Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns Fondsbørs ). 1

Introduktion Ved investering i aktier handler det som investor om at forsøge at vurdere, hvilke aktier der i fremtiden vil stige i kurs, og hvilke der vil falde, og på baggrund heraf sammensætte sin investering. Én blandt mange informationskilder til brug for denne vurdering er aktiernes historiske kurser, og i Hjemmeprøve 1 vil vi se på, hvorledes det er muligt at bruge historiske aktiekurser til at få en idé om, hvordan en given akties kurs kan tænkes at udvikle sig fremover. Hjemmeprøve 1 omhandler således en finansiel problemstilling, men hjemmeprøvens spørgsmål er udelukkende af statistisk karakter, og besvarelse af hjemmeprøven kræver derfor ingen forudgående viden om finansieringsteori. Datafilen Aktiekurser.jmp indeholder den daglige aktiekurs for de tre danske aktier Carlsberg, A.P. Møller Mærsk og Coloplast over perioden januar 2008 september 2013 2. Det er dette datasæt, der vil danne udgangspunkt for hjemmeprøvens analyser af forskellige sammenhænge mellem de tre aktiers afkast. Grundlæggende er ideen, at man ved at se på sammenhænge i aktiernes historiske afkast kan få en idé om, hvordan aktierne vil opføre sig fremover, og at man kan bruge denne viden som en del af fundamentet for sin investeringsbeslutning. Ved analyse af afkastet af en aktieinvestering er det ikke nødvendigt at kende det samlede beløb, der investeres for, fordi analysen udelukkende fokuserer på afkast per investeret krone. Vi vil derfor ikke på noget tidspunkt i denne hjemmeprøve diskutere størrelsen af det beløb, der investeres, men alene fokusere på afkastet per investeret krone. Hjemmeprøve 1 består af i alt 5 opgaver. Opgave 1 omhandler analyse af én enkelt akties afkast, mens opgave 2 ser på, hvordan situationen ændres, hvis man i stedet skal analysere afkastet af en hel portefølje. En portefølje er en investering, der omfatter køb af mere end blot en enkelt aktie. Opgave 3 vedrører det investeringsnøgletal, der kaldes Sharpe ratio og som i praksis bruges til at sammenligne, hvor gode eller dårlige forskellige investeringer er i forhold til hinanden. Opgave 4 beskæftiger sig med, i hvilket omfang det er muligt at bruge de forudgående dages aktiekurser til at udtale sig om den kommende dags kursudvikling, mens opgave 5 ser på, om det er muligt at finde information om en akties forventede kursudvikling ved at se på udviklingen i andre aktiers kurser. 2 Alle aktiekurser er lukkekurser fra Nasdaq OMX Copenhagen opgjort for selskabernes B aktier. Data er frit tilgængeligt via www.nasdaqomxnordic.com/aktier. Bemærk: Af datafilen Aktiekurser.jmp fremgår det, at Coloplasts aktiekurs fra den 18/12 2012 til den 19/12 2012 faldt med ca. 80%. Det skyldes, at virksomheden på dette tidspunkt gennemførte et såkaldt aktiesplit, hvor hver enkelt af de eksisterende aktier populært sagt blev byttet til 5 nye aktier, hvorfor aktiekursen tilsvarende blev reduceret til 1/5 (svarende til et kursfald på 80%). Denne begivenhed har imidlertid ingen indflydelse på de beregninger, der er relevante for besvarelsen af Hjemmeprøve 1. 2

