1 0, 1 τ ) Høj skattesats år 1-7 0, 7 0, 7 τ = Høj skattesats år 8-15 0, 4 0, 4 G Skattegrænse 1.200 1.200 r Andel med begrænset tilpasning 0, 0 0, 8 L Tilpasningsbegrænsning 0, 0 0, 05 L Sandsynlighed for fuld tilpasning 0, 0 0, 3 m Stødpersistens 0, 4; 0, 2; 0;...; 0 0, 4; 0, 2; 0;...; 0 α Teknisk skaleringsparameter 1 10 1 10 Der udføres 2 eksperimenter: en basiskørsel uden tilpasningstræghed for at betragte estimatorernes opførsel under optimale forhold samt et med tilpasningstræghed, hvor estimatorernes evne til at håndtere dette testes. Tilpasningstrægheden er indstillet, så den samlede tilpasning er fuldført efter 3 år, jf. figur 1 på side 6, der viser sammenhængen mellem skattesats og udførte arbejdstimer i en tilfældig Monte Carlo iteration. Hvert eksperiment består af 5000 Monte Carlo iterationer; resultaterne kan ses i tabel 3 på side 12. Ved vurdering af resultaterne skal man være opmærksom på, at den faktiske elasticitet i data er lavere end 0,20, idet den som nævnt påvirkes af bundtning omkring skattegrænsen. Beregninger på de bagvedliggende data indikerer en faktisk elasticitet omkring 0,18. Estimatoren fra Saez (2010) bør stadig måles med den strukturelle elasticitet. Generelt rammer estimatorerne forholdsvis pænt i basiskørslen, dog har både Auten og Carroll (1999) samt Gruber og Saez (2002) en svag undervurdering, mens langsigtsestimatet fra Holmlund og Söderström (2008) ligger i overkanten. Kikkes på resul- Side 10 af 21

Sammenligning af estimatorer Figur 2: Bundtning efter stød i kørsel 1 400 300 Antal agenter 200 100 H H H + 0. 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 w h + v Note: Stiplede linjer angiver intervallerne der anvendes af Saez (2010) estimatoren taterne ved tilpasningstræghed ses en kraftig undervurdering hos alle modeller på nær den forbedrede estimator. Selv Holmlund og Söderström (2008), der burde håndtere dette, bliver påvirket ligeså kraftigt som de traditionelle estimatorer. Yderligere forsøg med denne estimator udført af Holme (2011) samt robusthedstest i appendix peger desuden på at dens resultater er yderst ustabile. Årsagen til dette kan være, at tolkningen af især ρ parameteren er usikker, da den ikke er relateret til en underliggende dynamisk indkomstmodel (Alogoskoufis og Smith, 1991; Kennedy, 2010). Den strukturelle estimator fra Saez (2010) klarer sig umiddelbart godt, når den anvendes på steady state perioden. Men de gode resultater skyldes et korrekt valg af intervalbredden δ, der er sat lig standardafvigelsen på indkomststødene. En sådan præcis fastsættelse kan logisk ikke ske ved estimation på empiriske data, og fastsættelsen af δ bliver på den måde en væsentlig svaghed for denne estimator. Figur 2 viser indkomstfordelingen i en tilfældig Monte Carlo iteration med intervallerne angivet. Som det ses, kunne en grafisk analyse let have ført til et lavere δ, hvilket ville have undervurderet elasticiteten. Dette er især vigtigt, da elasticitetsestimatet er ganske følsomt overfor ændringer i δ. Forsøg med δ = 130 i stedet for δ = 80 giver elasticitet estimater på over 0,4. Side 11 af 21

