FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL
Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS program. Kvadrer begge sder af lghedsteget. Plot de to fuktoer for at fde e løsg, som er reel. Du ka evt. gøre prøve ved at løse lggere f ( x) = 0 g( x) = 0. E grafsk løsg er følgede: Det ses at f ( x ) har e løsg x = og ved polyomets dvso fder v: x + x + x + = x + x + Lgge x + = 0 har løsgere x = ±. Svaret er derfor x = x = x =. På samme måde ses at g( x ) = 0 har e løsg x =, så ge fder v ved polyomets dvso: x + x x = x + x + x Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Lgge x + x + x = x = ±. har løsgere ±. Svaret er derfor Bemærk: V ser begge tlfælde at løsgere består af e reel løsg og to komplekse, der er kompleks kojugerede løsger. Så læge koeffcetere er reelle tal vl løsgere altd forekomme på dee form, altså reelle eller parvs kojugerede. Opgave a) Her er løsgere: x = x = x =. b) x = 6 x = x = +. Opgave 5 Opgave 7 I tlfælde a) er løsgere decmaltal: x = 0,6769578 ±,769850 x =,55856. I tlfælde b) er løsgere: b) Løsgere er x = x =. x = ± x =. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Kaptel Opgave a) b) Opgave + + + = + 5 5 + 8 = a) ( ) ( ) b) Re ( 9 ) = 9, Im ( 9 ) = c) ( ) = ( ) = d) Re ( 8) = 8, Im( 8) = 0 Opgave Re 5+ 7 = 5, Im 5+ 7 = 7 Re 0, Im a) ( + ) = b) ( + ) ( ) = c) d) + + = + = + Opgave Tallee = og u = 5+ er gve. Fd sum, dfferes og produkt mellem og u : + u = + u = 8 6 u = 7+ Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Opgave 5 På fgure edefor har v dteget løsgsmægdere. I a) e crkel med radus, b) e crkel med radus, c) crkelskve med radus og d) de mægde som lgger på crkle og ude for dee eller det komplemetære tl de åbe crkelskve med radus. Opgave 6 På fgure edefor er teget løsgsmægdere. I a) er det e crkel med radus og cetrum (,0 ), b) e crkel med radus og cetrum (0, ), c) e ret lje med lgge x = og d) e ret lje med lgge y =. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 5 -
Opgave 7 Nedefor er teget løsgsmægdere de fre tlfælde: a) Re( ) < b) Im( ) c) ( ) Re 5 Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 6 -
d) ( ) 0 Im < 5 Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 7 -
Kaptel Opgave Bereg modulus, hvlket er det samme som lægde af vektore: a) b) + = + = + = + = = 0 c) ( ) Opgave + = + = + = + =. Hovedargumetet betyder de første løsg, som fdes de for, (v vælger radaer her): tervallet [ [ a) mod =, Arg = 0 b) ( ) ( ) mod + = + = 7, Arg + = arcta 0,979 mod =, Arg = c) mod =, Arg = d) e) ( ) mod = mod + = mod =, Arg = = + = 6 f) mod ( ) Arg ( ) = arcta = arcta ( ) 0,9879. Opgave ( ) ( ) mod 7 + 7 = 7 + 7 = 7 arg 7 + 7 = arcta 0,78598 +. Opgave ( ) + + + = = = = = = + = 5. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 8 -
Opgave 5 Opgave 6 Idet = = = + + = + For det komplekse tal = x + y gælder at =. For hvlke talpar x og y er betgelse opfyldt? Idet () = x + y = x y. Og () = x + y x + y = x y + x y. Altså skal v løse lgge, hvor realdelee er es og hvor magærdelee er es: x y = x x y = y. Hvs y 0 fder v af de sdste lgg, at x =. Med dee værd dsat de første lgg, fder v: y y y = = = ±. Der betyder, at +. = x + y = + ± = ± = = Hvs y = 0 fder v x = x x ( x ) = 0 x = 0 x =. Så, = 0 =. Opgave 7 arg ( ) + + + Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 9 -
