En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder og intervaller i Maple. Kommandoerne solve og expand, samt brug af Labels. 4. Plotning af grafer i Maple. Kommandoerne plot og seq, samt diverse options. 5. Et eksempel på eksponentiel regression i Maple. Statistikpakken, kommandoerne Fit, plot, ScatterPlot, display og view.
1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. Åben et Maple dokument i Document mode. Så kan der skiftes mellem Math - hvor udregningerne foretages, curseren er en blinkende skrå streg og Text - hvor dine kommentarer skrives, curseren er en blinkende lodret streg. Prøv at indtaste følgende: 1) 2 7C3 Gangetegn skrives som *. Husk altid gangetegn ved bogstavudtryk - hvorfor? Bemærk: "1)" skrives i Text-mode, udregningen i Math-mode. Hvad sker der hvis linien afsluttes med enter? Prøv at afslutte med Ctrl Alt 0 i stedet for! Som du nok har bemærket udregnes taludtryk automatisk. Hvis du skal indtaste noget mere kompliceret, så klik på Expression-knappen i skærmens venstre side. Prøv at indtaste følgende: 2) 2$ 3 2 C4 2 K6 Visse simple reduktionsopgaver går lige så let: 3) 5 pk2 qkr C3 pkqc2 r Det går fint! Men 4) a$ akb C b$ acb Her skal vi fortælle Maple, hvad der skal gøres: expand a$ akb C b$ acb = a 2 Cb 2 Kommandoen "expand" virker fint. Hvad er den principelle forskel på 3) og 4)? Hvis man i stedet for vil sætte udenfor parentes, bruges kommandoen "factor" 5) factor 3 c 2 K12$c$a = K3 c KcC4 a 6) factor 24 b$ck6 c 2 $d = 6 c Kd cc4 b Herefter skal du øve dig i at skrive og regne med brøker. Brøker med tal skulle gerne gå nemt. Brøker med bogstaver kræver nogen gange særbehandling. 7) 3 7 K 4 3 C 3 14 = K29 42 8) yc2 x 6 K xk2 y 4 = 2 3 yc 1 12 x
9) 2 a$bkb 2 C 2 a 2 Ca$b K 4 a 2 Kb 2 = 2 a bkb 2 C 2 a 2 Ca b K 4 a 2 Kb 2 Maple reducerer ikke af sig selv (hvorfor mon?), men kommandoen "normal" skulle kunne klare det! 10) normal 2 a$bkb 2 C 2 a 2 Ca$b K 4 a 2 Kb 2 = 2 a b
2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). Maple er rigtig god til at løse ligninger, når den får dem angivet på den rigtige måde. Brug kommandoen "solve". solve 8 x K 5 = K12, x K 7 8 (1) Dvs. ligningen 8 x K 5 = K12 har løsningen x = K 7 8 Det kunne skrives mere læsevenligt x = solve 8 x K 5 = K12, x x =K 7 8 Ønskes løsningen givet som decimaltal, skrives kommandoen "evalf", altså evalf K 7 = K0.8750000000 8 Ønskes kun f.eks 4 decimaler skrives kommandoen "Digits" (2) Digits d 4 : Herefter fås evalf K 7 8 = K0.8750 To (eller tre) førstegradsligninger går lige så nemt. Her kan det være praktisk at navngive dem: lign1 d 2 x K 3 y = 3 2 xk3 y = 3 (3) lign2 d 3 x C y = 10 3 xcy = 10 solve lign1, lign2, x, y x = 3, y = 1 Bemærk : hvis ligningssystemet ikke har nogen løsning, giver Maple ikke noget svar! (4) (5) lign3d 2 x K y = 6 lign4d K4 x C2 y =K2 solve lign3, lign4, x, y 2 xky = 6 K4 xc2 y =K2 (6) (7)
