LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige polygoner. Side 24 Firkanter med bestemte omkredse og arealer Figuren er også Konstruktion af trekanter De største kaninbure real og omkreds af ligebenede trekanter Figurer og diagonaler Diagonaler i en dragefirkant En model af et legehus Isometrisk tegning Fra projektionstegning til isometrisk tegning Eleverne skal her tegne seks forskellige firkanter, der (i opgave 1) skal have omkredsen 16 cm og (i opgave 2) have arealet 16 cm 2. I stedet for at tegne figurerne på siden kan eleverne evt. bruge et geometriprogram. Siden fokuserer på forskellige typer firkanters definitioner. Eleverne skal afgøre, hvilke typer firkanter der udgør delmængder af andre typer firkanter. De kan evt. indlede arbejdet med at slå definitioner på de forskellige firkanter op, notere dem og diskutere, hvad de betyder. På denne side skal eleverne konstruere trekanter ud fra oplysninger på skitser. emærk, at nogle af konstruktionerne har flere løsninger, andre konstruktioner har netop en løsning, og en enkelt af konstruktionerne har slet ingen løsning. Et byggeri af et kaninbur danner udgangspunkt for to opgaver, der fagligt set handler om sammenhængen mellem en figurs omkreds og areal. Hvilken form giver det største areal, når omkredsen er givet? Eleverne kan arbejde med opgaven på flere forskellige måder de kan prøve sig frem, de kan opstille en ligning, eller de kan fremstille en graf. Denne side er stort set parallel til grundbogens side 27. Her handler det bare ikke om rektangler, men om ligebenede trekanter. Hvilke sidelængder i en ligebenet trekant med omkredsen 72 giver det største areal? På siden foreslås det, at eleverne kan bruge et regneark til arbejdet. emærk, at den noget vanskelige formel, der skal til for at beregne trekantens højde, er angivet i regnearksklippet på siden. Det er også en mulighed, at eleverne tegner, måler og beregner sig frem til løsningerne uden regneark. Eleverne skal her tage stilling til en række udsagn vedrørende diagonalerne i seks forskellige typer firkanter. På siden defineres en dragefirkant som en firkant, hvor siderne to og to er lige lange. Eleverne skal bl.a. undersøge sammenhængen mellem produktet af diagonalernes længder og dragefirkantens areal. Udgangspunktet for opgaverne på siden er elevernes fremstilling af en rumlig model af et legehus i målestoksforholdet 1:100. rbejdet sigter især på, at eleverne skal foretage beregninger, der er forbundet med forståelsen af målestoksforholdet. emærk, at der skal bruges karton, saks og tape. Siden viser seks forskellige figurer, der skal tegnes på isometrisk papir. Derefter skal figurernes rumfang bestemmes. emærk, at figurerne kan tegnes i forskellige målestoksforhold og at rumfangsberegningerne afhænger af disse målestoksforhold. Her skal eleverne læse og forstå seks projektionstegninger, således at de kan tegne isometriske tegninger på grundlag af dem. emærk, at siden findes i farver på den medfølgende pdf-fil. Side 24 Side 24 Side 26 Side 27 Side 27 Side 31 Side 31 Side 32 Side 34 Side 34 16 GEOMETRI I PLN OG RUM
LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM En kasse af foldet papir Rumfanget af en pyramide En udfoldning af en pyramide Fremstillingen af en kasse uden låg er omdrejningspunktet for denne side. Hvilken form giver kassen det største rumfang? Eleverne kan arbejde med siden på flere forskellige måder: De kan fremstille kassen konkret og på den måde prøve, måle og beregne sig frem. De kan også opstille en funktionsforskrift, en tabel eller en graf for en funktion, der beskriver sammenhængen mellem kassens højde og dens rumfang. Denne side giver eleverne mulighed for at opnå en forståelse