bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det kan fx dreje sig om spørgsmål som Hvor meget arbejde kan man tage for at tjene mest muligt under hensyn til at det kan gå ud over SU og andre ydelser? Hvordan skal man opbygge et cykelstel så det bliver stærkest muligt, men samtidig vejer så lidt som muligt? Hvor tyk en plade skal man bruge til en hylde hvis den skal kunne bære alt hvad der skal stå på den, men ikke være for tung, dyr og klodset? Hvad er det bedste tidspunkt at rense varmevekslerne i et olieraffinaderi, når anlægget skal bevares, samtidig med at der bliver så få driftsstop som muligt? Hvor høj skal prisen være hvis man vil tjene mest muligt og samtidig tage hensyn til at der bliver solgt færre varer hvis prisen stiger? Hvilke dimensioner skal en konservesdåse have for at metalforbruget bliver mindst muligt når rumfanget er givet? Sagt generelt består optimering i at finde den kombination af variable der giver den største eller mindste værdi af en bestemt variabel der afhænger af dem. I dette arbejdskort arbejder vi med følgende opgave Hvilket forhold skal der være mellem radius og højde i en cylindrisk dåse der rummer 500 ml, for at overfladen er mindst mulig? Gælder det samme forhold for en dåse af vilkårlig størrelse? Man kan løse en sådan optimeringsopgave på flere forskellige måder som alle er afprøvet i arbejdskortet Kugle, kegle og cylinder. I dette arbejdskort gives der mindre hjælp, og det er tanken at man selv prøver kræfter med de forskellige fremgangsmåder og værktøjer. I studieproduktet skal der gøres rede for en af løsningsmetoderne med et it-redskab. Sidst i arbejdskortet er vist en dynamisk konstruktion. Den indgår ikke i studieproduktet og kan springes over. Den er først og fremmest tænkt som en mulighed for at lære Geogebras muligheder i koordinatgeometri bedre at kende et tilbud til studerende der gerne vil have yderligere udfordringer
bksp-20-15e Side 2 af 7 Praktisk konstruktion Vi begynder med at lave dåsen i karton. Det er naturligvis ikke nødvendigt for at løse opgaven, men det er en meget egnet måde at aktivere forforståelsen og afprøve nogle arbejdsformer der kan benyttes på mellemtrinnet. Lav en cylindrisk dåse af karton med en bund, også af karton Hvordan sikres det at den rummer netop 500 ml? Beregn overfladen af dåsen (medregnet det låg som vi ikke har lavet) Bestem radius i en cylinder med en anden højde, og beregn overfladen af den nye dåse Regneark Med et regneark er det muligt at gennemføre systematiske eksperimenter hvor fx radius varieres, og programmet beregner den tilsvarende højde og overflade Opstil et sådant regneark og eksperimenter værdierne for at finde den mindst mulige overflade. Bestem det tilsvarende forhold mellem højde og radius. Gør det nogen forskel om man vælger at lade h eller r være uafhængig variabel? Indret eventuelt regnearket så man kun behøver at indtaste største og mindste værdi af den uafhængige variabel, mens regnearket så beregner et antal værdier mellem yderpunkterne Gennemfør eksperimenterne med en anden værdi af V, og bestem også her forholdet mellem r og h Formuler resultatet af undersøgelsen Grafisk aflæsning i Geogebra Når Geogebra bruges til at tegne funktioner, skal der som regel indtastes i inputfeltet nederst i Geogebravinduet. Hvis der ikke er noget inputfelt, så skal der markeres ud for inputfelt i menuen Vis (se figur 1): Figur 1 Når det er gjort, kan man indtaste forskellige ting, fx en funktionsforskrift, koordinaterne til et punkt eller værdien af en konstant.