Andengradsligninger. Andengradsligninger kan jo som bekendt have en, to eller ingen løsninger inden for de reelle tal. Men hvis Maple ikke får besked på andet, regner den i de såkaldt komplekse tal, og så har alle andengradsligninger to løsninger. solve x 2 C 4 x C 10 = 0, x K2CI 6, K2KI 6 Her står I for den komplekse enhed. Men vi er slet ikke interesserede i de komplekse løsninger (endnu). (8) Derfor skriver vi kommandoen "with(realdomain)" with RealDomain I, R, `^`, arccos, arccosh, arccot, arccoth, arccsc, arccsch, arcsec, arcsech, arcsin, arcsinh, (9) arctan, arctanh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, eval, exp, expand, limit, ln, log, sec, sech, signum, simplify, sin, sinh, solve, sqrt, surd, tan, tanh Hvis vi ikke skriver mere, giver Maple en liste over alle de kommandoer, dette har indflydelse på. Hvis vi vil undgå at få denne liste sættes kolon efter kommandoen. with RealDomain : solve x 2 C 4 x C 10 = 0, x Konklusion: Maple har forstået budskabet. Ligningen har stadig ingen reelle løsninger, så Maple giver ikke noget svar. Vi prøver med en anden ligning. solve x 2 C 4 x K 10 = 0, x K2K 14, K2C 14 Maple giver de eksakte løsninger. Ønskes decimaltal skrives som før: (10) x1 = evalf K2K 14 x1 =K5.742 (11) x2 = evalf K2C 14 x2 = 1.742 (12)
3. Uligheder og intervaller i Maple. Kommandoerne solve og expand, samt brug af Labels. Uligheder løses ligesom ligninger med kommandoen solve : solve K4 x C 12 % 5 x, x 4 RealRange 3, N hvilket oversat til almindeligt matematisk sprog betyder, at x er et reelt tal og at x tilhører det 4 halvåbne interval x 2 3, N (13) Ulighedstegnene samt symbolet for uendelig hentes fra paletten Common Symbols til venstre i skærmen. Endnu et eksempel: 1 solve $ xk1 O 3$ 2Kx C x, x 2 RealRange Open 13 5, N hvilket betyder, at x er et reelt tal og at x tilhører det åbne interval x 2 13 5, N (14) Hvis du vil følge med i udregningerne undervejs, kan du f. eks bruge expand expand 2$ x C 2 $ xk8 R xc3 $ 2 xc4 Hvad har Maple gjort her? 2 x 2 C10 x% 2 x 2 K12 xk44 solve 2 x 2 C10 x% 2 x 2 K12 xk44, x RealRange KN, K2 Ovenfor er resultatet fra expand kommandoen kopieret ind i solve kommandoen. (15) (16) Man kunne også henvise til dette resultat ved at skrive nummeret på den aktuelle Label. Dette gøres ved at taste Ctrl+l og derefter taste nummeret uden parenteser i det lille vindue,der popper op. solve (15), x RealRange KN, K2 (17)
4. Plotning af grafer i Maple. Kommandoerne plot og seq, samt diverse options. Grafer kan tegnes meget enkelt i Maple med kommandoen plot. Her er et eksempel : plot 3$1.4 x, x 80 50 30 10 K10 K5 0 5 10 x Hvis vi som ovenfor kun skriver funktionen og navnet på den variable, finder Maple selv et passende interval på x-aksen og på y-aksen. Men der findes et utal af såkaldte "options", dvs kommandoer vi kan tilføje i det omfang, vi synes det er hensigtsmæssigt. Disse options kan styre udformningen af plottet. Nedenfor gives eksempler på nogle af de mest grundlæggende: plot x 2 K3, x =K4..4, y =K4..6, scaling = constrained, color = blue, thickness = 5, gridlines y 6 4 2 K3 1 2 3 4 K2 x K4 Forklaringer: x=-4..4, y=-4..6 scaling=constrained color=blue thickness =5 gridlines fastlægger intervallet på henholdsvis x-aksen og y-aksen gør enhederne på akserne lige store som det fremgår, kan grafens gives en anden farve gør graflinien kan kraftigere (andre positive talværdier kan vælges; hvis man ikke skriver noget,, har