Ekstra termodynamikopgaver i Fysik, 00/4 F Opgave Tre opfindere, A, B og C, fortæller dig at de hver har designet en varmemaskine A s maskine kan udføre et arejde på 0 J ved tilførsel af 50 J med en spildvarme 40 J B s maskine kan udføre et arejde på 90 J ved tilførsel af 50 J med en spildvarme på 70 J C s maskine kan udføre et arejde på 90 J ved tilførsel af 50 J med en spildvarme på 60 J For alle tre maskiners vedkommende er det varme reservoir ved temperaturen 500 K og det kolde ved temperaturen 00 K a) To af maskinerne er ufysiske Hvilke to maskiner er ufysiske og hvorfor? Opgave En fleksiel allon indeholder 055 mol H S I egyndelsen har allonen et volumen på 7050 m og en temperatur på 6 o C Ballonen udvider sig nu isoart til den har det doelte volumen Derefter ekspanderer den adiaatisk indtil temperaturen er på den oprindelige værdi Gassen kan ehandles som en ideal gas med =460 J/(mol K) og = a) Hvor stor en varmemængde Q er tilført allonen under den skitserede proes? ) Hvor stor er ændringen i den indre energi af gassen ) Hvor meget arejde W har gassen udført? d) Hvad er allonens volumen til slut? Opgave En monoatomar ideal gas har tryk og temperatur Gassen efinder sig i en ylinder med volumen, der er udstyret med et evægeligt stempel, så det kan udføre arejde på sine omgivelser i etragter en kredsproes der estår af følgende delproesser: i) gassen opvarmes ved konstant volumen til den når trykket med >; ii) gassen udvides ved konstant temperatur indtil dens tryk er tilage til ; iii) gassen afkøles ved konstant tryk indtil volumenet er tilage ved Alle svar edes udtrykt ved,, a) Hvor stor en varmemængde tilføres systemet ved første delproes? ) Hvor meget arejde udføres af gassen i delproes? ) Hvor meget arejde udføres af gassen under delproes? Opgave 4 00 mol af en ideal, énatomig gas har i tilstanden a 00 atmosfæres tryk og temperaturen 9 K, og gennemgår en kredsproes, som skitseret i figuren Først udvides gassen isotermt, så rumfanget forøges til 560 L Dernæst trækkes varme ud af gassen ved konstant volumen, således at trykket i gassen falder Endelig liver gassen ved en adiaatisk kompression ført tilage til starttilstanden a) Beregn trykkene p og p ) Bestem temperaturen T ) Bestem gassens entropiændring for den isohore proes d) Bestem virkningsgraden af varmemaskinen
Opgave 5 En ideal gas efinder sig i en tætsluttende eholder Man ønsker at fordole gassens volumen og tryk ved at udføre to efterfølgende delproesser Delproesserne kan være isohore, isoare eller isoterme proesser a) Hvor mange forskellige muligheder er der for sammensætning af de to delproesser, så det ønskede resultat opnås? Skitsér de mulige proesser Opgave 6 En lodret stående ylindrisk eholder er lukket i unden og har et stempel i toppen Stemplet kan evæge sig gnidningsfrit Beholder og stempel er så godt varmeisolerede, at man kan se ort fra varmeudveksling med omgivelserne Man kan endvidere se ort fra eholder og stempels varmekapaitet Beholderen indeholder n mol af en énatomig, ideal gas, og over stemplet kan der antages at være vakuum Til at starte med har den indespærrende gas et rumfang på, og der er ligevægt mellem trykkraften og tyngdekraften på stemplet Stemplets masse er m og dets tværsnitsareal er A Nu trækkes stemplet ud, indtil gassens rumfang er forøget til det doelte af ) Bestem hvad trykket p og temperaturen T nu er ) Beregn det arejde, som henholdsvis tyngdekraft, gassen og den ydre kraft udfører under proessen Opgave 7 En isoleret eholder er delt i to af et tætsluttende, isolerende stempel I hver af de to dele af eholderen efinder der sig i startsituation (se figur, (a)) en ideal gas med = De to gasser har i startsituationen egge tryk p 0, volumen 0 og temperatur T 0 (a) () Der tilføres nu langsomt en varmemængde til den del af eholderen, der er til højre for stemplet Under varmetilførslen evæger stemplet sig mod 64 venstre Når varmetilførslen stopper, er trykket i højre ende af eholderen p = p (se figur, ()) 7 0 a) Hvilken termodynamisk proes udsættes gassen i venstre del af eholderen for under varmetilførslen? Bestem slutrumfangene og
) Bestem temperaturerne T og T ) is, at arejdet som stemplet udfører på gassen i venstre halvdel af eholderen er givet ved W = p * 0 0 Opgave 8 En varmemaskine tænkes sammensat af to varmemaskiner, hvor spildvarmen fra den ene maskine tilføres den anden irkningsgraderne af de to maskiner er henholdsvis e og e irkningsgraden af den sammensatte maskine defineres som summen af de to maskiners arejde divideret med varmen tilført den første maskine Maskinen er illustreret i figuren til højre a) is, at virkningsgraden af den sammensatte maskine er e = e + e e e