Et par nyttige formler Udgangspunktet for en analyse af historiske aktiekurser er aktiernes historiske afkast. For en given aktie udregnes aktiens daglige afkast ud fra formlen å å ( 1 ) men eftersom det for de fleste mennesker er lettere at forholde sig til et årligt frem for et dagligt afkast, så er en simpel metode at omregne det daglige aktieafkast til et årligt afkast ud fra formlen Å 252 ( 2 ) Tankegangen bag denne formel er, at hver af årets 12 måneder i gennemsnit består af 21 handelsdage (ugedage hvor børsen er åben, så det er muligt at handle aktier), hvilket giver i alt 252 (= 12 21) handelsdage pr. år. Det årlige afkast beregnes dermed ifølge (2) som det daglige afkast ganget med antallet af handelsdage pr. år. Bemærk, at omregningsformlen (2) på grund af sin simple form i visse tilfælde kan føre til ekstreme værdier for det årlige afkast 3. Udover de to ovenstående formler kan det i forbindelse med besvarelsen af Hjemmeprøve 1 være nyttigt at vide, at der gælder følgende formler for beregning af varians og kovarians,, ( 3 ) 2, ( 4 ) Her er X og Y stokastiske variable og a og b er vilkårlige konstanter 4. Se evt. også lærebogens side 184 og 232. Investeringsnøgletallet Sharpe ratio I opgave 3 nedenfor skal vi se på, hvordan man kan sammenligne tilsyneladende vidt forskellige aktieinvesteringer ved at se på den såkaldte Sharpe ratio. Hvis vi for en given investering lader betegne den stokastiske variabel, der angiver investeringens årlige afkast, så beregnes investeringens Sharpe ratio ud fra formlen ( 5 ) Her er risikofri rente den årlige rente (dvs. det årlige afkast), man som investor kan få, såfremt man vælger at sætte sine penge i banken frem for at investere dem i aktier. Kort fortalt vurderer en Sharpe ratio en aktieinvesterings forventede merafkast (i forhold til afkastet ved en alternativ placering af pengene på en bankkonto) imod den risiko, man som investor påtager sig ved at investere i aktier. Dette nøgletal bruges af mange investorer som en måde at sammenligne forskellige investeringsstrategier på, og jo højere Sharpe ratio desto bedre anses investeringen for at være. 3 Der findes mere avancerede metoder end formel (2) til omregning af dagligt afkast til årligt afkast, men disse metoder vil vi ikke beskæftige os med i denne hjemmeprøve. 4 Formel (3) og (4) gælder både for diskrete og for kontinuerte stokastiske variable. 3

Formalia Hjemmeprøve 1 offentliggøres på CBSLearn mandag den 7. oktober 2013 kl. 12. Datasættet Aktiekurser.jmp, der skal benyttes ved besvarelsen af Hjemmeprøve 1, kan downloades fra CBSLearn. Hjemmeprøve 1 består af 5 opgaver, der vægtes ligeligt i den samlede bedømmelse. Karakteren for Hjemmeprøve 1 vægter med 10% i den samlede fagkarakter i Statistik. Besvarelsen af Hjemmeprøve 1 o er individuel. Det er ikke tilladt at samtale eller samarbejde med andre om opgaven. Det er tillige ikke tilladt at søge hjælp til opgaven hos fagets forelæsere eller øvelseslærere. o skal afleveres via upload af besvarelsen i PDF format til CBSLearn. Upload skal være afsluttet senest mandag den 21. oktober 2013 kl. 12. Den uploadede PDF fil må være på maksimalt 10 MB. Det er ikke muligt at aflevere besvarelsen i papirformat, og der kan ikke afleveres i andre filformater end PDF. o skal indeholde en forside med navn, cpr.nr. og studiekode (= den del af den studerendes CBS e mail adresse, der står foran @student.cbs.dk ). o må maksimalt omfatte 10 sider (eksklusiv forside men inklusiv tabeller, figurer, JMPoutput m.m.). Eventuelle bilag indgår ikke i bedømmelsen. o skal overholde CBS forfattererklæringens bestemmelser om skriftstørrelse, margen, linjeafstand m.m. o skal fremstå læselig og overskuelig og eventuelle henvisninger til lærebogens formler, JMP output m.m. skal være præcise. Det er den studerendes eget ansvar, at tekst, tabeller, formler, figurer, JMP output m.m. fremstår læseligt efter konvertering af besvarelsen til PDF format. Kræver besvarelsen af et delspørgsmål, at der udføres beregninger, anses delspørgsmålet ikke for fuldt besvaret, såfremt de udførte beregninger ikke fremgår af besvarelsen. Udføres beregninger v.hj.a. software (f.eks. JMP) skal relevant software output inkluderes i besvarelsen (vedlæg kun de dele af output der er nødvendige for at dokumentere de udførte beregninger). Det er omvendt ikke tilstrækkeligt blot at vedlægge software output. Svaret på hvert delspørgsmål skal eksplicit anføres i besvarelsen. Såfremt besvarelsen af et delspørgsmål kræver brug af talstørrelser fundet i tidligere delspørgsmål, og såfremt disse delspørgsmål ikke er blevet besvaret, er det tilladt selv at vælge værdier for de manglende størrelser og regne videre på baggrund af dem. Onsdag den 9. oktober 2013 og onsdag den 16. oktober 2013, begge dage i tidsrummet kl. 8 16, er der mulighed for at få afklaret eventuelle tvivlsspørgsmål relateret til forståelsen af opgaveteksten til Hjemmeprøve 1. Spørgsmål kan stilles ved fysisk fremmøde hos fagansvarlig Mads Stenbo Nielsen på kontor SP A.4.28. Spørgsmål tilsendt per e mail besvares ikke. Det er udelukkende spørgsmål af forståelsesmæssig karakter, der besvares. Der ydes ingen hjælp til selve besvarelsen af opgaven. Der er frit valg af software til brug for såvel beregninger som selve besvarelsen af Hjemmeprøve 1, om end det anbefales at bruge JMP til beregningerne. Eventuel hjælp til brug af JMP i forbindelse med besvarelsen af Hjemmeprøve 1 kan findes i de manualer og links, der er tilgængelige på CBSLearn. 4

