Modellering af vand- og stoftransport

Modellering af vand- og stoftransport Der opstilles en 2-dimensionel vand- og stoftransportmodel, i hvilken det søges at modellere de stationære strømnings- og transportsituationer, der er udført eksperimentelt. Dette gøres i to dele; først opstilles en vandtransportmodel, som kalibreres på de udførte strømningsmålinger. Ovenpå strømningsmodellen kobles siden en stoftransportmodel, hvis formål er at eftervise de praktiske sporstofforsøg. Vandtransportmodel Den hydrodynamiske model (HD-modellen) opstilles som en 2-dimensionel model, der regner både mættet og umættet zone ved fuldt implicit finit differens approksimering af Richard s ligning. Den grundlæggende teori og den anvendte metode bag modelleringen er beskrevet i nedenstående link til dokumentation. Dokumentation for vandtransportmodel Af tidsmæssige årsager har det kun været muligt at modellere forsøgene med homogene sandpakninger med baskarpsand og grovsand. Det er forsøgt at modellere strømningen i den heterogene forsøgsopstilling, men på grund problemer med at modellere den umættede zone (omtales senere under modellering af strømning i grovsand) er det ikke umiddelbart lykkedes at opnå brugbare resultater. Af denne grund behandles modellering af den heterogene opstilling ikke yderligere. Forudsætninger for vandtransportmodel Efterfølgende gennemgås de forudsætninger der gælder i det specifikke modelleringstilfælde, og ikke er indeholdt i den førnævnte grundlæggende teori. Dimensioner og geometri Modellen opstilles i to dimensioner, sandkassen længde (x) og højde (z). Dermed forudsættes at der ikke foregår nævneværdig strømning i kassens bredde-retning (y). Geometrien er den samme som for den virkelige sandkasse, 150 cm i længden og 60 cm i højden, samt fast definerede trykniveauer i de tilstødende sidekamre. I indløbskammeret fastholdes vandstanden i 43 cm s højde og i udløbskammeret i 17 cm s højde. Diskretiseringen af sandkassen er i rektangulære bokse 5 cm i x-retningen 1 cm i z-retningen. Den diskretiserede model ses på figur 1. 1

Figur 1. Diskretisering af sandkasse til finit differens modellering. Tidsskridt Det anvendte tidsskridt i modellen er 30 min. Der er foretaget modelleringer med lavere tidsskridt som har givet samme resultater, hvilket indikerer, at modellen er stabil ved det anvendte tidsskridt. Retentionsegenskaber Retentionsegenskaberne for de anvendte jordtyper antages at kunne beskrives ved Campbell-udtryk i den umættede zone. Campbell-parametre er estimeret i forbindelse med forsøg her. Iden mættede zone beskrives retentionsegenskaberne ud fra den specifikke magasinkoefficient S S. Denne sættes i dette projekt til 0,0001 m -1 [Henriksen, 2001b] Hydraulisk ledningsevne Den mættede hydrauliske ledningsevne er den primære kalibreringsparameter i HD-modellen, da denne dels er en af de styrende parametre for vandtransport og dels er bestemt eksperimentelt med en vis usikkerhed. Som udgangspunkt anvendes de eksperimentelt bestemte mættede hydrauliske ledningsevner, og siden indkalibreres de, så modellens output bringes til at stemme overens med kalibreringsdata. Dette behandles nedenfor. Stationær model for Baskarpsand I følgende afsnit præsenteres kalibrering af den stationære model med Baskarpsand samt udvalgte resultater. Kalibrering Der er anvendt hydrauliske parametre for den stationære baskarpsandmodel som angivet i tabel 1. De forskellige værdier er fundet ud fra de målte hydrogeologiske parametre, bortset fra Campbell b der er beregnet ud fra sammenhængen mellem mættet hydraulisk ledningsevne. 2

