Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven
|
|
- Mogens Laursen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven er at opstille en 1-D model for grundvandsstrømning i et område ved Vestskoven (København), at bestemme grundvandshydrauliske parametre ved at fitte model til data, og at analysere hvor hurtigt en grundvandsforurening vil forurene en mindre å. 2 Baggrund Et kort over området ved Vestskoven er vist i Figur 1. Området er beliggende umiddelbart syd for Ballerup. I området er der tre deponier, hvor der er deponeret bl.a. flyveaske. Der har fundet en forurening sted i området på grund af lækage fra disse deponier, der ellers var udført med en tæt membran. Figur 1: Kort over Vestskovdeponiområdet. De tre deponier anes som forhøjninger i landskabet. Umiddelbart nord for deponierne ligger et transekt af boringer, hvor grundvandsstanden er målt. Grundvandsstrømmen er fra boring F12 til Risby å. Mat1 04/05 side 1
2 !#" $ %'&)(+*,-%/.0"/12& %/6 & /18:<;)=8& 3 $ %/6!#4/3 B0; B)6 & : $ ; BC4 3 BC= $ %/1D(+* E)* Figur 2: Regional geologi i området. Deponiområdet er vist på figuren. I området er der en række boringer, hvor grundvandsstanden, eller rettere, det hydrauliske trykniveau er målt. Ved hjælp af disse trykniveauer kan man skitsere grundvandets strømningsretning. Figur 1 viser således de boringer der vil blive benyttet i dette projekt. Grundvandsstrømningen er fra boring F12 forbi deponierne og mod Risby å. Figur 2 viser en principskitse af den regionale geologi i området. Øverst består området af ca. 2-4 meter morænesand, efterfulgt af ca. 18 meter moræneler. Kalk træffes under dette lag. Selve området med deponierne er også vist på figur 2. Et snit i gennem det lokale område er vist på Figur 3. Dette snit er lagt tilnærmelsesvis langs en strømlinie fra F12 til Risby å. Figuren viser de boringer hvor grundvandstanden (h, skitseret på figuren) er målt. Figuren viser også, at der er to grundvandsmagasiner. Et øvre sekundært grundvandsmagasin (fin sand/silt), der er i kontakt med den nærliggende å (Risby), samt et nedre primært grundvandsmagasin i kalken, der i området benyttes til drikkevandsforsyning (Københavns Energi). Moræneleret adskiller de to grundvandsmagasiner. Som skitseret på Figur 3 er der en horisontal strømning fra øst for deponierne ned mod Risby å (q på Figur 3). Det skyldes at der er et trykfald ned mod åen (se også teoriafsnittet). Samtidig er der også en nedadrettet trykgradient og strømning (qk ) mellem det øvre og nedre magasin da trykniveauet i kalken overalt kan antages at være H=13.8 m, dvs. under det trykniveau der er i det øvre afsnit, hvor h er ca m langs tværsnittet (trykket er lavere da der tappes vand fra Mat1 04/05 side 2
3 R R k R SPTUN VXW FG b)cd ef FH FJI FJKMLCK FN O FPN N FPN Q ^an I R]\/T<^/T_N H` OK#W ont_n I#W mnt_n g` I#W kjl ^an g T#fh]i jw Y TZO#W Y T#[OJO#W p q r p s r t t u vw p x p u y z p s x s { zy } ~ Figur 3: Transekt med lokal geologi, boringer og trykniveauer i øvre og nedre grundvandsmagasin. det nedre magasin). Forureningen i området er sket ud for boring P9 (Figur 3). Denne vil derfor bevæge sig horisontalt mod åen (og vertikalt mod kalkmagasinet). Opgaven går bl.a. ud på at bestemme hvor hurtigt forureningen transporteres mod åen. 3 Teori 3.1 Darcy s Lov Strømning i porøse medier styres af Darcy s lov: Q = K s A h x hvor Q er vandføringen (m 3 /s), h er trykniveau (m), A er tværsnitsareal (m 2 ) og K s er grundvandsmagasinets hydrauliske ledningsevne (m/s). En K-værdi karakteriserer derfor hvor godt "geologien leder vand". Sand har en høj K-værdi, ler har en lav K-værdi. I det følgende skal vi kun kigge på en een-dimensional model. Her sætter vi arealet A til A=(1 m d), hvor d = h z 0 er den mættede lagtykkelse (m) i sandet, se Figur 4 (z 0 er datum). Med andre ord regnes alt i "per meter bredde". Tværsnitsarealet ændres derfor med afstanden afhængigt af om grundvandsstanden ændres. Herved bliver (1) omskrevet til Q = K s (h z 0 ) h (2) x Vandføringen Q er derfor ikke-lineær med hensyn til h (i (2) forekommer der et ikke-lineært led på formen h h x ). I det følgende benyttes, at Darcyhastigheden er defineret som strømning per total areal dvs.; (1) q = Q A (3) Mat1 04/05 side 3
