NORMALORDELING MIDDELVÆRDI, VARIANS, SREDNING SANDSNLIGHEDSORDELING OG ORDELINGSUNKTION NORMALORDELING OG STANDARD-NORMALORDELING SAMMENLIGNING MED BINOMIALORDELINGEN KONIDENSINTERVALLER REGRESSIONSANALSE Rptton: Ikk-kontnurt (dskrt) stokastsk varabl, mddlværd, varans og sprdnng, sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton ra vors bhandlng af kk-kontnurt (dskrt) stokastsk varabl huskr v: [] Et ndlgt sandsynlghdsflt ( ) U, samlr t ndlgt udfaldsrum U for t gvt stokastsk ksprmnt, som lggr tl grund for vors btragtnng, og n tlhørnd sandsynlghdsfunkton, dr r n funkton, som opfyldr følgnd krav: Dm U Vm 0;, altså u U : 0 ( u) [ ] ( u) u U Sandsynlghdsfunktonn fortællr os, hvor sandsynlgt hvrt nklt udfald udfaldsrummt r. [] En stokastsk varabl r n funkton, dr opfyldr følgnd btnglsr: Dm U Vm( ) R I tortsk sammnhæng arbjdr v oft md stokastsk varabl udn at hav gjort os tankr om dt konkrt tlgrundlggnd stokastsk ksprmnt. D ovnstånd bgrbsdfntonr ladr sg umddlbart udvd tl t tælllgt udfaldsrum, som dt f.ks. lggr tl grund for n osson-fordlt stokastsk varabl, og t drmd tælllgt sandsynlghdsflt. Dn stokastsk varabl kalds dskrt, hvs ( ) Vm r ndlg llr tælllg. Hyprgomtrsk fordlt, bnomalfordlt llr osson-fordlt stokastsk varabl Vm r ksmplr på dskrt stokastsk varabl. or d to førstnævnt r ndlg, for dn sdsts vdkommnd r Vm ( ) tælllg. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
[3] V dfnrr mddlværd, varans og sprdnng af n dskrt stokastsk varabl som µ µ E u u Var ( ) E u U ( E ) ) E ( µ ) ( ) ( E( )) E µ E (*) ( ( u) ) ( u) ( E( )) ( ( u) ) ( u) µ (*) u U u U σ σ σ Var Bmærk, at lnrn (*) kk r n dl af dfntonn, mn nogt, v har vst md udgangspunkt dfntonn. V skrvr også Var ( ) σ σ som symbol for varansn. [4] V dfnrr n dskrt stokastsk varabls fordlngsfunkton (dn kumulrd sandsynlghd) som t t t, hvor ( ) Vm 0, [5] V har fundt, at dnn har følgnd gnskabr: lm t r kk-aftagnd, 0 t Dm R og [ ] og lm ( t) t [6] Og v dfnrr n dskrt stokastsk varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) som f t f t t, hvor ( f ) Vm f 0, Dm R og [ ] [7] V kan umddlbart s, at dr må gæld følgnd sammnhæng: t t f Vm ( ) ] ; t ] Vm ( ) ] ; t ]. EKSEMEL Dtt sdst kan f.ks. llustrrs md udgangspunkt n bnomalfordlt stokastsk varabl ~ b 0,. or dnn vl gæld 3 ( 4) ( 4) ( ) f. { 0,,,...,0 } ] ;4 ] 0 0 4 4 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
Kontnurt stokastsk varabl, fordlngsfunkton, sandsynlghdsfordlng or n kontnurt stokastsk varabl kan v ovrtag vors grundlæggnd forståls af bgrbrn udfaldsrum og stokastsk varabl fra afsnttt ovnfor om dskrt stokastsk varabl, s []: En stokastsk varabl r n funkton, dr opfyldr følgnd btnglsr: Dm ( ) U Vm( ) R Modsat ovnfor bgrænsr v os hr kk tl at s på ndlg llr tælllg udfaldsrum U. V kunn også sammnfatt d to nvaur dt stokastsk ksprmnts udfaldsrum og dn stokastsk varabl og sg, at n stokastsk varabl r n størrls, dr måls vd t stokastsk ksprmnt. V kan drftr ovrnsstmmls md [4] for dskrt stokastsk varabl ovnfor dfnr dn stokastsk varabls fordlngsfunkton ORDELINGSUNKTION DEINITION En fordlngsfunkton for n dskrt llr kontnurt stokastsk varabl r n funkton ( t) ( t) ( t) md Dm( ) R og ( ) [ 0;] hvor ( t) Vm, skal forstås som sandsynlghdn for, at t. Dt r ovrnsstmmls md [5] for dskrt stokastsk varabl ovnfor oplagt, at r n kk-aftagnd funkton samt, at v har følgnd to grænsværdr: ( t) 0 lm t og lm ( t) t. funktonn bl.a. vd at fastlægg Modsat [] ovnfor for dskrt stokastsk varabl kan v mdlrtd kk forklar u, dt v kk kan summ ovr n kktælllg mængd U. u U NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 3
KONTINUERT STOKASTISK VARIABEL DEINITION En stokastsk varabl kalds kontnurt, hvs dn tlhørnd fordlngsfunkton ( t) r n kontnurt og stykkvs dffrntabl funkton. I dt følgnd vl v bgræns os tl at s på kontnurt t r stokastsk varabl, hvs tlhørnd fordlngsfunkton kontnurt og dffrntabl ovralt, altså hl Dm ( ). Lad os s på ntrval- og punktsandsynlghdr for n kontnurt stokastsk varabl. Dr må gæld forudsat < : ( < ) ( ) EKSKURS Entn r dtt oplagt llr dt ss vd at omformulr og anvnd følgnd sætnng om rgnng md sandsynlghd for hændlsr: ( A B) ( A) ( B) ( A B) ( A B) ( A) ( B) ( A B) Hrmd får v ( < ) ( < ) ( { < } { } ) ( { < }) ( { } ) ( { < } { } ) (U \{ }) ( { } ) ( U ) ( ) ( ) ( ) ( ). Ovrbvst? orhåbntlg kk (!), for sætnngn om rgnng md sandsynlghd for hændlsr har v kun vst for ndlg sandsynlghdsfltr og dt r jo ntop dn bgrænsnng, v prøvr at komm ud ovr nu. Sætnngn gældr gansk vst også for kk-ndlg og kk-tælllg sandsynlghdsfltr, mn dt har v altså kk vst. At få vst ( < ) ( ) ( ) tlbundsgånd krævr faktsk n dl tortsk forarbjd, som v hr skal vælg at sprng ovr. Sorry! V tagr altså udgangspunkt ( ) ( ) ( ) kontnurt funkton må gæld ( ) ( ) for < og bmærkr, at dr for n. Dt btydr, at ( ) ( ) ( ) 0 for <. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 4