Opgave 1 [Analyse af en enkelt akties afkast] a) Konstruer en variabel Afkast Carlsberg der indeholder det daglige aktieafkast for Carlsbergaktien. Variablen kan konstrueres i JMP ved hjælp af Cols > New Column og Column Properties > Formula, hvorefter formlen (1) indtastes, evt. via passende klik med musen. Funktionen Lag(,1), der vælger den 1 gang laggede (dvs. forudgående) variabelværdi, kan findes under kategorien Row. 5

Tegn et histogram over fordelingen af det daglige aktieafkast for Carlsberg aktien og forklar, hvad figuren viser. Tegn Carlsberg aktiens daglige afkast op over tid (dvs. lav en figur, hvor datoen tegnes ud af 1. aksen og afkastet op af 2. aksen) og forklar, hvad figuren viser. Diskuter i hvilket omfang de to figurer afslører ens hhv. forskellig information om Carlsberg aktiens daglige afkast. b) Beregn middelværdi (gennemsnit), standardafvigelse, 25% fraktil og median for Carlsbergaktiens daglige afkast. De nødvendige beregninger kan foretages i JMP ved hjælp af Analyze > Distribution. c) Beregn middelværdi (gennemsnit), standardafvigelse, 25% fraktil og median for Carlsbergaktiens årlige afkast ved hjælp af formel (2). d) Forklar ud fra lærebogens Empirical Rule s. 76 hvad den beregnede middelværdi og standardafvigelse fortæller om det årlige afkast ved investering i Carlsberg aktien. Forklar hvad den beregnede 25% fraktil og median fortæller om det årlige afkast ved investering i Carlsberg aktien. 6

Opgave 2 [Analyse af en aktieporteføljes afkast] a) Konstruer en variabel Afkast AP Moller Maersk der indeholder det daglige aktieafkast for A.P. Møller Mærsk aktien. Beregn middelværdi (gennemsnit), standardafvigelse, 25% fraktil og median for A.P. Møller Mærsk aktiens daglige afkast. Beregn middelværdi (gennemsnit), standardafvigelse, 25% fraktil og median for A.P. Møller Mærsk aktiens årlige afkast. b) Beregn korrelation og kovarians mellem de daglige afkast for Carlsberg og A.P. Møller Mærsk aktien. Korrelationer kan beregnes i JMP ved hjælp af Analyze > Multivariate Methods > Multivariate. Kovarianser kan beregnes i JMP ved (EFTER AT HA BEREGNET KORRELATI ONERNE) at vælge Multivariate (klik på den røde trekant i øverste venstre hjørne af output vinduet) og dernæst vælge Covariance Matrix. Beregn korrelation og kovarians mellem de årlige afkast for Carlsberg og A.P. Møller Mærsk aktien. c) Konstruer en variabel Afkast Portefolje ud fra formlen 252 0,6 0,4 Variablen Afkast Portefolje angiver det årlige afkast af en investering, hvor 60% af det investerede beløb placeres i Carlsberg aktien og de resterende 40% placeres i A.P. Møller Mærsk aktien. Beregn middelværdi (gennemsnit), standardafvigelse, 25% fraktil og median for variablen Afkast Portefolje. d) Vis hvordan middelværdi og standardafvigelse for variablen Afkast Portefolje alternativt kan beregnes ved hjælp af resultaterne fundet for variablene Afkast Carlsberg og Afkast AP Moller Maersk. 7

