Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1
Arealer 2 Som du ved fra tidligere, betyder arealer: område, overflade eller størrelse. Beregningen af et areal kræver, at man har en højde og en grundlinje, eller en bredde og en længde. Et areal er et fladt område, der kan have mange forskellige former, men aldrig en "fylde" eller et rumfang. Eksempler på arealer er: skolegårdens område, en fodboldbane, væggen i et klasseværelse, et stykke papirs størrelse, en overflade på et bord osv. Her en kort gennemgang af, hvad du lærte i "Mattip om Arealer 1." Læs teksten og svar på spørgsmålet om figuren: 1 En figur som dette kvadrat, der ikke er har en defineret størrelse, kan man i stedet vælge at sige har et areal på 16 felter. Man kunne også vælge at måle den i cm og så bruge formlen for beregning af et kvadrat: Areal = side side eller Areal = s² Hvad er arealet af dette kvadrat i kvadratcentimeter (cm²)? 2 Dette rektangel er allerede defineret. Et felt er lig med 1 kvadratcentimeter (cm²). Alligevel kan man ikke kun sige, at arealet på rektanglet er 6. Det er her vigtigt at huske benævnelsen kvadratcentimeter i svaret. Altså er arealet = 6 cm² 1 cm² Arealet på et rektangel findes ved at gange højde med grundlinje eller bredde med længde. Hvad er arealet af figur A? A 3 Et parallelograms areal kan findes ved at måle højden (h) og gange den med grundlinjen (g). Det er vigtigt, at du måler højden vinkelret på grundlinjen og ikke siden til grundlinjen, da denne altid vil være længere end højden. Arealet på et parallelogram findes ved følgende formel: Areal = h g B h g Hvad er arealet af figur B i cm²? 2016 mattip.dk 2
4 Find arealet af følgende figurer ved at måle og gange. Udfyld derefter et skema som det viste i dit hæfte: Areal af kvadrat: A = s s 1 2 "s" står for side Areal af rektangel: A = l b "l" står for længde, "b" for bredde Areal af parallelogram: A = h g "h" står for højde, "g" for grundlinje 3 4 5 Figur nr. Type (kvadrat, rektangel...) Formel (A=h g ; A=s s ; A=l b) Areal (cm²) 1 Kvadrat A = s s A = 4 4 = 16 cm² 2 6 3 4 5 6 2016 mattip.dk 3
Trekanter Når man skal finde arealet af en trekant, skal man bruge denne formel: A = h g A = 2 1 h g Du kan sikkert genkende en del af formlen fra tidligere. Højde gange grundlinje er jo formlen for arealet af en firkant (rektangel). Men hvorfor skal man pludselig gange med en halv? Når man ganger med en halv, forsvinder halvdelen af det, man har. Hvis man f.eks. ganger tallet 10 med 0,5, så har man kun 5 tilbage. En trekant udgør altid det halve af en firkant. Prøv at se på eksemplet herunder med en retvinklet trekant: "A" er areal "h" er højde "g" er grundlinje højde grundlinje Man kan sige, at trekanten, hvis man kopierede den, altid ville kunne sættes sammen til en retvinklet firkant. Det gælder for alle typer af trekanter. Nogle gange vil man skulle klippe i kopien, men man vil altid kunne danne en vinkelret firkant. Se et eksempel mere herunder: 5 Tegn et rektangel i dit hæfte. Det skal være 4 cm højt og 6 cm bredt. Svar på følgende: a) Hvad er arealet af rektanglet? Del firkanten i to trekanter med en enkelt streg. b) Hvad er arealet af en af de to trekanter? c) Hvad er arealet af de to trekanter tilsammen? Tegn denne trekant (figur Q) i dit hæfte: 6 Q a) Hvad er arealet af trekanten? b) Dan et rektangel ud af figuren ved at gøre som vist ovenfor. Kan det gøres på mere end en måde? 2016 mattip.dk 4
En trekants højde afmåles vinkelret fra grundlinjen til den ovenforstående vinkel. En trekant har altså 3 forskellige højder, alt efter hvilken linje man vælger som grundlinje. I denne trekant er højden forholdsvis let at måle. Man slår en vinkelret streg fra grundlinjen (blå) til vinklen over. Derefter måles denne. højde grundlinje Lidt sværere bliver det, hvis grundlinjen er valgt som den grønne linje herunder. Det er nemlig ikke muligt at lave en vinkelret streg fra den eksisterende grundlinje og op til den modstående vinkel. Så må man forlænge den som vist med linealen: Linjen forlænges Den vinkelrette højde markeres Højden fra den grønne grundlinje måles højde grundlinje højde grundlinje På samme måde som ovenfor kan den sidste højde i figuren findes. Indtegnes alle højder i samme figur, ser det således ud: 2016 mattip.dk 5
