Kompendie Komplekse tal

Transkript

1 Kompedie Komplekse tal Prebe Holm "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske fuktioer til komplekse tal. Jeg har derfor valgt at friske disse to formler op: 98 cos (s + t) = cos (s) cos (t) si (s) si (t) 1'43 si (s + t) = si (s) cos (t) + cos (s) si (t) :<;>=?;@;AA';B&C,ADFE#G#*IHJ&(;@=K*%;LE#MONJDP,QH RS;T* UVXW7YKZ 7[?\ ]^]`_X_a]cbed7_ R x 9f :<;>H0)+ghEcA';@H RS;B&(,ADFE#G%*%HJ&C;T=K*I;i$kjNmlocp4DPEcA',*I;* U VaWqY?Z y C z Im(z) Re(z) 5([sr%tquwvK_a]^xCyz]#bed{_ R x Det komplekse tal z repræseteres på forskellige måder. Bl.a. de rektagulære form: z = x + yi hvor i repræseterer imagiærdele af tallet. i er også defieret som: i = 1

2 7} ~ + 4 oƒj 9 4 e ˆ +ŠI Œ Œ C OŽK # k)+aš =".)0=Kg Et komplekst tal ka også repræseteres polært. Til det skal vi avede ogle adre begreber: œž aÿ Modules af et komplekst tal "svarer til"lægde af e vektor: Modulus af z = x + yi ka skrives: Re(z) + Im(z) x + y œž aÿ ª «s C±³²^ S² µ s«s² s ž ¹ 9 `²²^º? Argumetet for et komplekst tal z svarer egetlig til de vikel φ mellem x-akse og de vektor som repræseterer det komplekse tal. Ma skriver arg(z). Hovedargumetet Arg for z er de værdi af arg(z) som ligger i itervallet 0 < Arg(z) π Argumetet for z arg(z) ka fides ved at tage arcta til imagiærdele delt med reeldele: arg(z) = arcta imagiærdel reeldel Dog skal ma bemærke at tages ka syde og give falske vikler. Derfor skal ma huske at følgede skal være opfyldt: cos θ = Re(z) z si θ = Im(z) z Det er automatisk opfyldt, hvis ma husker på edeståede: arg(z) = arcta imagiærdel reeldel + pπ, p {0, 1, } p = 0, år reeldel og imagiærdel positiv p = 1, år reeldel egativ p =, år reeldel positiv og imagiærdel egativ På de måde fider ma automatisk hovedargumetet for z. œž aÿ X» ¼ C±½ S ž C±³²^ 9¾ + ž Àw«µ s«der er lidt diskussio om, hvorvidt ma skriver de polære form (arg(z) = θ og z = M). De polære form ka skrives såda: eller såda: z = z arg(z) z = M θ z = z e arg(z)i z = Me θi 5

3 Ö Ç Á ÃÄ+ TÃ' m IŽ Ã` Ši %ÅÆ Œ C OŽK # eller for de sags skyld såda: z = z (cos arg(z) + i si arg(z)) z = M(cos θ + i si θ) De sidste her, meer jeg, blot er e omregigsmetode fra polær form til rektagulær form og ikke e egetlig opskrivigsform af det komplekse tal. ÈÊÉ É ËË ÌÍÎÏ ÐÑT QmwË ÒÓÔk T Õ Hvis z = a + bi w = c + di så er: w + z = a + c + (b + d)i z w = a c + (b d)i ØÏ Ë Ë#ÙË` ÌÓÔ ` Õ For multiplikatio ka følgede siges: gag paratesere ud og sæt i lig med -1 dvs. at hvis z = a + bi og w = c + di så er: z w = (a + bi)(c + di) = a c + a di + b ci + b d i = a c b d + (a d + b c)i f ÚÛG#AÄ&?$'EcA$'H, &?$')+*Ê,Q. &C,AE%MÜEm)+Aš¹=Ô.)0=Kgh;TA Hvis z hos z = r og arg(z) = θ me w hos w = s og arg(w) = φ så er z w = r s og arg(z w) = arg(z) + arg(w) Geerelt ka skrives:»t œž œ Ýw SÞ@¾ arg(z w) = arg(z) + arg(w) z w = r s Hvis vektore z og w er repræseteret ved: z = r(cos θ + i si θ) w = s(cos φ + i si φ) ß