Opgave 3 [Vurdering af afkast i forhold til risiko] a) Tegn Carlsberg aktiens daglige afkast op mod A.P. Møller Mærsk aktiens daglige afkast. Gør rede for hvorledes figuren illustrerer den positive korrelation mellem de to aktiers daglige afkast, som blev beregnet i delspg. 2 b). Gør rede for hvordan figuren (i grove træk) ville have set ud, såfremt korrelationen i stedet havde været negativ. b) Beregn Sharpe ratio for følgende tre investeringer: i. 100% af investeringen placeret i Carlsberg aktien ii. 100% af investeringen placeret i A.P. Møller Mærsk aktien iii. 60% af investeringen placeret i Carlsberg aktien og 40% af investeringen placeret i A.P. Møller Mærsk aktien hvor den årlige risikofri rente sættes til 2,37% svarende til det gennemsnitlige renteniveau i Danmark i perioden 2008 2013 5. c) Vurder ud fra de tre beregnede Sharpe ratios i delspg. 3 b) hvilken af de tre investeringer, der er den mest attraktive. Gør rede for intuitionen bag det fundne resultat. d) Betragt en portefølje, hvor en andel 0 1 af det investerede beløb placeres i Carlsberg aktien, mens den resterende andel 1 placeres i A.P. Møller Mærsk aktien. Bestem den mest optimale portefølje ved at bestemme den værdi af, der fører til den størst mulige Sharpe ratio. Opgaven kan f.eks. løses ved at tegne en passende funktion i JMP. En funktion f(x) tegnes i JMP ved at tegne en søjle af x værdier mod en søjle af f(x) værdier. En søjle af x værdier mellem 0 og 1 konstrueres i JMP ved hjælp af File > New > DataTable og Cols > New Column, hvorefter man vælger Sequence Data under Initialize Data og dernæst udfylder skærmbilledet som nedenfor. 5 2,37% er det gennemsnitlige niveau for den 1 årige CIBOR rente over perioden januar 2008 september 2013. Data er frit tilgængeligt via Nationalbankens Statistikbank eller www.finansraadet.dk. 8

Opgave 4 [Information i forudgående dages aktieafkast] Ved starten af en ny handelsdag på Nasdaq OMX Copenhagen vil nogle børshandlere bruge de foregående dages kursstigninger eller kursfald som indikation på, hvad de kan forvente, der vil ske med aktiekurserne i løbet af den kommende dag. I investeringsanalyse omtales dette fænomen som momentum investing. For investering i Carlsberg aktien vurderes der generelt at være følgende sandsynligheder knyttet til det præcise antal dage i træk med positivt afkast 6 : Hændelse Sandsynlighed 1 dag med positivt afkast, 2. dag negativt afkast 26,7% 2 dage i træk med positivt afkast, 3. dag negativt afkast 13,1% 3 dage i træk med positivt afkast, 4. dag negativt afkast 5,3% 4 dage i træk med positivt afkast, 5. dag negativt afkast 1,4% 5 dage i træk med positivt afkast, 6. dag negativt afkast 0,7% 6 eller flere dage i træk med positivt afkast 0,0% Eksempelvis vurderes der at være en sandsynlighed på 26,7% for på en given handelsdag at opnå et positivt afkast for derefter på den følgende dag at opnå et negativt afkast. Ligeledes vurderes der at være en sandsynlighed på 13,1% for på en given handelsdag at opnå et positivt afkast for derefter på den følgende dag ligeledes at opnå et positivt afkast mens på den tredje dag at opnå et negativt afkast. a) Beregn på baggrund af ovenstående tabel sandsynligheden for højst n dage i træk med positivt dagligt afkast ved investering i Carlsberg aktien. Beregningen skal foretages for n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. b) Beregn middelværdi, varians og standardafvigelse for det præcise antal dage i træk med positivt afkast ved investering i Carlsberg aktien. Forklar ud fra lærebogens Chebyshev s Theorem s. 76 hvad den beregnede middelværdi og standardafvigelse fortæller om det præcise antal dage i træk med positivt afkast ved investering i Carlsberg aktien. c) Beregn sandsynligheden for at få et positivt afkast n eller flere dage i træk ved investering i Carlsberg aktien. Beregningen skal foretages for n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. I tilfældet n=2 angiver tabellen ovenfor sandsynligheden for at få et positivt afkast præcis 2 dage i træk til at være 13,1%. I delspg. 4 c) ønskes derimod en beregning af sandsynligheden for at få et positivt afkast 2 eller flere dage i træk. 6 De anførte sandsynligheder er beregnet med udgangspunkt i aktiekurserne i Aktiekurser.jmp. 9