Mn da 0 ( ) ( < ) må dr altså gæld: ( ) ( ) 0. or n kontnurt stokastsk varabl r sandsynlghdn for, at dn antagr n vlkårlg nkltværd altså 0. Dt må btyd, at ( ) ( < ) ( < ) ( < < ) ( ) altså, at dt vd brgnng af ntrvalsandsynlghdr r lggyldgt, om ntrvalndpunktrn rgns md llr j. Husk, at dt kk var tlfældt for dskrt stokastsk varabl. V kan nu kk som for dskrt stokastsk varabl [6] ovnfor dfnr sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) som f ( t) f ( t) ( t), da dr jo så altd vll gæld f ( t) f ( t) ( t) 0 og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) sålds kk vll sg nogt som hlst om dn konkrt kontnurt stokastsk varabls fordlng., I stdt dfnrr v SANDSNLIGHEDSORDELING, REKVENSUNKTION DEINITION or n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton dfnrs dn tlhørnd sandsynlghdsfordlng (llr frkvnsfunkton) f som f '. Oft vl v bar skrv f f. Dr gældr umddlbart Dm( f ) R. Da r n kk-aftagnd funkton, gældr drudovr, at : f 0 f r altså n kk-ngatv funkton.. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 5
SÆTNING or n kontnurt stokastsk varabl md sandsynlghdsfordlng f kan ntrvalsandsynlghdr brgns vd (frkvnsfunkton) ( ) f ( t) dt Bvs Da f ', r n stamfunkton tl f ( t) dt [ ( t) ] ( ) ( ) ( ). f, og så gældr, at Sætnng kan f.ks. llustrrs af følgnd stuaton. En stokastsk varabl har dn ndnfor tgnd sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. ( ) kan så brgns som aralt af områdt undr grafn, ovr -aksn og mllm d to lodrtt lnr. S også GDS s. 4, fgur 9 md 7 og 9 af dt blå områd., hvor ( 7 9) så r aralt NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 6
Af sætnng følgr d to ndnstånd ugntlg ntgralr: f 0 ( t) dt lm f ( t) dt lm ( ) ( ) lm ( ) ( ) ( ), altså: f ( t) dt ( ) (**) og drmd f lm ( t) dt f ( t) dt lm ( ), altså: f t dt. Dnn lgnng svarr tl ( u) u U jf. [] ovnfor for dskrt stokastsk varabl. å nvaut stokastsk varabl kunn dn formulrs ( ) f Vm hvorvd parallllttn mllm d to lgnngr blvr tydlgr. ( ), Vm ( ) Bgg lgnngr udtrykkr, at dn samld sandsynlghd r. Undrvjs fandt v også md lt ændrt bogstavbrug (**): ( t) ( t) f d. t Dnn lgnng svarr tl [7] ovnfor for dskrt stokastsk varabl, dr så sådan ud: t t f. Vm ( ) ] ; t ] I bgg tlfæld r summrn fra dn dskrt stuaton rstattt md tlsvarnd bstmt ntgralr dn kontnurt stuaton. Lad os fasthold dss to sdgvnstr følgnd sætnng, som v altså allrd har vst: NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 7
SÆTNING or n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton og sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f gældr f ( t) ( t) f ( t) dt t d ØVELSE En kontnurt stokastsk varabl har sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) f f r faktsk kk dffrntabl 0, mn Dm husk lg, at vors krav dfntonn af n kontnurt stokastsk varabl gk på fordlngsfunktonn. Vs, at f opfyldr ( t) dt f. Brug sætnng tl at brgn ( ). f r kontnurt hl sn Grafn for f r tgnt ovnfor s. 6. Svarr rsultatt af dn brgnng af sandsynlghdn tl dt skøn ovr aralt af dt dér bskrvn områd? f. Og NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 8
Mddlværd, varans og sprdnng V dfnrr: MIDDELVÆRDI, VARIANS, SREDNING DEINITION r n kontnurt stokastsk varabl md sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. Mddlværdn af r ( ) f µ E d. µ Varansn af r Var E( ) ) ( µ ) f ( ) E ( E( )) µ d. Sprdnngn af r σ σ σ Var. Dfntonrn mndr om d tlsvarnd dfntonr [3] for dskrt stokastsk varabl ovnfor. ØVELSE Brgn mddlværd, varans og sprdnng for dn kontnurt stokastsk varabl fra øvls. En præcs argumntrt brgnng af d nvolvrd bstmt ntgralr krævr faktsk l Hosptals rgl, dr r bskrvt hr ndnfor, s. 8. udrgns på TI83 vd flg. tastkombnaton: V huskr fra analysn, at f.ks. E( ) d altrnatvt kan funktonsudtrykkt ndtasts: ] [\] [,T,,n] [] [] [/] [] [] [nd] [ ] [(-)] [] [] [MATH] [NUM] [:abs(] [,T,,n] [)] [)] passnd grafvndu fastlæggs: [WINDOW] [mn] [(-)] [] [0] [ma] [] [0] grafn tgns: [GRAH] NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 9
bstmt ntgral brgns: [nd] [CALC] [7: f d ] [Lowr Lmt?] [(-)] [] [0] [ENTER] [Uppr Lmt?] [] [0] [ENTER] rsultat dsplay: f d 0 Brgnngspræmssn, som lggr tl grund for vors valg af grafvndu og ndr og øvr grænsr for ntgralt r antaglsn: E ( ) d d 0 0 som gn forudsættr, at 0 d 0 d 0 som ndlg byggr på, at < 0 > 0 0 hvlkt man må ovrbvs sg om vd at s på grafn. EKSEMEL Lad os forstll os, at v vl mål højdn af n tlfældg valgt skollv og udtrykk dnn m (mtr). Lad os kald dnn stokastsk varabl for. Lad os forstll os, at v stdt bsluttr os tl at mål højdn cm (cntmtr), og lad os kald dn ny stokastsk varabl for Z. Dr vl så gæld: Z 00. Lad os ndlg forstll os, at v vælgr at placr dn tlfældgt valgt skollv på n præcs 0 cm høj kass og mål dn samld højd af lv og kass cm. Lad os kald dnn sdst stokastsk varabl for. Dr vl så gæld: Z 0 00 0. Dt r oplagt, at dr må vær n tæt og naturlg sammnhæng mllm fordlngsfunktonrn, Z og, mllm sandsynlghdsfordlngrn (frkvnsfunktonrn) f, f Z og f, mllm mddlværdrn E ( ), E ( Z ) og Z. Mr præcst: E ( ) samt mllm sprdnngrn σ, σ og σ NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 0
