Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Transkript

1 Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven er at opstille en 1-D model for grundvandsstrømning i et område ved Vestskoven (København), at bestemme grundvandshydrauliske parametre ved at fitte model til data, og at analysere hvor hurtigt en grundvandsforurening vil forurene en mindre å. 2 Baggrund Et kort over området ved Vestskoven er vist i Figur 1. Området er beliggende umiddelbart syd for Ballerup. I området er der tre deponier, hvor der er deponeret bl.a. flyveaske. Der har fundet en forurening sted i området på grund af lækage fra disse deponier, der ellers var udført med en tæt membran. Figur 1: Kort over Vestskovdeponiområdet. De tre deponier anes som forhøjninger i landskabet. Umiddelbart nord for deponierne ligger et transekt af boringer, hvor grundvandsstanden er målt. Grundvandsstrømmen er fra boring F12 til Risby å. Mat1 04/05 side 1

2 !#" $ %'&)(+*,-%/.0"/12& %/6 & /18:<;)=8& 3 $ %/6!#4/3 B0; B)6 & : $ ; BC4 3 BC= $ %/1D(+* E)* Figur 2: Regional geologi i området. Deponiområdet er vist på figuren. I området er der en række boringer, hvor grundvandsstanden, eller rettere, det hydrauliske trykniveau er målt. Ved hjælp af disse trykniveauer kan man skitsere grundvandets strømningsretning. Figur 1 viser således de boringer der vil blive benyttet i dette projekt. Grundvandsstrømningen er fra boring F12 forbi deponierne og mod Risby å. Figur 2 viser en principskitse af den regionale geologi i området. Øverst består området af ca. 2-4 meter morænesand, efterfulgt af ca. 18 meter moræneler. Kalk træffes under dette lag. Selve området med deponierne er også vist på figur 2. Et snit i gennem det lokale område er vist på Figur 3. Dette snit er lagt tilnærmelsesvis langs en strømlinie fra F12 til Risby å. Figuren viser de boringer hvor grundvandstanden (h, skitseret på figuren) er målt. Figuren viser også, at der er to grundvandsmagasiner. Et øvre sekundært grundvandsmagasin (fin sand/silt), der er i kontakt med den nærliggende å (Risby), samt et nedre primært grundvandsmagasin i kalken, der i området benyttes til drikkevandsforsyning (Københavns Energi). Moræneleret adskiller de to grundvandsmagasiner. Som skitseret på Figur 3 er der en horisontal strømning fra øst for deponierne ned mod Risby å (q på Figur 3). Det skyldes at der er et trykfald ned mod åen (se også teoriafsnittet). Samtidig er der også en nedadrettet trykgradient og strømning (qk ) mellem det øvre og nedre magasin da trykniveauet i kalken overalt kan antages at være H=13.8 m, dvs. under det trykniveau der er i det øvre afsnit, hvor h er ca m langs tværsnittet (trykket er lavere da der tappes vand fra Mat1 04/05 side 2

3 R R k R SPTUN VXW FG b)cd ef FH FJI FJKMLCK FN O FPN N FPN Q ^an I R]\/T<^/T_N H` OK#W ont_n I#W mnt_n g` I#W kjl ^an g T#fh]i jw Y TZO#W Y T#[OJO#W p q r p s r t t u vw p x p u y z p s x s { zy } ~ Figur 3: Transekt med lokal geologi, boringer og trykniveauer i øvre og nedre grundvandsmagasin. det nedre magasin). Forureningen i området er sket ud for boring P9 (Figur 3). Denne vil derfor bevæge sig horisontalt mod åen (og vertikalt mod kalkmagasinet). Opgaven går bl.a. ud på at bestemme hvor hurtigt forureningen transporteres mod åen. 3 Teori 3.1 Darcy s Lov Strømning i porøse medier styres af Darcy s lov: Q = K s A h x hvor Q er vandføringen (m 3 /s), h er trykniveau (m), A er tværsnitsareal (m 2 ) og K s er grundvandsmagasinets hydrauliske ledningsevne (m/s). En K-værdi karakteriserer derfor hvor godt "geologien leder vand". Sand har en høj K-værdi, ler har en lav K-værdi. I det følgende skal vi kun kigge på en een-dimensional model. Her sætter vi arealet A til A=(1 m d), hvor d = h z 0 er den mættede lagtykkelse (m) i sandet, se Figur 4 (z 0 er datum). Med andre ord regnes alt i "per meter bredde". Tværsnitsarealet ændres derfor med afstanden afhængigt af om grundvandsstanden ændres. Herved bliver (1) omskrevet til Q = K s (h z 0 ) h (2) x Vandføringen Q er derfor ikke-lineær med hensyn til h (i (2) forekommer der et ikke-lineært led på formen h h x ). I det følgende benyttes, at Darcyhastigheden er defineret som strømning per total areal dvs.; (1) q = Q A (3) Mat1 04/05 side 3