bksp-20-15e Side 3 af 7 I det følgende beskrives hvordan der kan tegnes en graf der giver mulighed for at aflæse den mindste overflade. I beskrivelsen viser denne skrift hvordan der indtastes i Geogebra. For at undersøge problemstillingen grafisk, er det nødvendigt at udtrykke overfladen som funktion af én variabel. I beregningen af en cylinders overflade indgår imidlertid to variable, h og r, og man må derfor beslutte hvilken af dem der skal være variabel i ligningen. Der er en sammenhæng mellem h og r i formlen for en cylinders rumfang, og den kan vi benytte os af fordi rumfanget er konstant. Start med at sætte rumfanget til 0,5 ved at skrive V = 0.5 i inputfeltet Start med at bruge radius som uafhængig variabel. Det er lettere hvis man først udtrykker højden som en funktion af radius, og derefter indsætter denne funktion i formlen for overfladen. Brug derfor følgende fremgangsmåde: Udtryk højden som funktion af radius ved at skrive h(x) = i inputfeltet (Bemærk at den uafhængige variabel skal hedde x når der tegnes grafer i Geogebra) Udtryk derefter overfladen som funktion af radius ved at skrive O(x) = i inputfeltet Aflæs x-værdien hvor grafen har minimum Aflæsningen kan gøres mere nøjagtig ved at konstruere en tangent som vist på figur 2. Figur 2 Vælg redskabet Nyt punkt og klik på den del af grafen hvor x > 0. Vælg redskabet Tangenter og klik først på punktet, derefter på grafen. Eksperimenter med at flytte punktet, og læg mærke til hvordan tangenthældningen ændrer sig. Flyt punktet indtil tangenten er vandret (se på ligningen i algebra-vinduet), og aflæs x-koordinaten til punktet. Programmet kan bestemme minimum for O i intervallet fra 0 til V. Det gøres ved at skrive Min[O, 0, V] i inputfeltet
bksp-20-15e Side 4 af 7 Geogebra kan beregne forholdet mellem højde og radius. Hvis punktet hedder A, får man x-værdien ved at skrive x(a), og forholdet kan derfor beregnes som x(a) h(x(a) ) Skriv forhold = x(a)/h(x(a)) i inputfeltet. Læg mærke til parenteserne, og overvej hvorfor de er der. Bestem forholdet i det punkt hvor O er mindst. Bestem det tilsvarende forhold for andre værdier af V. Gentag nu hele konstruktionen, men brug i stedet højden som uafhængig variabel. Hvilken fremgangsmåde fungerer bedst? Funktionsanalyse i Geogebra Du kan se en demonstration af begreberne i dette afsnit ved at klikke her. I minimumspunktet er tangentens hældning 0. Vi kan altså finde minimum hvis vi kan beregne tangentens hældning. Det sker ved en kompliceret teknik der kaldes differentialregning, som man typisk bliver fortrolig med i første del af et universitetsstudium, og som sjældent har spillet nogen rolle i læreruddannelsen. Den gode nyhed er at Geogebra klarer jobbet for os. Når vi har en funktion f(x), er f (x) den funktion der viser tangenthældningen. Tilsvarende har overfladefunktionen den afledte O (x). Få tegnet grafen for den afledte funktion (tangenthældningen for O) ved at skrive O (x) Læg mærke til at Geogebra selv beregner en funktionsforskrift. Grafen for O viser at der kun er et sted hvor tangenten har hældningen 0. Vi ønsker at finde hvilken xværdi der er tale om, for her er overfladen mindst mulig. Det kunne gøres ved at løse ligningen O (x) = 0, men det er ikke så let; det kan man se af forskriften for O. Geogebra klarer heldigvis opgaven let: Konstruer skæringen mellem O og x-aksen. Det er dette punkts xværdi vi skal bruge. Hvis skæringspunktet hedder B, kan man fx kalde x-værdien mindste og skrive mindste = x(b) Ud fra denne radius kan man beregne hvilket forhold mellem højde og radius som giver den mindste overflade.