Estimation på danske registerdata Tabel 3: Resultat af Monte Carlo eksperimenter Basiskørsel Tilpasningstræghed Auten og Carroll (1999) (5.1) 0,15 (0,00) * 0,12 (0,00) * Gruber og Saez (2002) (5.2) 0,17 (0,00) * 0,13 (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - Kortsigtet (5.3) 0,19 (0,00) * 0,12 (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - Langsigtet (5.3) 0,20 (0,01) * 0,12 (0,01) * Saez (2010) (5.4) 0,19 (0,01) * - Forbedret estimator (5.5) 0,19 (0,00) * 0,18 (0,00) * * Signifikant på 5 procents niveau. Note: Værdier er gennemsnitlige estimater fra 5000 Monte Carlo iterationer. Monte Carlo standardfejl er vist i parentes. I appendiks er desuden vist en række robusthedstest med andre lønfordelinger, der giver kvalitativt sammenlignelige resultater, dog ses, at Holmlund og Söderström (2008) er ganske følsom overfor ændringer i lønfordelingen. Samlet må det konkluderes, at den forbedrede estimator er den eneste, som både er letanvendelig på empiriske data, og som samtidig kan håndtere tilpasningstræghed korrekt. 6 Estimation på danske registerdata Med baggrund i Monte Carlo eksperimenterne er den forbedrede estimator anvendt på danske registerdata. Til sammenligning er desuden udført en estimation med den traditionelle metode fra Gruber og Saez (2002). Estimatorernes specifikation er identisk med forrige afsnit bortset fra tilføjelse af alder og køn som kontrolvariable, samt at der gives mulighed for flere forskellige sæt splines som indkomstkontroller. De empiriske specifikationer, som estimeres er angivet i (6.1) og (6.2) log Y = β Y + β log 1 τ + β 1 τ log 1 τ + β 1 τ log 1 τ + γ 1 τ år + = = δ spline (log Y ) + α alder + α kvinde + ε z = log 1 τ ; log 1 τ (6.1) 1 τ 1 τ log Y = η Y + η log 1 τ + 1 τ δ spline (log Y ) + = = + α alder + α kvinde + ε γ år z = log 1 τ (6.2) 1 τ Side 12 af 21

Estimation på danske registerdata 6.1 Datagrundlag Data er fra Finansministeriets lovmodel og består af en 33,3 pct. panelbaseret stikprøve af den danske befolkning dækkende 1993-2008. Stikprøven er repræsentativ på personniveau og indeholder desuden data for stikprøvens husstandsmedlemmer (de såkaldte bipersoner). Det samlede datagrundlag er dermed på over halvdelen af den danske befolkning. Datasættet indeholder en kombination af registre fra Danmarks Statistik samt SKATs detaljerede indkomstdata. For at mindske støj i data begrænses analysen til personer mellem 18 og 65 år, der har haft beskæftigelse som lønmodtager i hele året. Dette sker for at fokusere på den intensive margin og undgå støj fra personer, der ændrer arbejdsudbud grundet færdiggørelse af studie eller pensionering samt selvstændige, hvor opgørelsen af den reelle indkomst er yderst usikker. For at undgå problemer med beregning af marginalskatten er efterlevende, personer uden fuld skattepligt i hele indkomståret samt personer, der ændrer civilstand, eller har ekstreme indkomstforhold, fjernet. Disse begrænsninger er i tråd med Finansministeriets sædvanlige fremgangsmåde ved indkomstanalyser. 6.2 Skattesimulator For at beregne de simulerede marginalskatter er der programmeret en grov udgave af det danske skattesystem. Grundlaget er en skattemodel for årene 2005-2008 konstrueret af Arbejderbevægelsens Erhvervsråd. Denne er udvidet til at dække perioden 1994-2008 samt finpudset på enkelte områder for at forbedre præcisionen. Implementationen dækker grundtrækkene i skattesystemet herunder sambeskatningsregler, fradragsordninger og overgangsbestemmelser. En række særregler som fx det vandrette skatteloft, der omhandler ganske få personer, er dog udeladt. Afhængigt af år beregnes 95 98 pct. af de samlede skattebetalinger korrekt