LØSNINGER Opgave løsning: Før vi kigger nærmere på nogle af maskinerne undersøger vi om de overholder fysikkens love De skal for det første adlyde termodynamikkens første hovedsætning Da maskinerne antages at operere i en kredsproes har vi, at =0 og dermed må det kræves at + =0 For de tre maskiner kan vi indsætte de opgivne talværdier og får: 50 40 0= 0, 50 70 90= 0 0 og 50 60 90= 0 i har derfor ikke lyst til at se nærmere på B s maskine idet vi tror på termodynamikkens første hovedsætning og der for B s maskines vedkommende ikke redegøres for al energien Der er også et krav om at maskinerne ikke kan være mere effektive end en Carnotmaskine hvis reservoirer har samme temperaturer Den maksimale virkningsgrad vi kan tillade er derfor e Carnot = 00 500 = 040 For As maskine finder vi virkningsgraden til at være e A= W = 0 Q H 50 = 044 og for C s maskine e B= W Q H = 90 50 = 06 A s maskine er ifølge opfinderen mere effektiv end en Carnotmaskine der opererer med samme reservoirtemperaturer og der er derfor ingen grund til at se nærmere på den C s maskine ser i det mindste ud til at være mulig, så måske den var værd at studere nærmere Opgave løsning: i enytter indies, og til at referere til de tre tilstande i p-diagrammet Det er en god ide at tegne proessen i et p-diagram a) I første ekspansion (isoar) er trykket konstant mens allonens volumen øges og der må derfor være tilført varme I den adiaatiske proes udveksles ikke varme i skal enytte formlen for isoarer: = Δ For en isoar gælder = der giver = =598 K Indsat fås = 67 kj ) Ændringer i den indre energi af en ideal gas afhænger af temperaturændringer og er uafhængig af ændringer i tryk og volumen Ændringer i indre energi kan eregnes somδ = Δ, dvs at vi har Δ =0 ) Første hovedsætning lyder Δ = og da Δ =0 finder vi = =67 kj d) For adiaaten gælder = ; desuden har vi at =, =, og =, der indsat giver = =000 m Opgave løsning: Det er en god ide at tegne proessen i et p-diagram a) Den tilførte varmemængde for en isohor proes er = Δ = i skal have estemt sluttemperaturen T og vi husker at for en monoatomar ideal gas er C = R og at antallet af mol i gassen for en ideal gas er n= p RT For en isohor proes har vi, at T p = T p = T Ap = så T = AT Indsat giver dette = der kan redueres til
) For en isoterm proes eregnes arejdet vha W = = og idealgasligningen giver p= nrt pd Idet den isohore proes giver får vi W nrt = d = nrat d hvor vi har enyttet at T = AT Endelig giver indsættelse af n= p RT at arejdet kan eregnes som W = p RAT RT d = Ap log og for volumenforholdet eregner vi = nrt = nrt = nrat = A p p p så slutfait liver = ln ) For den sidste delproes er arejdet let at eregne idet der er tale om en isoar proes i finder = = =, der er negativt, dvs at omgivelserne har udført et arejde på gassen Opgave 4 løsning a) Gassen er énatomig, så = 5 / a Isoterm a : paa = p p = pa = 049 atm a Adiaat a er: paa = p p = pa = 044 atm ) p p p Isohor : = T = T = 67 K T T p ) Isohor proes er irreversiel men da entropien er en tilstandsfunktion tænker vi os en reversiel isohor proes med samme start- og sluttilstand ds = dq / T = nc dt / T = n RdT / T dt T Entropiændring : n R = n R ln = 70 J/K T T T T d) Arejde a (isoterm): Wa = nrta ln = 06 kj a Arejde (isohor): W = 0 J Arejde a (adiaat): Wa = ( p paa ) = 57 kj Arejde totalt: W = Wa + W + Wa = 490 J arme tilført: Q = Q = W = 06 kj H a a W W irkningsgrad: e = 08 Q = W = H a
Opgave 5 løsning Der er i alt *=6 muligheder for at sammensætte proesserne Alle 6 kan give de ønskede ændringer i volumen og tryk I figuren er vist alle seks muligheder Opgave 6 løsning: a) Ligevægt for stemplet etyder, at der er alane mellem kraften fra trykket af gassen og vægten mg af stemplet: p A = mg p = A Der er tale om en adiaatisk ekspansion til det doelte rumfang, så mg mg = p = p p = Temperaturen findes nu via idealgasligningen: A A mg p = nrt T = AnR ) Da stemplet er i hvile før og efter udtrækningen er K = 0, så det samlede arejde W på stemplet er ifølge arejdssætningen 0 Der er tre kræfter der udfører arejde, når stemplet liver løftet: Tyngdekraften, som udfører arejdet = mgh Trykkraften fra gassen udfører arejdet W t mg W gas = p (adiaatisk ekspansion) på omgivelserne (= stemplet) Indsættelse af A mg mg mg tidligere eregnede udtryk for p og giver W gas = = ( ) A A A( ) Endelig kan den ydre krafts arejde eregnes fra W = 0 W = W W W = mgh W træk t gas træk gas
Opgave 7 løsning a) Da der ikke udveksles varme med omgivelserne er proessen 0 adiaatisk Adiaat(0 ): p00 = p 64 Ligevægt(): p = p = p 7 0 = = 7 9 0 64 6 0 Rumfang uændret: + = 0 = 6 0 ) p00 p p 64 9 4 Ideal gas(0 ): = T = T0 = T0 = T 7 6 0 T0 T p00 p00 p p 64 9 Ideal gas(0 ): = T = T0 = T0 = T 7 6 7 0 T0 T p00 ) Da venstre halvdel er isoleret ( Q = 0 ) liver arejdet udført på gassen til indre energi i gassen HS: U = Q W W = U = nc ( T T ) 0 p00 4 W = R ( T 0 T0 ) = p 00 RT0 W er arejdet udført af gassen i venstre halvdel, vi søger arejdet på gassen: W* = W = p00 Eller direkte eregnet: 9 64 W = W = ( p p ) = p = p 6 7 * 0 0 0 0 0 Opgave 8 løsning a) W Maskine : e = QH W W Maskine : e = Q = H QC W + W W W eqh eqc Maskine +: e = = e + = e + = e + = e QH QH QH QH QH eqc e = e = e e ( e ) = e + e ee Q H