Trykniveau (indløb), 43 cm h 0 Trykniveau (udløb), h L 17 cm Poretryk ved air entry, -43 cm ψ e Campbell b 4,2 - Porøsitet 0,37 cm 3 /cm 3 Immobilt vand 0,01 cm 3 /cm 3 Tabel 1 Hydrauliske parametre for Baskarpsandsmodellen På grund af den store kapillære stighøjde i Baskarpsandet findes ingen umættet zone, hvilket i modellen styres af poretrykket ved air entry. Da der ikke haves en målt værdi af den kapillære stighøjde, men det ud fra forsøg vides, at den er mindst 65 cm, sættes poretrykket ved air entry til - 43 cm, da der heraf er mættet zone i hele modellen. Kalibreringsparametrene begrænser sig på baggrund af ovenstående til den mættede hydrauliske ledningsevne samt den specifikke magasinkoefficient. Den specifikke magasinkoefficient er fastsat ud fra en erfaringsværdi [Henriksen, 2001b], men reelt er det kun den hydrauliske ledningsevne der har indflydelse på modellen Der kalibreres dels efter en vandføring målt til 11,3 l/h ved de givne randbetingelser, og dels efter en aflæsning af standrør til de givne randbetingelser. Resultatet af kalibreringen ses af figur 2. Figur 2 Resultat af kalibrering af stationær model for Baskarpsand (Ks = 1,01 10-4 m/s) 3

Mættet hydraulisk ledningsevne, K S Specifik magasin koefficient S S Model [m/s] 1.01 10-4 [m -1 ] 1 10-4 - Målt 7,61 10-5 Tabel 2 Målte og indkalibrerede værdier af kalibreringsparametrene Ved de i tabel 2 angivne modelparametre er vandføringen igennem hele kassens længde 11,3 l/h, hvilket svarer præcist til den målte vandføring. Anvendes den målte hydrauliske ledningsevne fås en vandføring gennem sandkassen på 8,5 l/h og tryknivauet modelleres til det i figur 3 viste. Figur 3 Resultat af stationær model for Baskarpsand med målt hydraulisk ledningsevne (Ks = 7,61 10-5 m/s) Det er ikke muligt på at konstatere en forskel i trykniveaufordelingen ud fra anvendelse af de to hydrauliske ledningsevner, dog er vandføringen gennem sandkassen ved den målte hydrauliske ledningsevne væsentlig mindre end ved en indkalibrerede hydrauliske ledningsevne. Det er ikke muligt ud fra ovenstående at fastsætte om det er usikkerhederne på målingerne (som er foretaget ud fra forudsætning om strømning i hele kassens tværsnit) eller det er modelopsætningen og randbetingelserne der giver afvigelsen i vandføringen gennem sandkassen. 4

Resultater I figur 4 ses hastighedsvektorer af porevandshastigheder i sandkassens dybde og længderetning. Figur 4 Porevandshastigheder som resulterende hastighedsvektorer Der ses tydeligt af figur 4, at der forekommer strømning i hele sandkassens dybde på grund af den kapillære stighøjde. For at belyse størrelsen af hastighederne er der i figur 5 optegnet 3 kurver for porevandshastigheden i 3 lodrette snit i sandkassen. 5

Figur 5 Porevandshastigheder i lodrette snit ved indløb og udløb samt i midten af sandkassen. Der ses af figur 5, at porevandshastighederne ved randene er begrænset til højden af vandspejlet, mens der i midten af sandkassen er hastigheder i hele sandkassens dybde på grund af den kapillære stighøjde. Ved x = 0 cm er hastighederne større i nærheden af vandspejlet end længere nede. Grunden til dette er, at vandet her spredes op i hele sandkassens højde, jf. figur 4, hvilket kræver større hastighed ved randen. Noget tilsvarende gør sig gældende ved x = 150 cm, hvor strømningen i sandkassens øvre lag koncentreres ved højre rand. Stationær model for grovsand I følgende afsnit præsenteres kalibreringen af den stationære model med grovsand samt udvalgte resultater. Kalibrering Der er anvendt de i tabel 3 viste hydrauliske parametre for den stationære grovsandmodel som angivet i tabel 1. 6

Trykniveau 42,0 cm (indløb), h L Trykniveau 19,5 cm (udløb), h 0 Porøsitet 0,27 cm 3 /cm 3 Immobilt vand 0,00 cm 3 /cm 3 Tabel 3 Hydrauliske parametre for grovsandsmodel Modellen kalibreres efter aflæsning af standrør, kapillær stighøjde samt vandføring og kalibrerings parametrene er mættet hydraulisk ledningsevne, poreundertryk ved air entry samt Campbell b. I figur 6 er vist vandspejl, kapillærvandspejl samt volumetrisk vandindhold i sandkassen. Figur 6 Vandspejl og kapillærvandspejl i grovsandet. Farvegradueringen angiver det volumetriske vandindhold [cm 3 H 2 0/cm 3 prøve]. Det ses af figur 6, at der findes mætning helt op til det kapillære vandspejl, og at vandindholdet herover aftager. I figur 7 ses hastighedsvektorer af porevandshastigheder i sandkassens dybde og længderetning. 7

