1 Start og afslutning. Help.
|
|
- Clara Kristensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK 2 Institut for Matematiske Fag Jørgen Granfeldt Aarhus Universitet 24. september 2003 Hermed en udvidet udgave af Jens Ledet Jensens introduktion til R. 1 Start og afslutning. Help. Regne- og tegneprogrammet R findes på serveren durin. I skal derfor starte med i et terminalvindue at skrive xlogin durin så bliver der automatisk åbnet et nyt terminalvindue, hvor I er logget på serveren durin. I det nye terminalvindue skriver I R hvorved I starter programmet. Programmet er klart, når der kommer > på skærmen. Når en ordre er indtastet og afsluttet med return, må man vente på at > kommer frem, før man kan give en ny ordre. Programmet afsluttes ved at skrive q() Man vil så blive spurgt, om man ønsker at gemme de variable, man har for øjeblikket. R har en online manual, hvor man kan få forklaring på forskellige R-ordrer. For eksempel vil help(sum) give en beskrivelse af hvordan sum virker. Man kommer ud af manualen ved at taste q. Når man i R tildeler en variabel en værdi gøres dette ved at bruge det sammensatte symbol <- eller simpelthen et =. Man kunne også bruge understregning _, men det symbol er på vej ud af sproget. Ordren x <- 7 tildeler x værdien 7. Decimaltal angives ved hjælp af punktum: en halv skrives således som 0.5. ADVARSEL: Brug aldrig q eller c som navn på egne variable. Når man kører R, er det en god ide, at man skriver sine ordrer i en editor og så kopierer dem over i terminalvinduet med musen, når de skal udføres. Man må gerne kopiere flere linier med ordrer på én gang. 2 Vektorer - simple beregninger. Jeg vil bruge ordet vektor for en række tal med angivelse af en rækkefølge. Hvis en vektor har længde 3 kan jeg således tale om første, anden og tredje indgang i vektoren. Hvis første indgang indeholder tallet 7, anden indgang indeholder tallet 1, og trejde indgang indeholder tallet 4, skriver jeg vektoren som (7, 1,4). R er vektorbaseret, hvilket nok er en af de vigtigste egenskaber ved programmet. Dette betyder at hvis man lægger to vektorer, af samme længde, sammen, vil hver indgang blive lagt sammen for sig, og resultatet er igen en vektor. Hvis man lægger et tal til en vektor vil tallet blive lagt til alle indgangene i vektoren. Man kan danne vektorer i R ved hjælp af kommandoen c: 1
2 x <- c(7,-1,4) danner vektoren (7, 1,4) og denne har fået navnet x. Funktionen c binder elementer sammen i en vektor. Hvis jeg ønsker at danne vektoren y = (1,2,3,4,5) kan jeg skrive y <- c(1:5) istedet for y <- c(1,2,3,4,5) Jeg kan også få y frem ved y <- c(c(1:3),4,5) y Hvis man vil se indholdet af en variabel skriver man blot den pågældene variabels navn: giver som resultat: [1] Her er [1] en meddelelse om, at det er element nummer 1, der følger lige efter. Dette gør det nemmere at overskue, når y fylder mere en én linie. Det i te element i vektoren x har navn x[i]. Man kan lave en delvektor af en vektor ved at angive de indgange der skal med. Hvis x = (7, 1,4,3,3) vil y <- x[c(1,3,4)] tildele y værdien (7,4,3). Vektorer kan også genereres ved hjælp af rep kommandoen: a <- rep(c(1:4),3) danner en vektor a af længde 12, hvor tallene 1,2,3,4 gentages 3 gange. Hvis vi i stedet skriver a <- rep(c(1:4),c(3,3,3,3)) får vi vektoren (1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4). Hvis man har to vektorer x, y af samme længde, vil de sædvanlige regneoperationer blive udført elementvis. Således vil ordren z <- x*y medføre at første indgang i x ganges med første indgang i y, anden indgang i x ganges med anden indgang i y, og så videre. Resultatet lægges ind i den nye vektor z. Ordren z <- 2.3*y ganger tallet 2.3 på alle indgangene i vektoren y. Ordren z <- log(y) tager logaritmen (den naturlige) til hver enkelt indgang i y. Ordren z<- y^2 kvadrerer elementerne i y og er således det samme som z<- y*y Mere specialiserede R kommandoer vil dog ikke nødvendigvis have en vektor som resultat. Ordren sum(x) 2