indenfor et interval på +/- 10 kr. For de enkelte skatter er præcisionen på 98 99 pct. Dette er på niveau med skattesimulatoren anvendt af Chetty et al. (2011). Simulatorens marginalskat beregnes som skatten af en ekstra lønindkomst på 10 kr. Ved beregningen inkluderes både normal indkomstskat, arbejdsmarkedsbidrag og SPopsparing. Ægtefællens indkomst holdes fast i beregningen, og en evt. afledt effekt på overførte fradrag er således ikke medtaget. Hovedkilderne til simulatorens regler og skattesatser er Finansministeriets Familietypemodel, Skatteministeriet (2001), og Skatteministeriet (2011). Personer, der er sambeskattet med en afdød Personer med en husstandsækvivaleret indkomst under -5 mio. kr. eller over +20 mio. kr. Side 13 af 21

Estimation på danske registerdata Figur 3: Ændring i marginal- og gennemsnitlige skatteprocenter 1994 2008 0 5 Ændring i procent 10 15 20 Højere AMB flytter topskattegraensen 25.. 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Lønindkomst i t.kr. (2008-niveau).. Marginalskat - 94 08.. Marginalskat - 96 08.. Gennemsnitlig skat - 94 08.. Gennemsnitlig skat - 96 08 Note: Mellem 1994 og 2008 deflateres indkomsten med den skattemæssige reguleringsprocent. Figuren viser kun formelle ændringer i skattesystemet. Kilde: Egne beregninger på Finansministeriets Familietypemodel, idé til grafen fra Bækgaard (2010) 6.3 Beskrivende statistik Efter frasorteringer indeholder datasættet i alt 4,4 mio. observationer med 300.000-400.000 observationer per 3 års-interval (1994/1997 2005/2008). Af disse kan lidt over 3,5 mio. anvendes på den forbedrede estimator, der i modsætning til den traditionelle stiller krav om data 5 år tilbage i tiden. Den gennemsnitlige procentuelle ændring i efter-skat-raten er 0,018 (0,125) på 3-års niveau, hvor tallet i parentes er standardafvigelsen. Disse skatteændringer er skabt dels af formelle ændringer i skattesystemet og dels af løbende bevægelser over skattegrænserne samt flytning mellem kommuner med forskellige skattesatser. I figur 3 er vist ændringen i henholdsvis marginal- og gennemsnitlig skat over de perioder, som den forbedrede og den traditionelle estimator anvendes på. Det ses, at der - især for indkomster under 400.000 - er pæn variation i marginalskatter over perioden, men samtidig at en del af variationen ligger i år 1994 1997 og vil derfor kun blive anvendt ved estimation med den traditionelle model. Side 14 af 21

Estimation på danske registerdata 6.4 Resultater For at teste resultaternes robusthed er alle estimationer gennemført med forskellige sæt af indkomstkontroller og med både lønindkomst og skattepligtig indkomst som regresseret variabel.. Desuden er udført et Kleibergen-Paap rk test for svage instrumenter samt et Arellano- Bond test for autokorrelation. rk testet er en særlig variant af det sædvanlige første trins Cragg-Donald test. rk testet adskiller sig ved ikke at antage i.i.d fordelte fejlled, hvilket gør det velegnet, når der er risiko for seriel korrelation (Kleinbergen og Paap, 2006; Baum et al., 2007). De estimerede koefficienter, klyngebaserede standardfejl og test-værdierne fremgår af tabel 4 på side 18. I alle tilfælde viser testværdierne tegn på meget stærke instrumenter (F-test størrelserne er langt over de af Stock og Yoga (2005) anbefalede grænseværdier). Dette gør det mindre relevant, at Arellano-bond testet viser tegn på positiv