SÆTNING 3 r n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton og sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. Dn ny stokastsk varabl a b, hvor a R og b R har fordlngsfunktonn y b a ( y) og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) samt mddlværdn og sprdnngn f a y b a ( y) f ( ) a E( ) b E σ ( ) a σ ( ) Bvs ordlngsfunkton: y b a y b a ( y) ( y) ( a b y) ( a y b) Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton): y b y b y b y b f ( y) '( y) ' ' f f a a a a a a hvor v har brugt dffrntaton af sammnsat funkton.. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
Mddlværd: ( ) y f ( y) E E dy v substturr og bnyttr md a R og b R: y a b dy a dy a d d y b drmd og følglgt grænsændrngrn på ntgralt: a y y og får altså a b b a b f a b a d a b f a d a a ( ) ( a b) f d a f d b f d a Varans: Var f d b f d a E( ) b a E( ) b. ( ) ( y E( )) f ( y) dy ( y ( a E( ) b) ) f ( y) dy ( y a E( ) b) f ( y) dy md samm substtuton som ovnfor får v a b b ( a b a E( ) b) f ( a b) a d ( a a E( )) f a d a a ( E( )) f d a ( E( )) f d a Var( ) a Sprdnng: σ ( ) Var( ) a Var( ) a σ ( ).. Øvls 3 Hvor bvst ovnfor har v brugt bgrænsnngn a R? Øvls 4 S på ksmplt ovnfor md lv-højdrn. Antag, at har mddlværdn,68 m og sprdnngn 0,7 m. nd mddlværd og sprdnng for. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
SAMMENLIGNING: DISKRET OG KONTINUERT STOKASTISK VARIABEL V kan sammnfatt vors rsultatr følgnd ovrsgt: dskrt stokastsk varabl Sandsynlghdsflt U, r ndlg llr dt mndst tælllg Stokastsk varabl Dm Vm Vm U ( ) R ( ) r ndlg llr dt mndst tælllg ordlngsfunkton (kumulrt sandsynlghd) t t t, hvor Dm( ) R og Vm ( ) [ 0,] r kk-aftagnd, lm t lm t t 0 og t Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f ( t) f ( t) ( t), 0, hvor Dm( f ) R og Vm ( f ) [ ] kontnurt stokastsk varabl Sandsynlghdsflt U, r undlg Stokastsk varabl Dm Vm U ( ) R ( ) Vm r undlg, kk-tælllg ordlngsfunkton ( t) ( t) ( t) md Dm( ) R og ( ) [ 0;] ( t) Vm, skal forstås som sandsynlghdn for, at t ( t) r n kontnurt og stykkvs dffrntabl funkton prakss oft: dffrntabl hl sn Dm r kk-aftagnd, lm t lm t t 0 og t Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) t R : ( t) 0 f ( t) f ( t) '( t) Dm R og : f ( t) 0 ( f ) t Bmærk: r kk n øvr græns for ( f ) altså Vm ( f ) [ 0; [ Vm, u U ( u) Vm ( ) ( ) f f ( y) dy Vm ( ) Sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton t t ( ) Vm ( ) ] ; t ] Vm f ( ) ] ; t ] Sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton ( t) ( t) f ( y) t dy NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 3
Mddlværd µ µ E ( ) ( u ) ( u ) u U for t ndlgt sandsynlghdsflt ( U, ) md Vm ( ) {..., } gældr spclt E n,, n ( ) ( ) Varans Var E E E µ ) ( ) u U u U ( ( u) ) ( u) ( E( )) µ ( ( u) ) ( u) for t ndlgt sandsynlghdsflt ( U, ) md Vm ( ) {..., } gældr spclt Var,, n n ( ) ( ) ( µ ) ( ) n ( µ ) f ( ) n n Sprdnng f ( ) ( E( )) ( ) ( E( )) σ σ ( ) Var( ) σ Mddlværd ( ) y f ( y) µ E dy µ Varans Var E E E µ Var ) ( ) ( ) ( y µ ) f ( y) Sprdnng dy σ σ ( ) Var( ) σ NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 4
STANDARD-NORMALORDELING, N(0,) STANDARD-NORMALORDELING DEINITION En kontnurt stokastsk varabl, dr har sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) ϕ, π sgs at vær standard-normalfordlt. Ndnfor r grafn for ϕ tgnt sammn md grafn for dn ugntlg ntgralfunkton Φ ϕ ( t)dt. Grafn for ϕ r dn klokkformd graf normalfordlngn kalds også n Gausssk fordlng ftr dn tysk matmatkr, astronom og fyskr Carl rdrch Gauß (777-855), v talr om n Gauss-klokk Φ r dn s-formd graf. grafn for Von dm jungn Gauß rzählt man folgnd Gschcht: Als sn Mathmatklhrr nmal dr Klass d Aufgab stllt, d Zahln von bs 00 zusammnzuzähln, konnt dr twa schsjährg Gauß nach ganz kurzr Zt das rchtg Ergbns 5050 vorlgn. Er hatt folgndrmaßn addrt: 99 00, 98 00 usw. bs 49 5 00. Ds rgbt 49 00 4900; dazu kommn d Zahln 50 und 00, und das Ergbns st 5050. (c) Bblographschs Insttut &. A. Brockhaus AG, 00 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 5