4 Figur 4: Kontrolvolumen til opstilling af flow balance. Snittet er vist fra den anden side i forhold til Figur Flow balance Der kan også opstilles en flow balance for kontrolvolumenet i Figur 4 (der ophobes ikke væske i kontrolvolumenet): Q (Q + Q x dx) + Ndx q kdx = 0 (4) Her svarer N til nettoinfiltrationen på årsbasis (dvs. nedbør minus aktuel fordampning, altså den del af nedbøren der når ned til grundvandet). Størrelsen N kan her antages konstant svarende til en middel infiltration over et år, og q k er den vandmængde, der tabes ud af det øvre grundvandsmagasin på grund af en gradient ned mod kalken. Denne vandmængde er ikke nødvendigvis konstant. Trykniveauet i kalken (H, se Figur 3) kan anses for konstant, men da det øvre trykniveau (h) varierer vil q k også variere, i henhold til Darcy s lov opskrevet i vertikal retning: q k = K m H h m hvor K m og m, er henholdsvis den hydrauliske ledningsevne og tykkelsen af moræneleret. (5) 3.3 En 1-D model 1. Vis ved at kombinere ovenstående, at trykfaldet h er givet ved den styrende differentialligning; d 2 ( (h z 0 ) 2) dx 2 + 2K m H h K s m + 2N = 0 (6) K s Overvej hvilke andre betingelser h må opfylde. Dette kan fx være, at h har givne værdier i endepunkterne af intervallet, hvor vi søger at bestemme h (kaldet randbetingelser). 2. Forsøg at finde løsning til (6). Prøv også Maple. 3. Man kan simplificere (6) ved at antage, at tværsnitsarealet A i ligning (1) er konstant, dvs. at (1) modificeres til h Q = K s d 0 (7) x Mat1 04/05 side 4

