Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen er mindre end søjlens brudmoment for den påførte normalkraft inklusive tillæg for excentricitet og udbøjning. Først bestemmes den kritiske normalkraft for søjlen. Der undersøges for begge tilfælde, simpelt understøttet og indspændt. Der benyttes følgende regningsmæssige værdier, f 8, Pa, f yd 385 Pa, E sd,5 0 5 Pa, A s 80 mm. Tværsnitsareal og inertimoment af betontværsnittet er: A 300 300 9,0 0 mm I 3 8 300 300 6,75 0 mm Start-elasticitetsmodulen for betonen bliver, idet f 8, Pa 5 Pa : E 0 000 f 000 8, 800 Pa Forholdet mellem ståls og betons elasticitetsmodul er: Esd α 500 f 5,5 0 500 8, 6,9 Først regnes søjlen simpelt understøttet. I dette tilfælde er den frie søjlelængde lig søjlens geometriske længde, og søjlens slankhedsforhold er: λ l s I 6,75 0 3500 8 / A / 9,0 0 0,
Den kritiske betontrykspænding bliver da: σ + f f λ /( π E 8, ) + 8, 0, /( π 800) 0 5,6 Pa Idet der ikke regnes med stød fås en kritisk normalkraft på: σ ( Ac + αas ) 5,6 (9,0 0 + 6 80) 607 k σ Ac + f yd As 5,6 9,0 0 + 385 80 75 k σ Ac 5,6 9,0 0 8 k Dvs. den kritiske kritiske normalkraft er på 607 k. Beregningerne foretages på lignende vis for den indspændte søjle. λ σ i Pa i k Simpelt understøttet 0, 5,3 607 Indspændt 80,83 0,95 6 Det er hermed vist, at søjlen kan holde til den regningsmæssige normalkraft på 300 k, idet søjlen kan holde til en kritisk last bliver på 6 k. Da søjlen er excentrisk/tværbelastet, skal det imidlertid også eftervises, at momentet kan optages i søjlens deformerede geometri. Vi har tidligere regnet på dette betontværsnit, nemlig gang, hvor vi opstillede følgende - diagram (træk regnes positivt):
Ud fra diagrammet kan aflæses at det moment der kan optages svarende til en tryknormalkraft på 300 k er ca. 6 km. Det skal derved vises at momentet i søjlen ikke overskrider 6 km. Den samlede regningsmæssige normalkraft på den nederste søjle er 300 k, og der regnes med en excentricitet på 0, m, inklusive tolerancer. Den regningsmæssige tværlast fra vind er på k/m. Først undersøges tilfældet hvor søjlen regnes simpelt understøttet. Søjlen modelleres som en simpelt understøttet bjælke påsat en jævnt fordelt linjelast og et moment i den ene ende på 0, m 300 k virkede i den mest ugunstige retning på søjlen, dvs. den retning der giver det numerisk største moment i bjælken. k/m omentforløbet bestemmes vha. følgende formel som en sum af momentfordelingerne for de to tilfælde givet i opgaveformuleringen fra sidste gang.: x x) qx( L x) + L x x(3,5 x) + 30 3,5 ( 0 hvor x er målt fra bjælkens venstre ende, L er søjlens fysiske højde, q er linjelasten og 0 er det påsatte moment fra excentriciteten. Der fås da følgende momentfordeling 7,9 km 3,9 km Den simpelt understøttede søjle undersøges i toppen og i det midterste /5 dels punkt af spændvidden I toppen af søjlen er excentriciteten, e, fra udbøjningen nul, hvorved: < 6 km 3
I midten kommer der et tillægsmoment fra udbøjningen: e ε + cu ε y l 0 d 0,0035+ 0,005 3,5 0 0,60 0,08 m Det moment der reelt regnes med på midterste /5 del er da: 3,9 + 0,08 300 3,3 km < 6 km Da ydermere, at: 300 k < 607 k Dvs. at søjlen holder, når den regnes simpelt understøttet. For den indspændte søjle fås belastningen til: (med det excentriske moment påsat mest kritisk) k/m omentet i en indspændt bjælke med påsat linjelast og moment i den frie ende fås til: ( x) q( L x) (3,5 x) 0 30 ed tilhørende momentfordeling: 5,5 k/m 38,8 k/m 33,9 k/m
Den indspændte søjle undersøges i bunden og i det kritiske /5-dels punkt, hvor søjlens udbøjning er forskellig fra nul. I bunden af søjlen er excentriciteten, e, fra udbøjningen nul, hvorved: 5,5 km < 6 km I det midterste /5 dels punkt og i toppen af søjlen anvendes på den sikre side e 0,08 m ligesom før. Det dimensionsgivende moment er da: 38,8 + 0,08 300 7, km < 6 km Da ydermere, at: 300 k < 6 k Dvs. at søjlen holder, når den regnes indspændt. Det ses, at det er mest kritisk at antage søjlen til at være indspændt. 5