12. februar 2004 Rolf Poulsen ASOR Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Mandag 9/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksemplerne. Onsdag 11/2: Resten af afsnit 3.3 (incl. en udflugt om estimation af rentestruktur; se mere i opgave 6 nedenfor) og afsnit 3.4 om NPV-kriteriet pånær nogle eksempler. Kommende forelæsninger Mandag 16/2: Resten af 3.4 og så meget af 3.5, jeg kan nå. Onsdag 18/2: Resten af kapitel 3, derefter afsnit 4.1, hvor vi møder modeller med usikkerhed. Øvelserne 20/2 eller 25/2 Lav nedenstående opgaver. Opgave 1 er eksamenslignende, det er 2-5 ikke specielt, og 6 er mest for de interesserede. (Hvilket man delvist tvunget kan blive ved senere lejlighed. Dog næppe omkring 1. juni 2004.) Vh, Rolf 1
Opgaver til 3. øvelsesgang 1. (En opgave jeg har tyvstjålet fra faget Værdipapiranalyse på HHK) Betragt et lille obligationsmarked med nedenstående 4 obligationer (i en fuldt stiliseret verden dvs. nu er tid 0, betalinger falder på tid 1,2 og 3.) Type Kuponrente Løbetid Kurs A St. lån 4% 1 101,00 B St. lån 4% 2 100,00 C St. lån 4% 3 99,00 D Serielån 4% 3 100,50 Bestem effektiv rente og Macaulay varighed (dvs. varighed baseret på effektiv rente) og tilsvarende konveksitet for de 4 obligationer. Bestem effektiv rente og Macaulay varighed for en porteføjle bestående af 1 stk. af obligationerene A, B og C. Sammenlign varighed og effektiv rente for ovennævnte portefølje med varighed og effektiv rente for obligation D. Kan vi heraf konkludere, at der er arbitrage i markedet? Bestem nulkuponrentestrukturen i markedet ud fra obligation A, B og C. Er der arbitrage i markedet? Hvis ja, hvordan vil du så blive hurtigt rig? Hvis kurser tilpasser sig til den nk-rentestruktur, du lige har fundet, hvad er så de forskellige obligationers Fisher-Weil varigheder (dvs. varigheder baseret på nk-renter) og tilsvarende konveksiteter? 2. 20/2 2002 (tallene er fra forrige år, men pointen ændres ikke) kunne man finde følgende oplysninger på Københavns Fondsbørs hjemmeside (www.cse.dk/kf): Danske Stat 5% INK St.lån 2005 Dato 20/02-2002 Seneste kurs (10:10) 100,91 Effektiv rente 4,70 Korrektionsfaktor 0,32 Varighed 3,19 Terminsdatoer (antal = 1) 15/08 Kort sagt: Passer det? Hvis du går på skattejagt på fondsbørshjemmesiden, kan du finde helt præcise oplsyninger om hvornår penge faktisk skifter hænder, hvis du køber denne obliagtion (kaldet valør; 3 handelsdage senere) og hvordan man tæller dage (alt er i faktiske dage ), men selv uden finere punkter om det, sku du kunne tjekke effektiv rente og varighed. (Hvilken varighed, iøvrigt? Hvorfor mon?) Hvad ialverden menes med korrektionsfaktor? (Og 2
passer den?) Antag 1 dag går, og at betalingsrækkkens effektive rente ikke ændres. Hvad bliver så obligationens kurs? (Ændringen kaldes daglig opskrivningsfaktor.) 3. Til forelæsningen 11/2 tjekkede jeg kurslistens (den i Jyllands-Posten, men de får deres feed ca. fra Fondsbørsen) udregning af effektiv rente på et 7% stående lån med årlig termin 15/11 og udløb i år 2007. Find det evt. på slidesene på hjemmesiden. I samme kursliste står der, at obligationens effektive rente v/ 45% skat er 0,3%. Passer det? Hint/forklaring: I Danmark (og de fleste andre steder) virker det sådan (for private, ihvertfald, pensionskassers beskatning er anderledes), at renteindtægter beskattes, mens renteudgifter på symmetrisk vis kan modregnes ens indkomst før skattetræk. Det betyder, at alle rentebetalinger (også den vedhængende) efter skat er før skat (1-skattesatsen). (Jeg finder at 0,3% OK med et betydende ciffer, men 0,26% er mere præcist.) 4. Betragt følgende to projekter år projekt A projekt B 0-10 -10 1 6 4 2 6 4 3 0 4.75 Beregn NPV for hver af projekterne når r = 10%. Antag nu, at hvert projekt kan sættes igang igen umiddelbart efter, at det er færdigt, dvs. projekt A kan påbegyndes forfra i år 3, og projekt B kan påbegyndes igen i år 4. Giv et udtryk for nettonutidsværdien af hvert projekt gentaget i det uendelige, altså i tilfælde A af det uendelige cash flow ( 10, 6, 6, 10, 6, 6, 10,...). Udtryk NPV af det uendelige cash-flow ved hjælp af NPV for projektet gennemført 1 gang. Hvilket projekt gennemført i det uendelige giver den højeste nettonutidsværdi? 5. Vis den manglende implikation i beviset for Proposition 5 i afsnit 3.4 i noterne. Gør desuden nøje rede for hvorfor man, hvis man skal vælge mellem projekter, der udelukker hinanden ( mutually exclusive projects ), altid vil/bør vælge det med størst NPV. 6. (Som jeg sagde en del om til forelæningerne onsdag 11/2). Vi antager stort set altid, at dagens nulkuponrentestruktur kan observeres 3