for, hvorfor rumfanget af en pyramide med kvadratisk grundflade og en højde, der svarer til sidelængden i grundfladen, udgør en tredjedel af rumfanget for en kube med samme grundflade. emærk, at det følgende kopiark skal bruges i arbejdet sammen med karton, saks og lim. Skal bruges i forbindelse med kopiarket Rumfanget af en pyramide. Udfoldningen tegnes, kopieres eller limes på karton og klippes ud. Side 36-37 Side 36-37 Side 36-37 17 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 14 NVNE PÅ FIGURER 1 Skriv navnene fra boksen nederst på de rigtige figurer. Læg mærke til, at nogle af figurerne kan have flere navne, og at ikke alle navnene fra boksen skal bruges. Trekant Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Femkant Regulær sekskant Spidsvinklet trekant Regulær femkant Syvkant Stumpvinklet trekant Sekskant Regulær syvkant 18 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 15 FIRKNTER MED ESTEMTE OMKREDSE OG RELER 1 Tegn i hvert felt en firkant, der hver har en omkreds på 16 cm. Firkanten skal være af den type, som står i feltet. Kvadrat Rektangel Rombe Parallelogram Trapez Ligebenet trapez 2 Tegn i hvert felt en firkant, der hver har et areal på 16 cm 2. Firkanten skal være af den type, som står i feltet. Kvadrat Rektangel Rombe Parallelogram Trapez Ligebenet trapez 19 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 16 FIGUREN ER OGSÅ 1 Pilen fra kvadratet til rektanglet herunder betyder er også. Pilen kan tegnes, for et kvadrat er også et rektangel. Hvilke andre pile kan der tegnes? Et kvadrat Et rektangel En rombe Et parallelogram Et trapez Et ligebenet trapez 20 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 17 KONSTRUKTION F TREKNTER 1 Konstruer hver trekant ud fra oplysningerne på skitserne. rug evt. et geometriprogram. Skriv efter hver konstruktion, om der kun findes en løsning, eller om der findes flere løsninger. En af trekanterne kan ikke konstrueres. Skriv ved denne trekant, hvorfor den ikke kan konstrueres. a b c 4 cm 95 40 6 cm 8 cm 45 70 8 cm 60 d e f 5 cm 30 6 cm 7 cm 60 8 cm 4 cm 10 cm g h i 40 105 6 cm 40 6 cm 4 cm 4 cm 21 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 18 DE STØRSTE KNINURE ørnene på en skoles SFO skal have bygget to bure til deres kaniner. De har fået 6 m hegn af en forælder. Kaninburene skal have form som to lige store rektangler. De skal være placeret ved siden af hinanden langs en mur som vist på tegningen herunder. mur a a a hegn b b ørnene beder om hjælp til at finde ud af, hvordan de kan få lavet de største kaninbure af de 6 m hegn. 1 Hjælp børnene med at finde de mål for a og b, som giver de største kaninbure. 2 Hvilke mål skulle a og b have, hvis børnene ville bygge de største bure med 9 m hegn? 22 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 19 REL OG OMKREDS F LIGEENEDE TREKNTER 1 Giv mindst tre forskellige eksempler på sidelængderne i en ligebenet trekant, hvis omkreds er 72 cm. 2 Forklar, hvorfor længderne af trekantens ben skal være større end 24 og mindre end 36. 3 eregn arealet af hver af dine ligebenede trekanter fra opgave 1. 4 Undersøg, hvilke sidelængder der giver det største areal i en ligebenet trekant, når omkredsen er 72 cm. rug evt. et regneark som det, der er vist herunder. 5 Hvilke sidelængder giver det største areal, hvis den ligebenede trekants omkreds er a 75 cm? b 78 cm? c 30 cm? d 60 cm? e 600 cm? f n cm? 23 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 20 FIGURER OG DIGONLER 1 Skriv ved hver type figur, hvilke af udsagnene nederst der er sande. Kvadrater Rektangler Romber Parallelogrammer Trapezer Ligebenede trapezer a Diagonalerne er lige lange. b Diagonalerne er ikke lige lange. c Diagonalerne danner fire rette vinkler. d Diagonalerne danner ikke fire rette vinkler. e Diagonalerne har et skæringspunkt, der deler dem i to lige store dele. f Diagonalerne har et skæringspunkt, der deler dem i to dele, som ikke er lige store. 