3 vil udregne summen af elementerne i x, og vil returnere et tal. Ordren length(x) vil beregne længden af x, altså antallet af indgange i x. Af tilsvarende kommandoer kan nævnes min(x) max(x) mean(x) som udregner henholdsvis det mindste element i x, det største element i x, og gennemsnittet af elementerne. Vi kan ordne elementerne i x efter størrelse med ordren sort(x) 3 Simple plots. Hvis vi har to vektorer x og y af samme længde, kan vi afsætte punkterne (x[i],y[i]) med ordren plot(x,y) Hvis vi blot skriver plot(x) vil dette være ækvivalent med plot(c(1:length(x)),x) Nye punkter kan tilføjes et allerede eksisterende plot. Hvis a og b er to vektorer af samme længde vil ordren points(a,b) tilføje punkterne (a[i],b[i]). Hvis vi i stedet havde skrevet lines(a,b) ville de tilføjede punkter være forbundet med liniestykker. Hvis vi i stedet for plot skriver plot(x,y, type="l") vil punkterne blive forbundet med liniestykker. En ret linie der skærer y-aksen i 2.3 og har hældning 1.4 kan indsættes med ordren abline(2.3,1.4) Ved brug af plot-kommandoen udregner R selv et passende område for første- og andenaksen. Hvis man selv vil styre dette, kan man skrive plot(c(0,0,100,100),c(-10,10,-10,10),xlab="x-akse",ylab="y-akse",type="n") som opretter et koordinatsystem, hvor førsteaksen løber fra 0 til 100, og andenaksen løber fra -10 til 10. Beskeden type = "n" angiver, at der ikke skal indsættes punkter. Desuden er der angivet at akserne har navnene x-akse og y-akse. De mange mulige ordre til at styre udseendet af et plot kan findes under par i manualen. Her nævner jeg blot en enkelt. Ordren par(mfrow = c(2,3)) vil bevirke, at plot-vinduet opdeles i 6 områder, arrangeret i 2 rækker med 3 områder i hver, og de efterfølgende 6 plots placeres i disse 6 områder. R har også et antal mere avancerede plot kommandoer. For eksempel vil kommandoen 3
4 hist(x) lave et histogram af data i vektoren x Man kan kontrollere forskellige træk ved histogrammet ved at tilføje parametre kommandoen. Se manualen. Endnu en nyttig kommando er qqnorm(x) som giver et fraktildiagram til kontrol for normalfordeling af data i vektoren x. Et fraktildiagram kan også laves med kommandoen plot(sort(x), qnorm((c(1:length(x))-0.5)/length(x))) Funktionen qnorm, der bruges her, giver fraktiler (engelsk: quantile) for standard normalfordelingnen. Man kan udskrive et plot til en postscript fil med navnet mitplot.ps med ordren dev.print(file="mitplot.ps") eller man kan sende plottet til en printer (her H2) med kommandoen dev.print(file=" lp -dh2") 4 Fordelinger En række af de vigtigste fordelinger findes i R: Binomial, Poisson, normal, Gamma, Beta, F, χ 2 og t. Man har adgang til tæthed, fordelingsfunktion, invers fordelingsfunktion (fraktiler) samt en funktion til at simulere stikprøver fra fordelingen. De fire forskellige muligheder opnås med skelnes med prefixene d, p, q og r. For eksempel giver ordren pnorm(-3+0.1*c(0:60) værdierne af fordelingsfunktionen for standard normalfordelingen i punkterne 3.0, 2.9,..., 2.9, Funktioner Det er muligt at lave brugerdefinerede funktioner is R. For eksempel definerer kommandoen g <- function() { x <- rnorm(10) sum(x)/10 } en funktion g, som når den kaldes med g() giver gennemsnittet af 10 simulerede observationer fra en standard normalfordeling. Alternativt kunne man definere g med en parameter n g <- function(n) { x <- rnorm(n) sum(x)/n } og så skrive g(10) Hvis vi ønsker at bruge funktionen mange gange kan vi benytte lapply. Hvis vi for eksempel vil beregne g(11), g(12),...,g(20) kan dette gøres med lapply(c(11:20)),g) 4
5 6 Matricer I R kan man også lave beregninger med matricer. Kommandoen m <- matrix(c(c(1:10),c(21:30)),10,2) gør m til en matriks med 10 rækker og to søjler. I første søjle er tallene 1,2,...,10 og i anden søjle er tallene 21, 22,..., 30. Hvis man derimod skriver m <- matrix(c(c(1:10),c(21:30)),10,2,byrow=t) fås igen en 10 2 matriks, hvor rækkerne fyldes op først. Det kan kontrolles ved at taste m: > m [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] 3 4 [3,] 5 6 [4,] 7 8 [5,] 9 10 [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] Man kan referere til rækker og søjler i en matriks i R, som det også fremgår af udskriften ovenfor. Anden række læses ind i variablen row2 med