4 Figur 4: Kontrolvolumen til opstilling af flow balance. Snittet er vist fra den anden side i forhold til Figur Flow balance Der kan også opstilles en flow balance for kontrolvolumenet i Figur 4 (der ophobes ikke væske i kontrolvolumenet): Q (Q + Q x dx) + Ndx q kdx = 0 (4) Her svarer N til nettoinfiltrationen på årsbasis (dvs. nedbør minus aktuel fordampning, altså den del af nedbøren der når ned til grundvandet). Størrelsen N kan her antages konstant svarende til en middel infiltration over et år, og q k er den vandmængde, der tabes ud af det øvre grundvandsmagasin på grund af en gradient ned mod kalken. Denne vandmængde er ikke nødvendigvis konstant. Trykniveauet i kalken (H, se Figur 3) kan anses for konstant, men da det øvre trykniveau (h) varierer vil q k også variere, i henhold til Darcy s lov opskrevet i vertikal retning: q k = K m H h m hvor K m og m, er henholdsvis den hydrauliske ledningsevne og tykkelsen af moræneleret. (5) 3.3 En 1-D model 1. Vis ved at kombinere ovenstående, at trykfaldet h er givet ved den styrende differentialligning; d 2 ( (h z 0 ) 2) dx 2 + 2K m H h K s m + 2N = 0 (6) K s Overvej hvilke andre betingelser h må opfylde. Dette kan fx være, at h har givne værdier i endepunkterne af intervallet, hvor vi søger at bestemme h (kaldet randbetingelser). 2. Forsøg at finde løsning til (6). Prøv også Maple. 3. Man kan simplificere (6) ved at antage, at tværsnitsarealet A i ligning (1) er konstant, dvs. at (1) modificeres til h Q = K s d 0 (7) x Mat1 04/05 side 4
5 hvor d 0 er en konstant, der fx er et omtrentligt gennemsnit af (h z 0 ) langs transektet af boringer. Vis, at den resulterende differentialligning, der modsvarer (6), i dette tilfælde bliver på formen d 2 (h H) dx 2 + K m H h d 0 K s m + N = 0 (8) d 0 K s og undersøg nu om denne ligning kan løses. Benyt Maple til at finde den løsning, der opfylder givne randbetingelser, og skitser (plot) for forskellige valg af parametre løsningerne til (8). Undersøg om ethvert valg af randbetingelser kan opfyldes. 4. Argumenter eventuelt uden brug af Maple for at den fuldstændige løsning har en forholdsvis simpel form, idet (8) kan skrives på formen (med η = (h H)) d 2 η dx 2 α2 η + β = 0 (9) hvor α > 0 og β > 0 (her bør man først overveje fortegnet af konstanterne K m,k s,d 0 ). 5. Eventuelt kan man også forsøge at nå frem til ligningen (8) fra (6) ved brug af en Taylor udvikling. [VINK: Hvis man skriver h på formen h(x) z 0 = d 0 + y(x), hvor d 0 er en konstant, der som ovenfor er en passende middelværdi af (h z 0 ), og y(x) er variationen herfra, kan (6) omskrives til en differentialligning i y. Hvis man i denne resulterende ligning ser bort fra alle led af højere orden end 1 i y fås efter lidt omskrivning (8) 1 ]. 