autokorellation, idet den mulige skævhed fra autokorrelation er omvendt proportional med instrumenternes styrke. Den traditionelle estimator giver meget små og ofte insignifikante resultater, der endda i en del tilfælde har negativt fortegn. Dette ligger i tråd med regressions resultaterne fra Chetty et al. (2011) og Bækgaard (2010). Estimaterne er dog lidt lavere end dem hos Kleven og Schultz (2011), der får signifikant positive elasticiteter omkring 0,04 0,06 ved estimation på større datasæt dækkende 1980-2005. Den forbedrede estimator giver en elasticitet i lønindkomst på omkring 0,11 og en elasticitet i skattepligtig indkomst på 0,08, hvor sidstnævnte dog kun er svagt signifikant på et 5-pct. niveau, og derfor må betragtes som insignifikant, da fem procent er et meget lavt signifikanskrav, når der er så relativt mange observationer til rådighed (Wooldridge, 2003). Forskellen mellem de 2 estimatorer er i overensstemmelse med den teoretiske forventning om at korrektion for tilpasningstræghed bør fjerne en negativ skævhed. At den negative skævhed fra træg tilpasning er forholdsvis stor, stemmer overens med de relativt rigide strukturer på det danske arbejdsmarked. Samtidig ses der for den forbedrede estimator meget høje værdier for β ved både lønindkomst og skattepligtig indkomst. Dette kan være et tegn på, at tilpasningen tager mere end 3 år. I det tilfælde vil den reelle langsigtselasticitet være større end β resultatet. Modelspecifikationen er dog ikke konstrueret til at undersøge det formål, hvorfor det ikke er muligt at drage en konklusion. Samlet set giver resultaterne indtryk af, at den langsigtede elasticitet i lønindkomst Estimationerne er udført i STATA med anvendelse af diverse funktionspakker. STATA koden inkl. skattesimulator kan downloades på http://www.askholme.dk/thesis Side 15 af 21

Afsluttende bemærkninger er positiv, mens det ikke er muligt at fastslå en effekt på den skattepligtige indkomst. Dette kan indikere, at stigningen i lønindkomst i højere grad skyldes skattemæssig omrokering og end en reel stigning i arbejdsindkomst. 7 Afsluttende bemærkninger Elasticiteten af skattepligtig indkomst er en helt central parameter for den økonomiske politik. Men selvom der findes utallige empiriske studier af elasticiteten, er der meget få undersøgelser af estimationsmetoderne og deres svagheder. Artiklen her har opstillet et generelt koncept, der muliggør sammenligning af forskellige estimatorer via Monte Carlo eksperimenter. I fremstillingen her er der fokuseret på tilpasningstræghed, men som vist i Holme (2011) kan konceptet forholdsvis nemt udvides til at indeholde indkomstforskydning, skæv indkomstvækst og andre effekter. Med baggrund i den teoretiske model er der desuden udviklet en forbedret estimator med korrektion for tilpasningstræghed, og de udførte Monte Carlo forsøg peger på, at denne giver mere præcise resultater end den udbredte estimator fra Gruber og Saez (2002), samt at den fejlkorrektionstilgang, som Holmlund og Söderström (2008) foreslår til at løse samme problem, i praksis er ustabil og giver upålidelige estimater. Med baggrund i Monte Carlo resultaterne er den forbedrede estimator anvendt på danske registerdata, hvor den viser en elasticitet på 0,11, hvilket er væsentligt højere end estimatoren fra Gruber og Saez (2002), der giver en elasticitet på 0,00. En forskel der er i overensstemmelse med de