7 Tegn en trekant, der ligner den viste (figur Z). Den skal have en grundlinje på 6 cm og en højde på 4 cm midt på grundlinjen: a) Hvad er trekantens areal? b) Find og tegn de andre højder i trekanten. c) Tegn trekantens omkringliggende firkant (der er flere løsninger). 8 Gør følgende: a) Tegn en retvinklet trekant, hvor en side er 5 cm og arealet af hele trekanten er 15 cm². b) Marker højderne i trekanten. c) Tegn en trekant med det halve areal (der er flere løsningsmuligheder). 9 Tegn en trekant med sidelængderne 4 cm, 7 cm og 6 cm. Hvad er arealet af trekanten? 10 Tegn trekanten med hjørnerne A, G og F A a) Beregn arealet af trekant AGF. b) Tegn nu trekanten, hvor siderne GF og GA er halvt så lange. c) Hvad skete der med arealet, efter du halverede de to sider? G F 11 Se på tegningen af husets facade herunder. En cm² på tegningen er lig med 1 m² i virkeligheden: a) Hvor mange kvadratmeter af facaden udgør døren? b) Hvor stor er den side af taget, du kan se, i kvadratmeter? c) Hvor mange kvadratmeter mursten kan du se på tegningen? 12 Lav en tegning af et hus, hvor følgende er opfyldt: a) 1 cm² på tegningen er lig med 1 m² i virkeligheden. b) Muren, man kan se, er 3 gange så stor som taget (vinduer og døre tæller med). c) Taget skal være en ligebenet trekant. 2016 mattip.dk 6
Trapezer En trapez er en firkant (polygon), hvor mindst 2 af siderne er parallelle. Der findes forskellige typer af trapezer, her er vist 3 forskellige: c a b d En "normal" trapez er defineret ved, at to af siderne er parallelle (a og b i denne trapez). De to andre sider er ikke (c og d). c a b d En ligebenet trapez er defineret ved, at to af siderne er parallelle (a og b i denne trapez), og de to andre er lige lange (c og d). z x a b En retvinklet trapez er defineret ved, at to af siderne er parallelle (a og b), og at der samtidig er mindst to rette vinkler i figuren (vinkel z og vinkel x). Lige meget hvilken af de ovenstående trapezer man ønsker at finde arealet på, skal man benytte den samme formel: A = h (a + b) "A er areal "h" er højde "a og b" er de parallelle linjer i trapezen 13 14 Tegn en "normal" trapez, hvor de parallelle sider (a og b) er 3 cm (side a) og 5 cm (side b). Højden fra b til a skal være 4 cm. Tegn en ligebenet trapez, hvor de parallelle sider (a og b) er 4 cm (side a) og 6 cm (side b). Højden fra b til a skal være 5 cm. a) Hvor lange bliver siderne c og d i denne trapez? 2016 mattip.dk 7
15 Tegn en retvinklet trapez, hvor de parallelle sider er 6 cm og 9 cm. Højden i trapezen skal være 7 cm. a) Hvor stort bliver arealet af denne trapez? b) Hvor stor er den spidse vinkel i trapezen? 16 Familien Hansen har delt deres have op i forskellige geometriske felter. De har valgt at plante forskellige afgrøder i felterne. Radiser Salat Gulerødder Hus Kartofler a) Hvilken afgrøde har fået mest plads i haven? b) Hvilken afgrøde har fået mindst plads? c) Hvis 1 cm på tegningen er det samme som 2 m i virkeligheden, hvor stort er familien Hansens hus så i kvadratmeter (m²)? 17 For at lave den sidste opgave skal du bruge en stor lineal eller nogle målebånd. Du må gerne bruge lommeregner til at løse opgaverne. Sammenlign med andre klassekammerater og få jeres lærer til at udregne facit til sidst: Udregn arealet af: a) Dit bord i kvadratcentimeter (cm²). Find derefter arealet i kvadratmeter (m²) ved at dividere med 10.000. b) Dit gulv i klasseværelse i kvadratmeter (m²). Find derefter arealet i kvadratcentimeter (cm²) ved at gange med 10.000. c) Find arealet af. (vælg selv et sjovt areal at udregne). Evaluering Vend tilbage til målene på forsiden. Udfyld målpilene og skriv i dit hæfte, hvad du har lært. 2016 mattip.dk 8