4 Data Data for området i Vestskoven fremgår af Tabel 1 og 2. Netto-infiltrationen til grundvandet er 200 mm/år (der regner ca. 700 mm per år i gennemsnit, men ca. 500 mm afdræner og fordamper). Tykkelsen af moræneleret kan sættes til m=18 m og trykniveauet i kalken er konstant H=13.8 m. En model for h(x) i det øvre grundvandsmagasin er ovenfor opstillet for tværsnittet vist i Figur 3. Tværsnittet er L=500 m langt og randbetingelserne er givet ved fastholdte trykniveauer. I x=0 m er trykniveauet det samme som i F12 og i x=500 m er trykniveauet lig koten til vandspejlet i Risby å. De to ubekendte parametre i differentialligningen er nu K s og K m, som er de hydrauliske ledningsevner for henholdsvis det øvre grundvandsmagasin og for moræneleret, der adskiller dette fra det nedre grundvandsmagasin i kalken. Der er d. 14. maj, 1999 foretaget en række trykniveauer, som er vist i Tabel 2. Tværsnittet i Figur 3 er næsten parallelt med øst-vest og Tabel 2 viser derfor UTM (East) koordinaterne til boringerne. 1 Dette indbefatter også at man fjerner led af formen y dy dx osv. Mat1 04/05 side 5
6 Tabel 1: Data fra Vestskoven Parameter Værdi Enhed Netto-infiltration, N 0.2 m/år Datum, z 0 13 m Tykkelse af moræneler, m 18 m Trykniveau i kalk, H 13.8 m Porøsitet i øvre magasin, θ Længde af tværsnit, L 500 m Fasthold tryk, h m Fasthold tryk (åen), h L m Tabel 2: Observerede trykniveauer, h, se Figur 3 og UTM-east koordinater. Boring UTM-East (m) Trykniveau (m) F F F P F F F F Risby å Estimering af de hydrauliske parametre På basis af forsøgsresultaterne skulle det være muligt, ved sammenligning med modellen, at finde værdierne af de ubekendte hydrauliske ledningsevner K s og K m. I første ombæring under brug af den lineære model (8). 6. Overvej metoder til at bestemme konstanterne K s og K m på basis af målte data, dvs. målte værdier af tryk h til givne afstande x. Hvilken størrelsesorden synes rimelig for disse parametre? (find fx relevante værdier i litteraturen, eller spørg omkring). Overvej desuden hvilken værdier af d 0, der synes rimelig at benytte. Man kan med fordel benytte sig af differentialligningen skrevet på formen (9) og bestemme α og β således at løsningskurven tilpasser sig de målte data. Derefter bestemmer man K s og K m. Når man som her skal kalibrere en given model 2, benytter man for eksempel et mål for fejlen mellem model (funktionen h) og målte data på formen ERR = [ N ] 1/p h(x i ) h meas (x i ) p, (10) i=1 2 Man siger, at man løser det inverse problem: At finde data i en differentialligning på basis af målinger. Mat1 04/05 side 6
7 Her er h meas (x i ) de målte tryk i positionerne x i,i = 1,...,N (N er antallet af målepunkter). Potensen p vælges afhængigt af, hvad man vil opnå. 7. Overvej hvad ERR i (10) udtrykker, og undersøg, hvad det betyder, at p vælges som 1, 2, eller meget stor ( ). 8. Bestem nogle værdier af K s og K m (eller af α og β i (9)), der gør fejlen ERR så lille som muligt for de i Tabel 2 angivne data. Man kan her for eksempel bruge Maple s '? ƒ? A ˆ Š ' og '? ƒ? A ˆ Š ' AŒˆ til at undersøge fejlens afhængighed af de to parametre (da ERR varierer temmeligt vildt kan det her være praktisk at arbejde med log(err)). 5.1 Test med den ikke-lineære model 9. Med værdierne af K s og K m bestemt via den linære model kan man eventuelt undersøge om man med disse data får en god overensstemmelse mellem data og løsningen til den ikkelineære model (8). Til dette formål kan man benytte, at Maple kan løse differentialligninger ved brug af numeriske metoder 3 ; se HELP for Ž + ' A ' / ' ' ˆ Š +ˆ og Ž D Š '. 6 Transport af forurening Darcy s lov (1) angiver strømningen per det totale tværsnitsareal, A. Da arealet udgøres af sandkornene og porerum (arealet mellem sandkorn) defineres porevandshastigheden som; v = q θ (11) hvor θ er porøsiteten. Porøsiteten er defineret som antal kubikmeter porerum per kubikmeter total volumen og er derfor mindre end 1. Porevandshastigheden er derfor større end Darcyhastigheden, q. Den gennemsnitlige opholdstid i et stykke jord af en stofpartikel, der transporteres med grundvandet, findes udfra; v = dx (12) dt hvor x er positionen af en partikel efter en given tid, t. Heraf kan opholdstiden T af partiklen over et intervallet [x 1,x 2 ] udregnes som; Z T 0 dt = Z x2 1 dx (13) x 1 v 3 Bemærk, at det måske ikke virker i første ombæring for de givne randbetingelser. Man skal her ændre forskellige parametre, der benyttes i de numeriske algoritmer, se HELP (eller få vejledning). Overvej, hvori vanskeligheden består. Alternativt kan man bruge Maple til at loese et begyndelsesværdiproblem og selv skyde sig ind på en løsning ved at variere på hældningen ved x = 0 Mat1 04/05 side 7