rimeligt rigide strukturer på det danske arbejdsmarked. Dette betyder dog ikke, at en elasticitet på 0,11 kan betragtes som et troværdigt estimat. Dels er den forbedrede estimator konstrueret til at håndtere en tilpasningsperiode på ca. 3 år. Hvis perioden er længere, vil estimatoren fortsat være påvirket af et misforhold mellem effekten på lønnen og den observerede skatteændring. Derudover er der mange andre effekter, som bør medtages og korrigeres tilfredsstillende for, før et estimat kan opfattes som troværdigt. Dette gælder især indkomstforskydning, der kan medføre en kraftig overvurdering af elasticiteten, medmindre estimatoren tager højde for fænomenet (Holme, 2011). Med alle disse usikkerheder er den strukturelle estimator fra Saez (2010) og Chetty et al. (2011), som kort er behandlet i artiklen, yderst interessant. Da den arbejder på data fra en steady state periode uden skatteændringer, er den automatisk fri for mange af de svagheder, som plager de øvrige estimatorer. Men præcisionen af denne metode er desværre påvirket af den håndholdte fastsættelse af bundtningsområdet. Dermed kan heller ikke denne metode siges at give troværdige estimater. Side 16 af 21

Afsluttende bemærkninger Der er derfor god grund til fortsætte forskningen i estimation af elasticiteten. Med baggrund i denne artikels resultater er 3 områder særligt interessante: Tilpasningsperiodens længde for præcist at kunne korrigere for træghedseffekter og få bedre forståelse for den nødvendige målehorisont. Kontrolvariable for indkomstforskydning for at kunne fjerne støj fra denne effekt. Præcis og databaseret fastsættelse af bundtningsområdet for at styrke den strukturelle estimatores præcision. En bedre forståelse af ovenstående elementer vil give et væsentligt bidrag til præcisionen af elasticitetsestimaterne og derigennem bidrage til et bedre beslutningsgrundlag for skattepolitikken. Side 17 af 21

Tabel 4: Estimationsresultater fordelt på venstreside variabel 3-års ændring i lønindkomst a 3-års ændring i skattepligtig indkomst a Side 18 af 21 Forbedret estimator (6.1) β (elasticiteten) 0,117 0,117 0,117 0,118 0,117 0,120 0,086 0,082 0,087 0,083 0,087 0,087 (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,032) * (0,032) * (0,032) * (0,032) * (0,032) * (0,032) * β 0,056 0,052 0,058 0,054 0,058 0,063 0,091 0,083 0,096 0,085 0,096 0,095 (0,013) * (0,013) * (0,013) * (0,013) * (0,013) * (0,013) * (0,046) * (0,046) * (0,046) * (0,046) * (0,046) * (0,045) * β 0,143 0,143 0,143 0,143 0,143 0,144 0,152 0,150 0,153 0,151 0,153 0,153 (0,003) * (0,003) * (0,003) * (0,003) * (0,003) * (0,003) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * (0,006) * rk test 4056 4093 4031 4078 4029 4117 4006 4037 3977 4024 3975 4053 AR(1) test 89,42 89,51 89,67 89,52 89,69 89,72 83,19 82,85 83,22 82,88 83,16 83,46 AR(2) test 49,49 49,66 49,83 49,65 49,84 49,76 22,27 22,39 22,23 22,36 22,22 22,36 Antal obs. 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 10 Klynger 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 7,6 10 Traditionel estimator (6.2) η (elasticiteten) 0,002 0,002-0,002 0,002-0,002 0,003-0,016-0,022-0,006-0,022-0,005-0,025 (0,002) (0,003) * (0,002) (0,002) (0,002) (0,002) (0,009) (0,009) * (0,003) * (0,009) * (0,003) (0,011) * rk test 2,4 10 1,6 10 2,4 10 2,4 10 2,4 10 2,5 10 1,7 10 1,7 10 1,8 10 1,7 10 1,8 10 1,8 10 AR(1) test 96,17 88,98 91,27 96,28 91,44 92,33 87,09 86,51 93,87 86,49 94,04 84,37 AR(2) test 60,32 50,17 49,07 59,98 49,52 45,85 47,26 47,24 51,55 47,23 51,69 40,47 Antal obs. 