Figur 7 Porevandshastigheder som resulterende hastighedsvektorer Det ses af figur 7, at hastighedsvektorerne i den umættede zone alle har en opadrettet retning og der er af den grund ikke massebalance, på grund af at den resulterende flux ind i og ud af den umættede zone ikke er nul, selv ved stationære forhold. Umiddelbart er det et resultat af, at poreundertrykket i den umættede zone netto er større end gravitationen, hvilket ikke burde være tilfældet under stationære forhold. Det har ikke været muligt at finde fejlen i modellen, men den formodes at være ψ forbundet til modellens beregning af gradienten i overgangszonen mellem mættet og umættet zone, som omtales her. Grundet denne fejl kalibreres grovsandsmodellen ikke. θ Massebalanceproblemet kan også anskueliggøres ved at betragte vandføringen gennem sandkassen. Som det fremgår af figur 8 er vandføringen ikke konstant gennem kassen, og der er derfor ikke massebalance i modellen. 8

Figur 8 Vandføring gennem sandkassen (grovsand) I tabel 4 er der, som i den stationære model for Baskarpsand, angivet hvilke af kalibreringsparametrene der er anvendt i modellen, dog er modellen ikke kalibreret yderligere ind på grund af den manglende massebalance. Model Målt/beregnet Poretryk ved air [cm] - -13 entry, ψ e Campbell b [ - ] - 3,3 Mættet hydraulisk ledningsevne [m/s] - 3,65 10-4 Tabel 4 Kalibreringsparametrene for grovsandsmodel. Sammenfatning på vandtransportmodel Det er ikke muligt at klarlægge hvorfor den umættede zone ikke beregnes korrekt i modellen. Fejlen skyldes sandsynligvis konceptuelle eller programmeringsmæssige fejl i modelkoden, som det ikke har været muligt af finde. Det vurderes, at modelleringen af strømning i Baskarpsand er forløbet tilfredsstillende, idet der i denne model ikke optræder umættede forhold. På grund af tidsbegrænsningen i dette delprojekt samt modelfejlen, er der ikke foretaget transiente modelleringer af de afdræningsforsøg der blev foretaget i sandkassen. 9

Stoftransportmodel Stoftransporten modelleres ved en partikelspredningsmodel (PT-model) Partikelspredningen modelleres ved en random walk metode i MatLab, hvis teoretiske grundlag og generelle metode ses her. Partikelspredningen modelleres kun i Baskarpsandet, da der som tidligere omtalt ikke er massebalance i HD-modellen for grovsand. Forudsætninger for partikelspredningsmodel Efterfølgende gennemgås de forudsætninger der gælder for den anvendte PT-model for sandkassen. Dimensioner Modellens geometri og diskretisering er den samme som for HD-modellen. Hastighedsfelt Det stationære hastighedsfelt beregnet i HD-modellen anvendes i PT-modellen til bestemmelse af konvektiv flytning til hvert tidsskridt. HD-modellen er beregnet under de forhold, hvorunder sporstofforsøgene er udført. HD-modellen er således sat op med trykniveauerne 42 cm i indløbskammeret og 18 cm i udløbskammeret (i forsøgene anvendes 41,5 cm og 17,5 cm, men modellen kan kun regne i hele cm pga. diskretiseringen), men ellers med samme hydrologiske parametre som beskrevet i kalibreringen ovenfor. Der er foretaget modelleringsforsøg med en avanceret og en simpel metode til at bestemme en given partikels hastighedskomposanter indenfor dette hastighedsfelt. Denne undersøgelse er beskrevet her. Resultatet af undersøgelsen er, at det er opgivet at anvende den avancerede metode, pga. for store problemer med implementering. I stedet anvendes den simple metode, hvor der til hver boks beregnes én hastighed i hhv. x- og z-retningen ud fra omkringliggende hastighedsvektorer. Fejlen ved at anvende denne tilnærmelse vurderes at være lille, givet den forholdsvist fine diskretisering i modellen. Det anvendte hastighedsfelt er skitseret på nedenstående figur for Baskarpsandet. 10