Opgave 8 a) Fgur af de tre komplekse tal: w w b) V skrver de to tal på polær form ( ) ( ) w = 5 = 5. = + = + = og c) V øsker at bestemme argumetet for brøke mellem w og : w Arg = Arg ( w) Arg ( ) = = d) Modulus af produktet mellem og w er 0 og vkle. Dette ses også ved drekte udregg af produktet w = + 5 = 0 + = 0. e) Tl sdst bereger v Opgave 9 w = 5 = 0 0 = 9 0. a) ( ) = + = = og ( ) = = =. 5 arg = + = +. de for hovedtervallet er. b) Dvs. de første vkel Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 0 -
Opgave 0 a) -+ + De to tal er = + = = +. Lægde af de to tal er es med værde 5. Arealet bereges emt tl 5 A = 5 =. b) Geerelt ka v udrege arealet: = x + y = y + x. Da de to tal er vkelret på hde og har samme lægde bereges arealet emt: A = = x + y = x + y ( x y ) = +. = Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Kaptel 5 Opgave Opgave Opgave Opgave Løs lgge = +. Hvs højresde skrves som a = + fder v lægde tl a = + = og dermed er løsge gvet ved: + = ± + = ± + = ± ( + ). Geerelt ka v skrve a = 5+. V ved at a a ( a) a a = a + a + a a, hvor 9 + = Re = 5 = 0 og a a = a = a + a =. Heraf fder v adegradslgge med reelle koeffceter: 0 + 9 = 0. Løs lgge adegradslgg er + 8 = 0. Dskrmate tl dee d = 8 = 6 6 + = + 6, hvor v skal uddrage kvadratrode, altså 0 + 0 w0 = + 6 w0 = ± + = ± ( + ). Løsge blver da + ± ( + ) = =. Ved kotrol fder v + = + 8. Jule har ret ford: + 5 a = + a + 5 5 a lgge + + 5 = 0, ses at a + 5 = a =. 5 = 5. Kotrol: og ved sammelgg med Bemærk, at hvs koeffcetere var reelle vlle Jakob have ret, det løsgere så er kompleks kojugerede. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Opgave 5 a) Løs lgge 5+ 5 + = 0. V fder først dskrmate d = 5 + 5 5 = 5 5 + 50 5 =, så + 0 0 w0 = w0 =± =± ( ). Løsge blver så ( 5+ 5 ) ± ( ) = = + +. + + = 5+ 5 +. ( ) Kotrol: b) Med samme fremgagsmåde som a) fder v løsge tl lgge + + + 5 = 0: d = + + 5 = 5+ 8 w = ± + så ( ) 0 ( ( + ) ± ( + ) = = +. + = + + + 5. ( ) Kotrol ). Løsge blver Opgave 6 Løsgere tl adegradslgge + = 0 er = = +. Det vl sge, at v for polyomet P skal løse lgge = = + 7 7 + =± =± +. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Kaptel 6 Opgave a) (, ) + (, ) = ( +, + ) = (, 6 ). b) (, 5) (, 6) = (, 5 6) = (, ). c) (, ) (, ) ( 0, ) ( 0, 0) (, ) = = + =, altså e drejg på 90 postv omløbsretg. d) Først udreges =, ( =, 5 5). Herefter udreges, + + produktet: ( 6, ) = ( 6, ) (, 5 5) = 5 ( 6 ( ), 6 ( ) + ), = 5 (, 8 ). e) ( ) = ( ( ) ( ) + ) = (, ) = (, ) = (, ) (, 5 5 ) f) (, ) (, ) = ( 9 6, + ) = ( 7, ). g),,, 5, 0. ( 6, ) 5 5 6 =, = 0,5; 0,05. 0 0 Opgave a) For de første 0 aturlge tal fder v:,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0 =,,,,,,,,,. b) Idet 0 (, = = = ) = ( 0,) = = ( ) = ( ) ( 0,). Fder v, at ( 5 6,,,,,, 7, 8, 9, 0 ) = (,,,,,,,,,) c) Lgge gælder, år. = {,, 8,, 0,, 8,, } d) Idet = = = følger af spørgsmål c) at er delelgt med. e) Idet = = = fder v af spørgsmål c) at er,, 0, 6,,,6,0,,. delelgt med, dvs. at { }. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Kaptel 7 Opgave Opgave Opgavere reges først håde og kotrolleres med et CAS program. de Movres formel skrves som ( cosθ + sθ) = cos ( θ) + s ( θ),. Tallet cosθ + sθ er et komplekst tal med modulus e og beskrver alle talpar på ehedscrkle med cetrum orgo. Hvs v vælger e fast vkel θ 0 er tallet et pukt på ehedscrkle, altså cosθ0 + sθ0. For ethvert helt tal er ( cosθ0 + sθ0), så lg med det pukt, som har lægde og daer vkle ( θ 0 ), f.eks. hvs θ 0 = 0 og = 5, har det ye pukt lægde og daer vkle 50 med.