Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006
2
Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal................................. 12 1.2.1 Tal............................. 12 1.3 Regning.............................. 13 1.3.1 Potenser.......................... 13 1.4 Parentes regning......................... 14 1.5 Bogstavregning.......................... 19 1.6 Logik................................ 21 1.6.1 Argumenter........................ 21 1.6.2 Hvad er et bevis?..................... 22 1.7 Kvadratsætningerne........................ 22 1.8 Brøkregning............................ 28 1.9 Potensregneregler......................... 36 1.10 Kapiteloversigt.......................... 40 2 Ligninger 41 2.1 Ligningsløsning.......................... 41 2.2 Andengradsligninger....................... 49 2.3 To ligninger med to ubekendte.................. 52 2.4 Kapiteloversigt.......................... 59 3 Funktioner del I 61 3.1 Funktionsbegrebet........................ 61 3.1.1 Regneforskrift....................... 62 3.2 Lineære funktioner........................ 63 3.3 Eksponentialfunktioner...................... 70 3.4 Logaritmefunktioner....................... 73 3.4.1 Logaritmefunktionen log(x)............... 73 3.4.2 Logaritmefunktionen på lommeregnerne........ 78 3
4 INDHOLD 3.4.3 Løsning af ligninger med logaritmer........... 78 3.4.4 Logaritmefunktionen ln(x)................ 84 3.4.5 Løsning af ligninger med logaritmer ln(x)........ 89 3.4.6 Eksponentielle ligninger................. 92 3.4.7 Fordoblings- og halveringskonstant........... 94 3.5 Potensfunktioner......................... 98 3.6 Proportionalitet.......................... 102 3.6.1 Proportional........................ 102 3.6.2 Omvendt proportional.................. 102 3.7 Regression............................. 102 3.7.1 Lineær regression..................... 102 3.7.2 Eksponentiel regression.................. 102 3.7.3 Potes regression...................... 102 3.8 Kapiteloversigt.......................... 103 4 Geometri 105 5 Trigonometri 107 5.1 Kapiteloversigt.......................... 112 6 Deskriptiv statistik 113 6.1 Observation og hyppighed.................... 113 6.2 Frekvens.............................. 116 6.3 Middeltal............................. 118 6.4 Summerede frekvenser...................... 120 6.5 Pindediagram........................... 122 6.6 Trappediagram.......................... 124 6.6.1 Kvartiler.......................... 124 6.7 Grupperede observationer.................... 127 6.7.1 Interval.......................... 128 6.7.2 Middeltal......................... 129 6.8 Histogram............................. 131 6.8.1 Beregning af kvartiler................... 131 6.9 Box-plot.............................. 133 7 Statistiske undersøgelser 137 7.1 Indsamling af data........................ 137 7.1.1 Datatyper......................... 137 7.2 Population og stikprøve..................... 137 7.3 Bias................................ 137 7.4 Konfundering........................... 137
INDHOLD 5 8 Økonomi 139 8.1 Penge og pengestrømme..................... 139 8.2 Banken............................... 140 8.2.1 Indlån........................... 141 8.2.2 Udlån........................... 146 8.3 Budget............................... 152 8.3.1 Budgetkonto........................ 156 8.4 Regnskab............................. 160 8.5 Opsparing............................. 164 8.6 Forsikringer............................ 168 8.7 Skat................................ 169 8.7.1 Forskudsopgørelsen.................... 170 8.7.2 Selvangivelsen....................... 172 8.7.3 Årsopgørelsen....................... 179 8.8 Kapiteloversigt.......................... 182 II Matematik B 185 9 Analytisk geometri 187 9.1 Kapiteloversigt.......................... 190 10 Funktioner del II 191 10.1 De trigonometriske funktioner.................. 191 10.1.1 Svingninger........................ 191 10.2 Polynomier............................ 194 10.2.1 Parabel.......................... 194 11 Differentialregning 195 11.1 Grænseværdi........................... 195 11.2 Kontinuitet............................ 196 11.3 Differentialkvotienten....................... 197 11.4 Differentialet af f(x) = k, f(x) = x og f(x) = x....... 197 11.5 Differentialet af sum -, differens - og produktfunktioner.... 200 11.6 Induktionsprincippet....................... 202 11.7 Differentialet af f(x) = x n.................... 203 11.8 Differentialet af kvotientfunktioner............... 205 12 Integralregning 207 13 Differentialligninger 209
