TAL I MÆNGDER OM KAPITLET

TAL I MÆNGDER OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med talmængderne N, Z, Q og R og tallenes forskellige egenskaber. 14

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige sammenhænge kender til og kan undersøge og udforske primtallene og deres egenskaber kan skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation kan beskrive og forklare sammenhænge ved hjælp af matematik. PRINTARK U1 Tal- og symbolkort U Primtal E1 Begreber og fagord - Tal i mængder MATERIALER A3 papir Centicubes DIGITALT VÆRKTØJ Regneark FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: mængden af naturlige tal N mængden af hele tal Z mængden af rationale tal Q mængden af reelle tal R differensrækker sammensatte tal primfaktoropløsning eksponentiel notation eksponent og rod. På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. 15

1 4 1 3 TAL I MÆNGDER SIDE 14-15 Tal i mængder MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige sammenhænge kan undersøge og udforske primtallene og deres egenskaber kan skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation kan beskrive og forklare sammenhænge ved hjælp af matematik. FORHÅNDSVIDEN Hvilken talmængde tilhører resultatet af nedenstående opgaver? A kg vindruer koster 7,95 kr. Hvad koster 1 kg? B Et kvadrat har et areal på 5. Hvor lange er siderne? C Find x i ligningen: x + 4 = 1. I dette kapitel skal du arbejde med at få over blik over de uendelig mange tal, som du møder i hverdagen og i matematik i skolen. Du kan finde tal mange steder, fx i reklamer, aviser, på vejskilte, skoleskemaet, internettet og i matematikbogen. Tal bruges både til at beskrive tid, længder, hastigheder, vægt, pris, størrelser og meget andet. Tallene kan inddeles i mængder efter deres forskellige egenskaber. I løbet af kapitlet vil du komme til at arbejde med nogle af de regneregler, som du tidligere har arbejdet, men der er også nye regler, du skal lære. Du skal også undersøge egenskaber ved primtallene og lære at skrive meget små og meget store tal ved hjælp af eksponentiel notation. Du skal arbejde med: mængden af naturlige tal N mængden af hele tal Z mængden af rationale tal Q mængden af reelle tal R differensrækker sammensatte tal primfaktoropløsning endelige og periodiske decimaltal eksponentiel notation eksponent og rod. OPGAVE Alle naturlige tal kan opløses i faktorer. Nogle tal kan kun opløses i netop to forskellige faktorer. Andre tal kan opløses i flere faktorer. For eksempel kan 8 opløses i faktorerne: 8 = 4 og 8 = A Opløs tallene i størst muligt antal faktorer. 19 4 36 49 159 167 B Forklar, hvordan du kan finde ud af, om er faktor i tallet. 1,, 3, 4 OG 5 Undersøgelse for to personer. Materialer: Tal- og symbolkort (U1). I skal undersøge, på hvilke måder I kan lave additionsstykker med tallene 1,, 3, 4 og 5 samt symbolerne + og =. Start med at klippe tal- og symbolkortene ud. Du skal arbejde sammen med din makker. A Sorter tallene efter kriterier, som I selv vælger. B Beskriv de kriterier, som I har valgt at sortere tallene ud fra. C Sæt jer sammen med et andet makkerpar, og forklar for hinanden, de forskellige kriterier I har inddelt tallene efter. 8,3 3 1 4 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A Q B R (sidelængden er 5, som er irrational) C Q TAL I MÆNGDER 15 I denne del skal I bruge talkortene 1,, 3 og 4. I skal sætte tallene sammen, så de giver forskellige summer, fx 143 + = 145. A Forklar, hvordan I også kan få summen 145 ved at placere kortene på andre måder. B Undersøg, på hvor mange forskellige måder I kan lave additionsstykker med tocifrede tal, som giver samme resultat. Skriv jeres additionsstykker og resultater ned. C Hvordan skal talkortene lægges, hvis I skal have den størst mulige sum? D Hvordan skal talkortene lægges, hvis I skal have den mindst mulige sum? E I skal undersøge, hvor mange forskellige summer I kan få, hvis I skal bruge alle ciffrene. Hvert ciffer kun må bruges én gang. Skriv jeres forslag ned. DEL I skal nu skifte kortet med tallet 4 ud med kortet med tallet 5. A Forklar, hvilken betydning det får for jeres undersøgelse og besvarelse af opgaverne B-E, hvis talkortet med 4 skiftes ud med 5. B Forklar, hvilken betydning det får, hvis I i stedet for at skrive 5 på talkortet skriver x. OPGAVE A 19 = 1 19 4 = 3 3 36 = 3 49 = 7 159 = 3 13 167 = 1 167 = 3 37 B er faktor i et tal, hvis tallet er lige, dvs. hvis tallets sidste ciffer er 0,, 4, 6 eller 8. 1 16 3 70 4 8 3 3 8 0 64 5 1 9 0,78 3 3 11 4 0, 16 0,3 63 E Foruden de nævnte mangler vi de tal, der er summer af et 3-cifret og et 1-cifret tal. Der er i alt 4 forskellige summer af denne slags, der dog to og to giver samme resultat: 13 + 4 = 14 + 3 = 17 13 + 4 = 134 + = 136 13 + 4 = 14 + 3 = 17 31 + 4 = 34 + 1 = 35 31 + 4 = 314 + = 316 31 + 4 = 34 + 1 = 35 14 + 3 =143 + = 145 41 + 3 = 43 + 1 = 44 41 + 3 = 413 + = 415 41 + 3 = 43 + 1 = 44 341 + = 34 + 1 = 343 431 + = 43 + 1 = 433 DEL A Alle summer bliver større. Nogle bliver 1 større (hvis 4-tallet står på enernes plads), nogle bliver 10 større (4-tallet på tiernes plads), og nogle bliver 100 større (4-tallet på hundredernes plads). B Eleverne overvejer, hvordan resultaterne påvirkes, hvis der skrives et andet ciffer end 5 på de pladser, hvor der står 5 i opgave A. Elevernes egne svar. A 14 + 3 = 145 (Ingen andre måder). B Formålet med opgaver af denne art er den systematik eleverne er nødt til at benytte for at sikre sig, at alle resultater er med. Herunder er ikke medtaget de summer, der kommer af andre ved brug af den kommutative lov, for addition, dvs. når fx 14 + 3 er nævnt vil 3 + 14 ikke blive nævnt. De forskellige summer er da: 14 + 3 = 4 + 13 = 37 1 + 34 = 14 + 3 = 46 1 + 43 = 13 + 4 = 1 + 34 = 4 + 31 = 55 1 + 43 = 3 + 41 = 64 3 + 41 = 31 + 4 = 73 C Den størst mulige sum er 43 + 1 = 431 + = 433. D Den mindst mulige sum er 1 + + 3 + 4 = 10. 16

TAL I MÆNGDER SIDE 16-17 16 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 17 TEORI DE NATURLIGE TAL N De naturlige tal N er de tal, du får, når du tæller: 1,, 3, 4, 5, Hvis du fortsætter med at tælle, vil du på et tidspunkt komme til 4, men du kan også fortsætte til 1 35 74 eller endnu længere. N 3 70 891 731 84 N = {1,, 3,...} Et vilkårligt tal i talmængden N kan skrives som n. Det første naturlige tal er 1, og alle de efterfølgende naturlige tal er præcis én større end det forrige naturlige tal. Med de naturlige tal kan du tælle i en uendelighed. A Vurder, hvor lang tid det vil tage at tælle til 1 000 000. B Hvordan du kom frem til resultatet i A? A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de naturlige tal kan bruges i hverdagen. Mængden af naturlige tal N kan opdeles på forskellige måder. Du kan blandt andet opdele de naturlige tal i lige og ulige tal. LIGE TAL Lige tal kan deles med. Du kan derfor skrive et lige tal som n, hvor n er et hvilket som helst naturligt tal, der skal multipliceres med. For eksempel er 6 et lige tal, fordi 6 = 13 (i dette tilfælde er n = 13). ULIGE TAL Ulige tal kan skrives som ( n 1). For eksempel er 15 ulige, fordi 15 = 8 1 (i dette tilfælde er n = 8). Du skal undersøge, om resultaterne bliver lige eller ulige. Eksempelvis: 5 og 3 er ulige tal. Summen af de to tal er 8, og dermed et lige tal. Produktet af de to tal er 15, og dermed et ulige tal. I opgaverne skal du undersøge, om resultaterne bliver lige eller ulige. Hvad bliver resultaterne, når du A adderer to lige tal? B multiplicerer to lige tal? C adderer et lige og et ulige tal? D multiplicerer et lige og et ulige tal? E Formuler regler for addition og multiplikation. Du kan fx begynde med at skrive: Når man adderer to tal, så... Når man multiplicerer to ulige tal, så... F Forklar, hvorfor summen af tre ulige tal bliver et ulige tal. G Forklar, hvorfor produktet af tre ulige tal bliver ulige. H Forklar, hvorfor produktet af 3 5 7 11 bliver et lige tal. Elevernes egne svar. Elevernes egne svar. DIFFERENSRÆKKER OG SUMMER Undersøgelse for to personer. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) var en tysk matematiker. Han arbejdede blandt andet med differensrækker og fandt en hurtig måde at beregne summer af talfølger. En differensrække er en talrække, hvor differensen mellem to på hinanden følgende tal er den samme. Rækken af naturlige tal er en differensrække, der begynder med tallet 1, og hvor differensen mellem to tal i rækken er 1. 1,, 3, 4, Du kan beregne summen af de ti første naturlige tal ved hovedregning, men du kan også bruge den metode, som Gauss benyttede til at regne summen af lange differensrækker ud. GAUSS METODE Du kan beregne summen (s) af en differensrække på følgende måde: 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = s 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + + 1 = s 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = s 10 11 = s. Du får den dobbelte sum, og skal derfor dele med. Det kan skrives som: 10 11 = s 55 = s Ved at følge Gauss metode kan du hurtigt finde summen af en differensrække. Talrække: 3, 7, 11, 15, 19, 3, 7, 31. A Gør rede for, hvorfor talrækken er en differensrække. B Beregn summen af differensrækken i opgave A. C Beregn summen af de første 5 naturlige tal. D Beregn summen af de første 100 naturlige tal. Uanset, hvilket tal der er det sidste i differensrækken, kan Gauss metode bruges. Det sidste tal kan kaldes n. Rækken af de første n naturlige tal er: 1,, 3, 4, 5,, (n 1), n. E Forklar, hvorfor summen af de første n naturlige tal kan beregnes med formlen: n S = (n + 1) F Benyt formlen til at beregne summen af de første 15 naturlige tal. G Benyt formlen til at beregne summen af de første 50 naturlige tal. DEL Rækken af lige tal er en differensrække., 4, 6, 8, 10, 1, A Beregn summen af de første 0 lige tal. Et vilkårligt tal i rækken af lige tal er n, hvor n er tallets nummer i rækken. Det sjette tal i rækken er 6 = 1. B Opstil en formel til beregning af summen af de første n lige tal. C Benyt formlen til at beregne summen af de første 50 lige tal. DEL 3 Tallene i tabellerne danner også differensrækker. Tallene i tre-tabellen er: 3, 6, 9, 1, 15,... I kan derfor også finde summen af fx de første ti tal i tre-tabellen eller de første otte tal i ni-tabellen. Et vilkårligt tal i tre-tabellen kan skrives som 3 n, hvor n er tallets nummer i rækken. A Opstil en formel til beregning af de første n tal i tre-tabellen. B Hvad er summen af de første ti tal i tre-tabellen? A Summen af to lige tal er lige. B Produktet af to lige tal er lige. C Summen af et lige og et ulige tal er ulige. D Produktet af et lige og et ulige tal er lige. E De regler, der ikke er behandlet under A D er: Summen af to ulige tal er lige. Produktet af to ulige tal er ulige. F Sum af tre ulige tal: ulige + ulige + ulige = (ulige + ulige) + ulige = lige + ulige (iflg. E) = ulige (iflg. C) G Produkt af tre ulige tal: ulige ulige ulige = (ulige ulige) ulige = ulige ulige (iflg. E) = ulige (igen iflg. E) H Når et tal (lige eller ulige) multipliceres med, bliver produktet lige, og er en faktor i dette tal. Derfor bliver produktet lige.. DIFFERENSRÆKKER OG SUMMER. A Differensen mellem hvert led og det foregående er den samme (4) rækken igennem. Derfor er rækken en differensrække. B S = 136 C S 5 = 35 D S 100 = 5050 E Ved at bruges Gauss metode får man: S = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) med i alt n addender, dvs.: S = n (n + 1) og ved division med fås: S = n (n +1) 15 16 F S 15 = = 15 8 = 10 50 51 G S 50 = = 15 51 = 31375 DEL A S 0 = 40 B Ved at bruge Gauss metode får man for summen S n af de første n lige tal: S n = n (n + 1) C S 50 = 550 DEL 3 A Gauss metode giver: S n = n (3 + 3n) B Summen af de første 10 tal i tre-tabellen er S 10 = 165. 18

TAL I MÆNGDER SIDE 18-19 18 TEORI PRIMTAL OG SAMMENSATTE TAL Du kan opdele mængden af naturlige tal større PRIMFAKTOROPLØSNING end 1 i primtal og sammensatte tal. Alle sammensatte tal har en primfaktoropløsning. PRIMTAL Sammensatte tal kan omskrives til et produkt Et primtal er et naturligt tal større end 1, der kun har af primtal. Et produkt er resultatet af en to divisorer. Et tals divisorer er alle de tal, som går multiplikation et gangestykke. op i tallet. Et primtal kan deles med 1 og med tallet selv. Primfaktoropløsningen af 4 er 3. De første fem primtal er, 3, 5, 7 og 11. Det kan skrives i en kortere form. 4 = 3 3. SAMMENSATTE TAL 3 er en potens og betyder, at skal multipliceres Et sammensat tal er et tal, der har mere end to med sig selv tre gange. 3 =. divisorer. Det gælder fx for 30, fordi både 1,, 3, 5, Når et tal opløftes i nulte potens, bliver resultatet 6, 10 og 30 er divisorer i 30. altid 1. 0 a a1 a a3 a4 a5 1 a a a a a a a a a a a a a a a OPGAVE 7 Eratosthenes var en græsk matematiker og astronom. Han levede 76 f.kr.-194 f.kr. Han fandt frem til en metode til at fastlægge primtallene. Metoden kaldes i dag Eratosthenes si. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Eratosthenes si 1. Sæt en ring om det første primtal og overstreg alle tallene, som primtallet går op i.. Sæt derefter ring om det første tal i rækken, som endnu ikke er streget over. 3. Overstreg nu alle tallene som dette tal går op i, og som ikke allerede er streget ud. 4. Fortsæt på denne måde, til du ikke kan overstrege nye tal. 5. Sæt derefter ring om alle tal, der ikke er streget ud. Tallene med ring omkring er primtal. OPGAVE 7 A Benyt Eratosthenes si til at finde primtallene mellem og 50. B Hvilket tal er det sidste, der bliver streget over i undersøgelsen? C Hvilket tal er du i gang med at undersøge, når det sidste tal overstreges? D Beskriv sammenhængen mellem de to tal fra opgave B og C. Oskar påstår, at det kun er nødvendigt at undersøge tre primtal, hvis man vil finde alle primtallene mellem og 30, og man skal undersøge fire primtal, hvis man skal finde alle primtallene både mellem og 60 og mellem og 70. E Undersøg om Oskars påstand er sand. F Beskriv sammenhængen mellem det sidste tal, som skal undersøges og det sidste tal, der overstreges. G Hvor mange primtal skal undersøges, når man skal finde primtallene mellem og 15? OPGAVE 8 Skriv primfaktoropløsning af A tallene 100, 37 og 3. B Kan du skrive primfaktoropløsning af alle tre tal? OPGAVE 9 Et tal kan skrives som: 3 6. A Hvilket tal er der tale om? B Hvorfor er opskrivningen ikke en primfaktoropløsning, og hvad er primfaktoropløsningen af tallet? C Hvilke divisorer har tallet? 