-akse. Eulers formel sger cosθ + sθ = e θ, derfor vl e formulerg af de Movres formel med de skrvemåde føre tl: ( e θ ) = e θ, altså e meget mere kompakt skrvemåde. Opgave Eulers formler sger: v v e + e = ( cosv + sv + cosv sv) = cosv v v e e = ( cosv + sv cosv + sv) = s v. Opgave a) e = b) e = c) d) + e = e + e e = e e e) f) e + = e cos + s,686999 +,875587 e = e cos s 0,0796559 0,88070. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 5 -
Opgave 5 Idet = = fder v: cosθ sθ = = cosθ sθ og dermed at = = ( cosθ sθ) = cos ( θ) s( θ ) Opgave 6 a) = 5 cos 5 + s 5 = 5 cos5 + s5 ( ) = 5 + = cos + s = 8 0+ = 8 6 6 b) ( ) Opgave 7 a b) 7 7 7 = + = e = e = 6 e Opgave 8 a) ( + ) = ( 8 + 8 ) = 56 ( + ) b) ( cos s ) 56 Opgave 9 = + = + = +. Reducer ved brug af de Movres formel a) b) 6 6 ( ) ( 6) ( 6) ( ) 6 6 = = cos + s = 6 + 0 = 6. 5 5 ( = 8 ) = 6 8 ( cos( 5 ) + s( 5 )) = 6 8 ( + ) = 8 ( + ). 5 5 Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 6 -
Opgave 0 ( ) ( ) ( ) ( cos ( 5 ) s ( 5 )) ( cos ( 5 ) s ( 5 )) = + + = + + = + + + for = ( 0 + + 0 ) = 0 for = = ( + ) = for = ( ) = 8 for = Opgave Idet = cos + s Opgave a) b) Opgave 6 6 fder v 6 w = = cos + s = 79 0 = 79 ( + ) ( ) ( ( )) + 6 6 6 9 9 9 6 6 ( e ) ( e ) = = 9 e 7 = = e = e. e Det betyder at argumet er + og lægde. ( + ) ( ) ( 5 ( + 5 5) ) ( ( 5 5) ),075 e = = 5 5 5 e 9 9,075, = 5 5 e. Så argumet er, + og lægde 5 5. a) Af lgge ( ) + = + = e, ser v at det mdste hele tal som gver et reelt tal er =, det e = e =. b) Som ovefor fder v: Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 7 -
( ) + + e = = + + e e. = Heraf ses at det mdste hele tal er, så 6 e = = 6. Opgave Afsæt de komplekse pla potesere ( ) =, cos + s =, e a) =, e ; =, e ; =,6 e 5 6 7,,,,, og 5 7 5 6 7 =,605 e ; =,7756 e ; =,987 e ( ) = 0,9 cos + s = 0,9 e b) = 0,8 e ; = 0,79 e ; = 0,656 e 5 7 5 6 7 = 0,5909 e ; = 0,5 e ; = 0,7897 e år Opgave 5 V beytter os af de Movres formel: cos ( θ ) + s( θ) = ( cosθ + sθ), hvor v udreger højresde cos θ + cos θ sθ 6 cos θ s θ cosθ s θ + s θ = ( θ ) cos θ 6 cos θ s θ + s θ + cos θ sθ cosθ s = x + y. Hvoraf v straks ser at: s θ = cos θ sθ cosθ s θ = 8 cos θ cosθ sθ cos θ = cos θ 6 cos θ s θ + s θ = 8 cos θ 8 cos θ +. Opgave 6 Lad = cosθ + sθ, så fder v: ( θ ) ( θ ) ( θ) ( θ) ( w = + = cos + s + cos s θ = cos. ) Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 8 -
Kaptel 8 Opgave V skal løse lgge løsge: 5 + 5 =± + =± +. = +. Idet r = + = 5, fder v Opgave 5 V betragter lgge =. = r cosθ + sθ = cos + s, ka v ved brug Idet, af de Movres formel ka lgge skrves som: 5 ( cos 5θ s 5θ) ( cos s) r + = + 5 θ θ 5 5 r = 5 = + r = = + for = 0,,,,. Røddere er: = cos + s, = cos + s, = cos + s ( 5 5) ( 5 5 ) 7 7 9 9 0 = cos + s, = cos + s 5 5 5 5 5 Røddere teges de komplekse pla: Opgave a) = 6 6 = ( cos 0 + s 0). Ved brug af de Movres formel ses, at Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 9 -