6 INDHOLD 14 Sandsynlighedsregning 211 A Eksamensopgaver 213
INDHOLD 7 Indledning Kapitelet om deskriptiv statistik er skrevet så det lægger op til gruppearbejde. Kapitelet om økonomi er tematisk. Dennis Pipenbring, Frederiksberg
8 INDHOLD
Del I Matematik C 9
Kapitel 1 Grundlæggende algebra Hvis man skal beskrive hvad algebra er så er det nok bedst at beskrive det som matematikkens sprog. Det er algebra som gør os i stand til at regne med symboler. Det du nok har prøvet mest er at regne med tal, men der er så mange andre symboler man kan regne med. I det følgende vil du lære at regne med bogstaver. Grundet til at man regner med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan man spare sig selv for en masse udregninger. Når man regner med symboler er det det samme som at sige en sætning, den skal meget gerne give mening og den skal meget gerne give den samme mening for dig når du siger den og for den som hører sætningen. Derfor har man besluttet at bruge nogle fælles regler, ligesom man har besluttet at bruge nogle fælles regler for vores sprog og den måde vi skriver det på. 1.1 Sprog Matematik er et sprog hvor i gennem man kan regne med symboler og tal, og som alle andre sprog har matematik også en grammatik. Matematikkens grammatik er beskrevet i følgende love: 11
12 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan man komme frem til en hel masse generelle regler som gælder for alle tal. Men inden vi går igang med det så er der lige et par andre ting vi skal se på. 1.2 Tal Hvad er et tal? Du kender sikkert allerede rigtigt mange tal f.eks. 4, 5, 9378, men kender du også disse tal I, III, IV, DC eller disse tal 10110, 100110. Fældes for alle disse tal er at de repræsenterer en værdi. Man kan side at symbolet 4 repræsentere værdien 4, men det gør symbolet IV og 100 også. Dvs. Et tal er et symbol som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik vil vi dog ofte undlade denne betegnelse. 1.2.1 Tal Man inddeler tal i flere forskellige typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kalder vi for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Når man har de naturlige tal kan man også konstruere tal som f.eks. 11 og 5 ved at sætte (minus) foran tallet på denne måde får man konstrueret tallene..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Disse tal kalder vi for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Når man har de hele tal kan man konstruere tal som f.eks. 3 og 7 tal af denne type 6 11 hedder brøker og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Der er en til type af tal du skal kende og det er de reelle tal det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. R kan konstrueres ud fra Q, men det vil vi ikke komme ind på her. Og når man har R kan man lave den komplekse tal som har symbolet C, som vi heller ikke vil komme ind på her.
