. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum i (0;0) med en radius = 5 Opgave 3 I visse tilfælde er niveaukurverne faktisk ikke rigtige kurver.
a) Opskriv ligninger for niveaukurverne N(3), N(5) og N(6) for funktionen: f (, y) = 5 y N(3) er: N(3) = z = 3 3 = 5 y + y = Dette giver en cirkel med centrum i (0;0) med radius = N(5) er: N(5) = z = 5 5 = 5 y + y = 0 Dette giver en cirkel med centrum i (0;0) med en radius på 0 og dette er desuden lokalt toppunkt N(6) er: N(6) = z = 6 6 = 5 y + y = 1 Denne funktion kan dog ikke lade sig gøre, da radius skulle blive lig 1 som ikke er et reelt tal. b) Hvilke punktmængder beskriver de tre niveaukurver? Tegn dem N(3) + y = y = + ( ) y f()=sqrt(-^) f()=-sqrt(-^) 4 3 1-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7-1 - -3-4
N(5) + y = 0 y = ( ) y = y Serie 1 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. -.4 -. - -1.8-1.6-1.4-1. -1-0.8-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8..4-0. -0.4-0.6-0.8-1 -1. N(6) + y = 1 L = Ø Denne funktion kan dog ikke lade sig gøre, da radius for en cirkel ikke kan være negativ! De 3 niveau kurver vil lægge som følgende, og det fremgår derfor også at N(6), som er den øverste) ikke beskriver nogen punktmængde for funktionen. Grafisk kan dette ses herunder:
c) Tegn, om muligt, med dit IT-værktøj grafen for f sammen med passende vandrette planer som på figur 3 og 4 De 3 niveau kurver vil lægge som følgende, og det fremgår derfor også at N(6), som er den øverste) ikke beskriver nogen punktmængde for funktionen. Grafisk kan dette ses herunder: d) Giv herefter en helt generel beskrivelse a N(z) for alle zϵr N( z) = z z = 5 y y = 5 z 3. Lineær programmering Opgave 4 Bevis, at for en lineær funktion f (, y) = a + b y + c er niveaukurverne parallelle rette linjer med a normal vektor b
f (, y) = 0 0 = a + by + c by = a c a y = c b Vi ved nu at retningsvektoren for linjen er: b r = a Og for normalvektoren ved vi at den er det samme som tværvektoren: n = rɵ Og for tværvektoren ved vi: y r = rɵ = y a n = b Vi ved desuden at tværvektoren og normalvektoren ganget skal give -1 og på denne måde kan man eftervise at det passer: a b = 1 b a Så det passer! Q.E.D. Opgave 5 π π < n PQ ;
π n π ni PQ 0 Vi ved at: ai b = a b cos( v) Og da længderne er positive kan disse divideres over uden at skulle tænke over det i uligheden. Det medfører: a i b a b = cos( v) a i b a b 0 cos( v) 0 0 PQ = y y0 a n = b a b = a b + a b 1 1 ni PQ = a + b y y = a a + by by ( ) ( ) Ud fra det tidligere udtryk ved vi: 0 0 0 0
ni PQ 0 a a + by by 0 0 0 a a + by by + a + by a + by 0 0 0 0 0 0 a + by a + by 0 0 0 0 P ligger på linien a + by = c P( ; y ) a + by = c a + by c 0 0 0 0 a + by = c Opgave 6 Tegn selv de tre halvplaner hørende til kravene til fiber, A- og C vitamin, og kontroller herved, at polygonområdet på figur 10 er korrekt. 30 + 0y = 4 niveauplan 30 n = 0 30 + 0y = 4 3 1 y = + 5 A-vitamin 35 + 0,5y 0, 5 0,5y = 35 + 0,5 y = 70 + 1 C-vitamin 60 + 300y 15 300y = 60 + 15 1 1 y = + 5 0
0.5 y f()=-(3/)+1/5 f()=-70+1 f()=(-1/5)+1/0 0. 0.15 0.1 0.05-0.4-0.35-0.3-0.5-0. -0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3-0.05-0.1-0.15-0. Opgave 7 a) Opskriv kriteriefunktionen for den nye salatsammensætning Appelsin (y) Gulerødder () Fibre 3 g/kg 30 g/kg A-vitamin 0,6 mg/kg 35 mg/kg B-vitamin 54 mg/kg 60 mg/kg pris 6 kr/kg 4 kr/kg Hvis: kg gulerødder y kg appelsiner Må det gælde at: pris z = 4 + 6y b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygenområdet Fibre 4g 30 + 3y 30 + y = 3 (15 ) y = 3 30 n = 3
A vita 0,5 35 + 0, 6y y = 0,833 58, 33 C vita 15 60 + 54y 15 (4 1) y = 54 Disse ser grafisk således ud: y f()=(-(15-))/3 f()=0.833-58.33 f()=(-15(4-1))/54 0.3 0. 0.1-0.6-0.55-0.5-0.45-0.4-0.35-0.3-0.5-0. -0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65-0.1-0. -0.3-0.4 c) Hvilke sammensætninger af appelsiner og gulerod skal fastfoodkæden vælge for at servere den billigst mulige salat, som opfylder Fødevarestyrrelsens anbefalinger Funktionerne for fibre og for c-vitamin sættes lig hinanden for at finde det optimale punkt (15 ) 15 (4 1) = 3 54 = 0,1 X indsættes i en af funktionerne: (15(0,1) ) y = 3 y = 0, 0146 Dette sættes ind i vores udtryk for prisen, og man får herved den bedste pris:
z = 4 + 6y z = 4 0,1 + 6 0, 0146 = 0,576kr = 57, 6øre Opgave 8 Bestem maksimums og minimum for funktionen f (, y) = 3 + yinden for polygonområdet givet ved: 0 y 0 I : + y 1 y 1+ II : 3 + y 6 y 6 3 III : + y 4 y 4 + f (, y) = 3 + y 6 5 y f()=+1 Skravering 1 Skravering f()=-3+6 f()=+4 4 3 1-6 -5-4 -3 - -1 1 3 4 5 6-1 - Maksimum er punktet hvor II og III skærer, derfor sættes de funktioner lig hinanden for at finde skæringspunktet: 6 3 = 4 + = 5
X værdien indsættes i en af de funktioner så man også får y koordinaten: y = 6 3 5 y = 4 5 Minimumspunktet er der hvor linje 1 skærer y-aksen. I : y = + 1 = 0 y = 1 Værdierne for maks. og min indsættes i funktionen, og man får de maksimum og minimum for funktionen: z ma 4 54 = 3 + = = 10,8 5 5 5 z min = 3 0 + 1 = Opgave 9 a) Opstil først de givne oplysninger i et skema som i eksempel 7. Dette giver et meget bedre overblik PlænePryd () GardenGreen (y) På lager Rajgræs 600g / 0,6kg 400g /0,4kg 40kg Engrapgræs 00g /0,kg 400g / 0,4kg 160kg Rødsvingel 00g /0,kg 00g / 0,kg 90kg Pris 0kr 30kr b) Opskriv kriteriefunktionen for fortjenesten Da funktionen giver 0kr per solgte og 30 per solgte y må funktionen være: f (, y) = 0 + 30y c) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsning og indtegn polygonområdet
I : 0, 6 + 0, 4y 40 0, 6 40 3 y = + = + 600 0, 4 0,4 II : 0, + 0, 4y 160 0, 160 1 y = + = + 400 0, 4 0, 4 III : 0, + 0, y 90 90 y = + 0, = + 450 Desuden finder man niveaulinjer, for at se hvordan de ligger i forhold til bevægelsen: N(6000) = z = 6000 6000 = 0 + 30y 0 6000 y = + = + 300 30 30 3 N(1000) = z = 1000 1000 = 0 + 30y 0 1000 y = + = + 600 30 30 3 Grafisk ser dette således ud, hvor: I: Grøn II: Rød III: Blå niveaukurve: lyseblå 500 400 y f()=-(3/)+600 Skravering f()=-(1/)+400 Skravering f()=-+450 Skravering f()=-(/3)+600 f()=-(/3)+300 300 00 100-700 -600-500 -400-300 -00-100 100 00 300 400 500 600 700 800 900-100 -00-300
d) Hvor mange pakker PlænePryd og GardenGreen skal der produceres for at fortjenesten bliver størst mulig? Ud fra det grafiske kan vi se at det på være punktet i mellem II og III, derfor findes de funktioners skæringspunkt, dette gøres ved at sætte funktionerne lig hinanden, og herefter indsætte den funde -værdi i et af de oprindelige udtryk: 1 + 400 = + 450 1 = 50 = 100 y = 100 + 450 y = 350 For at finde den maksimale værdi for kriteriefunktionen, indsættes koordinaterne: f (100,350) = 0 100 + 30 350 = 1500 Derfor bliver fortjenesten 1500kr. 4. Følsomhedsanalyse Opgave 10 Prisen på gulerødder kan naturligvis også falde. Vis, at hvis prisen kommer under 0,70 kr./kg, flytter den optimale salatsammensætning til et andet punkt R. Bestem dette punkt. Vi ved at begrænsningerne er: I : 30 + 0y 4 3 1 y + 5 II : 35 + 0, 5y 0,5 y 70 + 1 1 1 III : 60 + 300y 0, 5 y + 5 0 For prisen har vi en niveaukurve der hedder:
f (, y) = a + by z = f (, y) z = a + by a z y = + b b I dette tilfælde undersøger vi prisen for, altså a. derfor ved vi også at b=3,5. Dette indsættes derfor: a z y = + 3,5 3,5 For at se hvad der er optimalt, må man derfor undersøge grænseværdier, i dette tilfælde skal vi undersøge hvis a<0,7. Hvis vi indsætter tallet fås: 0,7 z y = + 3, 5 3,5 Hældningen for den optimale linje, bliver derved: -0,, som vi kan se er dette sammenfaldende med linje III da -1/5 = -0,, derfor må det gælde at når a<0,7 er det begrænsningen for linje III som er gældende, og derfor punktet hvor denne skærer, altså det optimale punkt! Dette kan også ses grafisk her: Hvor den røde, blå og grønne afgrænser, og den lyseblå er niveaukurven 0.3 y f()=-(1/5)+1/0 f()=-70+1 f()=-(3/)+1/5 niveaukurve 0.5 0. 0.15 0.1 0.05-0.5-0. -0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15 0. 0.5 0.3 R
Derfor sætter vi for den grænse y=0 og finder : y = 0 1 1 0 = + 5 0 1 = 4 1 R = ( ; y) = ;0 4