V kan også få tgnt d to grafr vd hjælp af TI-83 ϕ [] [\] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalpdf(] [,T,,n] [)] [GRAH] notaton dsplay: \normalpdf() altrnatvt kan v udvd ndtastnngn tl [] [\] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalpdf(] [,T,,n] [,] [0] [,] [] [)] [GRAH] notaton dsplay: \normalpdf(,0,) Φ [] [\3] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [nd] [EE] [9] [9] [,] [,T,,n] [)] [GRAH] notaton dsplay: \3normalcdf(-E99,) altrnatvt kan v udvd ndtastnngn tl [] [\4] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [nd] [EE] [9] [9] [,T,,n] [,] [0] [,] [] [)] [GRAH] notaton dsplay: \4normalcdf(-E99,,0,) orsklln mllm ϕ - og Φ -ndtastnngn r altså dn kstra startparamtr vd Φ og forsklln normalpdf ovrfor normalcdf. Tlføjlsrn,0,) præcsrr, at v arbjdr md standardnormalfordlngn, mn dt går vors TI83 ud fra, hvs v kk angvr andr tal på dss pladsr. Dss tlføjlsr r altså hr unødvndg. 99 Notatonn -E99 står for tallt 0, som r t ngatvt, numrsk mgt stort tal og dt mndst tal, som TI83 kndr. V brugr dt pragmatsk som n stdfortrædr for. or at få n pæn llr bar synlg graf blvr v som sædvanlgt nødt tl at vælg t passnd grafområd undr [WINDOW], f.ks. mn-3, ma3, scl, mn-., ma., scl., rs Øvls 5 Lav n funktonsundrsøgls af ϕ md hnsyn tl π Dm ( ϕ), nulpunktr og fortgn, monoton og kstrma samt symmtr og Vm ϕ. asymptotr og ndlg Dt r kk lgtl at ntgrr funktonn ϕ. Da dn r kontnurt, r dt mdlrtd klart, at dn r ntgrabl. Hvs dfntonn skal gv mnng, må dr jf. sætnng gæld ϕ d. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 6
NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 7 At r standard-normalfordlt, skrvr v kort: 0, ~ N. Dt skylds følgnd sætnng: SÆTNING 4 En standard-normalfordlt stokastsk varabl 0, ~ N har mddlværdn 0 E og sprdnngn σ. Bvs d d d E π π ϕ bmærk: ', følglg 0 0 0 π π E d d d Var π π ϕ v vl lav dlvs ntgraton på d og huskr, at v gnrlt har formln: d g H g H d g h ', hvor h H H d h ' hr r h og følglg H jf. brgnngrn ovnfor undr mddlværdn og ' g g samlt får v så d d d
NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 8 md dtt kan v rgn vdr: d Var π d d ϕ π π π π Hvs påstandn sætnngn skal gæld, skal v altså vs, at 0. Dt r kk hlt ukomplcrt: lm lm lm roblmt r, at 0 lm og lm. V har altså n klasssk og uovrskulg " 0 " -stuaton. V kan brug t trck, som v llrs først kommr tl at bgrund nærmr snr smstrt 3. l Hosptals rgl. ørst skrvr v ldt om: lm lm. Hr r d to grænsværdr lm og stadg lm. V har nu n lgså klasssk og først omgang lgså uovrskulg " " -stuaton, mn hr grbr l Hosptals rgl, dr kort sgr: L HOSITALS REGEL Hvs g f a lm har dn ubstmt form " " llr " 0 0 ", så gældr g f g f a a ' ' lm lm, hvs dnn grænsværd ksstrr.
Var V får nu lm og drmd: π lm 00 0 ( ) 0 ( ) Var( ) σ. lm. lm SÆTNING 5 En standard-normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 0, ) Φ ( t) t t ϕ dt dt dt. π π har fordlngsfunktonn Bvs Dt følgr umddlbart af sætnng. V kan kk udtrykk Φ vd hjælp af smpl funktonr. Mn funktonn r tabllagt og fnds også f.ks. på vors TI83 jf. s. 5. Jf. sætnng kan v f.ks. brgn ntrvalsandsynlghdr for n standard- ~ N 0, : normalfordlt stokastsk varabl ( ) Φ Φ 0, 687 ( ) Φ Φ 0, 687 vd hjælp af TI-83 [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [,] [] [,] [0] [,] [] [)] [] notaton dsplay: normalcdf(-,,0,) D to sdst paramtr r jf. s. 5 hr faktsk ovrflødg. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 9
Øvls 6 Btragt n standard-normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 0, ) sandsynlghdr ( 3) 3,3 0, 5 ( >). Brgn følgnd NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 0
NORMALORDELING, N(,) SÆTNING 6 Hvs r n standard-normalfordlt stokastsk varabl, ~ N( 0,) og σ R og µ R så har dn stokastsk varabl σ µ mddlværdn E ( ) µ og sprdnngn σ σ. Bvs Sætnng 6 r n smpl omformulrng af dl af sætnng 3. NORMALORDELING DEINITION En stokastsk varabl, dr kan skrvs på formn σ µ, hvor σ R og µ R og r n standard-normalfordlt ~ N 0, stokastsk varabl, sgs at vær normalfordlt ( µ,σ ) ~ N( µ,σ ). N og v skrvr kort SÆTNING 7 En normalfordlt stokastsk varabl ~ N( µ,σ ) ( y) Φ har fordlngsfunktonn y µ, hvor Φ r dn sætnng 5 bskrvn funkton, σ og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) ( y) yµ ( yµ ) µ y σ σ f ϕ. σ σ σ π πσ NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
Bvs ølgr lglds umddlbart vd n smpl omformulrng af dl af sætnng 3. Dr fnds t spclt normalfordlngspapr tl ndtgnng af grafr for sådann fordlngsfunktonr. S hrom f.ks. GDS, s. 44-60. Eksmpl Intrvalsandsynlghdr for n normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 3,7 ) brgns vd hjælp af sætnng 7, f.ks.: 3 3 ( ) Φ Φ Φ Φ 7 7 7 7 Φ 0,4 Φ 0,9 0,444 0,386 0, vd tablopslag llr 058 ( ) for ~ N( 3,7 ) vd hjælp af TI-83 [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [] [,] [] [,] [3] [,] [7] [)] [] notaton dsplay: normalcdf(,,3,7) rsultat dsplay:.055659338 kan paramtrrækkfølgn r altså normalcdf(ndr ntrvalgræns, øvr ntrvalgræns, mddlværd, sprdnng). hr får v altså ( ) 0, 0557 Øvls 7 Btragt n normalfordlt stokastsk varabl sandsynlghdr ~ N, 4. Brgn følgnd ( 3) 3 (,3) 0, 5 > NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s.