0 A Hvilket tal er størst: 7 5 11 eller 8 3? B Hvilket af følgende tal har flest divisorer: 3, 4, 46 eller 49? 1 A Skriv forskellige regnestykker, som alle giver 36, når du multiplicerer to naturlige tal. B Opløs produkterne fra opgave A i primfaktorer, så 36 bliver produkt af primtal. C Skriv primfaktoropløsningen af 36 i den kortest mulige form. D Skriv alle divisorerne i 36. A Hvilken divisor har følgende tal til fælles: 8, 84, 175, 5? OPGAVE13 A Hvilket af følgende tal har flest divisorer: 4, 49, 84, 94? TAL I MÆNGDER 19 FORDELING AF PRIMTAL Undersøgelse for to personer. Materialer: Primtal (U). I undersøgelsen skal I finde ud af, om der er et mønster i fordelingen af primtallene. A Sæt ring om primtallene i skemaet på arket Primtal (U). B Beskriv mønsteret for, hvordan primtallene fordeler sig. C Forklar, hvorfor kolonne, 4, 6 og 10 ikke indeholder nogle primtal (bortset fra ). DEL A Undersøg om nedenstående to påstande er sande eller falske. I skal bruge arket Primtal (U). Påstand 1: Alle primtal større end 3 kan skrives på formen 6 n 1, hvor n er et naturligt tal. Påstand : Alle primtal større end kan skrives på formen 4 n 1 eller 4 n + 1, hvor n er et naturligt tal. 1 A De mulige svar er: 1 36, 18, 3 1, 4 9 og 6 6. B 36 = 3 3 C 36 = 3 D Divisorerne i 36 er 1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18 og 36. A Den fælles divisor for de fire tal er 7. 3 A Tallet 4 har 8 divisorer, tallet 49 har 3 divisorer, tallet 84 har 16 divisorer og tallet 94 har 4 divisorer. det er således tallet 84, der har flest divisorer. A Primtallene mellem og 50 (begge inkl.) er:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43 og 47. B Tallet 49. C Tallet 7. D Sammenhængen er, at 7 = 49 (eller, a 49 = 7). E Oscars påstand er sand. Primtal nr. 4 er 7, og 7 er det største primtal, der er mindre end 70. F Hvis det sidste tal, der skal undersøges kaldes n, så vil det sidste tal, der skal overstreges, være større end eller lig med n og mindre end (n + 1). G Der skal undersøges 5 primtal (, 3, 5, 7 og 11). OPGAVE 8 A 100 = 5 37 3 = 5 B Ikke af 37, da det er et primtal. OPGAVE 9 A 3 6 = 108 B 6 er ikke et primtal. Primtalsopløsningen af 108 er 3 3. C Divisorerne i 108 er 1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18, 7, 36, 54 og 108. FORDELING AF PRIMTAL A Eleverne sætter ring om primtallene på U. B Elevernes beskrivelse af mønsteret for primtallenes fordeling. C Alle tal i de pågældende kolonner er lige tal og derfor (når tallene er større end ) sammensatte tal. DEL A Eleverne kan på baggrund af arket Primtal kun udtale sig om de primtal, der er mindre end 100. PÅSTAND 1 Påstanden er ikke sand. For eksempel er 7 et primtal, der ikke er på formen 6n 1. Det er imidlertid generelt sandt, at ethvert primtal større end 3 enten er på formen 6n 1 eller på formen 6n + 1. PÅSTAND I første oplag af MULTI 7 er der en trykfejl. Tallet 4 n 1 skal være tallet 4 n 1. Så er påstanden sand og den gælder også generelt. 0 A Det største af tallene er 8 3. B Antallet af divisorer i tallene 3, 4, 46 og 49 er hhv. 6, 8, 4 og 7, så tallet 4 har flest divisorer. 0

TAL I MÆNGDER SIDE 0-1 0 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 1 TEORI DE HELE TAL Z Det er ikke altid nok at arbejde med de positive hele tal. Ved at udvide de naturlige tal, N, med negative hele tal og tallet nul, får vi en ny talmængde de hele tal Z. De naturlige tal N er en del af de hele tal Z. Z N 486 093 3 731 70 891 58 Z = {..., 1, 0, 1,,...} Ved regning med negative tal, skal du være opmærksom på, at minustegnet både kan være regnetegn og fortegn. Fortegn 13 7 Resultatet af en subtraktion (et minusstykke ) kalder man differensen. 0 Regnetegn 4 Hvilket tal skal stå på den tomme plads? A 6 + = B 75 = 5 C + ( 13) = 1 D 17 = 1 5 A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de hele tal kan bruges i hverdagen. 6 Anders følger med i vejrudsigten. En vinterdag er temperaturen på 8 grader i København og 15 grader i Nuuk. A Skriv et regnestykke som du kan bruge, når du skal finde forskellen på temperaturen i de to byer. B Gør rede for de tegn, du anvender i regnestykket. 7 Søren, Line og Mathias spiller kortspillet 500, hvor det gælder om at være den første til at nå 500 point. Søren skriver op, hvor meget hver person vinder eller taber. Herunder ser du regnskabet. A Hvem fører? B Hvad er pointforskellen mellem Mathias og Søren? C Hvor mange point mangler Søren for at nå samme pointtal som Line? 4 De ønskede tal er skrevet med rødt. A 6 + ( 4) = B 75 ( 80) = 5 C 5 + ( 13) = 1 D 5 17 = 1 5 Elevernes egne overvejelser. NEGATIVE TAL OG REGNINGSARTERNE Undersøgelse for to personer. DEL 3 DIVISION Materialer: Evt. regneark eller lommeregner. A Udarbejd en divisionstabel, som vist i illustrationen. I skal undersøge, hvordan fortegnene ændrer sig, når hele tal subtraheres, multipliceres og divideres. Undersøgelsen lægger op til brug af regneark, men I kan godt lave tabellerne på papir. Herunder er der vist en additionstabel udarbejdet i et regneark. SUBTRAKTION A Udarbejd på samme måde en tabel for subtraktion. B Beskriv, hvad der sker, når I subtraherer to negative tal. C Forklar i hvilke situationer I får negative differencer. DEL MULTIPLIKATION A Udarbejd en tabel for multiplikation. B Beskriv, hvad der sker, når to negative tal multipliceres. C Formuler regler for multiplikation af et positivt tal med et negativt tal og af to negative tal. B Beskriv, hvad der sker, når negative tal divideres. C Forklar, hvorfor I ikke får noget resultat i divisionstabellen, når 0 er divisor, og hvorfor I får et resultat, når 0 er dividend. D Formuler regler for division med negative tal. DEL 4 RESULTATER I Z A Undersøg, ved at læse jeres tabeller, hvilke regningsarter der altid giver resultater, der er i talmængden Z, når der regnes med hele tal. DEL MULTIPLIKATION A Elevens multiplikationstabel. B Elevens beskrivelse. Når to negative tal multipliceres bliver produktet positivt. C Elevens formulering af regel for multiplikation af et positivt tal med et negativt tal. Samlet kan man sige om fortegn for produkter: To ens fortegn giver plus, to forskellige fortegn giver minus. DEL 3 DIVISION A Elevens divisionstabel. B Elevens beskrivelse. Når to negative tal divideres, bliver resultatet positivt. C Elevens forklaring. D Elevens formulering af regler. Fortegnsregler for division er som for multiplikation. DEL 4 RESULTATER I Z A Når de tal, der regnes på tilhører Z, vil addition, subtraktion og multiplikation give hele tal som resultat. 6 A 15 ( 8) eller 8 ( 15). B Det første minus er fortegn, det næste er regnetegn, og det sidste er fortegn. 7 A Mathias fører. B Pointforskellen mellem Mathias og Søren er 165. C Søren mangler 80 point i at nå Line. NEGATIVE TAL OG REGNINGSARTERNE. SUBTRAKTION A Elevens subtraktionstabel. B Elevens beskrivelse C Elevens forklaring. En subtraktion a b er negativ, hvis og kun hvis a er mindre end b.