direkte. Som så mange andre steder fejer vi her noget ind under gulvtæppet; i virkeligheden handles nulkuponobligationer slet ikke. (Om ikke af andre grunde så af skattemæssige; der findes en lovfastsat mindsterente (pt 3%) således at man bliver beskattet af kursgevinster på obligationer med kuponrente lavere end denne.) Så man skal estimere nulkuponrenterne. Og det er netop hvad denne opgave handler om. Den (omkring) 15. februar 2004 observerede man følgende på det danske statsobligationsmarked: Udløbsår Kuponrente Kurs Terminsdato 04 7 103,80 15/12 04 4 101,29 15/11 05 5 103,65 15/8 05 4 102,42 15/11 06 8 110,58 15/3 06 3 100,13 15/11 07 7 113,18 15/11 08 4 102,24 15/8 09 6 111,75 15/11 11 6 112,71 15/11 13 5 105,31 15/11 24 7 127,96 10/11 Alle obligationer er stående lån ( bullet bonds ) og har 1 årlig termin. Du skal ikke bekymre dig om de finere punkter omkring børs- og valørdage eller day count conventions. For alle obligationer er der således et heltalligt antal måneder til næste termin; brug bare det som brøkdele af år= 12 mdr. Husk dog, at den opgivne kurs ikke har inkluderet vedhængende rente. Se i første omgang bort fra den længstløbende obligation (kaldet 7-24 eren blandt kendere). Opstil betalingsmatricen (C) og prisvektoren (π) for dette obligationsmarked. (Hint: Det gøres lettest ved at downloade et regneark fra forelæsningen 11/2 på hjemmesiden, og så ændre kurserne i cellerne A8-A18, samt datoen i A7.) Hvilket ligningssystem skal man løse for at finde diskonteringsfaktorerne? Hvor mange løsninger mon det har? Man forsøger ofte at lægge en lav-dimensional, parametrisk struktur på tingene. Det er bare en avanceret måde at sige vi gætter på hvordan kurven ser ud. En populær måde at gøre det på er at antage, at nulkuponrentekuven idag ( =tid 0 ) er af den såkaldte Nelson-Siegel 1 form: y(0, t) = a 0 + (a 1 + a 2 ) 1 exp( t/a 3) t/a 3 a 2 exp( t/a 3 ), 1 Nelson, C. R. og A. F. Siegel, (1987), Parsimonious Modeling of Yield Curves, Journal of Business, vol. 60, no. 4, pp 473-489. 4
hvor a erne er (for os endnu) ukendte parametre. (I regnearket tænker jeg på det som en parametrisering af nk-renter på kontinuert tilskrevet basis, men det skal ikke skille os ad.) For givne a-værdier kan diskonteringsfaktorer bestemmes, og man kan beregne teoretiske kurser for statsobligationerne. Det er naturligt at estimere a erne ved de værdier, der giver den mindste forskel mellem observerede og teoretiske kurser. Forskellen kan måles på flere måder. Summerede kvadratafvigelser er en fornuftig ting. Summerede absolutværdier er en anden mulighed. Med din viden om formler og matrix-regning i Excel skulle du snildt kunne lave et regneark (OK, jeg har lavet det meste), der for givne a-værdier (tastet ind i 4 celler) beregner kvadratsumsafvigelsen (en formel i 1 celle). Og nu kan du få Excel til at estimere parametrene ved at gå ind under Funktioner, Problemløser, ( Tools og Solver i amerikanske udgaver). (Muligvis skal du selv lige installere Problemløser. Det gør du ved at klikke Funktioner, Tilføjelsesprogrammer og så følge anvisningerne.) Sæt kvadratafvigelsesformlen som Målcelle og angiv a-cellerne under Ved redigering af, vælg Min., and let it work its magic. Lav på denne måde et estimat for den danske nulkuponrentekurve medio februar 2004. Er der stor forskel på, om man minimerer forskel 2 eller forskel? Det passer ret godt, ikke? Hvis denne rente-kurve baseret på [0;10]-årige obligationer holder hele vejen ud, hvad skulle 7-24 eren så koste? 5