8 Som et simpelt eksempel, hvor porevandshastigheden er konstant, fås specielt, at opholdstiden t i et interval af længde l er t = l (14) v Dette giver det simple resultat, at opholdstiden er længden divideret med hastigheden. I det tilfælde - som her ved Vestskoven - hvor v ikke er konstant med afstanden x, bliver udregningen lidt sværere. 10. Find porevandshastigheden, v(x), og opholdstiden T i det øvre grundvandsmagasin til åen, hvis partiklen "slippes løs"ved deponi 3, svarende til boring P9. Hvad sker der hvis partiklen begynder sin rejse ved boring F6. VINK: se nedenfor. Man kan give et "sjus"på opholdstiden på følgende måde, idet man tilnærmelsesvis har at porevandshastigheden mellem P9 og åen kan udregnes vha Darcy s lov som 4 : v = K s θ h = 4 = m/s 4.1m/yr (15) x "Minus-tegnet"på hastigheden viser bare at strømningen er modsat x-aksen, mod vest (Risby å). Herved fås at opholdstiden kan sjusses til: T = l/v = = 76yr. (16) Ved korrekt integration vil man nok se at tiden bliver noget andet, da porevandshastigheden stiger dramatisk ned mod åen pga den mindre mættede lagtykkelse, ligesom den er naesten nul paa midten af transektet. For at gøre dette mere præcist bør man finde v(x) ved at differentiere udtrykket for h(x) og evt plotte variationen som funktion af x. Derefter findes T ved integration, jf (13). Overvej desuden om disse resultater er meget følsomme overfor estimatet af K s og K m (hvordan ser kurve-fittet ud hvis man ændrer lidt på disse parametre - og hvad sker der tilsvarende med opholdstiderne). 7 Bestemmelse af de hydrauliske parametre. II 11. Bestem konstanterne K s og K m på basis af de målte data idet man anvender den ikke-lineære model (6). Sammenlign med resultaterne, der kan opnås med den lineære model. 8 Modellen som et system af differentialligninger 12. Benyt de variable h og Q til at opskrive et system af første-ordens differentialligninger, som er en model for systemet, jf ligningerne (1) og (4). Bemærk, at disse to ligninger udtrykker det horizontale flow respektivt det vertikale flow. Undersøg dette lineære system og sammenlign med analysen ovenfor. 4 Her sætter vi, for eksemplet skyld, K s = Mat1 04/05 side 8
Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven
Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven
Læs mereNotat. Baggrund. Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer Syd modellen
Notat Sag BNBO beregninger Projektnr. 04779 Projekt Svendborg Kommune Dato 04-03-07 Emne Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer MAON/DOS Syd modellen Baggrund I forbindelse med beregning af
Læs mereERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER. Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S
ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S Problemstilling Vi bruger i højere og højere grad modeller til at beregne
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereHøfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3
Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Søren Erbs Poulsen Geologisk Institut Aarhus Universitet 2011 Indholdsfortegnelse Sammendrag...2 Indledning...2
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereDette notat beskriver beregningsmetode og de antagelser, der ligger til grund for beregningerne af BNBO.