bksp-20-15e Side 5 af 7 Løsning med symbolsk beregning i et CAS-program CAS står for Computer Algebra System. Det er en programtype der kan lave matematiske beregninger med symboler fx reducere udtryk og løse ligninger. I arbejdskortet Kugle, kegle og cylinder er nævnt forskellige CAS-værktøjer der kan bruges. Dette afsnit sider beskriver hvordan man kan beregne det forhold mellem højde og radius som giver den mindste overflade. Fremgangsmåden svarer fuldstændig til funktionsanalysen i Geogebra, men i stedet for at bruge grafer løses den her ved symbolske omskrivninger. Ved denne løsning skal man bruge r som variabel og udtrykke den ved h i stedet for omvendt. Ellers ender man med kvadratrødder i nævneren, og så opgiver de fleste CAS-programmer at løse ligningen. Fremgangsmåden bliver derfor som følger, og meningen er at så mange af beregningerne som muligt skal udføres af CAS-værktøjet: Opstil et udtryk for overfladen O med h og r som variable Udtryk h ved r og indsæt det i udtrykket for O Differentier udtrykket med hensyn til r (det svarer til at finde ligningen for tangentens hældning) Sæt resultatet lig med 0 (det svarer til at finde det sted hvor tangenten er vandret) Løs ligningen, og find dermed den radius der giver mindst overflade Beregn den tilsvarende højde Bestem derefter det forhold mellem højde og radius som giver mindst overflade Læg mærke til at forholdet ikke afhænger af rumfanget V. Faconen på dåsen der har mindst overflade er derfor den samme, uanset hvor stor dåsen er. I forholdet mellem højde og radius indgår nogle grimme tredjerødder, men alligevel bliver forholdet meget enkelt til sidst. Brug rod- og potensreglerne til at tjekke programmets udregning
bksp-20-15e Side 6 af 7 En dynamisk konstruktion Figur 3 viser en dynamisk konstruktion som er udført i Geogebra. Når brugeren flytter i det røde punkt R, ændres radius, og bund og låg bliver større. Samtidig bliver højden mindre, så det samlede rumfang ikke ændres. Programmet kan beregne overfladen og forholdet mellem højde og radius. Tallene kan vises med en dynamisk tekst hvor værdierne ændres når brugeren flytter punktet R. Den der har lyst til at lære Geogebras muligheder bedre at kende, kan lave konstruktionen ved hjælp af vejledningen herunder. Figur 1 Tip til konstruktionen Det kan betale sig at oprette numeriske objekter (dvs. tal). Rumfanget kan fx defineres ved at skrive V = 0.5. Konstruer en halvlinje fra (0, 0) gennem (1, -1), og et punkt R på denne halvlinje. Det er praktisk at have radius og højde som numeriske værdier. Når cirklens centrum R ligger som beskrevet, er radius lig med x-koordinaten. Skriv r = x(r) for at oprette et numerisk objekt der hedder r og har samme værdi som radius i cirklen. Når vi kender r og V, kan højden h beregnes ud fra formlen V = hπr 2. (I Geogebra kan man skrive tallet π i en formel ved at skrive det med bogstaver pi). Isoler h og brug inputfeltet igen. Når programmet har beregnet højden og omkredsen i cylinderen, kan vi konstruere hjørnerne i rektanglet ud fra deres koordinater. Den letteste måde at gøre dette er at skrive koordinaterne i inputfeltet. Man kan skrive (0,0) og (0,h)eller, hvis punktet skal have et bestemt navn, fx A, A = (0,0).
bksp-20-15e Side 7 af 7 Man kan også bruge beregningsformler som koordinater. I konstruktionen på figur 3 har et af punkterne i cylinderens rør koordinaterne (0, 2πr), og det kan indtastes som(0, 2 pi r). Konstruer rektanglet som er udfoldningen af røret, og konstruer de to cirkler som er bund og låg. Cirklen i bundet konstrueres lettest som cirkel med centrum i R og radius r. Låget kan konstrueres ved at spejle bundet, men også på mange andre måder. De dynamiske tekster er lette at lave i Geogebra 4. Man vælger værktøjet Indsæt tekst (figur 4) Figur 4 Derefter indtaster man den tekst der skal stå på skærmen, og på listen over objekter vælger man de objekter hvis værdi skal vises i teksten. Figur 5 viser situationen lige før størrelsen af overfladen O indsættes i teksten. Figur 5 Når konstruktionen er færdig, kan man eksperimentere med den for at finde frem til den mindste overflade.