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 4,4 10 Klynger 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 8,6 10 Inkluderede spline variable (begge modeller) Lønindkomst a Skattepligtig indkomst a Personlig indkomst * Signifikant på 5 procents niveau. a Lønindkomst er indkomst fra oplysningssedlens felt 13, skattepligtig indkomst er defineret som personlig indkomst tillagt betalt AM- og SP-bidrag. Note: Robuste klyngebaserede standardfejl (over individer) er vist i parentes. Til alle estimationer anvendes 10-delte splines, og der vægtes med basisårets niveau for venstreside indkomsten. Afsluttende bemærkninger

Referencer Referencer Aarbu, Karl O. og Thor O. Thoresen (2001) Income Responses to Tax Changes? Evidence from the Norwegian Tax Reform, National Tax Journal, Vol. 54, Nr. 2, pp. 319 335. Alogoskoufis, George og Ron Smith (1991) ON ERROR CORRECTION MODELS: SPE- CIFICATION, INTERPRETATION, ESTIMATION, Journal of Economic Surveys, Vol. 5, Nr. 1, pp. 97 128. Auten, Gerald og Robert Carroll (1999) The Effect of Income Taxes on Household Income, The Review of Economics and Statistics, Vol. 81, Nr. 4, pp. 681 693. Baum, Christopher F., Mark E. Schaffer, og Steven Stillman (2007) Enhanced routines for instrumental variables/generalized method of moments estimation and testing, Stata Journal, Vol. 7, Nr. 4, pp. 465 506. (2011) ivreg2: Stata module for extended instrumental variables/2sls, GMM and AC/HAC, LIML and k-class regression. Brewer, Michael, Emmanuel Saez, og Andrew Shephard (2008) Means testning and tax rates on earnings, i The Mirrlees Review: Reforming the tax system for the 21st Century: Oxford university press. Bækgaard, Hans (2010) Earned income Response to Tax Changes in Denmark, Ministry of Finance Working Paper Series. Chetty, Raj, John N. Friedman, Tore Olsen, og Luigi Pistaferri (2011) Adjustment costs, Firms Responses, and micro vs macro labor supply elasticities: Evidence from danish tax records, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 126, Nr. 2, pp. 749 804. Finansministeriet (2011) Finansministeriets familietypemodel. Giertz, Seth H. (2008) Recent Literature on Taxable-Income Elasticities, CBO Working paper Series, Vol. 2004-16. Gruber, Jon og Emmanuel Saez (2002) The elasticity of taxable income: evidence and implications, Journal of Public Economics, Vol. 84, Nr. 1, pp. 1 32. Holme, Ask (2011) Elasticiteten af skattepligtig indkomst - En kritisk gennemgang af estimationsmetoder: Kandidatspeciale, Økonomisk Institut ved Københavns Universitet. Holmlund, Bertil og Martin Söderström (2008) Estimating dynamic income responses to tax reforms: Swedish evidence, IFAU Working Paper 2008:28. Kennedy, Peter (2010) A Guide to Econometrics, rev. 6E: Blackwell publishing. Kleibergen, Frank og Mark E Schaffer (2007) RANKTEST: Stata module to test the rank of a matrix using the Kleibergen-Paap rk statistic. Kleinbergen, Frank og Richard Paap (2006) Generalized reduced rank tests using the singular value decomposition, Jounal of Econometrics, Vol. 127, Nr. 1, pp. 97 126. Side 19 af 21