5 7 TAL I MÆNGDER SIDE -3 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 3 TEORI DE RATIONALE TAL Q Mængden af hele tal udvides, så de også omfatter brøker og nogle decimaltal. Den udvidede mængde er de rationale tal Q. Brøkerne er rationale tal og tilhører derfor mængden Q. En brøk kan skrives som a b, hvor både a og b er hele tal. Nævneren b kan ikke være 0. Alle tal i talmængderne N og Z kan skrives som brøker, og de er derfor rationale tal. Brøken 10 er et rationalt tal, men det er også et naturligt tal, fordi 10 5 =. Brøken 9 3 er et rationalt tal, men det er også et helt tal, fordi 9 3 = 3. I talmængden Q er også alle de brøker, der ikke kan reduceres til hele tal. Det er fx 1 og 118 9. ENDELIGE OG PERIODISKE DECIMALTAL De endelige og periodiske decimaltal er også rationale tal. Et endeligt decimaltal er et decimaltal med et endeligt antal betydende decimaler. 0,5 er et endeligt decimaltal. Det kan skrives som brøken 1 4. Et periodisk decimaltal er et decimaltal, hvor en gruppe af cifre fra et vist trin gentages i det uendelige. 0,3333... er et periodisk decimaltal. Det kan skrives som brøken 1 3. 486 093 3 731 Q Z N 70 891 0 58 3,96 0,769 Q = Alle hele tal og alle brøker 8 A Tal med din makker om, hvornår og hvordan de rationale tal kan bruges i hverdagen. 9 A Forklar, hvorfor der er uendeligt mange måder at skrive det naturlige tal 8 som en brøk? B Vælg et naturligt tal og omskriv det til en brøk. Byt brøk med din makker og find ud af, hvilket naturligt tal din makker har lavet om. C Vælg et helt tal og omskriv det til en brøk. Byt brøk med din makker og find ud af, hvilket helt tal din makker har lavet om. D Forklar, hvorfor du kan bruge det samme tal i opgave B og C. OPGAVE 0 Der findes rationale tal, der kun skrives med netop ét total og ét ottetal. A Skriv tallene op. B Afgør, hvilke tal fra opgave A, der tilhører Q, og hvilke tal der også tilhører Z. C Nævn otte ikke-hele tal fra opgave A, der er større end 1 5. D Lav en lignende opgave og byt med din makker. A Undersøg, om det altid gælder for multiplikationsstykker, at når man dividerer den ene faktor med et tal og multiplicerer den anden faktor med samme tal, så forandres produktet ikke. DELELIGHEDSREGLER Undersøgelse for to personer. Der findes forskellige regler for deling af tal. Hvis man kender reglerne, kan man hurtigt finde ud af, om et tal går op i et andet tal. Delelighedsreglen for er, at går op i et tal, når går op i tallets sidste ciffer. Delelighedsreglen for 5 er, at 5 går op i et tal, når tallets sidste ciffer enten er 0 eller 5. A Hvad skal gælde, hvis både 5 og går op i et tal? DEL Delelighedsreglen for 3 er, at 3 går op i et tal, når 3 går op i tallets tværsum eller i den redu cerede tværsum. Tværsummen af et tal findes ved at addere cifrene i tallet. Tværsummen af 13 er 1 + + 3 = 6. Tværsummen af 91 er 1, fordi 9 + + 1 = 1. Når tværsummen har flere cifre, kan man reducere tværsummen ved at tage tværsummen af tværsummen. Man kan blive ved, til der kun er ét ciffer tilbage. Den reducerede tværsum af 91 er 3. 3 går fx op i både 19, 19 og 19. A Skriv et etcifret, et tocifret, et trecifret, et firecifret tal. B Beregn tværsummen af tallene og den reducerede tværsum af de tal, hvor der er flere cifre i tværsummen. C Undersøg, hvor mange tocifrede tal der er, hvor tværsummen ikke kan reduceres. D Forklar, hvorfor det ikke er muligt at finde et tocifret tal, hvor tværsummen skal reduceres to gange for at komme frem til et enkelt ciffer. E Skriv flere eksempler på trecifrede tal, hvor tværsummen ikke kan reduceres. F Hvor mange gange kan man maksimalt reducere tværsummen af et firecifret tal? DEL 3 Delelighedsreglen for 7 er lidt mere kompliceret. I kan undersøge, om 7 går op i 46 ved at tage det sidste ciffer væk. Der står så 46. Cifret ganges med. Produktet trækkes fra 46. 46 4 = 4. 7 går op i 4, og derfor går 7 også op i 46. Når I skal undersøge, om 7 går op i et større tal, skal fremgangsmåden gentages. Går 7 op i 318 164? 31 816 (4 ) = 31 808. Vi fortsætter: 3180 (8 ) = 3164 316 (4 ) = 308 30 (8 ) = 14. 7 går op i 14, derfor går 7 også op i 318 164. A Hvilke af disse tal går 7 op i? 3, 693, 67, 441, 699 B Skriv tre tal, som både, 3, 5, og 7 går op i. C Benyt delelighedsreglerne til at vise, at, 3, 5, og 7 går op i jeres tre tal. D Undersøg, om det kan passe, at 6 går op i et tal, hvis og kun hvis både 3 og går op i tallet. E Undersøg, om det kan passe, at 4 går op i et tal, hvis går op i halvdelen af tallet. F Undersøg, om I kan finde delelighedsregler for et eller flere af følgende tal: 8, 9, 10. DEL 4 I en tal-gætteleg gælder det om at gætte et tal ud fra så få oplysninger som muligt. Her er nogle oplysninger om et tal: a. Tallet er lige b. Tallet er et kvadrattal c. Tallet er større end 15 d. Tallet har tværsummen 7 e. Tallet har 4 ens tal i primtalsopløsningen f. Tallet er mindre end 77 A Hvilket tal er der tale om? B Lav selv flere talgåder, og giv dem til et andet makkerpar. DELELIGHEDSREGLER A Hvis både 5 og skal gå op i et tal, skal tallet ende på 0. DEL A-B Elevens egne udregninger. C Der er 45 tocifrede tal, hvor tværsummen ikke kan reduceres yderligere. D Det tocifrede tal, der har den højeste tværsum er 99 (tværsum 18). Denne tværsum skal kun reduceres én gang for at blive étcifret. 8 A Elevernes egne overvejelser. 9 A C Elevernes egne svar. D Fordi ethvert naturligt tal også er et helt tal. OPGAVE 0 A De rationale tal, der kan skrives med netop ét -tal og netop ét 8- tal er: ±8 ±8 ± ± 8 ±,8 ±8, ±8 ± 8 8 Tillader man regnetegn, vil også tallene ± 8, ±( + 8) og ±( 8) kunne bruges. B Alle tal fra A tilhører Q. Kun tallene ±, ±,8 og ±8, tilhører ikke Z. 8 C Tallene,,8 og 8, er alle ikke-hele tal, der er 8 større end 1 5. I første oplag af MULTI 7 står der Nævn otte ikke-hele tal. Det er en fejl. Der skulle blot stå Nævn de ikke-hele tal fra opgave A, der er større end 1 5. DEL 3 A 7 går op i 3, 693, 67 og 441. B Flere løsninger fx 3 5 7 = 10, 3 5 7 = 40 og 3 3 5 7 = 840. C Elevaktivitet. D Ja, det passer. Hvis og 3 går op i et tal, kan tallet skrives 3 n (n N), dvs. 6 n altså går 6 også op i tallet. E Ja, det passer. F 8 går op i et tal, hvis det går op i tallets sidste 3 cifre (eksempel: 8 går op i 7 448, da 8 går op i 448). Man kan også sige fx 8 går op i et tal, hvis 4 går op i halvdelen af tallet (eller hvis går op i en fjerdedel af tallet, eller hvis går op i tallet 3 gange, eller ) 9 går op i et tal, hvis 9 går op i tallets tværsum. 10 går op i et tal, hvis tallet ender på 0 (nul). DEL 4 A Tallet er 16 ( 4 ). B Elevernes egne talgåder. D Elevens egen opgave. Opgavebytning. A Ja, det gælder altid: (a : k) (b k) = a a b k (b k) = k k (forkortning med k). = a b 4