thickness værdien 0) tilføjer gitterlinier NB: Et punktum er et decimal-punktum. To punktummer efter hinanden bruges mellem to værdier en variabel løber imellem. Et komma er altid et symbol på adskillelse mellem to kommandoer/ options. Hvis man ønsker noget lidt mere kompliceret, f. eks en familie af grafer i samme plot, skal der åbnes en særlig plots-pakke: with plots : Herefter kan man f. eks. tegne 20 parabler i samme plot ved hjælp af kommandoen seq (sequence= følge): plot seq a$x 2, a = K5..5, 0.5, x =K4..4, y =K50..50
40 y 20 K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 x K20 K40 Som det ses har Maple tegnet parablerne -5x 2, K4.5x 2, K4x 2,..., 5 x 2 dvs a-værdien ovenfor går fra -5 til 5 i spring på 0.5. Overskrift, forklarende tekst på akserne indsættes ved brug af option-kommandoerne title og labels g d t/800$1.096 t : plot g t, t = 0..10, title = Udviklingen i en bakteriekultur, labels = "Tid i timer", "Antal bakterier", thickness = 3, color = green, gridlines
Udviklingen i en bakteriekultur 2000 1800 1600 Antal bakterier 1400 1200 1000 800 0 2 4 6 8 10 Tid i timer NB: Maples grafer fylder meget, når de bliver skrevet ud. Hvis du går op og klikker på File og derefter på Print Preview, kan du se hvor meget! Men dette kan ændres ved at klikke på grafvinduet og trække i håndtagene, så grafvinduet bliver mindre. Det er f. eks gjort i dette dokument. Husk altid at se dit dokument, før det printes ud, det kan spare mange skove!
5. Et eksempel på eksponentiel regression i Maple. Statistikpakken, kommandoerne Fit, plot, ScatterPlot, display og view. I en sø målte man over en periode på 5 år mængden af en fiskeart. Resultaterne ses i tabellen: t (årstal) 1990 1991 1992 1993 1994 f(t) (tons) 350 308 272 237 210 Undersøg om der tilnærmelsesvist er tale om en eksponentiel udvikling, og bestem i givet fald en forskrift for fiskemængden som funktion af antallet af år efter 1990. Først åbnes Statistik pakken: restart : with Statistics : with plots : x og y værdierne indtastes, hvor x er antal år efter 1990: Xd 0, 1, 2, 3, 4 : Yd 350, 308, 272, 237, 210 : Fit b$a x, X, Y, x 350.189099183174 0.879565807261228 x (18) Maple har nu fundet den bedst mulige eksponentielle udvikling gennem disse punkter, men 3 betydende cifre er vist rigeligt til os i denne situation, så vi definerer: fd x/350$0.880 x x/350 0.880 x (19) Vi vil gerne have tegnet grafen for funktionen og punkterne i samme koordinatsystem. Vi definerer to plots og bruger kommandoen display. plot f x, x = 0..5 350 300 250 200 0 1 2 3 4 5 x
ScatterPlot X, Y, symbolsize = 15, labels = "Antal år efter 1990", "Mængden af fisk i tons", view = 0..5, 200..350 350 Mængden af fisk i tons 300 250 200 0 1 2 3 4 5 Antal år efter 1990 P1dplot f x, x = 0..5 : P2 d ScatterPlot X, Y, symbolsize = 15 : display P1, P2, labels = "Antal år efter 1990", "Mængden af fisk i tons", view = 0..7, 200..350 350 300 Mængden af fisk i tons 250 200 0 1 2 3 4 5 6 7 Antal år efter 1990 NB: Endnu en option-kommando "view". Denne kommando definerer grafvinduet. Ved at lade x- aksen gå fra 0 til 7 får vi plads til hele teksten på aksen. (Sammenlign med plottet ovenfor).