Logaritmiske Transformationer

Transkript

1 Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion Lidt om logikken Eksponentiel sammenhæng 2 3 Potensiel sammenhæng 4

3 Resumé I dette dokument beviser vi to sætninger som er meget nyttige når skal afgøre hvorvidt en målt størrelse afhænger eksponentielt eller potensielt af en anden. 1 Introduktion Dette dokument er en overbygning til dokumentet om modellering 1. Vi beviser de to sætninger om hvornår en målt størrelse afhænger eksponentielt eller potensielt af en anden. For at forstå beviset er det kun nødvendigt at have rigtig godt styr på regnereglerne for logaritmer og eksponentialfunktioner. 1.1 Lidt om logikken Begge sætningerne indeholder en påstand af typen A gælder hvis og kun hvis B gælder. Sådanne påstande kan også læses som: A gælder præcis hvis B gælder, eller meget kortfattet: A B Når man skal bevise en sådan påstand er der to ting at vise, nemlig at hvis A gælder, så gælder B også, og at hvis B gælder, så gælder A også. (Det første kan formuleres som A kan kun gælde hvis B gælder. Deraf kommer den kortfattede formulering hvis og kun hvis.) Derfor vil et bevis for disse påstande være delt i to: En del hvor man antager at A gælder, og derpå viser at B også må gælde, og en del hvor man gør det omvendte. Du vil muligvis kunne se at argumenterne for de to dele ligner hinanden meget. 1 Læs om modellering her side 1

4 2 Eksponentiel sammenhæng Vi gentager lige definitionen på eksponentiel sammenhæng først: Definition 1 En fysisk størrelse Y siges at afhænge eksponentielt af en anden fysisk størrelse X, hvis der findes en eksponentiel udvikling f givet ved: f(x) = b a x hvor a og b er positive reelle konstanter, sådan at f opfylder at f(x) = Y for alle sammenhørende værdier af X og Y. For at gøre det lette at afgøre om en størrelse afhænger eksponentielt af en anden, har vi følgende sætning: Sætning 1 En størrelse Y afhænger eksponentielt af en størrelse X hvis og kun hvis ln(y ) afhænger lineært af X Bevis. Antag først at Y afhænger eksponentielt af X. Dermed findes der en funktion, f givet ved: f(x) = b a x hvor a og b er positive reelle konstanter, sådan at f opfylder at f(x) = Y side 2

5 I så fald må der gælde at: hvor ln(y ) = ln(f(x)) = ln(b a X ) = ln(b) + ln(a X ) = ln(b) + X ln(a) = ln(a) X + ln(b) Vi forklarer lige hver enkelt omskrivning: Første lighedstegn gælder fordi f(x) = Y. Næste lighedstegn er blot en indsættelse af hvad f gør. Næste lighedstegn er en logaritmeregneregel. Næste lighedstegn er en anden logaritmeregneregel. Det sidste lighedstegn er blot en ombytning af led og faktorer. Alt i alt står der at ln(y ) = g(x) g(x) = c x + d idet vi sætter c = ln(a) og d = ln(b). Altså afhænger ln(y ) lineært af X. Omvendt, hvis vi ved at ln(y ) afhænger lineært af X, så findes der en lineær funktion f givet ved: hvor a og b er reelle tal, sådan at f(x) = a x + b f(x) = ln(y ). side 3

6 I så fald må der gælde at: Y = e ln(y ) = e f(x) = e a X+b = e a X e b = (e b ) (e a ) X (Gennemgå igen hvert lighedstegn på samme måde som ovenfor, og vær sikker på at du forstår hvorfor omskrivningen er lovlig.) Her står at Y = g(x) hvor g(x) = c d x idet vi sætter c = e b og d = e a. Altså afhænger Y eksponentielt af X. 3 Potensiel sammenhæng Igen starter vi med at gentage definitionen: Definition 2 En fysisk størrelse Y siges at afhænge potensielt af en anden fysisk størrelse X, hvis der findes en potensiel udvikling f givet ved: f(x) = b x a hvor a R og b > 0, og hvor f opfylder at f(x) = Y for alle sammenhørende værdier af X og Y. side 4

7 Til at afgøre om en størrelse afhænger potensielt af en anden har vi følgende sætning: Sætning 2 En størrelse Y afhænger potensielt af en størrelse X hvis og kun hvis ln(y ) afhænger lineært af ln(x) Bevis. Hvis Y afhænger potensielt af X, så findes der en funktion, f givet ved: f(x) = b x a hvor a R og b er en positiv reel konstant, sådan at f opfylder at I så fald må der gælde at: f(x) = Y ln(y ) = ln(f(x)) = ln(b X a ) = ln(b) + ln(x a ) = ln(b) + a ln(x) = a ln(x) + ln(b) (Gennemgå hvert lighedstegn og vær sikker på at du forstår hvorfor det gælder.) Her står at hvor ln(y ) = g(ln(x)) g(x) = a x + c idet vi sætter c = ln(b). Altså afhænger ln(y ) lineært af ln(x). Omvendt, hvis vi ved at ln(y ) afhænger lineært af ln(x), så findes der en lineær funktion f givet ved: f(x) = a x + b side 5

8 hvor a og b er reelle tal, sådan at I så fald må der gælde at: f(ln(x)) = ln(y ). Y = e ln(y ) = e f(ln(x)) = e a ln(x)+b = e a ln(x) e b = (e b ) ( e ln(x)) a = (e b ) X a (Gennemgå igen hvert skridt, og vær sikker på at du forstår hvorfor omskrivningen er lovlig.) Her står så at hvor Y = g(x) g(x) = c x a idet vi sætter c = e b. Altså afhænger Y potensielt af X. side 6