row2 <- m[2,] og tilsvarende læses anden søjle ind i col2 med col2 <- m[,2] 7 Multipel regression Dette afsnit er taget med som et eksempel på nogle af de mere avancerede ordrer i R. Vi betragter modellen Y i N(α + β 1 z i1 + β 2 z i2 + + β p z ip,σ 2 ), i = 1,...,n. For at estimere parametrene i denne model i R indsætter vi først data i en vektor y <- c(y1,...,yn) og dernæst de forklarende variable i en matiks z <- matrix(c(z11,z21,...,zn1,z12,...,znp),n,p) I de ovenstående to ordrer betyder prikkerne at vi skriver alle y-værdierne, henholdsvis alle z-værdierne. Se også Afsnit 8 for andre muligheder for indlæsning af data i y og z. Med ordren res <- lsfit(z,y) får vi estimeret modellen og resultatet lægges over i res. Hvis vi skriver res$coef får vi estimaterne ˆα, ˆβ, og hvis vi skriver res$residuals får vi residualerne y i ˆα ˆβ 1 z i1 ˆβ p z ip. 5
6 8 Indlæsning af data Data kan indlæses fra en fil med ordren scan. Hvis filen datafil indeholder en række tal vil ordren data <- scan("datafil") danne en vektor data, der indeholder tallene fra datafil i den rækkefølge hvori de står i filen. Her kan "datafil" indeholde filnavn såvel som den absolutte sti til filen. Også når R kører under Windows anvendes Unix konventionen for at angive stier. Hvis der er et lige antal tal i datafil og vi ønsker at placere hvert andet tal, startende med det første, i x, og hvert andet, startende med det andet, i y, kan vi skrive x <- data[2*c(1:(length(data)/2))-1] og y <- data[2*c(1:(length(data)/2))] Betragt som eksempel filen datafil med følgende data data y 1 y 2 y n z 11 z 21 z n1.... z 1p z 2p z np Vi ønsker at læse disse data og lægge y-værdierne ind i en vektor y og at lægge z-værdierne i en n p matriks z. Først læser vi data ind i vektoren data med data <- scan("datafil") og derefter læser vi y-værdierne ind i y med y <- data[1:n] og endelig læser vi z-værdierne ind i z i en p p matriksstruktur med z <- matrix(data[(n+1):(n*(p+1))],n,p) Hvis derimod datafil har indholdet kan vi bruge y 1 z 11 z 12 z 1p y 2 z 21 z 22 z 2p..... y n z n1 z n2 z np data <- matrix(scan("datafil"),n,(p+1),byrow=t) til at læse data ind i n (p + 1) matricen data og derefter give y værdierne i første søjle med y <- data[,1] og derefter lade z være p p matricen af z er med z <- data[,2:(p+1)] 6
7 9 Opgaver Opgave 1. Lav en xlogin til durin og start R. Konstruer vektoren x = (1,4,9,16). Tag kvadratroden (hedder sqrt i R) til x og placer denne i y. Udskriv indholdet af y. Konstruer vektoren z = (1, 1) og tag kvadratroden af denne (I får her en protest fra programmet). Forlad R. Opgave 2. Læs manualindgangen for c. Prøv ordren c(1:5, 10.5, "next") Indholdet mellem to "opfattes af R som en tekststreng. Prøv ordren hel p(sin) Opgave 3. Funktionen sum Hvis x er en vektor vil ordren sum(x) udregne summen af elementerne i x. Hvis for eksempel x = (1.3,7.2,4.6) vil sum(x) give værdien Lav en vektor x som indeholder tallene 1,2,3,4,5. Find summen Find summen = Opgave 4. Funktionen cumsum Hvis x er en vektor vil ordren cumsum(x) danne en ny vektor hvor første indgang er x[1], anden indgang er x[1] + x[2], trejde indgang er x[1] + x[2] + x[3], og så videre. Lad x = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Udregn cumsum(x). Udregn også x (x + 1)/2. Opgave 5. Lad x = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) og lad y = (2.6,4.1,6.8,7.6,8.2,11.9,9.0,11.8,11.9,15.6). Lav et plot af de 10 punkter (x[i],y[i]). Indsæt linien med skæring 3 og hældning 1. Opgave 6. Lav et plot af sinus-funktionen i intervallet fra 0 til 2π. Hjælp: ordren x <- c(0:1000)*2*pi/1000 laver en vektor med 1000 tal i intervallet fra 0 til 2π. Opgave 7. Store tals lov Hvis vi kaster en mønt får vi enten plat eller krone hver med sandsynlighed 1 2. Vi repræsenterer plat med 0 og krone med 1. I R kan vi generere et tilfældigt 0 eller 1 med ordren ifelse(runif(1)<0.5,0,1) Hvis jeg vil generere 100 tilfældige møntkast"og placere disse i vektoren x100 skriver jeg x100 <- ifelse(runif(100)<0.5,0,1) Intuitivt forventer jeg at frekvensen af krone"i x100 er cirka 0.5. Frekvensen kan udregnes som sum(x100)/100 Lav 1000 møntkast"og indsæt disse i en vektor y. Lad z være cumsum af y, og lad p være z divideret med vektoren bestående af tallene 1,2 op til Lav et plot af p og indsæt linien med skæring 0.5 og hældning 0. 7