( cos θ sθ) ( cos 0 s 0) r + = + r = θ = 0+ r = θ = for = 0,,. Røddere er: = cos0+ s0 = ; 0 ( ( ) ( )) ( ) ( ) = cos + s = + = + ; = cos + s =. ( b) For at løse lgge = 7, går v frem som a): 7 = 7 cos + s ) og ved brug af de Movres formel fder v: r cos s cos s θ + θ = + Opgave r = θ = + r = θ = + for = 0,,. Røddere er: = cos + s = ; ( 7 7 ) ( ) 0 = cos + s,59808,5; 6 6 = cos + s,59808,5. 6 6 = = ( cos0 + s0 ) ( ( cos 0 s 0 )) ( cos 90 s 90 ) a) Lgge w har e rod w = + = + = 7. b) Idet der er tre rødder, deles 60 tre lge store stykker, så vklere er 0,50, 70 og dermed ka v skrve de to adre løsger: ( ) ( ) = + = + cos50 s50 ; = cos 70 + s70 =. Idteges de tre rødder fder v:, så Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 0 -
Opgave Lgge = w har e rod s = cos + = +. Det ses at, at v har e ehedsrod og dermed er der tre adre rødder med 90 mellem sg: = + = + cos s ; 5 5 = + = cos s ; 7 7 = + = cos s. Opgave 6 Fgure vser røddere tl lgge = w. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Røddere er: a) 0 = ; = ; = ; =. b) Lgge er Opgave 7 = 6. Løs lgge og svar polær form. V beytter de Movres formel og sætter = cosθ + sθ : = = cos0+ s0 r = θ = a) r = θ = for = 0,,. 5 b) = = cos + s r = 5θ = + r = θ = + for = 0,,,,. 5 5 c) = = cos + s r = θ = + r = θ = + for = 0,,,. 8 6 6 d) = 79 79 = 79 cos 0 + s0 r = 79 6v = r = v = for = 0,,,,,5. e) = 6 6 = 6 cos + s r = 6 v = + r = v = + for = 0,,,. f) θ = + = = cos + s r = = + θ 6 r = = + for = 0,,. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Opgave 8 a) = ( cos + s ). θ = = cos + s r = = + b) c) r = θ = + for = 0,. Opgave 9 Røddere tl lgge lgg er det? = w lgger på e crkel med radus 5. Hvlke V fder ud fra fgure, at lgge er = ( + ) 5. Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Opgave 0 a) Hvor mage reelle og hvor mage kke reelle rødder har lgge: = 6 6 = 6 ( cos 0 + s0) r = 6 θ = r = θ = for = 0,,,. Dvs. to reelle løsger og to komplekse løsger. 5 5 = = cos 0 + s0 r = 5θ = b) r = θ = for = 0,,,,. 5 Dvs. e reel løsg (år = 0 )og fre komplekse løsger. 9 9 = = cos + s r = 9θ = + c) 9 θ 9 9 r = = + for = 0,,,,8. Dvs. e reel (år = 00 = 000 000 = 000 cos 0 + s0 ) løsg og 8 komplekse løsger. d) 00 r = 000 00θ = 00 r = 000 θ = for = 0,,,,99. 000 Dvs. e reel løsg og 99 komplekse løsger. Opgave Skrv e poteslgg af type er =. 0 0 5 0 0 0 5 = w som har 0 rødder, hvoraf e = = = = = = =, altså er lgge gvet ved 0 =. Opgave 7 a) Betragt lgge =. 7 7 = = cos0+ s0 r = 7θ = 7 r = θ = for = 0,,,,6. Dee lgg har 6 komplekse rødder. b) De har fre rødder lggede.-kvadrat. Opgave Skrv formle som gver samtlge rødder tl lgge = 5. = 5 5 = 5 cos + s r = 5 θ = + p r = 5 θ = + p for p = 0,,,,. Eller v ka skrve løsge, som: = 5 cos + p + s + p for p = 0,,,,. ( ( ) ( )) Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - -
Komplekse fuktoer FACITLISTEN Formelsamlg a + b r e θ a = r cosθ r = a + b b = r sθ a θ = arcta + sg b a b r e a + b r a = r cosθ Re ( ) Im( ) b = r sθ arg arg ( ) arg ( ) arg ( w) arg ( ) + arg ( w) arg ( w ) arg ( ( arg ( ) arg Arg ( ) arcta b a θ b θ ], ] ± ( a ± a) + ( b ± b) ( a a b b) + ( a b + a b) r r ( e θ θ ) = a b a + b a + b a a + b b a b a b + a + b a + b = a + a r + a r =± a a + a + b + c = 0 b ± w0 =, w0 = d a m = m sg a a e ( e cosb) + ( e sb ) l l + θ L l + Arg ( ) = w θ + k ak = r cos og θ + k b = r s k k = 0,,,, e θ r r r r r ( θ θ e ) e m a e θ m e θ b e ( θ + k ) k = r e hvor k = 0,,,, Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 5 -
Mchael Agermose Jese & Uwe Tmm - 6 -