Eksmpl En af ntrvalgrænsrn kan vær dn ukndt, når v kggr på ~ N 0,. ntrvalsandsynlghdr for n normalfordlt stokastsk varabl ( 3,7 ) V kan løs problmt vd hjælp af lommrgnrn TI83: Vd at tgn grafrn normalcdf(,,3,7) altså for n funkton g ( ) 0, altså for n funkton h 0,, f.ks. vd hjælp af [GRAH] og drftr brug [nd] [CALC] [5:ntrsct] og f.ks. gættt tl at fnd skærngspunkt mllm d to grafr, får v da løsnngn, 785 dsplay notaton: Intrscton.784873. Dt svarr tl at s på grafrn og fnd -koordnatn for skærngspunktt. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 3
V kunn også vælg n mr brgnngsmæssg tlgang tl opgavn: V skal løs lgnngn (md hnsyn tl ): Omrgnngn ovnfor fra ( ) 0, ( ) 0, 3 3 Φ Φ 0, 7 7 3 Φ 0, Φ 0, 0,3875 0,4875 7 7 3 Φ Φ Φ ( 0,4875) 7 3 0,03 7,785 tl Φ følgr sætnng 7. Da Φ r n voksnd funkton Dm ϕ og følglg r njktv, har dn n ftrsom ϕ jf. øvls 5 r postv hl omvndt funkton Φ. Da Φ og Φ r hnandns omvndt, har v ( Φ( y )) y Dtt r anvndt ovnfor. Hr har v brugt TI83 tl at brgn Φ : normalcdf(-e99,-/7,0,) 7 Φ 0,4875 : nvnorm(0.4875). nvnorm fnds vd: [nd] [DISTR] [DISTR] [3:nvNorm(] Når v bnyttr lommrgnrn, bhøvr v kk at rgn om tl Φ. Også voksnd og njktv og har drfor n omvndt funkton Hr har v brugt TI83 tl at brgn : normalcdf(-e99,-,3,7) ( 0,4875) : nvnorm(0.4875,3,7).. V får så ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 0, 0, 0,3875 0, 4875 ( 0,4875),785 Φ. r D to sdst paramtr angvr bgg tlfæld mddlværdn µ 3 og sprdnngn 7 ~ N 3,7 v arbjdr md. σ for dn normalfordlng NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 4
å tlsvarnd måd kunn man løs n opgav, hvor mddlværdn llr sprdnngn var ukndt størrlsr. S f.ks. GDS, s. 54-55. Øvls 8 or n normalfordlt stokastsk varabl md ukndt mddlværd ~ N( µ,5 ) gældr følgnd ntrvalsandsynlghd: ( 6) 0,. nd µ. 3 Lad os drnæst fasthold følgnd agttagls: SÆTNING 8 or n normalfordlt stokastsk varabl ~ N( µ,σ ) ( µ ) ( µ cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) Φ( c) hvor c R gældr Bvs Da ~ N( µ,σ ) stokastsk varabl, ~ N( 0, ) ksstrr dr pr. dfnton (s. 0) n standard-normalfordlt, så σ µ. V får så jf. sætnng 7: µ µ ( µ ) Φ Φ( 0 ). σ V kunn altrnatvt hav argumntrt udfra n obsrvaton af, at f r symmtrsk omkrng lnn md lgnngn µ og aralt undr grafn, ovr -aksn og tl vnstr for dnn ln drfor må vær halvdln af dt samld aral mllm graf og -aks, altså. µ cσ µ µ cσ µ Φ σ σ ( µ cσ µ cσ ) Φ Φ( c) Φ( c). NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 5
Hvs v sr på grafn for Φ, opdagr v at dn r symmtrsk omkrng punktt 0,. Hraf følgr, at Φ( ) Φ. Symmtrn r n følg af, at ϕ jf. øvls 5 r n lg funkton. S fgurn: Hraf følgr: ( µ cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) Φ( c) ( Φ( c) ) Φ( c). Eksmpl ( cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) ~ N( 0,) omformulrs tl: µ kan md σ µ og ( µ cσ µ cσ ) ( µ cσ σ µ µ cσ ) ( cσ σ cσ ) ( c c).ks. fndr v: ( µ σ µ σ ) Φ Φ ( ) 0, 687 ( µ σ µ σ ) Φ Φ( ) ( ) 0, 9545 ( µ 3σ µ 3σ ) Φ( 3) Φ( 3) ( 3 3) 0, 9973.ks. dt sdst fndr v på TI83 md ndtastnngn normalcdf(-3,3,0,). Som tdlgr nævnt kan man vælg at s bort fra ndtastnngn af d to sdst paramtr. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 6
Jf. sætnng 8 kunn v også rgn ( µ 3σ µ 3σ ) Φ( 3) Φ( 3) Φ( 3) 0, 9973 Dt kunn ndtasts på TI83: [*] normalcdf(-e99,3,0,)-. I sammnhæng md normalfordlt stokastsk varabl talr man undrtdn om,64σ ntrvallr og,58σ ntrvallr. Dt hængr sammn md følgnd agttagls: ( µ,64σ µ,64σ ) Φ(,64 ) Φ(,64) (,64,64 ) 0,8990 0,90 ( µ,58σ µ,58σ ) Φ(,58) Φ(,58) (,58,58) 0,990 0,99 Vd n vlkårlg normalfordlng r dt altså sådan, at man kan rgn md at fnd 90 % af all obsrvatonr ndnfor n afstand på højst,64 gang sprdnngn fra mddlværdn og 99 % af all obsrvatonr ndnfor n afstand på højst,58 gang sprdnngn fra mddlværdn. Mr korrkt formulrt: at n nklt obsrvaton md n sandsynlghd på 90 % lggr ndnfor n afstand på højst,64 gang sprdnngn fra mddlværdn og tlsvarnd md n sandsynlghd på 99 % ndnfor n afstand på højst,58 gang sprdnngn fra mddlværdn. Bnomalfordlng og normalfordlng Btragt f.ks. n bnomalfordlt stokastsk varabl ~ b( 5;0,4 ) prmærsandsynlghd 0, 4. md længd 5 og NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 7