5 hvor d 0 er en konstant, der fx er et omtrentligt gennemsnit af (h z 0 ) langs transektet af boringer. Vis, at den resulterende differentialligning, der modsvarer (6), i dette tilfælde bliver på formen d 2 (h H) dx 2 + K m H h d 0 K s m + N = 0 (8) d 0 K s og undersøg nu om denne ligning kan løses. Benyt Maple til at finde den løsning, der opfylder givne randbetingelser, og skitser (plot) for forskellige valg af parametre løsningerne til (8). Undersøg om ethvert valg af randbetingelser kan opfyldes. 4. Argumenter eventuelt uden brug af Maple for at den fuldstændige løsning har en forholdsvis simpel form, idet (8) kan skrives på formen (med η = (h H)) d 2 η dx 2 α2 η + β = 0 (9) hvor α > 0 og β > 0 (her bør man først overveje fortegnet af konstanterne K m,k s,d 0 ). 5. Eventuelt kan man også forsøge at nå frem til ligningen (8) fra (6) ved brug af en Taylor udvikling. [VINK: Hvis man skriver h på formen h(x) z 0 = d 0 + y(x), hvor d 0 er en konstant, der som ovenfor er en passende middelværdi af (h z 0 ), og y(x) er variationen herfra, kan (6) omskrives til en differentialligning i y. Hvis man i denne resulterende ligning ser bort fra alle led af højere orden end 1 i y fås efter lidt omskrivning (8) 1 ]. 4 Data Data for området i Vestskoven fremgår af Tabel 1 og 2. Netto-infiltrationen til grundvandet er 200 mm/år (der regner ca. 700 mm per år i gennemsnit, men ca. 500 mm afdræner og fordamper). Tykkelsen af moræneleret kan sættes til m=18 m og trykniveauet i kalken er konstant H=13.8 m. En model for h(x) i det øvre grundvandsmagasin er ovenfor opstillet for tværsnittet vist i Figur 3. Tværsnittet er L=500 m langt og randbetingelserne er givet ved fastholdte trykniveauer. I x=0 m er trykniveauet det samme som i F12 og i x=500 m er trykniveauet lig koten til vandspejlet i Risby å. De to ubekendte parametre i differentialligningen er nu K s og K m, som er de hydrauliske ledningsevner for henholdsvis det øvre grundvandsmagasin og for moræneleret, der adskiller dette fra det nedre grundvandsmagasin i kalken. Der er d. 14. maj, 1999 foretaget en række trykniveauer, som er vist i Tabel 2. Tværsnittet i Figur 3 er næsten parallelt med øst-vest og Tabel 2 viser derfor UTM (East) koordinaterne til boringerne. 1 Dette indbefatter også at man fjerner led af formen y dy dx osv. Mat1 04/05 side 5

6 Tabel 1: Data fra Vestskoven Parameter Værdi Enhed Netto-infiltration, N 0.2 m/år Datum, z 0 13 m Tykkelse af moræneler, m 18 m Trykniveau i kalk, H 13.8 m Porøsitet i øvre magasin, θ Længde af tværsnit, L 500 m Fasthold tryk, h m Fasthold tryk (åen), h L m Tabel 2: Observerede trykniveauer, h, se Figur 3 og UTM-east koordinater. Boring UTM-East (m) Trykniveau (m) F F F P F F F F Risby å Estimering af de hydrauliske parametre På basis af forsøgsresultaterne skulle det være muligt, ved sammenligning med modellen, at finde værdierne af de ubekendte hydrauliske ledningsevner K s og K m. I første ombæring under brug af den lineære model (8). 6. Overvej metoder til at bestemme konstanterne K s og K m på basis af målte data, dvs. målte værdier af tryk h til givne afstande x. Hvilken størrelsesorden synes rimelig for disse parametre? (find fx relevante værdier i litteraturen, eller spørg omkring). Overvej desuden hvilken værdier af d 0, der synes rimelig at benytte. Man kan med fordel benytte sig af differentialligningen skrevet på formen (9) og bestemme α og β således at løsningskurven tilpasser sig de målte data. Derefter bestemmer man K s og K m. Når man som her skal kalibrere en given model 2, benytter man for eksempel et mål for fejlen mellem model (funktionen h) og målte data på formen ERR = [ N ] 1/p h(x i ) h meas (x i ) p, (10) i=1 2 Man siger, at man løser det inverse problem: At finde data i en differentialligning på basis af målinger. Mat1 04/05 side 6