1.3. REGNING 13 Tal type Navn Symbol 0, 1, 2, 3,... De naturlige tal N..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... De hele tal Z f.eks. 3, 7 De rationelle tal Q 6 11 6 f.eks. 2 og π De reelle tal R 1.3 Regning Når man nu har tallene, har man også fundet på, at det er muligt at foretage forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kalder vi for addition. For at beskrive at vi foretager en addition skriver vi + (plus) mellem tallene. F.eks. 4 + 2 Når vi foretager en addition kalder vi de to tal som adderes for led, det symbol som vi skriver mellem ledende kalder vi for en operator. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 led led Når vi foretager en operation får vi et resultat, for at vise det skriver vi =. F.eks. operator {}}{ }{{} 4 + }{{} 2 = }{{} 6 led led sum Led adskilles af + eller. Hvis man ganger to tal eller bogstaver så kaldes de faktorer f.eks. så er der i dette udtryk 3 faktorer og 2 led 3 e y + 6 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Man vil ofte undlade at skrive hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. vil man istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey mens hvis der stod 3 4 så ville man ikke skrive 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire. 1.3.1 Potenser Meget ofte vil man gerne skrive udregningerne på den mest simple måde og derfor indfører vi her en skrive måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks. 3 3 3 3
14 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA dette vil vi skrive som 3 4 og man udtaler det tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. Hvis man skriver 5 3 så betyder det 5 5 5 altså 5 ganget med sig selv 3 gange. 1.4 Parentes regning Meget ofte i matematik kommer man ud for at skulle regne med parenteser, der er to ting man kan gøre, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Vi starter med at gange ind i parentes. Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, så skal man gange tallet eller bogstavet med hvert led i parentesen f.eks. dette vil man naturligt reducere til 5 (3 + c a) = 5 3 + 5 c 5 a 15 + 5c 5a Hvis man har to parenteser der skal ganges ind i hinanden (vi ganger parenteserne ud) så skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Man kan se at der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y) Eksempel 1.4.1 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x + 4) (3y + z) = (2x + 4) 3y + (2x + 4) z = 2x 3y + 4 3y + 2x z + 4 z Eksempel 1.4.2 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x+y) 2 til (2x+y) (2x+y), nu ser vi at der er tre parenteser (2x + y) (2x + y) (5 + z)
1.4. PARENTES REGNING 15 det kan vi ikke gange ud på en gang så derfor starter vi med de to første parenteser og derefter gange vi den tredje ind ((2x + y) (2x + y)) (5 + z) = ((2x + y) 2x + (2x + y) y) (5 + z) = (2x 2x + y 2x + 2x y + y y) (5 + z) = ( 4x 2 + 2xy + 2xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) (5 + z) = ( 4x 2 + 4xy + y 2) 5 + ( 4x 2 + 4xy + y 2) z) = 4x 2 5 + 4xy 5 + y 2 5 + 4x 2 z + 4xy z + y 2 z = 20x 2 + 20xy + 5y 2 + 4x 2 z + 4xyz + y 2 z
16 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Gang følgende parenteser ud. Opgave 1.1 (x + y) (x + y) Opgave 1.2 (x + y) (2x + y) x 2 + 2xy + y 2 Opgave 1.3 (x + 2) (2 + y) 2x 2 + 3xy + y 2 Opgave 1.4 (5x + 4y) (2x + 3y) 2x + 2y + xy + 4 Opgave 1.5 (x y) (x + y) 10x 2 + 23xy + 12y 2 Opgave 1.6 (x 3y) (x + y) x 2 y 2 Opgave 1.7 (x y) (x + y) (z + 5) x 2 2xy 3y 2 Opgave 1.8 (3x + 5y + 3) (2x + 4) x 2 z y 2 z + 5x 2 5y 2 6x 2 + 10xy + 18x + 20y + 12
1.4. PARENTES REGNING 17 Hvis man skal sætte udenfor parentes, så skal man finde det som to eller flere led har tilfældes. Eksempel 1.4.3 Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes bemærk at x er fjernet fra begge led. 2x + 5xy = x (2 + 5y)
18 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu skal vi træne den distributive lov dvs. regel nr. 5 og 6. Sæt udenfor parantes. Opgave 1.9 3x + 4xy Opgave 1.10 2x + 6xy x(3 + 4y) Opgave 1.11 3x 2 + 6xy 2x(1 + 3y) Opgave 1.12 4a + 6b + 8c 3x(x + 2y) Opgave 1.13 3a + 6ba 2 2(2a + 3b + 4c) Opgave 1.14 2x + 6xy 3a(1 + 2ba) Opgave 1.15 3xy 2 9xy 2x(1 + 3y) Opgave 1.16 14x 4 y 3 21x 3 y 4 3xy(y 3) 7x 3 y 3 (2x 3y)
1.5. BOGSTAVREGNING 19 1.5 Bogstavregning Man kan også regne med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b Nu skal vi prøve at kombinerer plus og gange a + (b c) = a + bc a (b + c) = ab + ac b (a + b + c) = ab + b 2 + bc Og nu skal vi prøve at kombinerer alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b