Som bkndt har dn mddlværd E( ) 5 0,4 6 σ 50,4( 0,4) 3,6, 8974. σ µ og sprdnngn Lad os btragt n normalfordlt stokastsk varabl md samm mddlværd og ~ N 6; 3,6. samm sprdnng, altså n stokastsk varabl å fgurn ovnfor s. 6 r ndtgnt punktrn ( f ), for at llustrr dn (dskrt) bnomalfordlt stokastsk varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) og samtdg grafn for dn (kontnurt) normalfordlt stokastsk f. varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) y -værdrn brgns som bkndt vd: f f 5 ( ) K 0,4 ( 0,4) for 0,,,..., 5 6 ϕ 3,6 3,6 5, π 3,6 ( ) ( 6) 6 3,6 7, π 7, Dt r øjnfaldnd, hvor godt punktrn fra bnomalfordlngn hr s s. 6 passr tl kurvn for normalfordlngn. Dt r mdlrtd kk altd tlfældt. og * ~ N(,5;,35 ) or * ~ b( 5;0, ) md ovrnsstmmnd µ * og σ * ss ( udsnt) følgnd stuaton md størr afvglsr, spclt markant for 0 : NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 8
Man kan prakss rgn md god ovrnsstmmls mllm ~ b( q, p ) og ~ N ( µ,σ ), hvs mddlværd og sprdnng r fælls, altså hvs µ q p og q p ( p) og hvs båd q p > 5 µ og ( p) > 5 q. σ, Dtt vl som rgl vær opfyldt for stor q. Dtt r t argumnt for følgnd: SÆTNING 9 DMovr-Laplac s GRÆNSEVÆRDISÆTNING (tysk: Laplac-Bdngung) or stor værdr af q kan n bnomalfordlt stokastsk varabl ( q p ) ~ b, md tlnærmls anss for at vær normaltfordlt ( q p, q p ( p) ) ~ N. V huskr fra vors tdlgr bskrvls af vss dskrt fordlngr, at bnomalfordlngn undr bstmt forudsætnngr r sammnlgnlg md dn hyprgomtrsk fordlng og osson-fordlngn. Dss arvr altså undr d dr og d hr nævnt forudsætnngr n sammnlgnlghd md normalfordlngn. Man kan brug normalfordlngstlnærmlsn tl bnomalfordlngn tl at brgn tlnærmd værdr af punkt- og ntrvalsandsynlghdr. Lad os s på ~ b( 5;0,4 ) Af dn sr v f.ks. og ~ N( 6; 3,6 ) ( ) f f f ( t) og tgnngn ovnfor s. 6 gn: dt 6 6 Φ Φ Φ 3,6 3,6 0,037 (,8447 ) Φ(,377) Tl sammnlgnng vd n drkt brgnng bnomalfordlngn: ( ) 0, 09. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 9
NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 30 Md n gnralsrng af ksmplt får v: SÆTNING 0 Gnrlt gældr for p q b, ~ og p p q p q N, ~, hvor q r stor: 0,,,3,... Φ Φ for p qp qp p qp qp Md gntagn anvndls hraf får v: 4 3 4 4 4 3 3 4 4,377 0,7906 3,6 6 3,6 6 4 Φ Φ Φ Φ 0,057 Tl sammnlgnng vd n drkt brgnng bnomalfordlngn: 0, 4. Md n gnralsrng af ksmplt får v: SÆTNING Gnrlt gældr for p q b, ~ og p p q p q N, ~, hvor q r stor: b a a b b a 0,,,3,..., Φ Φ b a for p qp qp a p qp qp b
Konfdnsntrvallr Eksmpl (kndt p, konkluson udfra hlhdn om stkprøvn) Lad os s på t parts tlslutnng blandt.000.000 vælgr. Lad os btgn partts stmmandl md p. Lad os sg, at v på n llr andn måd VED, at p 0,40. Lad os forstll os, at v spørgr.000 tlfældg vælgr, om d vl stmm på partt llr j. Lad vær dn stokastsk varabl, dr angvr antallt af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Hvs v fndr d.000 adspurgt vælgr som n stkprøv ~ b.000; 0,40. md tlbaglægnng vl dr gæld Hvs v stdt fndr d.000 adspurgt vælgr som n stkprøv udn tlbaglægnng vl dr gæld ~ h.000, 400.000,.000.000. Jf. vors tdlgr sammnlgnng af dn hyprgomtrsk fordlng og bnomalfordlngn vd v, at da stkprøvn r mgt mndr nd dn samld vælgrpopulaton,.000 <<.000.000, r ovrnsstmmlsn mllm d to fordlngr god. V kan altså uanst om v tagr stkprøvn md llr udn tlbaglægnng, rgn md udgangspunkt ~ b.000; 0,40. fordlngn Da båd 400 > 5 og 600 > 5vd v fra vors sammnlgnng af bnomal- og normalfordlngn s. 7ff, at dr følglg md god tlnærmls gældr ~ N( 400, 40 ), hvor paramtrn r fundt som µ 0,4. 000 og σ 0,40 0,60.000 40 5,49. Ud fra n mddlværdbtragtnng vl v altså forvnt, at fnd 400 af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Dt btydr mdlrtd kk, at dt vl vær spclt usandsynlgt, at fnd f.ks. 399 llr 40 af partts vælgr blandt d adspurgt.000. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 3