7 Her er h meas (x i ) de målte tryk i positionerne x i,i = 1,...,N (N er antallet af målepunkter). Potensen p vælges afhængigt af, hvad man vil opnå. 7. Overvej hvad ERR i (10) udtrykker, og undersøg, hvad det betyder, at p vælges som 1, 2, eller meget stor ( ). 8. Bestem nogle værdier af K s og K m (eller af α og β i (9)), der gør fejlen ERR så lille som muligt for de i Tabel 2 angivne data. Man kan her for eksempel bruge Maple s '? ƒ? A ˆ Š ' og '? ƒ? A ˆ Š ' AŒˆ til at undersøge fejlens afhængighed af de to parametre (da ERR varierer temmeligt vildt kan det her være praktisk at arbejde med log(err)). 5.1 Test med den ikke-lineære model 9. Med værdierne af K s og K m bestemt via den linære model kan man eventuelt undersøge om man med disse data får en god overensstemmelse mellem data og løsningen til den ikkelineære model (8). Til dette formål kan man benytte, at Maple kan løse differentialligninger ved brug af numeriske metoder 3 ; se HELP for Ž + ' A ' / ' ' ˆ Š +ˆ og Ž D Š '. 6 Transport af forurening Darcy s lov (1) angiver strømningen per det totale tværsnitsareal, A. Da arealet udgøres af sandkornene og porerum (arealet mellem sandkorn) defineres porevandshastigheden som; v = q θ (11) hvor θ er porøsiteten. Porøsiteten er defineret som antal kubikmeter porerum per kubikmeter total volumen og er derfor mindre end 1. Porevandshastigheden er derfor større end Darcyhastigheden, q. Den gennemsnitlige opholdstid i et stykke jord af en stofpartikel, der transporteres med grundvandet, findes udfra; v = dx (12) dt hvor x er positionen af en partikel efter en given tid, t. Heraf kan opholdstiden T af partiklen over et intervallet [x 1,x 2 ] udregnes som; Z T 0 dt = Z x2 1 dx (13) x 1 v 3 Bemærk, at det måske ikke virker i første ombæring for de givne randbetingelser. Man skal her ændre forskellige parametre, der benyttes i de numeriske algoritmer, se HELP (eller få vejledning). Overvej, hvori vanskeligheden består. Alternativt kan man bruge Maple til at loese et begyndelsesværdiproblem og selv skyde sig ind på en løsning ved at variere på hældningen ved x = 0 Mat1 04/05 side 7

8 Som et simpelt eksempel, hvor porevandshastigheden er konstant, fås specielt, at opholdstiden t i et interval af længde l er t = l (14) v Dette giver det simple resultat, at opholdstiden er længden divideret med hastigheden. I det tilfælde - som her ved Vestskoven - hvor v ikke er konstant med afstanden x, bliver udregningen lidt sværere. 10. Find porevandshastigheden, v(x), og opholdstiden T i det øvre grundvandsmagasin til åen, hvis partiklen "slippes løs"ved deponi 3, svarende til boring P9. Hvad sker der hvis partiklen begynder sin rejse ved boring F6. VINK: se nedenfor. Man kan give et "sjus"på opholdstiden på følgende måde, idet man tilnærmelsesvis har at porevandshastigheden mellem P9 og åen kan udregnes vha Darcy s lov som 4 : v = K s θ h = 4 = m/s 4.1m/yr (15) x "Minus-tegnet"på hastigheden viser bare at strømningen er modsat x-aksen, mod vest (Risby å). Herved fås at opholdstiden kan sjusses til: T = l/v = = 76yr. (16) Ved korrekt integration vil man nok se at tiden bliver noget andet, da porevandshastigheden stiger dramatisk ned mod åen pga den mindre mættede lagtykkelse, ligesom den er naesten nul paa midten af transektet. For at gøre dette mere præcist bør man finde v(x) ved at differentiere udtrykket for h(x) og evt plotte variationen som funktion af x. Derefter findes T ved integration, jf (13). Overvej desuden om disse resultater er meget følsomme overfor estimatet af K s og K m (hvordan ser kurve-fittet ud hvis man ændrer lidt på disse parametre - og hvad sker der tilsvarende med opholdstiderne). 7 Bestemmelse af de hydrauliske parametre. II 11. Bestem konstanterne K s og K m på basis af de målte data idet man anvender den ikke-lineære model (6). Sammenlign med resultaterne, der kan opnås med den lineære model. 8 Modellen som et system af differentialligninger 12. Benyt de variable h og Q til at opskrive et system af første-ordens differentialligninger, som er en model for systemet, jf ligningerne (1) og (4). Bemærk, at disse to ligninger udtrykker det horizontale flow respektivt det vertikale flow. Undersøg dette lineære system og sammenlign med analysen ovenfor. 4 Her sætter vi, for eksemplet skyld, K s = Mat1 04/05 side 8