Referencer Kleven, Henrik Jacobsen og Esben Anton Schultz (2011) Estimating Reported Income Responses using Danish Tax Reforms, Unpublished draft, can be obtained from the authors. Kreiner, Claus Thustrup og Henrik Jacobsen Kleven (2006) Beskatning af arbejdsindkomst i Danmark, i Torben Tranæs ed. Skat, arbejde og lighed - en undersøgelse af det danske skatte- og velfærdssystem: Rockwool Fondens Forskningsenhed, Kap. 6-7, pp. 139 183. Moffitt, Robert A. og Mark Wilhelm (2000) Taxation and the Labor Supply: Decisions of the Affluent, i J. Slemrod ed. Does Atlas Shrug? Economic Consequences of Taxing the Rich: Russell Sage. Roodman, David (2004) ABAR: Stata module to perform Arellano-Bond test for autocorrelation. Saez, Emmanuel (2004) Reported Incomes and Marginal Tax Rates, 1960-2000: Evidence and Policy Implications, i James Poterba ed. Tax Policy and the Economy, Vol. 18, pp. 117 174. Saez, Emmanual (2010) Do taxpayers bunch at Kink Points? American Economic Journal, Vol. 2, pp. 180 212. Sillamaa, Mary-Anne og Michael R. Veall (2001) The effect of marginal tax rates on taxable income: a panel study of the 1988 tax flattening in Canada, Journal of Public Economics, Vol. 80, Nr. 3, pp. 341 356. Skatteministeriet (2001) Tre reformer af personskatterne, Tidsskriftet Skaτ. (2011) Kommunerskatter 1977-2011. Stock, James H. og Motohiro Yoga (2005) Testing for Weak instruments in linear IV regressions, i Identification and inference for econometric models. Essays in honor of Thomas Rothenberg: Cambridge University Press. Weber, Caroline (2010) Obtaining a Consistent Estimate of the Elasticity of Taxable Income Using Difference-in-Differences, Unpublished working paper. Wooldridge, Jeffrey M. (2003) Econometric analysis of cross section and panel data: MIT Press. Side 20 af 21

Robusthedstest Robusthedstest Tabel 5: Oversigt over lønfordelinger Lønfordeling Primære kørsler log N(3, 4; 1, 0) Variant 1 log N(4, 0; 1, 2) Variant 2 log N(3, 0; 1, 2) Variant 3 log N(5, 0; 1, 2) Variant 4 log N(4, 0; 1, 8) Variant 5 log N(4, 0; 1, 0) Tabel 6: Resultat af yderligere Monte Carlo eksperimenter Variant 1 2 3 4 5 Basiskørsel Auten og Carroll (1999) (5.1) 0,16 0,17 0,14 0,17 0,15 (0,00) (0,00) * (0,01) (0,00) * (0,00) * Gruber og Saez (2002) (5.2) 0,16 0,16 0,15 0,17 0,16 (0,00) (0,00) * (0,01) (0,00) * (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - Kortsigtet (5.3) 0,20 0,20 0,19 0,20 0,19 (0,01) (0,00) * (0,01) (0,00) * (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - (Langsigtet 5.3) 0,19 0,20 0,13 0,15 0,20 (0,04) (0,01) * (0,12) (0,00) * (0,09) Saez (2010) (5.4) 0,18 0,19 0,17 0,19 0,18 (0,01) (0,01) * (0,01) (0,00) * (0,01) * Forbedret estimator (5.5) 0,18 0,19 0,17 0,19 0,19 (0,01) (0,00) * (0,01) (0,00) * (0,01) * Tilpasningstræghed Auten og Carroll (1999) (5.1) 0,13 0,14 0,12 0,14 0,12 (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * Gruber og Saez (2002) (5.2) 0,12 0,13 0,12 0,14 0,13 (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - Kortsigtet (5.3) 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * Holmlund og Söderström (2008) - Langsigtet (5.3) 0,08 0,12 0,08 0,04 0,11 (0,00) (0,06) * (0,00) (0,01) (0,00) * Saez (2010) (5.4) 0,18 0,19 0,17 0,19 0,18 (0,00) * (0,01) * (0,00) * (0,01) * (0,00) * Forbedret estimator (5.5) 0,18 0,18 0,17 0,19 0,18 (0,00) * (0,01) * (0,00) * (0,00) * (0,00) * * Signifikant på 5 procents niveau. Note: Værdier er gennemsnitlige estimater fra 5000 Monte Carlo iterationer. Monte Carlo standardfejl er vist i parentes. Side 21 af 21