24 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 21 DIGONLER I EN DRGEFIRKNT En dragefirkant er en firkant, hvor siderne to og to er lige lange. 1 Tegn mindst tre forskellige dragefirkanter. Tegn i kvadratnettet herunder, eller brug et geometriprogram. 2 Tegn diagonalerne i dine dragefirkanter fra opgave 1. eskriv, hvad der ser ud til at gælde om diagonalerne. 3 eregn arealet af hver af dine dragefirkanter fra opgave 1. Skriv arealet ved hver figur. 4 Find længden af diagonalerne i hver af dine dragefirkanter fra opgave 1. Gang længderne med hinanden, og skriv resultatet ved hver figur. 3 cm 6 cm Eksempel: 3 cm 6 cm = 18 cm 2 5 Sammenlign arealet af hver dragefirkant med resultatet af gangestykket. Hvad opdager du? 6 Hvorfor gælder din opdagelse fra opgave 5? 25 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 22 EN MODEL F ET LEGEHUS Herunder ses en model af et legehus. Modellen er fremstillet i målestoksforholdet 1:100. 1 Tegn en model mage til på karton. Klip den ud, fold langs de stiplede linjer, og lim den sammen. 2 eregn legehusets virkelige højde. 3 eregn arealet af legehusets grundplan. Der skal være fire vinduer og en dør i legehuset. Vinduernes og dørens mål kan du se på skitserne herunder. dør dør 1,5 m 1,0 m 0,7 m 1,0 m 4 Tegn døren og de fire vinduer på din model af legehuset. Husets udvendige træværk skal males. 5 Hvor mange kvadratmeter skal males? 26 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 23 ISOMETRISK TEGNING 1 Tegn figurerne herunder på isometrisk papir. a b c d e f 2 Find frem til rumfanget af hver figur, du har tegnet. a b c d e f 27 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 24 FR PROJEKTIONSTEGNING TIL ISOMETRISK TEGNING Fremstil isometriske tegninger af projektionstegningerne. a b c d e f 28 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 25 EN KSSE F FOLDET PPIR Skitsen herunder viser et kvadratisk stykke papir med mål og foldelinjer. Du kan fremstille en kasse af papiret, hvis du klipper kvadrater af hvert hjørne, folder langs linjerne og klistrer sammen med tape. Forestil dig, at du klipper kvadrater på 3 3 af hvert hjørne. 1 Hvor stort bliver kassens rumfang, hvis du folder langs linjerne? Forestil dig, at du klipper kvadrater på x x af hvert hjørne. 2 Find frem til en formel, der kan bruges til at beregne kassens rumfang. 3 Undersøg, hvilken værdi af x der giver kassen det største rumfang. 29 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 26 RUMFNGET F EN PYRMIDE Formlen for rumfanget af en pyramide ligner formlen for rumfanget af en kasse. h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang V = h G h: højde G: areal af grundfladen V: rumfang V = 1 3 h G 1 Forestil dig en pyramide og en kasse, som har ens grundflader. Se på formlerne herover, og forklar med dine egne ord, hvad forskellen på pyramidens og kassens rumfang er, når de har ens grundflader. 2 rug kopiark x. Tegn og klip tre udfoldninger af en pyramide på karton. Fold udfoldningerne langs linjerne, og tape hver pyramide sammen. lille tegning her af lim og tape? ctj 3 Sæt de tre pyramider sammen til en kasse. rug lim eller tape. 4 Hvad er kassens rumfang? 5 Hvad er pyramidens rumfang? 6 Kan opgaverne på denne side forklare, hvorfor rumfangsformlen for en kasse og for en pyramide ligner hinanden? Hvorfor? Hvorfor ikke? 30 GEOMETRI I PLN OG RUM
KOPIRK 27 EN UDFOLDNING F EN PYRMIDE 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 31 GEOMETRI I PLN OG RUM