TAL I MÆNGDER SIDE 4-5 4 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 5 TEORI STORE TAL OG SMÅ TAL MED EKSPONENTIEL NOTATION AKTIVITET MODEL AF SOLSYSTEMET En million milliard er et meget stort tal. En gang imellem kan du få brug for at skrive meget store tal. Det kan fx være, du skal angive afstande i verdensrummet, eller du i fysik skal arbejde med lysets hastighed. Du kan også få brug for at skrive meget små tal. Tallene kan hurtigt blive så store eller små, at de kan være vanskelige at læse. I en vitaminpille er der 10 μg (mikrogram) eller 0,000010 g D-vitamin. Lysets hastighed er 300 000 km på ét sekund. Store og små tal kan omskrives ved hjælp af potenser af 10. Omskrivningen af tallene kaldes også at omskrive dem til eksponentiel notation. 1000 kan skrives som 10 10 10 eller 10 3. 10 3 er en tier-potens, hvor 3 kaldes eksponenten, og 10 er roden. 3500 kan omskrives til 3,5 1000 eller 3,5 10 3. Et tal skrives med eksponentiel notation på denne måde: t 10 n, hvor 1 t < 10 og n er et helt tal. Et meget stort tal som 1 60 000 000 kan omskrives til 1,6 10 9. Et meget lille tal som 0,00000000345 kan omskrives til 3,45 10 9. Herunder er vist en tabel med potenser af 10. Bemærk at 10 0 = 1. Aktivitet for to personer. Materialer: A3 papir og regneark. I aktiviteten skal I med udgangspunkt i solsystemet arbejde med meget store tal. I tabellen herunder kan I aflæse afstandene fra Solen til planeterne i solsystemet og planeternes diameter. Himmellegeme Solen Merkur Venus Jorden Mars Middelafstand til Solen i km. 0,00 5,79 10 7 1,0816 10 8 1,4960 10 8,799 10 8 Diameter ved ækvator i km. 1 391 400 4878 1 104 1 756 6787 Himmellegeme Jupiter Saturn Uranus Neptun Middelafstand til Solen i km. 7,7837 10 8 1,4703 10 9,86933 10 9 4,49698 10 9 Diameter ved ækvator i km. 14 796 10 000 51 00 48 680 10 10 1 100 101 10 103 104 105 0,01 0,1 1 10 100 1000 10 000 100 000 OPGAVE A Skriv tallene med eksponentiel notation: 9800 19 500 36 000 000 884 000 000 000 0,004 7 0,000015. A Omskriv lysets hastighed i km pr. sekund til eksponentiel notation. B Beregn lysets hastighed i km pr. minut og angiv svaret med eksponentiel notation. C Hvor stor afstand tilbagelægger lyset på en time? Planeten Uranus er,7 10 9 km fra Jorden, når den er nærmest. A Skriv afstanden mellem Uranus og Jorden uden brug af eksponentiel notation. OPGAVE 5 A Omskriv mængden af D-vitamin i en vitaminpille med eksponentiel notation. I vitaminpiller er der også mineraler. Krom er et mineral, og i en vitaminpille er der 1,1 10 5 g krom. B Angiv mængden af krom i en vitaminpille uden at bruge eksponentiel notation. Afstandene i verdensrummet er meget store, så derfor er det hensigtsmæssigt at benytte eksponentiel notation til at skrive store tal med. Afstanden fra Jorden til Solen er ca. 1,496 10 8 km. Afstanden fra planeten Mars til Solen er,79 10 8 km. A Skriv, hvor mange km der er mellem Solen og Mars, uden at anvende eksponentiel notation. B Skriv, hvor mange km der er mellem Solen og Jorden, uden at anvende eksponentiel notation. C Hvor stor er forskellen på afstanden mellem Solen og Mars og afstanden mellem Solen og Jorden? 7.x på Solby skole har sat sig det mål at lave en model af solsystemet. A Find et længdeforhold, som både passer til afstande til Solen og planeternes størrelse. B Udarbejd et regneark til beregningerne. C Tegn en model af solsystemet på et A3 papir, så afstanden mellem planeterne er i samme længdeforhold. D Skriv, hvilke overvejelser 7. x på Solby skole skal gøre sig, hvis de vil lave en model i skolegården, hvor både afstande og planeternes størrelse er i samme længdeforhold. OPGAVE A Tallene skrevet med eksponentiel notation er: 9,8 10 3 1,95 10 4 3,6 10 7 8,84 10 11 4 10 3 7 10 0 1,5 10 5 A 3,0 10 5 km/s B 1,8 10 7 km/min. C 1,08 10 9 km A.700.000.000 km OPGAVE 5 A 1,0 10 5 g B 0,000011 g A 7.90.000 km B 149.600.000 km C 78.30.000 km = 7,83 10 7 km AKTIVITET MODEL AF SOLSYSTEMET Individuelle overvejelser knyttet til den enkelte skole. 6

7 7 TAL I MÆNGDER SIDE 6-7 6 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 7 TEORI DIVISION MED REST En division går ikke altid op. Når man fx dividerer 9 med 4, får man med resten 1, fordi 9 = 4 + 1 Hvis en division går op, er resten 0. Hvis en division med 4 ikke går op, får man 1, eller 3 til rest. Hele tal, som divideres med den samme divisor d og har samme rest r, har noget til fælles. Vi siger, at de tilhører samme restklasse ved division med d. Denne restklasse kalder vi (r) d. Når vi dividerer med 4, kan de hele tal deles i 4 restklasser: (0) 4 hvis divisionen går op (1) 4 hvis divisionen giver resten 1 () 4 hvis divisionen giver resten (3) 4 hvis divisionen giver resten 3 For eksempel tilhører 7 og 37 samme restklasse ved division med. De giver begge resten 1, når vi dividerer med. OPGAVE 7 A Hvilke rester kan man få ved division med 6, hvis divisionen ikke går op? B Forklar, hvorfor alle ulige tal tilhører samme restklasse ved division med. OPGAVE 8 A Forklar, hvad de tre divisionsstykker har til fælles ud over, at de alle har 1 som divisor. 