20 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende udtryk ud. Opgave 1.17 a + a + a Opgave 1.18 ab a b + a 3a Opgave 1.19 a2 a a Opgave 1.20 a (b + c) ab a ac Opgave 1.21 a a 2 Opgave 1.22 ab ac+ad a + c 1 a Opgave 1.23 a (a + a) b + d Opgave 1.24 (a + b) c (c + b) a 2a 2 bc ab
1.6. LOGIK 21 1.6 Logik Logik er en måde at tænke på som gør os istand til at kommuniker meningsfyldt med hinanden. Derfor er logik grundlaget for vores måde at tænke på og derfor er det vigtigt. Logik er en metode til at bestemme om det vi høre eller læser er rigtigt / sandt / logisk. Det vi høre eller læser deler vi op i små bidder, og hver af disse bidder kan vi så afgøre om er rigtige / sande / logiske. Disse små bidder kalder man for argumenter. 1.6.1 Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være alle mennesker er fejlbarlige eller du er et menneske eller månen er gul eller Alle æg er kvadratiske. Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører 1. eftersom 2. fordi 3. for 4. idet 5. følger af 6. hvis 7. som vist ved 8. som antydet 9. grunden er 10. med den begrundelse 11. som kan sluttes fra 12. afledes fra 13. deduceres fra
22 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 14. i lyset af den kendsgerning [2] s.19-20 De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv. 1.6.2 Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter som tilsammen giver anledning til den konklusion som man gerne ville frem til - det man ville bevise. F.eks. hvis man vil bevise at (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw så bruger man følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Det er meget vigtigt at man forstår hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man når man læser sådanne beviser være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker å at man forstå det. Dette kan formuleres i en sætning - sætning er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 1.7 Kvadratsætningerne Sætning 1.7.1 Hvis v og w R så vil (v + w) (v + w) = v 2 + w 2 + 2vw
1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 23 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v + w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw + vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw + vw + w 2 = v 2 + 2vw + w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v + w) = v 2 + 2vw + w 2 Denne sætning har en variant som også viser sig at være nyttig. Sætning 1.7.2 Hvis v og w R så vil (v w) (v w) = v 2 + w 2 2vw Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v w) (v w) = (v w) v + (v w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v w) v + (v w) w = v 2 vw vw + w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 vw vw + w 2 = v 2 2vw w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v w) (v w) = v 2 2vw + w 2
24 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Og her kommer den sidste variant. Sætning 1.7.3 Hvis v og w R så vil (v + w) (v w) = v 2 w 2 Bevis. 1. Der følger af den distributive lov, at (v + w) (v w) = (v + w) v + (v + w) w 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (v + w) v + (v + w) w = v 2 + vw vw w 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at v 2 + vw vw w 2 = v 2 w 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (v + w) (v w) = v 2 w 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadrat sætninger. Nu skal vi prøve at anvende disse sætninger på nogle opgaver. Eksempel 1.7.4 Opgaven er udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = 5 2 + 3 2 + 2 5 3 = 25 + 9 + 30 = 64 Meget ofte vil vi ikke regne med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel 1.7.5 Opgaven er udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y 2 + 2 x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.
1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 25 Endnu et eksempel. Eksempel 1.7.6 Opgaven er udregn følgende: (2x+y) (2x+y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y 2 + 2 (2x) y = 4x 2 + y 2 + 4 x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere.