NOTAT Projekt BNBO Silkeborg Kommune Notat om beregning af BNBO Kunde Silkeborg Kommune Notat nr. 1 Dato 10. oktober Til Fra Kopi til Silkeborg Kommune Charlotte Bamberg [Name] 1. Indledning Dette notat
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereStatus for modellering af vand og varmestrømning
Status for modellering af vand og varmestrømning WP7 Interaktion med omgivende grundvandssystem Per Rasmussen & Anker Lajer Højberg GeoEnergi følgegruppemøde 10/4 2013 www.geoenergi.org Disposition Formål
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereHydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk
Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Anne Lausten Hansen Institut for Geografi og Geologi, Københavns Universitet De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS)
Læs mereGrundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej
Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej Figur 1 2/7 Modelområde samt beregnet grundvandspotentiale Modelområdet måler 650 x 700 m Der er tale om en kombination af en stationær og en dynamisk
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereBilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC).
Opstartsrapport ForskEl projekt nr. 10688 Oktober 2011 Nabovarme med varmepumpe i Solrød Kommune - Bilag 1 Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC). Som en del af det
Læs mereGOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE
GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE Sektionsleder Anne Steensen Blicher Orbicon A/S Geofysiker Charlotte Beiter Bomme Geolog Kurt Møller Miljøcenter Roskilde ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING
Læs merePartikelspredningsmodel
Partikelspredningsmodel Formål For beskrivelse af stoftransport i sandkassen er der opstillet en partikelspredningsmodel. Formålet med partikelspredningsmodellen er, at undersøge modellens evne til at
Læs mereStabilitet af rammer - Deformationsmetoden
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereTekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag
ATV Jord og Grundvand Vintermøde om jord- og grundvandsforurening 10. - 11. marts 2015 Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag Lars Troldborg
Læs mereIndholdsfortegnelse. Resendalvej - Skitseprojekt. Silkeborg Kommune. Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej.
Silkeborg Kommune Resendalvej - Skitseprojekt Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 wwwcowidk Indholdsfortegnelse
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereEvaluering af Soltimer
DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning
Læs mereSÅRBARHED HVAD ER DET?
SÅRBARHED HVAD ER DET? Team- og ekspertisechef, Ph.d., civilingeniør Jacob Birk Jensen NIRAS A/S Naturgeograf Signe Krogh NIRAS A/S ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING VINGSTEDCENTRET
Læs mereLodret belastet muret væg efter EC6
Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan
Læs mereVURDERING AF PERKOLATUDSIVNING FRA MELLEM- OPLAG AF TRÆFYRINGSASKE PÅ STEGENAU DEPOTET
Notat NIRAS A/S Birkemoseallé 27-29, 1. sal DK-6000 Kolding DONG Energy A/S VURDERING AF PERKOLATUDSIVNING FRA MELLEM- OPLAG AF TRÆFYRINGSASKE PÅ STEGENAU DEPOTET Telefon 7660 2600 Telefax 7630 0130 E-mail
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereModellering af stoftransport med GMS MT3DMS
Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereMatematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereVejledning Sådan laver du en faskine
Natur og Miljø Vejledning Sådan laver du en faskine November 2011 1 Hvorfor er det en god ide at nedsive regnvand? Regnvand, som siver ned gennem jorden, bliver til grundvand, og vi henter vort drikkevand
Læs mereAnvendelse af GrundRisk til lokal risikovurdering. Gennemgang af værktøjet med fokus på betydning af parameterværdier. Professor Philip J.