Figur 9. Hastighedsfelt i Baskarpsand beregnet for de enkelte bokse i PT-modellen (beregnet ud fra hastighedsfelt for boksrande importeret fra HD-modellen). Beregningsgrundlag ses her. Dispersion Den empirisk bestemte longitudinale dispersionskoefficient D l for Baskarpsand anvendes i 1 modelleringen. Den transversale dispersionskoefficient D t sættes erfaringsmæssigt til 50 af D l [Kjeldsen og Christensen, 1996]. De anvendte koefficienter ses af nedenstående tabel. Dispersionskoefficient Longitudinal (D l ) [cm 2 /min] Transversal (D t ) [cm 2 /min] Baskarpsand 0,42 0,0084 Tabel 5. Anvendte dispersionskoefficienter til partikelspredningsmodellering i sandkasse. Dokumentation Modellering Modellen køres med tilledning af 10 partikler i hver boks ved venstre rand til hvert tidsskridt, jf. figur 10. Dette svarer til fuld opblanding af sporstof og konstant sporstofkoncentration i indløbskammeret, som tilfældet er i de udførte forsøg. Koncentrationen i indløbskammeret (venstre kammer) C 0 bestemmes ud fra massebalancen på figur 10 og er givet ved formel 1. (1) N 10 partikler C0 = = 239. 726 q t partikler 3 m hvor C 0 : Koncentration i indløbskammer [partikler/m 3 ] N: Antal bokse i kontakt med indløbskammeret = 42 11

q: Stationær vandføring gennem sandkassen. Denne er i den aktuelle modelopsætning beregnet til 2,92 10-6 m 3 /s t: Tidsskridt = 600 s Figur 10. Massebalance i PT-model ved stationær strømning, hvor der regnes med tilledning af 10 partikler til hver boks ved venstre rand til hvert tidsskridt. N er antallet af bokse, der er i kontakt med vandet i venstre kammer. Tykke pile markerer vandtransport, og tynde pile markerer partikeltransport. Der holdes konstant koncentration C 0 i venstre kammer, mens gennembrudskoncentrationen C til højre kammer varierer. Det primære output fra modellen er gennembrudskoncentrationen af partikler ved vandets passage fra sandkassen til højre kammer, C, normeret i forhold til C 0, så den kan sammenlignes med måledata. Den normerede gennembrudskoncentration bestemmes ved formel 2. C(t) p(t) = (2) C0 q t C0 hvor C(t): Gennembrudskoncentration af partikler ved passage fra sandkasse til højre kammer til tiden t [partikler/m 3 ] p(t): Antal partikler der passerer fra sandkassen til højre sidekammer til tiden t, jf. figur 10 (beregnes af PT-modellen) [partikler] Modelopsætningen køres 20 gange, hvorefter der foretages statistik på resultaterne fra hver kørsel. Hvis denne statistik viser lille afvigelse i resultaterne fra gang til gang, er det indikation på, at det anvendte antal partikler er stort nok til at producere stabile resultater 12

Kontrol af model Det er blevet undersøgt om den opstillede PT-model regner korrekt sammenlignet med den 1- dimensionelle analytiske løsning for gennembrudskoncentration, som blev brugt til at bestemme sandkassens dispersionskoefficient, i en forsimplet 1-dimensionel spredningssituation. Undersøgelsen sandsynliggør, at PT-modellen regner korrekt i den 1-dimensionale situation. På den baggrund antages det efterfølgende, at den fulde PT-model regner korrekt, da der kun er lille praktisk forskel mellem den fulde og den forsimplede model. Kontrol af PT-model for sandkasse Resultater af partikelspredningsmodellering Efterfølgende præsenteres resultaterne af modelleringen. Efter en visuel præsentation af spredningen gennem sandkassen sammenlignes de målte og modellerede gennembrudskurver statistisk. Spredning af impuls Til illustration af spredningen gennem sandkassen viser figur 11 spredningen af partikler efter en impuls-tilledning af 10 partikler til hver boks ved venstre rand til tiden t = 0 (dvs. ingen tilledning af partikler efter første tidsskridt). Under figuren er et link til et filmklip, der viser spredningen af impulsen fra 0 til 20 timer. De røde streger i højre og venstre sider angiver vandspejlshøjden i sidekamrene. Spredningsmønstret ses at stemme overens med hastighedsfeltet på figur 9. Figur 11. Spredning af partikler i Baskarpsand efter en impuls-tilledning af 10 partikler til hver boks ved venstre rand til tiden t = 0. Videosekvens af spredning efter impuls-tilledning 13