Bemærk: Såfremt delspg. 4 c) ikke er besvaret, kan man ved besvarelsen af delspg. 4 d) anvende følgende, konstruerede talværdier for sandsynlighederne fra delspg. 4 c): 50% (n=0), 40% (n=1), 20% (n=2), 10% (n=3), 5% (n=4), 1% (n=5) d) Beregn v.hj.a. resultaterne fra delspg. 4 c) sandsynligheden for at opnå et positivt afkast på en given handelsdag ved investering i Carlsberg aktien, givet at aktien har haft positivt afkast de forudgående n dage. Beregningen skal foretages for n = 1, 2, 3, 4. Vurder med udgangspunkt i de beregnede sandsynligheder om forudgående dages aktieafkast indeholder brugbar information til forudsigelse af den kommende dags afkast ved investering i Carlsberg aktien. 10

Opgave 5 [Information i andre aktiers afkast] En investering i Carlsberg aktien klarer sig ofte godt i samme perioder som investeringer i eksempelvis A.P. Møller Mærsk eller Coloplast aktien. Det skyldes, at alle tre virksomheder er store globale virksomheder, hvis omsætning, vækst og overskud i betragteligt omfang er påvirket af de samme faktorer. En vurdering af det fremtidige afkast på Carlsberg aktien kan derfor også (som et alternativ til fremgangsmåden i opgave 4) foretages ved at se på, hvordan A.P. Møller Mærsk og Coloplastaktierne klarer sig. I denne opgave vil vi vurdere, hvor godt hver enkelt aktie klarer sig, ved at se på om aktiens afkast på en given handelsdag er positivt eller negativt. Her opfattes positivt i betydningen strengt positiv (dvs. 0), mens negativt opfattes i betydningen mindre end eller lig 0 (dvs. 0). a) Konstruer en variabel Positivt afkast Carlsberg der indeholder værdien 1, hvis det daglige aktieafkast for Carlsberg aktien er positivt, og ellers indeholder værdien 0. Variablen kan konstrueres i JMP ved hjælp af nedenstående formel (venstre skærmbillede). Ulighedstegnet > kan findes under kategorien Comparison. Beregn sandsynligheden for at Carlsberg aktiens daglige afkast er positivt v.hj.a. lærebogens formel (3.6) ( Relative Frequency Probability ). Beregningen kan f.eks. laves ved i JMP at konstruere en ny variabel ved hjælp af nedenstående formel (højre skærmbillede). Variablen får samme værdi ( = sandsynligheden for positivt afkast for Carlsberg aktien) i alle rækker. Funktionerne Col Sum og Col Number kan findes under kategorien Statistical. Beregn sandsynligheden for at Carlsberg aktiens daglige afkast er negativt. 11

Ved at anvende samme fremgangsmåde som i delspg. 5 a) når man frem til, at der på en given handelsdag er 46,3% sandsynlighed for at A.P. Møller Mærsk aktien giver et positivt afkast 51,1% sandsynlighed for at Coloplast aktien giver et positivt afkast 55,8% sandsynlighed for at A.P. Møller Mærsk aktien giver et positivt afkast, givet at Coloplast aktien samme dag giver et positivt afkast 18,7% sandsynlighed for at Carlsberg, A.P. Møller Mærsk og Coloplast aktierne alle giver et positivt afkast b) Beregn sandsynligheden for at både A.P. Møller Mærsk og Coloplast aktien giver et positivt afkast på en given handelsdag. Beregn sandsynligheden for at enten A.P. Møller Mærsk eller Coloplast aktien giver et positivt afkast på en given handelsdag. c) Beregn sandsynligheden for at Coloplast aktien giver et positivt afkast på en given handelsdag, givet at A.P. Møller Mærsk aktien samme dag giver et positivt afkast. Forklar om de to hændelser A.P. Møller Mærsk aktien giver et positivt afkast og Coloplast aktien giver et positivt afkast er uafhængige. d) Beregn sandsynligheden for at Carlsberg aktien giver et positivt afkast på en given handelsdag, givet at både A.P. Møller Mærsk og Coloplast aktien samme dag giver et positivt afkast. Vurder med udgangspunkt i den netop beregnede sandsynlighed om information om aktieafkastene på A.P. Møller Mærsk og Coloplast aktierne indeholder brugbar information om afkastet på Carlsberg aktien. 12