Anvendelse af GrundRisk til lokal risikovurdering Gennemgang af værktøjet med fokus på betydning af parameterværdier Professor Philip J. Binning Postdoc Luca Locatelli Videnskabelig assistent Louise Rosenberg
Læs mereHYDROLOGI Generelt og i Danmark. Torben O. Sonnenborg Hydrologisk Afdeling Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS)
HYDROLOGI Generelt og i Danmark Torben O. Sonnenborg Hydrologisk Afdeling Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS) GEUS De nationale geologiske undersøgelser for Danmark og Grønland Forskningsinstitution
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereStøjvold III Risikovurdering ved brug af lettere forurenet jord til anlæg
NOTAT Projekt Risikovurdering af lettere forurenet jord - støjvold III i Ballerup Kommune Kunde Ballerup Kommune Notat nr. Miljø-01 Dato 2014-11-25 Til Henrik Linder, Ballerup Kommune Fra Lisbeth Hanefeld
Læs mereUndersøgelse af flow- og trykvariation
Undersøgelse af flow- og trykvariation Formål Med henblik på at skabe et kalibrerings og valideringsmål for de opstillede modeller er trykniveauerne i de 6 observationspunkter i sandkassen undersøgt ved
Læs mereMatematik A studentereksamen
Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereRÅSTOFKORTLÆGNING RAPPORT NR. 4-2011 SAND, GRUS, STEN. Svogerslev, Roskilde Kommune
RÅSTOFKORTLÆGNING RAPPORT NR. 4-2011 SAND, GRUS, STEN Svogerslev, Roskilde Kommune Udgiver: Afdeling: Region Sjælland Alleen 15 4180 Sorø Regional Udvikling Udgivelsesår: 2011 Titel: Råstofkortlægning,
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereSammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model
Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model Notat udarbejdet af Hans Jørgen Henriksen, GEUS Endelige rettelser pr. 27. oktober 2002 1. Baggrund Storstrøms Amt og
Læs mereUDFORDRINGER I BNBO AFGRÆNSNINGEN. Af Flemming Damgaard Christensen,
UDFORDRINGER I BNBO AFGRÆNSNINGEN Af Flemming Damgaard Christensen, fldc@hofor.dk AGENDA Baggrund for BNBO istorie for BNBO Fremtiden for BNBO Konceptuelt model for BNBO Forudsætninger & matematik Betydningen
Læs mereNotat. Hillerød Forsyning A/S NYE KILDEPLADSER VED FREERSLEV OG BRØDESKOV Modelberegninger baseret på prøvepumpninger december 2016/januar 2017
Notat Hillerød Forsyning A/S NYE KILDEPLADSER VED FREERSLEV OG BRØDESKOV Modelberegninger baseret på prøvepumpninger december 2016/januar 2017 24. april 2017 Projekt nr. 227678 Dokument nr. 1223154487
Læs merea) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :
Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres
Læs mereHYDRAULISK KARAKTERISERING AF KALKBJERGARTERNE I ØRESUNDSREGIONEN
HYDRAULISK KARAKTERISERING AF KALKBJERGARTERNE I ØRESUNDSREGIONEN Civilingeniør Jesper Aarosiin Hansen Chefkonsulent Lars Møller Markussen Rambøll ATV MØDE KALK PÅ TVÆRS SCHÆFFERGÅRDEN 8. november 26 1.