Introduktion til R. March 8, Regne- og tegneprogrammet R kan frit downloades fra adressen. http : //mirrors.sunsite.dk.cran
Introduktion til R March 8, 2004 1 Adgang til R Regne- og tegneprogrammet R kan frit downloades fra adressen http : //mirrors.sunsite.dk.cran 2 Start og afslutning. Help. I et vindue starter i R, typisk
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver
Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereVejledning i brug af Gym-pakken til Maple
Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det
Læs mereNote om Monte Carlo eksperimenter
Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereIndholdsfortegnelse. 1. Installation af LØN... 1. 2. Introduktion til LØN... 2. 3. Indtastning af lønseddel... 7. 4. Udskrifter...
Løn til Windows Indholdsfortegnelse 1. Installation af LØN... 1 2. Introduktion til LØN... 2 2.1. Første start af LØN...2 2.1.1. Ét eller flere distrikter...2 2.1.2. Lønperioder...3 2.1.3. Kartoteker...4
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereStatistik med Boxplot
11 Statistik med Boxplot Til dette afsnit skal du benytte Stats-List Editoren (SL-editoren). Har du ikke denne applikation installeret, så hent den på TI's hjemmeside. Nøgletal Boxplot bygger på en undersøgelse
Læs mereHuskesedler. Anvendelse af regneark til statistik
Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...
Læs mereVærktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:
Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab
Læs mereIntroduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010
Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereT A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C
T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereStatistik i GeoGebra
Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereVejledning til Gym18-pakken
Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereVejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013
Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...
Læs mereSøren Christiansen 22.12.09
1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereIkke-grupperede observationer
Ikke-grupperede observationer Oscaruddelingen eller Academy Awards er den amerikanske lmbranches (og sikert verdens) mest prestigefyldte prisuddeling inden for lm. Uddelingen sker ved en globalt transmitteret
Læs mereValgkampens og valgets matematik
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereIDAP manual Analog modul
IDAP manual Analog modul Dato: 15-06-2005 11:01:06 Indledning Til at arbejde med opsamlede og lagrede analoge data i IDAP portalen, findes en række funktions områder som brugeren kan anvende. Disse områder
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereBrugermanual. Brugsanvisning til LS kliniksystemet. almindelige sekretæropgaver. Sekretær
Total-Data Tlf.: 48 48 39 07 Elverdalen 21 4700 Næstved www.total-data.dk Brugermanual Sekretær Brugsanvisning til LS kliniksystemet almindelige sekretæropgaver Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2
Læs mereStastistik og Databehandling på en TI-83
Stastistik og Databehandling på en TI-83 Af Jonas L. Jensen (jonas@imf.au.dk). 1 Fordelingsfunktioner Husk på, at en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X er funktionen F X (t) = P (X t) og at
Læs mereHjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier
Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mered Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.
KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre
Læs mereSPSS introduktion Om at komme igang 1
SPSS introduktion Om at komme igang 1 af Henrik Lolle, oktober 2003 Indhold Indledning 1 Indgang til SPSS 2 Frekvenstabeller 3 Deskriptive statistikker gennemsnit, standardafvigelse, median osv. 4 Søjlediagrammer
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mere9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression.