479 : 1 635 : 1 1367 : 1 OPGAVE 9 A Hvilken restklasse tilhører alle lige tal ved division med? B Hvilken restklasse tilhører tallene 789, 1370 og 481 ved division med 7? C Find to andre tal, der tilhører samme restklasse. D Find tre tal, der tilhører (5) 9 dvs. restklassen 5 ved division med 9. RESTER OG REGNEARK Undersøgelse for en person. Materialer: Regneark. I undersøgelsen skal du arbejde med rester ved division i et regneark. Du kan benytte regnearksudtrykket REST. For eksempel giver regneudtrykket =REST(4 ; 5) værdien 4. Det betyder, at divisionsstykket 4:5 giver rest 4. Man kan også indsætte cellehenvisninger i stedet for tallene 4 og 5. A Udarbejd et regneark, hvor du kan undersøge forskellige rester ved division. Divisoren skrives i celle B3. I celle B5 henviser du til cellen med divisoren ved at skrive =$B$3. Du kan derefter beregne resterne i kolonne C ved at bruge funktionen REST. B Forklar, hvorfor du kun får resterne 0 og 1 ved division med. I celle B3 kan du nu udskifte divisoren med andre divisorer. C Undersøg, hvilke rester du får, når divisorerne ændres til tal mellem 1 og 8. D Forklar, hvorfor du kun kan få resterne 1 7, når du dividerer med 8. E Formuler en regel for, hvilke rester du kan få, når divisoren er n. F Kontroller din regel ved at skrive forskellige divisorer større end 8 i regnearket. TEORI DE REELLE TAL R I beregninger af areal og omkreds af en cirkel benytter du. I nogle beregningerne har du benyttet 3,14 som tilnærmelse til. Førhen brugte man brøken i stedet for. Hvis du taster ind på din lommeregner, vil du få tallet 3,14159654. Tallet på lommeregneren er ikke en præcis værdi for. har nemlig uendeligt mange cifre. I 1999 havde to japanske matematikere, Takahashi og Kanada, fundet 06 158 430 000 decimaler til ved hjælp af en computer. Alle værdierne af, som benyttes i udregninger er tilnærmede værdier. er et irrationalt tal, og det kan derfor ikke omskrives til en brøk. Der er andre tal, der heller ikke er rationale tal, fx og 11. De rationale og de irrationale tal udgør tilsammen de reelle tal R. 0 Nogle kvadratrødder er irrationale tal og nogle er rationale tal. A Forklar, hvorfor 4 og 5 ikke er irrationale tal. B Undersøg på lommeregneren forskellige kvadratrødder med naturlige tal under rodtegnet. 1 De gamle babyloniere (000 f.v.t.) benyttede 3 + 1 8 som værdien for. A Undersøg og noter, hvor stor forskellen bliver, hvis du skal beregne arealet af en cirkel med radius 1,75, og først sættes til 3,14, derefter til 7 og til sidst til 3 + 1 8. B Hvilken betydning får det for beregningen, hvis du benyttet -tasten på lommeregneren? C Overvej, hvilke af dine resultater, der er det mest præcise udtryk for arealet af cirklen. 17 486 093 3 R Q Z N 731 70 891 0 58 3,96 0,769 R = Alle rationale tal og alle irrationale tal. Jordens diameter ved Ækvator er 1 756 km, og omkredsen ved Ækvator kan beregnes til 40 074 km. A Hvilken -værdi er brugt til at beregne omkredsen ved Ækvator? B Hvor stor vil Jordens omkreds være, hvis den beregnes efter babyloniernes fastsættelse af? C Hvor mange kilometers forskel er der på omkredsen af Jorden, hvis du sammenligner babyloniernes beregning og beregninger med -tasten på lommeregneren? OPGAVE 7 A Ved division med 6 kan man (hvis divisionen ikke går op) få de principale rester 1,, 3, 4 og 5. B Alle ulige tal giver resten 1 ved division med. OPGAVE 8 A De giver alle resten 11 ved division med 1. OPGAVE 9 A Restklassen (0) B Alle tallene tilhører restklassen (5) 7 C Også 1 og 19 tilhører restklasen (5) 7 D Tallene 5, 14, 3 og 3 tilhører (5) 9 E Når vi kun regner med principale rester (rester som er mindre end divisor) vil resten 5 ved division med 4 bevirke, at 4 går op en ekstra gang i dividenden, og derved giver den principale rest 1. I denne sammenhæng giver (5) 4 derfor ingen mening. I videregående matematik er (5) 4 derimod veldefineret det er den samme restklasse som (1) 4. Med andre ord: De tal, der kan give resten 5 ved division med 4, er nøjagtig de samme tal, som de tal, der giver den principale rest 1 ved division med 4. 5 D Elevforklaring. E Mulige principale rester ved division med n: 0, 1,, 3,, n 1. F Elevkontrol af regel. 0 A Tallene 4 og 5 er rationale, fordi 4 og 5 er kvadrattal. B Elevens lommeregnerundersøgelse. 1 A -tilnærmelsen 3,14 giver A = 9,6165. -tilnærmelsen 7 giver A = 9,6500. -tilnærmelsen (3 + 1 8 ) giver A = 9,57031. B -tasten på lommeregneren giver A = 9,61175 C -tasten giver det mest præcise tal. A Den anvendte -værdi er 40074 1756 3,1415804... B Jordens omkreds er selvfølgelig den samme, uanset hvilke -tilnærmelse, man anvender, men beregningsresultaterne varierer. Ved brug af babyloniernes tilnærmelsesværdi fås omkredsen til 39.86,5 km. C. Lommeregneren -tast giver O = 40.074,15589 km, dvs. forskellen er ca. 11,7 km.. RESTER OG REGNEARK. A Elevens eget regneark. B Elevens forklaring. C Elevundersøgelse. Mulige principale rester ved division med: : 0 og 1 3: 0, 1 og 4: 0, 1, og 3 5: 0, 1,, 3 og 4 6: 0, 1,, 3, 4 og 5 7: 0, 1,, 3, 4, 5 og 6 8

1 3 3 1... TAL I MÆNGDER SIDE 8-9 8 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 9 TEMA TEMA: ARKITEKT I CENTICUBE CITY EVALUERING Tema for to personer. lige karakteristika. Gør rede for de forskellige På denne side skal I enten bruge arket Begreber Materialer: Centicubes. grupperinger af huse, og beskriv de træk, der og fagord Tal i mængder (E1) eller jeres egen Undersøg og forklar for hinanden, om neden- Centicube City er et område, hvor kommunen har besluttet at opføre nogle ungdomsboliger. På grund af beliggenheden er det blevet besluttet at konstruere boligerne med en kube som grundform. En kube udgør en lejlighed for en person, to kuber for to personer osv. Husnumrene på boligerne følger antallet af kuber. Huset med nr. 1 er boligen med én kube, nr. er huset med to kuber osv. Arkitekterne laver en model af Centicube City med centicubes, så én centicube er huset med nr. 1. A Hvor mange centicubes skal der bruges for at lave en model af de 15 første huse i Centicube City? B Husene i Centicube City konstrueres efter tre faste regler: 1. Husnummeret skal være det samme som antallet af centicubes.. Husene i Centicube City må kun have gulv, loft og fire ydervægge, som alle skal være rektangulære. 