4 ~ˆà%Ã4á à CÃ` Ši %ÅÆ Œ C OŽK # så er: Re(z) = r cos θ Im(z) = r si θ Re(w) = s cos φ Im(w) = s si φ produktet af disse to komplekse tal er derfor givet ved: z w = r(cos θ + i si θ) s(cos φ + i si φ) z w = r s((cos θ cos φ si θ si φ) + i(si θ cos φ + cos θ si φ)) Ved brug af de trigoometriske additiosformler fås: z w = r s(cos(θ + φ) + i si(θ + φ)) z w = r s cos(θ + φ) + i r s si(θ + φ) Det ka herudaf ses at modulus for det komplekse tal z w er: z w = r s edvidere ka det også ses at argumetet til z er: arg(z w) = i r s si(θ + φ) â ã ËåäËTË æóôk T Õ For at kue dividere et komplekst tal, skal ma kede til begrebet "komplekst kojugeret". Et kompleks kojugeret tal, er blot et kompleks tal, hvor de imagiære del gages med -1: Hvis w = c + di så er de komplekst kojugerede værdi w = c di. Hvis: så er z w : z = a + bi w = c + di z w = a + bi c + di (a + bi)(c di) = (c + di)(c di) ac + bd + (bc + cd)i = c + d ac + bd bc + cd = c + + d c + d i NB! For regig i C, som ku ivolverer additio, subtraktio, multiplikatio og divisio gælder de samme regler som i R. NB! Brug aldrig uligheder så som i C. ç

5 ê è J+ Jé Å ŽQŠ%Ã'Š L %ÅÆ Œ C OŽK # ëêkìóp Ë ÍíÓÆk T Hvis et komplekst tal opløftes til et adet tal, hvor er et heltal 1 så er z = z z...z Det vil ma blive ret træt af, hvis blot er lidt større ed 5. Derfor ka ma avede flg.: z = z arg(z ) = arg(z) Ma ka jo så altid fide hovedargumetet udfra selve argumetet ved at fide det tal som ved multiplikatio kommer tættes på argumetet, evt. lidt større da hovedargumetet skal ligge mellem π. og π î ïð$w,*%!%;t* I C gælder der, at der for ethvert z 0 har ligige w = z to løsiger: w 1 og w : Hvis z = r(cos θ + i si θ), dvs. z = r, arg(z) = θ så er de to løsiger w 1 = r(cos θ + i si θ ) w = r(cos θ + π + i si θ + π ) Eller på polær form: î 98 ïð$ *ño&(; w 1 = r e i θ w = r e i( θ + π ) Ligige w = z, z givet, har (hvis z ), løsiger. Hvis z = r og arg(z) = θ så: w 1 = r(cos θ + i si θ ) w = r(cos θ + π w = r(cos θ + ( 1)π + i si θ + π ) + i si θ + ( 1)π ) Eller på polær form: w 1 = r e i θ w = r e i( θ + π ) w 3 = r e i( θ + π ) ò

6 õ ó à# +ŠO + ( Ô Œ C# ŠI ŒŠŽ Ã' % ÅcŠ% Ž Ã` Š w k = r e i( θ +(k 1) π ) w = r e i( θ +( 1) π ) ö ä#éñ QÙT QÉÑ æóæ Hvis z = x + yi så er kvadratrode givet ved: hvor A = x+ x +y y x + yi = A + i A Når x + yi er et reelt tal < 0 (dvs. y = 0 og x < 0), så bliver A = 0, og da giver formle ige meig. Derimod ka ma fide z (år z er et reelt egativt tal) ved flg.: z = x hvor x er et positivt reelt tal. = i x ø ã ùk T Ñ Ë`Ó Ï wë Hvis ma ser på de komplekse ekspoetialfuktio, fider ma ud af at de sædvalige idetitet stadig gælder: e z e w = e z+w, z, w C Derfor bliver: arg(e z e w ) = arg(e z ) + arg(e w ) og e z e w = e z e w = e z+w û