26 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.25 Udregn (3 5) (3 5) Opgave 1.26 Udregn (3 5) (3 + 5) 4 Opgave 1.27 Udregn (t + r) (t + r) 16 Opgave 1.28 Udregn (t r) (t + r) t 2 + r 2 + 2tr Opgave 1.29 Udregn (x r) (x r) t 2 r 2 Opgave 1.30 Udregn (2x r) (2x r) x 2 + r 2 2xr Opgave 1.31 Udregn (3x + 4y) (3x + 4y) 4x 2 + r 2 4xr Opgave 1.32 Udregn (2x 3y) (2x + 3y) 9x 2 + 16y 2 + 24xy 4x 2 9y 2
1.7. KVADRATSÆTNINGERNE 27 Regn følgende opgaver ved brug af kvadrat sætningerne: Opgave 1.33 Udregn (3x 5y) (3x 5y) Opgave 1.34 Udregn (3x 5y) (3x + 5y) 9x 2 + 25y 2 30xy Opgave 1.35 Udregn (3t + r) (3t + r) 9x 2 25y 2 Opgave 1.36 Udregn (t 4r) (t + 4r) 9t 2 + r 2 + 6tr Opgave 1.37 Udregn (3x 3r) (3x 3r) t 2 16r 2 Opgave 1.38 Udregn (2x r 2 ) (2x r 2 ) 9x 2 + 9r 2 18xr Opgave 1.39 Udregn (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4x 2 + (r 2 ) 2 4xr 2 Opgave 1.40 Udregn (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) 9(x 2 ) 2 + 16y 2 + 24x 2 y 4(x 3 ) 2 9(y 2 ) 2
28 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 1.8 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, det således meget ofte skriver man tæller nævner Man skriver altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. Når man taler om brøker så bruger man ofte ordet forkorter, hvilket betyder at man dividere tæller og nævner med det samme tal eller bogstav. F.eks. kan man forkorte med a i følgende brøk 12a 3ab = 12 3b Man kan også forlænge en brøk med et tal eller et bogstav, dette betyder at man ganger både tæller og nævner med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Der gælder følgende regler for regning med brøker
1.8. BRØKREGNING 29 a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9)
30 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Regn følgende opgaver ved brug af de regler som du lige har set gælder for brøker: Opgave 1.41 Udregn 2 3 2 4 3 4 Opgave 1.42 Udregn 2 x 2 y x y Opgave 1.43 Udregn a 3 a 4 3 4 Opgave 1.44 Udregn 3 2 3 4 9 8 Opgave 1.45 Udregn x 2 3 y 3x 2y
1.8. BRØKREGNING 31 Opgave 1.46 Udregn b c + x c b+x c Opgave 1.47 Udregn b c + x a b a+c x a c Opgave 1.48 Udregn b c 5 5b c Opgave 1.49 Udregn b c 5 b 5c Opgave 1.50 Udregn b c /x a b a x c
32 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det lidt sværere, nu skal vi prøve at bruge kvadratsætningerne baglæns, dvs. x 2 + y 2 + 2xy = (x + y)(x + y) lad os set et par eksempler Eksempel 1.8.1 Opgaven at skrive følgende udtryk om til 2 parenteser 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus, så der er altså 1. kvadratsætning vi skal bruge. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Efter som der står 9 foran x 2 så må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y så må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan vi skrive udtrykket om til 2 paranteser 9x 2 + y 2 + 6xy 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y)
1.8. BRØKREGNING 33 Omskriv følgende udtryk til 2 parenteser ved hjælp af kvadratsætningerne. Opgave 1.51 Udregn x 2 + 8xy + 16y 2 Opgave 1.52 Udregn 4x 2 + 4xy + y 2 (x + 4y)(x + 4y) Opgave 1.53 Udregn 4x 2 12xy + 9y 2 (2x + y)(2x + y) Opgave 1.54 Udregn 9x 2 + 24xy + 16y 2 (2x 3y)(2x 3y) Opgave 1.55 Udregn 9x 2 12xy + 4y 2 (3x + 4y)(3x + 4y) Opgave 1.56 Udregn x 4 4x 2 y + 4y 2 (3x 2y)(3x 2y) Opgave 1.57 Udregn 4x 2 9y 2 (x 2 2y)(x 2 2y) (2x + 3y)(2x 3y)
34 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Nu gør vi det endnu lidt sværere igen, vi skal kombinerer brøk regningen og omvendt -regning med kvadratsætningerne. Forkort følgende brøker. Opgave 1.58 x 2 + 8xy + 16y 2 x + 4y x + 4y Opgave 1.59 4x 2 12xy + 9y 2 2x 3y 2x 3y Opgave 1.60 4x 4 + 12x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 2x 2 + 3y Opgave 1.61 16x 2 9y 2 4x 3y 4x + 3y Opgave 1.62 x 2 5y x 4 25y 2 1 x 2 +5y
