Lineær Modellering Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Modelleringsprocessen 2 2.1 Modelvalg........................ 2 2.2 Regression........................ 2 2.3 Ekstrapolering og modelkontrol............ 3 3 Den lineære model 4 3.1 Indtegning af måledata................. 4 4 Lineær regression 4 4.1 Den bedste rette linje.................. 4 4.2 Mindste kvadraters metode............... 4 4.3 Interpolation i grafprogrammer............ 4 4.4 Regressionskoefficienten................ 4 5 Modelkontrol 4 5.1 Ekstrapolering...................... 4 5.2 Kausalitet eller korrelation............... 4
Resumé I dette dokument møder vi modelbegrebet for første gang, idet vi diskutere hvad en linær model er, og hvordan man kommer fra at datasæt til en linær model ved hjælp af linær regression. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! side 1
1 Introduktion Modelleringsbegrebet er forbindelsesleddet mellem matematik og de øvrige naturvidenskaber (og dermed virkeligheden). Det dækker over den proces hvor informationer fra den virkelige verden (som regel i form at målinger af nogle fysiske størrelser) bliver lavet om til en såkaldt model en simplificeret og matematisk formuleret beskrivelse af virkeligheden som ikke blot forklarer de informationer som man startede med, men oven i købet kan bruges til at forudsige andre informationer. Modellering er derfor den centrale del af hele den naturvidenskabelige metode, hvorved samtlige naturlove er opstået, så der skulle ikke være nogen tvivl om anvendeligheden. Det er fristende at gentage følgende beskrivelse af hvad matematikkens rolle i naturvidenskab er: The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. Eugene Wigner Forudsætninger For at kunne læse dette dokument skal du kende til det todimensionelle koordinatsystem 1 og hvordan man beskriver rette linjer heri 2. 1 Læs om koordinatsystemet her 2 Læs om rette linjer i koordinatsystemet her side 2
2 Modelleringsprocessen Modelleringsprocessen består af tre dele, nemlig modelvalget, en efterfølgende regression og til sidst ekstrapolering og modelkontrol. 2.1 Modelvalg Et modelvalg starter med at man har to (eller flere) målbare 3 fysiske størrelser, som man ønsker at beskrive en sammenhæng imellem. Det kunne f.eks. være vælger man hvilken type funktion som bedst kan bruges til at beskrive en sammenhæng mellem nogle fysiske størrelser. Dette valg kan enten træffes ud fra teoretiske overvejelser, eller på baggrund af statistisk materiale. Som regel vælger man i første omgang en generel funktionstype, f.eks. lineære funktioner, uden at fastlægge præcis hvilken lineær funktion der er bedst. 2.2 Regression Efter valget af modellen står man som regel med en generel funktionstype og mangler stadig at finde ud af præcis hvilken af disse funktioner som bedst beskriver sammenhængen mellem de givne størrelser. Ofte er funktionstypen givet ved et generelt funktionsudtryk, hvor der indgår en eller flere såkaldte frie parametre. Lineære funktioner er f.eks. givet ved funktionsudtrykket: f(x) = a x + b hvor a og b er frie parametre, som kan være et hvilket som helst reelt tal: For hvert valg af a og b har man én konkret lineær funktion. 3 At en størrelse er målbar vil vi her bruge i betydningen at den kan angives med et reelt tal. side 3
Regressionen går nu ud på at fastlægge alle sådanne parametre, sådan at man står tilbage med en konkret funktion, der beskriver sammenhængen mellem de givne størrelser bedst muligt. Regressionen vil næsten altid foregå ud fra nogle målinger af de givne størrelser. 2.3 Ekstrapolering og modelkontrol Når man har en færdig model som er valgt helt eller delvist ud fra eksperimentelle data, er det næste skridt altid at prøve at bruge modellen til at forudsige nogle målinger som ikke var i de oprindelige data. Denne proces kaldes ekstrapolering. Det er det selvfølgelig også fristende at forsøge at kontrollere modellen ved at foretage nogle nye målinger i andre situationer og sammenligne dem med det som modellen forudsiger. side 4
3 Den lineære model 3.1 Indtegning af måledata 4 Lineær regression 4.1 Den bedste rette linje 4.2 Mindste kvadraters metode 4.3 Interpolation i grafprogrammer 4.4 Regressionskoefficienten 5 Modelkontrol 5.1 Ekstrapolering 5.2 Kausalitet eller korrelation side 5