Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp = 13,00 = 13,0 (idet hyp > 0) A 5 C AB = c = 13,0 D 6,5 E F Da de to trekanter er ensvinklede (oplyst) er de også lige- dannede; det vil sige, der findes en skalafaktor k k findes ved at sammenligne ensliggende sider - det vil sige sider, der ligger overfor vinkler af samme størrelse. Her vælges de to rette vinkler, fordi begge hypotenuser er kendte. c = 13,0; f = 6,5 k beregnes som forstørrelsesfaktor (k>1) k = 13,0 / 6,5 = 2,0 Da den søgte sidelængde findes i den lille trekant, divideres med k: DF = 5/2,0 = 2,50 = 2,5 DF = 2,5 Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 1
Opg. 1-2 x y 2 3 8-1 -2 10 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Da funktionen er lineær, kan a beregnes med: a = (y 2 - y 1 ) / (x 2 - x 1 ) Ved indsættelse fås: a = (-1-3) / (8-2) = -4 / 6 = -2/3 <=> a = -2/3 Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 2
Opg. 1-3 Ved indsættelse af det oplyste i formlen: s = ½*a*t 2, fås ligningen: (idet s = 500 og t = 17) 500 = ½*a*17 2 1000 = a*289 [ Ganger med 2 på begge sider; samtidigt beregnes 17 2 = 289] 1000/289 = a a = 3,460 = 3,46 Accelerationen er 3,46 Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 3
Opg. 1-4 På figuren ses, at energibehovet for en vadefugl på 140 g er 210 kj/døgn 210 140 Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 4
Opg. 1-5 7,5 meter katete =? 62 o Vi beregner den søgte højde som om mur, jordoverflade og stige udgør en retvinklet trekant: Da trekanten er retvinklet, kan vi benytte sætningen: modstående katete = hypotenusen*sin(v) Ved indsætning ses: modstående katete =7,5*sin(62) = 6,62 = 6,6 Stigen når 6,6 m op ad muren Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 5
Opg. 1-6 Middeltallet = (7,55 + 7,95 + +9,05)/15 kr. = 8,307kr. = 8,31 kr Medianen blandt de 15 (sorterede) priser er nr. 8 = = 8,15 kr 1 2 4 6,5 5 5 1 Det ses, at både før og under priskrigen er den højeste pris 9,05 kr. 2 mens den laveste pris er faldet med 1 kr. fra 7,55 kr. til 6,55 kr. 3 Spredningen i priserne er altså blevet større. Variationsbredden er nu 2,50 kr. mod før 1,55 kr. 4 1. Kvartil er også faldet præcis 1,00 krone; det vil sige, at blandt den billigste fjerdedel af sælgerne er der de samme prisforskelle som før, men priserne ligger på et lavere niveau. Noget tilsvarende gælder for medianen (2. Kvartil) og den næstbilligste fjerdedel af sælgerne. Det bemærkes, at den enkelte sælger godt kan have skiftet plads i rækkefølgen. 5 Det ses, 3. Kvartil er faldet 1,30 kr. - altså mere end de 2 første. De næstdyreste sælgere har fået mere ens priser, hvorimod de dyreste har fået større forskelle. Tegningen siger intet om den enkelte sælger;det kan godt være, at den dyreste før priskrigen nu er blevet til den billigste under priskrigen. Selvom det næppe er sandsynligt. Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 6
Opg. 1-7 En tur med Taxa på for eksempel 5 km vil koste: Startgebyr kr 33,00 + kilometerpenge = 5*10,55 kr. = kr 52,75 I alt kr 85,75 Hvis: x = f(x) = taxaturens længde målt i kilometer prisen for en taxatur på x kilometer (i kroner) fås svarende til eksemplet: f(x) = 10,55*x + 33 Hvis prisen for turen er 200 kroner, fås: f(x) = 200 10,55*x + 33 = 200 10,55*x + 33-33 = 200-33 10,55*x = 167 10,55*x/10,55 = 167/10,55 x = 15,83 = 15,8 For 200 kr. kan der køres 15,8 km [ Til elever: Ovenstående løsning er en god besvarelse. Nøjagtigheden er rimelig og betyder jo blot, at der kan køres et sted mellem 15,75 og 15,85 kilometer. Hvis vi havde angivet tallet nøjagtigere som 15,83 ville det også være rigtigt (set med matematikerøjne) selvom det ikke betyder, at kunden kan køre 15,83000 km! Det kræver nok en note som: Der kan køres 15,83 km (afrundet efter sædvanlige regler.) ] Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 7
Opg. 1-8 L = 100*0,69 x L(2,5) = 100*0,69 2,5 = (L er lysintensiteten - underforstået i x meters dybde.) 39,55 = 39,5 Lysintenciteten i 2,5 meters dybde= 39,5 Halveringskonstanten er det antal meter man skal længere ned i søen for at halvere lysintenciteten. Den er uafhængig af hvor dybt man er nede i forvejen (fordi L er en eksponentiel funktion.) Halveringskonstanten beregnes med formlen: log(0,5) / log(a), hvor a = 0,69 Halveringskonstanten = log(0,5)/log(0,69) = 1,868 = 1,87 Halveringskonstanten er 1,87 m For hver meter dybden forøges ganges lysintenciteten med 0,69 svarende til, at den bliver 69 % af den hidtidige lysintencitet. Den er så (på 1 m) aftaget med 31% Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 8
Opg. 9 År 1998 2003 Månedsløn 22066 25708 Index 100 Da basisåret er 1998, sættes index for året til 100 For lønningerne gælder der forholdet (skalafaktor) = 25708/22066 = 1,17 Samme skalafaktor gælder for index: Index for månedsløn 2003 = 100*25708/22066 = 116,51 = 116,5 År 1998 2003 Gl. index 134,4 173,3 Nyt index 100 Ved hjælp af de eksisterende indextal for huspriser kan der beregnes nye indextal med 1998 som basisår. Skalafaktor for gamle indextal er = 173,3/134,4 = 1,29 Samme skalafaktor gælder for de nye indextal: Nyt index for huspriser = 100*173,3/134,4 = 128,94 128,9 Af indextallene for 2003 ses, at huspriserne er vokset stærkest. [Note til elever: Bemærk, at udregning af skalafaktorer ikke er nødvendigt. Ib Michelsen MatC-EXM.ods Side 9