ra sætnng 8 og d ftrfølgnd ksmplbrgnngr vd v, at ( 400,64 5,49 400,64 5,49) ( 375 45) 0, 90. Md 90 % sandsynlghd fndr v altså mllm 375 og 45 af partts vælgr stkprøvn. Tlsvarnd: ( 400,585,49 400,58 5,49) ( 360 440) 0, 99. Md 99 % sandsynlghd fndr v altså mllm 360 og 440 af partts vælgr stkprøvn. Eksmpl (ukndt p, konkluson udfra stkprøvn om hlhdn) Lad os som ovnfor gn s på t parts vælgrtlslutnng blandt.000.000 vælgr. Lad os btgn partts stmmandl md p. I prakss r valgstkprøvr særlgt ntrssant ØR t valg, altså n stuaton, hvor v IKKE kndr størrlsn af partts andl. or at få t ndtryk af p kunn v spørg.000 tlfældg vælgr, om d vl stmm på partt llr j. Lad vær dn stokastsk varabl, dr angvr antallt af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Som ovnfor gældr b(.000, p ) n god tlnærmls tl ~ h(.000, p.000.000,.000.000 ) ~ ntn drkt llr som. Slv for mgt små llr mgt stor værdr af p, altså f.ks. for 0,0 < p < 0, 99, vl dr gæld, at båd p.000 > 5 og ( p ).000 > 5. ra vors sammnlgnng af bnomal- og normalfordlngn s. 7ff vd v, at dr følglg md god ~ N µ,σ, hvor µ p. 000 og tlnærmls gældr σ p ( p). 000. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 3
Lad os sg, at 350 af d.000 adspurgt sgr, at d vl stmm på partt. 350 Et fornuftgt gæt vl drfor vær p 0, 35..000 Jf. ovnfor r dt mdlrtd klart, at 350 hllr kk nødvndgvs r n spclt usandsynlg værd for, slv om p vrklghdn skull antag n andn værd. (*) V kan vælg at btragt d ydrst 5 % tl hvr sd som spclt usandsynlg: Og v kan spørg os slv, for hvlk værdr af p 350 dn ovnfor bskrvn forstand kk r spclt usandsynlg. Hvs dn obsrvrd værd af, d 350, lggr lg på kantn tl at vær n usandsynlg værd, må dr jf. sætnng 8 og d ftrfølgnd ksmplbrgnngr gæld: 350 µ ±, 64σ ( p). 000 ( p). 000 350.000 p ±,64 p.000 p 350 ±,64 p (.000) (.000 350) ±,64 p ( p) p p.500 700.000 p,706 ( p p ). 000.000.000.000.000 p.500 700.000 p.706 p.706 p.00.706 p 70.706 p.500 0 p 0,356 p 0,375 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 33
En stkprøv md 350 stmmr tl partt blandt d.000 adspurgt vælgr r altså n rmlg sandsynlg værd, hvs partts vælgrandl dn samld grupp på.000.000 vælgr lggr ntrvallt [ 0,356; 0,375 ], hvs partts rll tlslutnng altså lggr mllm 3,56 % og 37,5 %. Ud fra stkprøvn må v konkludr, at partts tlslutnng lggr dt anført ntrval [ 0,356; 0,375 ]. Dtt ntrval kaldr v 90 %-konfdnsntrvallt. Stkprøvn md værdn 350 for dn stokastsk varabl r altså tlfrdsstllnd (draf ordt konfdns- ) st forhold tl n rl (mn ukndt) vælgrtlslutnng dt anført ntrval. Stkprøvn må drmod sgs at stå modsætnng tl n antagls om at partts vælgrtlslutnng skull vær f.ks. 40 % llr 30 %. I stdt for at arbjd på dtt 90 %-konfdnsnvau kunn v vælg at arbjd på t 99 %-konfdnsnvau. Dt svarr tl (*) ovnfor at sg, at v btragtr d ydrst 0,5 % tl hvr sd som spclt usandsynlg. Dn lgnng v skal kgg på, r så: 350 µ ±, 58σ p 0,3 p 0,3898 [,3; 0,3898 ] 0 r altså 99 %-konfdnsntrvallt. Ud fra stkprøvn må v konkludr, at partts tlslutnng lggr 0,3; 0,3898. ntrvallt [ ] å t 99 %-konfdnsnvau r 350 altså n rmlg sandsynlg værd, hvs partts vælgrandl dn samld grupp på.000.000 lggr dt anført ntrval, hvs partts rll tlslutnng altså lggr mllm 3, % og 38,98 %. Øvls 9 Gnnmrgn ksmplt ovnfor md ukndt p, dt v forstllr os n størr stkprøv på (rundspørg blandt) 0.000 vælgr. Lad os antag, at 3.500 af d adspurgt sgr, at d vl stmm på partt. nd 90 %- og 99 %-konfdnsntrvallrn svarnd hrtl. NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 34