3. Den største af husenes højde, bredde og længde, skal være så kort som mulig. DEL A Lav en model i centicubes over de 15 første huse i Centicube City. I skal bruge de faste regler for konstruktion af huse i Centicube City. DEL 3 A Undersøg de første 15 huse i Centicube City og inddel husene i undergrupper efter forskel- er karakteristisk for hver gruppering. B Hvordan kan I forudsige, hvilke huse større end nr. 15 der vil dele disse fælles træk? C Arkitekten har arrangeret nogle af de 15 huse efter to-tabellen. Alle huse er lige høje. Vis, hvordan husene er arrangeret. D Undersøg, hvilke andre tabeller nogle af de femten huse kan arrangeres efter. E Undersøg, om de fundne tabeller har noget til fælles. DEL 4 Nogle af husnumrene i Centicubes City består af sammensatte tal og andre af primtal. A Hvad karakteriserer bygningerne, som har et sammensat tal som husnummer? DEL 5 I stedet for at give bygningerne numre, har man fundet på følgende symboler, der repræsentere numrene: A Hvordan kan symbolerne fordeles til husene, så der er et system i numrene? B Hvis Centicubes City skal udvides med en bygning nr. 16, så vil husnummeret være som symbolet til højre. Lav symbolerne til husene 17 og 18, så det er det samme system som for husene 1-16. begrebs bog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. A Lav elleve kort. Skriv ét af følgende fagord eller begreber på hvert kort: Mængden af natulige tal N, mængden af hele tal Z, mængden af rationale tal Q, mængden af reelle tal R, differencerækker, sammensatte tal, primfaktoropløs ning, eksponentiel notation, endelige og periodiske decimaltal, eksponent og rod. ROD PRIMFAKTOROPLØSNING ENDELIGT DECIMALTAL SAMMENSATTE TAL EKSPONENTIEL NOTATION B Læg kortene på bordet, så I kan se dem. C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan være en god ide, at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs. D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. Det kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begrebet. OPGAVE For hvert af de ti ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel eller en tegning. B skrive din egen forståelse af begrebet. stående påstande om primtal er sande eller falske. Undersøg påstandene ved hjælp af fem forskellige taleksempler. A Alle lige tal større end kan skrives som summen af to primtal. Fx: Tallet 4 er summen af 11 og 13. B Alle ulige tal større end 3 kan skrives som summen af to primtal. C Alle ulige tal større end 5 kan skrives som summen af tre primtal. A Vis og forklar for hinanden, hvilke regler der gælder ved regning med negative tal. I kan fx bruge disse stykker: 5 + ( 4) 1 + ( 6) 33 3 5 ( 8) 8 ( 6) ( 11) ( 7) 5 : ( 0) ( 3) : ( 9) A Regn opgaverne i opgave 4. Hvilken talmængde hører resultaterne til i? Fire elever har skrevet tallet 953 000 med eksponentiel notation. Axel 953 10 3 Mie 9,53 10 5 Jens 9530 10 3 Anna 9,53 10 3 A Hvem har skrevet tallet korrekt? B Beskriv, hvilke fejl de andre kan have gjort. OPGAVE 7 Beskriv med ord, hvordan talfølgen udvikler sig. A 7 1 17... B C 7,5 5,5... D 1 4 9 16... TEMA: ARKITEKT I CENTICUBE CITY A Der skal bruges 10 centicubes. DEL A Elevernes modeller over de første 15 huse. Dimensionerne er angivet herunder. Husnummer 1 3 4 5 6 7 8 Dimensioner 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 3 1 x x 1 x 1 x 5 1 x x 3 1 x 1 x 7 x x Husnummer 9 10 11 1 13 14 15 Dimensioner 1 x 3 x 3 1 x x 5 1 x 1 x 11 1 x 3 x 4 1 x 1 x 13 1 x x 7 1 x 3 x 5 DEL 3 A Elevernes inddeling af husene i undergrupper. Mange inddelinger er formentlig mulige, men den, der i en vis forstand ligger lige for, er inddelingen i huse hvis dimension er 1 1 n, hvor n er husets nummer (dvs. primtallene samt hus nr. 1) i den ene gruppe og resten (de sammensatte tal) i den anden gruppe. De første er så karakteriseret ved at have (mindst) to 1-taller i dimensionen, de andre ved at have højst ét 1-tal i dimensionen. Resten af opgaven er her besvaret ud fra denne inddeling. B Huse med primtalsnummer p har dimensionen 1 1 p. Huse med sammensatte tal som nummer har mindst to dimensioner større end 1. C Der er tale om husene med lige numre. Da alle husene er lige høje, og da den eneste sikre fælles divisor i husnummeret er, må husene være høje. Husene er arrangeret som hus nummer, 4, 6, 8, 10, 1 og 14 i spørgsmål A med som højden af huset. D Andre tabeller kan også bruges. E Elevundersøgelse. DEL 4 A Bygninger med et sammensat tal som husnummer har højst én dimension (længde, bredde, højde) der har målet 1. 30

DEL 5 A Nu er eleverne sporet ind på primtal og sammensatte tal, så man kan undersøge, om ikke symbolerne kan repræsentere tallenes primtalsopløsning. Det ville passe godt med symbolet for nr. 16 med fire cirkelskiver, hvis cirkelskiven står for, idet 16 = = 4. Tallene fra 1 til 15 indeholder 6 primtal samt 1-tallet. Der skal derfor være 7 symboler, der optræder alene. Det er der også: Hjerte, kvadrat, cirkelskive, dråbe, cirkelperiferi, stjerne og trekant. Da hjertet, dråben og cirkelperiferien kun optræder én gang, må disse symbolisere 1 eller primtal, der kun optræder ét sted i primtalsopløsningen af tallene fra 1 til 15 (nemlig 11 og 13). Der er i denne sammenhæng frit valg, så her er valgt cirkelperiferien som 1, hjertet som 11 og dråben som 13. Ved at se på primtalsopløsningen af tallene 4, 6, 8, 9, 10 1 og 14 og sammenligne med symbolerne får man følgende fordeling af symboler på husene: Husnummer 1 3 4 = 5 Symbol Husnummer 6 = 3 7 8 = 3 9 = 3 10 = 5 Symbol Husnummer 11 1 = 3 13 14 = 7 15 = 3 5 Symbol B Da 17 er et primtal skal der opfindes et nyt symbol for 17. Her er frit valg på alle hylder, blot man holder sig fra de allerede brugte symboler. Da primtalsopløsningen af 18 er 3, skal skiltet på hus nr. 18 bestå af en cirkelskive og to trekanter. 31

TAL I MÆNGDER SIDE 8-9 (FORTSAT) EVALUERING - Elevaktiviteter. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. Eleverne skal (ved hjælp af fem taleksempler) undersøge om nogle påstande er sande eller falske. Dette skal forstås således: Hvis en påstand er sand, er fem tilfælde, hvor den passer, selvfølgelig ikke et bevis. Man kan altså ikke vide, om påstanden er sand, selv om den passer på 5 eksempler men man har på den anden side heller ikke vist, at den ikke er sand. Hvis en påstand er falsk, er et enkelt modeksempel nok. Finder man et sådant, er det unødvendigt at prøve med flere taleksempler også selv om, man endnu ikke har prøvet fem. A De fem taleksempler kunne være: 4 = +, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 og 1 = 5 + 7 Men det garanterer jo ikke påstandens sandhed! Påstanden kaldes Goldbachs formodning (efter Christian Goldbach; preussisk matematiker; 1690-1764). De fleste (formentlig alle) tror, den er sand, men den er stadig ikke bevist (men gælder for alle lige tal mindre end 4 10 14 efterprøvet pr. computer). Der venter den, der beviser (eller modbeviser) påstanden evig berømmelse i matematikerkredse. B Eksempler (vi prøver fra en ende af): 5 = + 3 7 = + 5 9 = + 7 11? UPS! Der knækker filmen! 