1.8. BRØKREGNING 35 Grundlæggende algebra I Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.63 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 4x 2 + 9y 2 + 12xy Opgave 1.64 Sæt så meget som muligt udenfor parantes, og brug derefter kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 2x 2 + 8y 2 + 8xy Opgave 1.65 Reducer følgende. Opgave 1.66 Reducer følgende. 3x 3 2ax 2 9x 6a 3x 4 y xy 3 12x 3 4y 2 Opgave 1.67 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 3x 2 + 12xy 2 15x Opgave 1.68 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 15a 3 c + 3abc Opgave 1.69 Reducer følgende ved brug af kvadratsætningerne. 9x 2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 1.70 Reducer følgende udtryk. x 2 x y y2 x y Opgave 1.71 Reducer følgende udtryk. ( x y y ) 1 x (x + y)(x y)
36 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.9 Potensregneregler Nu har vi set flere eksempler på at vi har skulle udregne f.eks. (x 2 ) 2 og x2 x, nu vil vi komme med nogle generelle regneregler for at udregne sådanne udtryk. x s x t = x s+t (1.10) x s x t = x s t (1.11) (x s ) t = x s t (1.12) (x y) s = x s y s (1.13) ( ) s x = xs (1.14) y y s x 0 = 1 (1.15) x s = 1 x (1.16) Lad os nu se et par eksempler. s x = x 1 s (1.17) s x t = x t s (1.18) Eksempel 1.9.1 Hvis vi skal reducere udtrykket x 3 x 6, så skal vi bruge reglen x s x t = x s+t, og så får vi at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel 1.9.2 Hvis vi skal reducere udtrykket (x 3 ) 6, så skal vi bruge reglen (x s ) t = x s t, og så får vi at (x 3 ) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel 1.9.3 Hvis vi skal reducere udtrykket x3, så skal vi bruge reglen x 6 x s = x s t, og så får vi at x3 = x 3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 er lig t x 6 x x 3 = 1. x 3 Ofte som forventes det at man kan overskue mere komplicerede udtryk. Eksempel 1.9.4 Hvis vi skal reducere udtrykket x 6 y 4 x 3 y så skal vi bruge reglen xs = x s t to gange først på x og derefter på y. Når vi x t bruger den på x får vi at x6 = x 6 3 = x 3 og når vi bruger den på y får vi at x 3
1.9. POTENSREGNEREGLER 37 y 4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan vi så sætte sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. x 3 y 3 = (x y) 3 Eksempel 1.9.5 Hvis vi skal reducere udtrykket x 5 8 x 2 x 3 vi skal bruge reglen s x t = x t s på 8 x 2, så får vi at 8 x 2 = x 2 8 vi har nu at x 5 8 x 2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 vi skal nu bruge reglen x s x t = x s+t på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x 5+ 2 8 +( 3) Og da 5 + 2 8 + ( 3) = 2 + 2 8 = 16 8 + 2 8 = 18 8 = 9, så har vi at 4 x 5+ 2 8 +( 3) = x 9 4
38 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA Brug potensregneregelerne. Opgave 1.72 x4 x 2 Opgave 1.73 x2 x 4 x 2 Opgave 1.74 x2 y 4 x 2 y 2 x 2 Opgave 1.75 x2 x y 2 x 3 y 3 y 2 Opgave 1.76 x 3 5 x 3 1 y Opgave 1.77 a 2 3 x 6 a 5 x 18 5 Opgave 1.78 2x3 3 x 2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 5 a 3 x 2 Opgave 1.79 14x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 x 7 7 12 a 2x 3y