Rgrssonsanalys Eksmpl Lad os forstll os, at v har fortagt n rækk samtdg målngr af to forskllg størrlsr. [] y[],40 4,0 3,40 8,9 3 9,0 36,0 4 3,0 5,49 5 4,0 9,40 6 5,30 7,48 7 3,80 8, 8 6,40 7,5 9 9,30 35,95 0,80 5,7 9,40 35,55,70 5,0 3 9,30 36,30 4 8,80 3,06 5 9,90 34,50 6,0 5,78 7,0 4,63 8 3,0 6,77 9 9,40 34,85 0 7,30 8,6 9,50 34,79,0,90 3 9,90 33,03 4 8,30 3,90 5 7,40 9,78 I tablln hr vd sdn af nummrrr vors nd dss målngspar, mns d sammnhængnd målngspar udgørs af og y. Hvs v som ndnfor ndtgnr d sammnhængnd målngr som punktr y, t koordnatsystm, kan v vt. få n dé om, at dr mulgvs bstår n tlnærmlssvs lnær sammnhæng mllm d to størrlsr af typn y α β. 60,00 50,00 40,00 y[] 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 [] NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 35
V søgr ftr n gnrl mtod tl n sådan stuaton at bstmm d to paramtr α og β. V har altså n sr af målngr y, for,,3,..., n, dt vl sg alt n sammnhængnd målngr af to størrlsr, og v forvntr n tlnærmlssvs lnær sammnhæng mllm d to størrlsr af typn y α β. Brgnngstknsk kan dt vær n fordl, at nulstll målngrn md drs gnnmsntsværd. n n Md µ E( ) vl dt sg, at v sr på ( µ, y ) oprndlg målngr y,. stdt for d Eksmpl (fortsat) []-E y[] -4,0 4,0-3,0 8,9 3,69 36,0 4-3,3 5,49 5 -, 9,40 6 -, 7,48 7 -,6 8, 8-0,0 7,5 9,89 35,95 0-3,6 5,7,99 35,55-3,7 5,0 3,89 36,30 4,39 3,06 5 3,49 34,50 6 4,79 5,78 7-4,3 4,63 8-3, 6,77 9,99 34,85 0 0,89 8,6 3,09 34,79-4,3,90 3 3,49 33,03 4,89 3,90 5 0,99 9,78 I dt allrd bskrvn ksmpl sr dt sådan ud: n E(-E) E 5 0,00 6,90 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 36
60,00 50,00 40,00 y[] 30,00 0,00 0,00 0,00-6,00-4,00 -,00 0,00,00 4,00 6,00 []-E Md dss nulstlld data forvntr v altså n tlnærmlssvs lnær sammnhæng af typn y a ( µ ) b. Vd omrgnng sr v lt: ( ) b y a µ y a a µ y a a µ b b V har altså følgnd omrgnng mllm paramtrn for dn oprndlg og dn nulstlld lnær sammnhæng: α a og β a µ b Vors problm r altså nu kk løst, mn ændrt tl at fnd n gnrl mtod tl n sådan stuaton at bstmm d to paramtr a og b. V kan fnd d bdst paramtr a og b vd at mnmr summn af kvadratt på d lodrtt afstand mllm y værdrn og dn rtt ln y a b : n ( y a( µ ) b) Dtt gørs md a n ( y µ )( µ ) n ( µ ) og b µ, hvor µ E( ) y n n NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 37
svarnd tl n ( y µ )( µ ) α og β a µ b a µ µ a n ( µ ) Eksmpl (fortsat) I ksmplt ovnfor kan brgnngrn s ud som følgr: [] y[] []-E y[]-e (y[]-e) ([]-E) ([]-E)^,40 4,0-4,0 -,70 50,940 6,096 3,40 8,9-3,0-7,98 4,079 9,07 3 9,0 36,0 3,69 9, 4,508 7,53 4 3,0 5,49 4-3,3 -,4 37,7979 0,9693 5 4,0 9,40 5 -, -7,49 6,5754 4,899 6 5,30 7,48 6 -, 0,58-0,6479,365 7 3,80 8, 7 -,6-8,68,6758 6,85 8 6,40 7,5 8-0,0 0,6-0,0074 0,000 9 9,30 35,95 9,89 9,05 6,35 8,3405 0,80 5,7 0-3,6 -,9 40,46 3,0465 9,40 35,55,99 8,65 5,8599 8,98,70 5,0-3,7 -,80 43,799 3,7789 3 9,30 36,30 3,89 9,40 7,43 8,3405 4 8,80 3,06 4,39 5,7,3378 5,705 5 9,90 34,50 5 3,49 7,60 6,509,66 6,0 5,78 6 4,79 5,88 3,959,949 7,0 4,63 7-4,3 -,7 5,8970 8,5933 8 3,0 6,77 8-3, -0,3 3,54 0,369 9 9,40 34,85 9,99 7,95 3,7564 8,98 0 7,30 8,6 0 0,89,7,57 0,7885 9,50 34,79 3,09 7,89 4,373 9,5357,0,90-4,3-4,00 60,355 8,5933 3 9,90 33,03 3 3,49 6,3,3905,66 4 8,30 3,90 4,89 5,00 9,4449 3,5645 5 7,40 9,78 5 0,99,89,850 0,976 n E E n E(-E) E(-E) sum sum 5 6,40 6,8974 5 0,00 0,00 73,3 33,0064 sum/sum 3,378 a y 3,378 (-E) 6,8974 b alfa bta y 3,378 6,7780 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 38
V fndr altså sammnhængn ( ) b 3,378 ( 6,40) 6, 8974 y a µ svarnd tl y α β 3,378 6,7780 Hrundr r d målt værd-par (, y ) afsat som punktr t koordnatsystm sammn md brgnd punktr md udgangspunkt d samm, dt vl sg (, α β ). 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 NORMALORDELING 3MAT (JL) 30. 8. 004 s. 39