Biostatistik - Cand.Scient.San. 2. semester Karl Bang Christensen Biostatististisk afdeling, KU kach@biostat.ku.dk, 35327491 9. Chi-i-anden test, case-control data, logistisk regression. http://biostat.ku.dk/~kach/css2014/
Læs mereKlik på menupunktet Format og herunder Units (eller skriv units på kommandolinien)
Kogebog til opsætning af standardtegning i AutoCAD RTS/HED side 1 Formål med standardtegning Når man åbner en ny tom tegning i AutoCAD, er den allerede fyldt med informationer om lag, målsætningsstandarder
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mere2. udgave April 2008 Tilpasset FirstClass version 8.3, dansk
Installation af SPAM-filter 2. udgave April 2008 Tilpasset FirstClass version 8.3, dansk Indhold Installation af SkoleKoms SPAM-filter... 3 Hvilke mails bliver placeret i SPAM mail-mappen?... 4 Hvordan
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereProjekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst
Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene
Læs mereBasal statistik. 30. januar 2007
Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet
Læs mereVejledning for anvendelse af PensionsIndberetningssystem PI
Vejledning for anvendelse af PensionsIndberetningssystem PI PNN PENSION 190503/AMB Indholdsfortegnelse 1. INDBERETNINGER... 3 2. SØG INDBERETNING... 4 3. NY INDBERETNING... 5 4. INDLÆS FIL... 7 5. INDTAST
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen
Læs mereVelkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.:
Velkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.: Kategoriseringer uden ABC-kategorier Krydstabel (trebenede) Beregnede og avancerede
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereUdskriv kort. Før udskrivning af et kort kan du eventuelt vælge at indtegne et/flere udskriftsområder. (I PLUS versionen kun ét).
. Generelt Ved udskrivning af kort kan du vælge at udskrive det der er vist på skærmen. Du kan også vælge at udskrive et eller flere kortudsnit. Før du udskriver, vil programmet altid åbne en dialog, som
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereStatistik (deskriptiv)
Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken
Læs mereAthena DIMENSION Varmeanlæg 4, Eksempel
Athena DIMENSION Varmeanlæg 4, Eksempel Marts 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Oprettelse af ny sag............................. 3 3 Tilretning af kataloger............................
Læs mereR syntaks. Installation af R
R syntaks Denne note er en introduktion 1 til syntaksen i R. Den kode, vi skal bruge til modellerne, står i bogen eller kommer til at være på hjemmesiden i den takt, vi gennemgår teorien. Så det, vi skal
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereStatistik kommandoer i Stata opdateret 16/3 2009 Erik Parner
Statistik kommandoer i Stata opdateret 16/3 2009 Erik Parner Indledning... 1 Hukommelse... 1 Simple beskrivelser... 1 Data manipulation... 2 Estimation af proportioner... 2 Estimation af rater... 2 Estimation
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereManual og Hjælp Skoletasken 2
Manual og Hjælp Skoletasken 2 I Skoletasken 2 - Hjælp Indhold I Introduktion 1 Velkomst 2... 2 2 Systemkrav... 2 3 Installation... 3 4 Skoletasken... 8 II Opsætning 10 1 Systemopsætning... 10 2 Bogopsætning...
Læs mereFormler og diagrammer i OpenOffice Calc
Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereMini brugermanual CMD 5.1
Mini brugermanual CMD 5.1 Kom i gang For at tilgå CMD skal du åbne en web browser og indtaste URL en på dit CMD website i adressefeltet, hvorefter dialogboksen til log in vises. 1. Indtast dit brugernavn
Læs mereHvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned { vi vil have
Forberedelse: Matlab for absolutte fodgngere Kort introduktion til G-databaren. St dig ved en ledig maskine og gennemfr loginprocessen. Hvis du har vinduer abne fra en tidligere session, sa luk dem ned
Læs merePraktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Læs mereTegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.
TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereLøsning til øvelsesopgaver dag 4 spg 5-9
Løsning til øvelsesopgaver dag 4 spg 5-9 5: Den multiple model Vi tilføjer nu yderligere to variable til vores model : Køn og kolesterol SBP = a + b*age + c*chol + d*mand hvor mand er 1 for mænd, 0 for
Læs mere3.0 Velkommen til manualen for kanalen Shift 1. 3.1 Introduktion til kanalen 1. 3.2.1 Hvad er et spot? 2. 3.2.2 Opret et nyt spot 2
3.0 Velkommen til manualen for kanalen Shift 1 3.1 Introduktion til kanalen 1 3.2 Shift kanalside 1 3.2.1 Hvad er et spot? 2 3.2.2 Opret et nyt spot 2 3.2.3 Aktivt og inaktivt spot 3 3.2.4 Rediger et spot
Læs mereHar du ikke fået oprettet et afdelings-id og PIN-kode til udskrivning på husets printere bedes du tage kontakt til receptionen først:
SOHO/NOHO Printer Installation til Windows (PC) - Version 2.0 Vigtig før du går i gang: Har du ikke fået oprettet et afdelings-id og PIN-kode til udskrivning på husets printere bedes du tage kontakt til
Læs mere