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mere- vandløbsvedligeholdelse set i perspektiv af de
Danske vandløb - vandløbsvedligeholdelse set i perspektiv af de grundlæggende mekanismer Torben Larsen Institut for Byggeri og Anlæg Aalborg Universitet TL@civil.aau.dk Foredrag for LandboNord, Brønderslev
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereForsyning Helsingør Vand A/S
Forsyning Helsingør Vand A/S Hellebæk Vandværk R I S I K O V U R D E R I N G I F O R H O L D T I L G A M L E D E P O T P Å S K I B S T R U P December 2015 383265-15_v1_Risikovurdering_Skibstrup notat.docx
Læs mereIndholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode
Roskilde Amt Geofysisk kortlægning i Skovbo Kommune Landbaserede TEM-målinger COWI A/S Parallelvej 2 00 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Indledning
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs mereEn besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1
En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereGPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007
GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,
Læs mereModellering af vand og stoftransport i mættet zone i landovervågningsoplandet Odderbæk (LOOP2) Delrapport 1 Beskrivelse af modelopsætning.
Modellering af vand og stoftransport i mættet zone i landovervågningsoplandet Odderbæk (LOOP2) Delrapport 1 Beskrivelse af modelopsætning Bilag Bilag 1 - Geologiske profiler I dette bilag er vist 26 geologiske
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereHvordan vil det se ud, hvis vi i højere grad nedsiver?
Rørcenterdage, Teknologisk Institut, d. 17. og 18. juni 2009 - A1 LAR Lokal afledning af regnvand Hvordan vil det se ud, hvis vi i højere grad nedsiver? Jan Jeppesen (1,2) (1) Alectia A/S, Denmark (2)
Læs mereHVOR SKAL VI HENTE DET RENE VAND OM 10 ÅR - Pesticider som eksempel
HVOR SKAL VI HENTE DET RENE VAND OM 10 ÅR - Pesticider som eksempel Peter R. Jørgensen, PJ-Bluetech, Jesper Bruhn Nielsen og Jan Kürstein, NIRAS, Niels Henrik Spliid, Århus Universitet. ATV Vintermøde
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereGeologisk modellering
Geologisk modellering Smålyng Gislum Haderup Viborg Kasted Grindsted Thyregod Skuldelev Gladsaxe Ishøj Frederiksberg Torkildstrup Store Fuglede Nyborg Abild Vesterborg )LJXU 3ODFHULQJHQDIGH*5802RPUnGHUGHUHUXGYDOJWWLOJHRORJLVNPRGHOOHULQJ
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereBilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.
Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen
Læs mereFaskiner. Figur 1. Opbygning af en faskine med plastkassette.
Faskiner Hvorfor nedsive tagvand? Det er miljømæssigt fordelagtigt at nedsive tagvand, hvor der er egnede jordbundsforhold. Herved øges grundvandsdannelsen, og belastningen på kloakker reduceres. Tagvand
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere3D Sårbarhedszonering
Projekt: kvalitetsledelsessystem Titel: 3D sårbarhedszonering Udarbejdet af: Rambøll Kvalitetssikret af: AMNIE Godkendt af: JEHAN Dato: 03-02-2017 Version: 1 3D Sårbarhedszonering ANVENDELSE AF 3D TYKKELSER
Læs mereMIKE 12 modellering af Hjarbæk Fjord
1 Kapitel MIKE 12 modellering af Hjarbæk Fjord I følgende kapitel redegøres der for de forudsætninger, der danner grundlag for simuleringer af hydrodynamikken i Hjarbæk Fjord. Der simuleres fire forskellige
Læs mereDokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning
Dokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning Fremstilling af partikler Udgangspunktet for fremstilling af partikler er at fremstille gelkugler med en massefylde
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereKontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B
1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen
Læs mereNOTAT Dato 2011-03-22
NOTAT Dato 2011-03-22 Projekt Kunde Notat nr. Dato Til Fra Hydrostratigrafisk model for Beder-Østerby området Aarhus Kommune 1 2011-08-17 Charlotte Agnes Bamberg Theis Raaschou Andersen & Jette Sørensen
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mere