1.9. POTENSREGNEREGLER 39 Grundlæggende Algebra II Afleveringsopgave til Husk navn og klasse på afleveringen. Opgave 1.80 Brug kvadratsætningerne til at omskrive følgende udtryk til et udtryk med to paranteser. 16x 2 + 4y 2 + 16xy Opgave 1.81 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. 3 c6 ab a 2 bc Opgave 1.82 Brug potensregnereglerne til at reducere følgende udtryk. Opgave 1.83 Reducer følgende. Opgave 1.84 Reducer følgende. a 2 b 6 c a 3 b 3 c (a + b) 2 2ab + b 2 2a 2 a 2 + b 2 2ab a 2 b 2 Opgave 1.85 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. Opgave 1.86 Reducer følgende. 2abc ab + a 2 b (a 2)(b + 5) + 10 + ab Opgave 1.87 Reducer følgende udtryk. Opgave 1.88 Reducer følgende. (a 2 + b 2 + 2ab)(a 2 b 2 ) (a + b) 3 a 2 b + a 2 + abd + ad a + d
40 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE ALGEBRA 1.10 Kapiteloversigt Algebraens grundlov 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Kvadratsætningerne (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab (a + b) (a b) = a 2 b 2 Brøkregnereglerne a b = a b c c a b c d = a c b d a b = b a c c a b / c d = a d b a b c = a c b a b = a c b c c a b = c b a a b + c d = a d + b c b d a b + c = a + c b b Potensregnereglerne x s x t = x s+t x s x t = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s ( ) s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x 1 s x = x s s x t = x t s
Kapitel 2 Ligninger I dette kapitel skal vi beskæftige os med ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. F.eks. er en ligning, mens y = x + 5 1 x + y + 1 x y = 2x x 2 y 2 ikke er en ligning. Forskellen er at det første lighedstegn definerer en lighed mens det anden lighedstegn konkludere en lighed. Der er desværre ikke forskel på måden man skriver de to typer af lighedstegn! En anden måde at tænke på er, at forholdet mellem x og y altid er sådan i tilfældet med udtrykket 1 x + y + 1 x y = mens at forholdet mellem x og y i tilfældet y = x + 5 2x x 2 y 2 er, at hvis x = 3 så er y = 8 dvs. hvis x ligger fast (er konstant) så gør y det også. 2.1 Ligningsløsning Når vi siger ligningsløsning så mener vi at man ved hjælp af en eller flere ligninger skal finde den ubekendte. F.eks. find x i ligningen 5x = 15 41
42 KAPITEL 2. LIGNINGER Så skal man finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divider vi begge sider med 5. 5x 5 = 15 5 og ved udregning ses at x = 3
2.1. LIGNINGSLØSNING 43 Løs ligningerne Opgave 2.1 6x = 3 Opgave 2.2 3x + 4 = 5 x = 1 2 Opgave 2.3 3 2 x + 4 = 5 x = 1 3 Opgave 2.4 1 2 x + 4 = 5x x = 2 3 Opgave 2.5 9x + 4 = 5x x = 8 9 Opgave 2.6 x 2 = 2x + 5 x = 1 Opgave 2.7 5x 4 = 2x + 5 x = 7 Opgave 2.8 7x + 3 = x 5 x = 3 x = 4 3
44 KAPITEL 2. LIGNINGER Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan man ikke løse ligningen. Istedet kan man isolerer en af de ubekendte, f.eks. hvis man skal isolerer x i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. Dette kan man gøre ved først at trække 7 fra på begge sider: 3y 7 = 5x + 7 7 så kommer ligningen til at se sådan ud: nu kan man dividerer med 5 3y 7 = 5x 3y 7 5 så kommer ligningen til at se sådan ud = 5x 5 nu har man isoleret x. 3y 7 5 = x
2.1. LIGNINGSLØSNING 45 Isoler x i ligningerne. Opgave 2.9 3x = 6y Opgave 2.10 b = 2 x x = 2y Opgave 2.11 a = 2c x d x = 2 b Opgave 2.12 2q = 3x + 7 x = 2c+ad a x = 2q 7 3 Opgave 2.13 z = 3 x x = 3 z 2 Opgave 2.14 8x = 4x 7 x = 7 4 Opgave 2.15 ax = 4x c x = c a 4 Opgave 2.16 2x = x a+2c x = 1 4(a+2c)
46 KAPITEL 2. LIGNINGER Senere skal vi bruge at ligninger på formen y = ax + b, derfor skal vi øve os i at omskrive ligninger så de kommer til at stå på denne form. Eksempel 2.1.1 Omskriv ligningen x + 1 y = 3 til formen y = ax + b. Først 2 trækker vi x fra på begge sider x + 1 2 y x = 3 x så kommer ligningen til at se sådan ud nu ganger vi på begge sider med 2 1 2 y = 3 x 2 1 y = 2 (3 x) 2 så kommer ligningen til at se sådan ud y = 6 2x nu bytter vi om på 6 og 2x så kommer ligningen til at se sådan ud og så er vi færdige. y = 2x + 6