11 kan ikke skrives som sum af to primtal, så påstanden er falsk. C Eksempler (igen fra en ende af): 7 = + + 3 11 = 3 + 3 + 5 13 = 3 + 3 + 7 17 = 3 + 3 + 11 19 = 3 + 3 + 13 Men heller ikke her garanterer de fem eksempler, at påstanden er sand. Påstanden kaldes Goldbachs svage formodning, og er heller ikke bevist. Det forlyder på nettet, at man er tæt på et bevis (hvem man så end er). Bemærk i øvrigt, at da ethvert ulige tal større end 3 kan skrives som 3 + et lige tal, vil Goldbachs svage formodning (C) være sand, hvis Goldbachs formodning (A) er det. A.-D Elevforklaringer. Også her menes: Hvad er den mindste talmængde, som resultaterne tilhører (de er jo alle reelle tal). 19 (Z) 39 (Z) 56 (Z) 17 (Z) 48 (Z) 77 (N) 1 4 (Q) 1 3 (Q) A Mie har som den eneste skrevet tallet korrekt i eksponentiel notation. B Axel: Tallet før tier-potensen skal ligge mellem 1 og 10. Jens: Tallet før tier-potensen ligger ikke mellem 1 og 10, og tier-eksponenten er forkert. Anna: Tier-eksponenten er forkert. OPGAVE 7 A Næste led fås ved at addere 5. B Næste led fås ved at addere 1 3. C Næste led fås ved at addere,5. D Dette er rækken af kvadrattal. Tal nr. n er altså n. Man kan også sige, at tal nr. n kommer af tal nr. n 1 ved at addere n 1. 3

1 5 6 4 4 11 5 0 8 84 8 TAL I MÆNGDER SIDE 30-31 30 TAL I MÆNGDER TAL I MÆNGDER 31 TRÆN 1 FÆRDIGHEDER TRÆN FÆRDIGHEDER OPGAVE 9 OPGAVE 8 A Hvilke tal er ikke hele tal? Løs ligningerne: Mellem 43 og 59, er der 15 naturlige tal. 3 3 6 9 15 4 39 3 3 3,5 64 9 84 3 7 A x + 7 = 3 A Hvilke af tallene er primtal? A Hvad er det næste tal i talfølgen? B x = 1 B Hvilket af tallene er kvadrattal? B Hvad er det tiende tal i talfølgen? OPGAVE C 4 x = 8 C Hvilke af tallene har enten 3 eller 5 i primfaktoropløsningen? OPGAVE 9 3 D,5 x + 3 = 1 E Hvilke af talmængderne N, Z, Q og R tilhører A Skriv, i hvilke af talmængderne N, Z, Q og R 1 8 7 64 hver af dine løsninger i A-D? OPGAVE tallene hører hjemme. A Hvad er det næste tal i talfølgen? A Afgør om 343 er et primtal. B Hvilke tre tal tilhører alle fire talmængder? B Hvad er det tiende tal i talfølgen? 0 B Hvad er primfaktoropløsningen af 343? C Hvilke to tal tilhører kun en af ovenstående Hvilke talmængder hører løsningen af ligningerne talmængder? 0 til i? I en vitaminpille er der 400 μg (mikrogram) A-vitamin, A 1,5 x = 3 På en seddel står der et femcifret tal. Tredje ciffer 10 mg(milligram) E-vitamin og 0,000040 g selen. B 1,5 x = kan imidlertid ikke læses. På sedlen står: 3 61 A Hvilke af tallene fra 1-15 er primtal? A Hvor mange gram A- og E-vitamin er der i alt C x = 3 B Hvilke af tallene fra 1-15 er kvadrattal? A Hvordan kan du afgøre om eller 5 går op i tallet? i pillen? D 1,5 x = 3 C Hvilke af tallene fra 1-15 har i deres primfaktoropløsning? når 3 går op i tallet. B Skriv tre forskellige tal, som kan stå på sedlen, B Angiv vægten af selen med eksponentiel E x = notation. C Lav en beregning, der viser, at 3 går op i dine C Omskriv vægten af selen i pillen til mikrogram. 1 forskellige tal. A Hvilke af følgende tal tilhører samme restklasse A Sæt tallene i rækkefølge (mindste tal først). 1 ved division med 7? 19 3 1,53 5 8 Et atom er opbygget af protoner, neutroner og Udregn: elektroner, i skemaet kan du se deres vægt. A 1 ( 55) B ( 31) ( 3) Hvilke divisorer er der i Partikel Masse m [kg] 15 C ( A tallet 18? 3 53 ) 4 D ( B tallet 4? ) ( 35) Proton 1,676 10 5 E ( 1 C tallet 144? 4 78 158 7 ) ( 5) Neutron 1,6749 10 7 F ( 5 ) ( 37) Elektron 9,1094 10 13 31 Angiv svarene på følgende opgaver, med Udregn: 356 A Sæt tallene i rækkefølge efter størrelse A 6 ( ) 494 eksponentiel notation. (mindste tal først). B ( 6) ( ) 10 A Hvor mange elektroner skal der cirka til, før de C ( 6) ( 1 ) 0 17 1 0,3 3 5 0,01 4 0,3 har samme masse som en proton? D ( 1 ) ( 6) B Hvad er vægtforskellen på en proton og en neutron? OPGAVE 7 A Hvilke divisorer har tallene 138 og 184 til fælles? C Hvor mange elektroner svarer vægtforskellen A Omskriv til eksponentiel notation: A Hvilke divisorer har tallene 49 og 84 til fælles? B Hvilke primfaktorer har tallene 116 og 174 til mellem en neutron og en proton cirka til? B Hvilke primfaktorer har tallene 90 og 84 til fælles? 3700 17 600 000 0,000073 fælles? 1 000 000 000 3 0,00343 OPGAVE 8 OPGAVE 7 A Hvilke af nedenstående tal har den reducerede 3 Løs følgende ligninger: tværsum 8? 1 8 6 13 11 18 A x + 1 7 = 4 60 989 888 35 458 30 774 A Hvad er det næste tal i talfølgen? B 3 4 x = 1 9 999 999 998 60 B Hvad er det tiende tal i talfølgen? C 4 x = 19 D,5 x + 0, = 1 TRÆN 1 FÆRDIGHEDER A Tallene 3, 3,5 og 84 er ikke hele tal. 8 VITAMINER OPGAVE I første oplag af MULTI 7 er spørgsmål B: Hvilke tre tal tilhører alle fire talmængder?. Der er imidlertid kun to tal, der tilhører alle fire talmængder. Da naturlige tal også er hele tal, og hele tal også er rationale tal osv. anføres for Z, Q og R kun de nye tal, der kommer til. A N: 4 (= 1) og 8 4 Z: 6 og 0 Q: 1 R: 5 og 5 4 B 4 og 8 C 5 og 5 A Primtal fra 1 til 15:, 3, 5, 7, 11 og 13. B Kvadrattal fra 1 til 15: 1, 4 og 9. C Tallene, 4, 6, 8, 10, 1 og 14 har i deres primtalsopløsning. A Rækkefølgen er: 1,5 3 (3,375), 3 (18), 19, 5 8 (44) A Divisorerne i 18 er: 1,, 3, 6, 9 og 18. B Divisorerne i 4 er: 1,, 3, 4, 6, 8, 1 og 4. C Divisorerne i 144 er: 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 16, 18, 4, 36, 48, 7 og 144. A 1 B 1 C 3 D 3 OPGAVE 7 A Tallene 49 og 84 har divisorerne 1 og, 7 til fælles. B Tallene 90 og 84 har primfaktorerne og 3 til fælles. OPGAVE 8 A Disse tal har den reducerede tværsum 8: 60, 989, 9.999.999.998 og 60. OPGAVE 9 A x = 10 B x = 10,5 C x = D x = 0,8 E Den mindste talmængde, resultaterne tilhører er: N: C Z: A Q: B og D Alle resultaterne tilhører Q og R. 0 De mindste talmængder, løsningerne hører til i, er: A N (x = ) B Q (x = 4 3 ) C N (x = 3) D Z (x = ) E R (x = ) 1 A Tallene, 73 og 10 tilhører restklassen (1)7 Tallene 53, 18 og 494 tilhører restklassen (4)7 Tallene 13, 15 og 356 tilhører restklassen (6)7 A 3,7 10 3 1,76 10 7 7,3 10 5 1, 10 10,3 10 1 3,43 10 3 3 A Næste tal er 16. B Tal nr. 10 er 8. Systemet er, at der skiftevis lægges 7 til og trækkes fra. 34