Gennembrudskurver Figur 12 viser gennembrudskurverne for hhv. målt og modelleret koncentration. Den målte gennembrudskoncentration er bestemt her. Det ses, at den modellerede kurve er forskudt til venstre i forhold til den målte, men at de ellers følger et nogenlunde ens forløb. For at kunne beskrive forskellen mellem kurverne statistisk differentieres de mht. tiden, hvorefter tyngdepunkt og spredning bestemmes for de differentierede udtryk. Kurverne differentieres numerisk ved til et givet punkt at bestemme hældningen mellem de to nabopunkter lineært. De differentierede kurver er afbildet på figur 13, hvor der for både målte og modellerede data spores en normalfordelt tendens. Figur 12. Gennembrudskurver for hhv. målt og modelleret koncentration. 14

Figur 13. Numerisk differentiation af målte og modellerede gennembrudskurver, dt d C C 0 I tabel 6 er beregnet middelværdi og spredning af gennembrudstiden T for målte og modellerede data, samt modeldataenes afvigelse fra måledata. Måledata Modellerede data (middelværdi og spredning (i parentes) ved 20 modelkørsler) Modellerede datas afvigelse fra målte µ [h] σ [h] µ [h] σ [h] µ [h] σ [h] 12,23 2,35 11,19 (0,08) 2,31 (0,06) 8,5 % 1,7 % Tabel 6. Sammenligning af middelværdi og spredning af gennembrudstid, T, for målte og modellerede data. Vurdering af resultater Overordnet set er middelværdierne på gennembrudstiden i tabel 6 afhængige af porevandshastigheden i sandkassen, mens spredningerne er afhængige af dispersionen. Ud fra denne betragtning konkluderes, at de modellerede porevandshastigheder er større end de faktisk forekommende i forsøget, hvis måledata antages at være korrekte, hvorimod modellens dispersion passer godt med virkeligheden. Modellens middel-porevandshastighed i x-retningen, u model, er ca. 2,6 % større end den analytisk fittede middel-porevandshastighed for måledata, u målt (12,49 cm/h i forhold til 12,17 cm/h). Denne 15

forskel alene kan ikke forklare de 8,5 % forskel mellem gennembrudstiderne. Da den 1- dimensionelle kontrol med konstant hastighedsfelt viste et godt fit mellem målte og modellerede data, formodes det, at forskellen skal findes i det stedsligt varierende hastighedsfelt i den fulde PTmodel. Dette skyldes, at høje hastigheder i det primære strømningsområde i modellen kan medføre en forholdsvist lav gennembrudstid, selvom middelhastigheden over hele sandkassen ikke afviger meget fra den analytisk fittede. Dette åbner mulighed for at porevandshastighederne i modellen er for høje i forhold til virkeligheden. Porevandshastigheden er bestemt ud fra Darcyhastigheden og den effektive porøsitet. Da Darcyhastigheden i modellen er kalibreret ind i forhold til forsøgene må forskellen ligge i den anvendte effektive porøsitet i modellen. Havde porøsiteten i modellen være større ville gennembrudstiden også have været større ved samme Darcyhastighed. Dette sætter spørgsmålstegn ved, om den anvendte effektive porøsitet er repræsentativ for de faktiske forhold i forsøget. Den effektive porøsitet er beregnet ud fra porevandshastigheden fittet i den analytiske 1-dimensionelle formel for gennembrudskoncentration. En fejlbestemt effektiv porøsitet vil sandsynligvis være grundet i fejlen i at anvende en 1-dimensionel løsningsmetode på et 2-dimensionelt problem. Det havde været mere korrekt at fitte den effektive porøsitet ud fra gennembrudskurverne på figur 12. På grund af tidspres undersøges dette ikke yderligere i dette projekt. Dow nload HD-modeller for Baskarp- og grovsand samt PT-model for Baskarpsand (MatLab) Alle filer lægges i MatLab's "work"-bibliotek 16