Energy-saving Technology doption under Uncertainty in the esidential Sector Dorothée Charlier, lejandro Mosino, ude Pommeret To cite this version: Dorothée Charlier, lejandro Mosino, ude Pommeret. Energy-saving Technology doption under Uncertainty in the esidential Sector. nnales d Economie et Statistiques, 2011, pp.43-70. <hal-00937500> HL Id: hal-00937500 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00937500 Submitted on 28 Jan 2014 HL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
""# $ % & ' ( ) * +$+ ) * ' ' ', - ) *. & ', ' & ' ' ) / 0 & ) * ' ' & ') ' ' % '. & ',) 12 3 4 5 66 7686 9' 4 ) / +$+ ' & &, ) : : ' & " ") ; ( & ' ) < & 4 : & => & CO & '?"> & @8> & 3 ;$ ""7B) & & - $ 6#?#B) * % & ' ( - &, & ) : - & ' 6
& : ""#B) 3 & & & 3., 1, ""8 ""8B) $' C 3 ""7B) < & ( & ) * ' (,, ' ( ' ) < ( ' % & & 3 D (D D- D 1 % E 6##@ B) & ' ' - & > ="> C' ""6 E ) 6## B) < & ' ' ; F ) $ & 6## B ' 0 & ( & & $ & 6##=B) * ' & 3 & G ) C & & & &, & ) * E, ""#B & % & & ( %4 ' & 3,' & ) E & ( % & & ' 3, & ( & "> ' ) & 1 % E 6##@ B ) ( % ' & ' ( ) * & ' & & & &,B ' ) < & & & & ) < ' & 0 & % & ( & ' &
) : ' ( E $' 6##@ C ""? 0/ ""#B) * ', & & %) * & ' & &, ) (. & ' ' &, 6 ) < ' % & -. & ',) < &. ) $ ) ""7B & ' & ) < ( 0& ' & H, ) E ""#B, 3 &.) < 3 % ( & ) E ( 0 3 & & 0 ) <, 3 & ' ' ' 0 %) < & % & D D & B) <& ' (. ' $ ) ""7B) I & ' ' ) I 3 &, & & ) = < 3 ') C & ' & ) $ ) ""7 E ""#B & & 0) ; ' 3 6 E : ""#B & &, - ) < ' $ ) "" B &. & ', & 3 ) = & & 3 B ' & G ) =
' 0 ) I ' & ') *, & ' '. & ) : ' ' ' - % 3 & ) <, % & '.). ( & - ( D (D E C J E& 6## B) < & &') E ( ' & ' ) C,' ' =. & ', - ) * E @ ' & & 0 ) I ) I 3 ' & ) E 8 ) I ', ) $ r σ dz ) $ C C ) < & & ' & ' ) < r t C t xc t ' t & ' x & ) < & 3 ) <& &' ' &4 d=(r C xc )dt+σ dz t & t < τ 6B τ ' x & ' ' y) < & ' β) < ) ( σ, & & & ' ) * ' 3 &, & & ) ; y x & ' ' ' ' ) I 3 % ' x y -) < & & ' & & ' 4 d=(r C yc )dt σ yc dz t + σ dz t & t τ B @
< ' & & ( & E e ρt U(C t, C t )dt =E e ρt(ca C) b γ dt =B 1 γ < & Θ & & & (C, τ) E e ρt U(C t, C t )dt < @B ' ρ & γ, & ' γ =1 γ >0) < a b ) I 3 % - &, E E "" B4 =1 (a+b)(1 γ) B < ' (0 & & ' ) < & & ' 4 τ V( )= sup E C,τ e ρt(ca tct) b γ dt+e ρτ W( τ β) 1 γ ' W & ' τ ) < ' ) : ' & & & & ' ) < & ) I 3 ( & & '. & ' ) ;, & ' ) E ' & & ) I ' ) < & & 4 E τ e ρt τ U(C t, C t ) dt <?B < & & 4 τ W( τ )=sup C E τ τ e ρt τ(ca t Cb t ) γ dt 1 γ 8B 7B
< C. ' 4 (C a W( t )= max t Ct) b γ dt+e ρdt E t (W( tdt )) ' t τ C t, C t 1 γ #B < 3 & 4 @ (a+b) Ct= MB b γ a γ t 6"B a C t= B t 66B I & & ' '4 B= y±(1 γ) σ y [2 b(1 γ)] = y a+b 1 1 γ 4 2 σ y 2a+b 2 b (1 γ) 2 σ br+ bρ 1 < & B >0. & γ ' &. ) M = a a+b B a b y+ σ y B a γ < ( ' ' 4 E t (d t / t ) dt = r E t C t ye t C t M a γ = r a (a+b)b b γ By ; ( ( & E E "" B ( & % '. ) < &' 4 (C t /K t ) σ (Ct /K t ) M = M B + (C t/k t ) B B M M (C t /K t ) σ = B σ >0 & γ <1 <0 & γ >1 σ >0 & γ <1 & γ >1 3 & & 1/γB ) @ E ( ) 8
' σ & & ) < ' %4. & 3 ' % B % B) < % & & ) % & σ C t & γ >1 & σ C t C t ) : & % & & ( B) : ( ( & & 4 W( t )=W( t )= M t (1 γ) 6B * ' & (a+b)(1 γ) 1 <0) <. & & )) lim E (W( t ))=0 t * 3 & & & ' ' K & L ( E 6##8BB) *MH W(K t ). 4 E(d) = W E(d)+ 1 2 W E(d ) <0 M a γ M r a (a+b)b b γ xb 2 σ x B + σ >0, I &3) & ) $' ' H. 0 ) < ' ' 0 ) ; ( & & & & ' ' ' ρ=0 ( ) ; & ) <& ' ' ( ' & & ) E ( )?
/ ' ) < ( 0 & & '. ) ' ' &'. 6"B 66B) <& & & &' 4 V( τ )=W( τ β) 6=B V ( τ )=W ( τ β) 6@B ' τ & ' & ' ) * ' τ) < 6=B. & ' ) & τ & ' B & '. & ' ) < 6@B & & ' V & ' W & 'B) * & & ' ) E ' & ' 3 & ' 3 & & ' ' V W, ' 4 W ( t ) V( t ) t 6 B < H 4 τ (C V( ) = sup E tc a t) b γ dt+w( τ β) {τ< } C,τ 1 γ 68B s.t. d = (r C xc )dt+σ dz t 6?B < & ' ' & ' ' & ) * ' 0 & ' ' ' ) < 3 4 8 Ct= a b γ Ct= a a γ b b γ V x b a γ V x 67B 6#B 8 E ( C) 7
N C. &' ( & & ' & ' ( CB 4 V ( t ) = ' D = D t D = 2r σ + D D t γ 1 a a γ Gt b x b γ 1 r σ "B 6B B I G(t)=D r σ t '? ) D ' 7 6@B) I 4 D = [M(a+b)] ( τ β) D τ D D τ =B *& ' ' ' G(t)=0 & 4 # W ( t ) = γ a a γ b b γ x r σ D t W ( t )= D (a+b)(1 γ) t (a+b)(1 γ) @B ' W ( t ) & & ' ' ') & ' & '4 D >0 / W ( t ) & & ' ' O & ' 4 W ( t ) W( t ) B? / ) I ' ', & ' ' 3 ) <& ( &, & (, 6##@B) < &, ) 7 E ( C) # E ( C) #
< ( ' & & ' ' ' ' & & ' ) N ( & W. @BB & W. 6BB V ( t ) '4 r V ( t )= W ( t ) + [W ( τ β)] W ( τ ) τ σ t Gt ' 8B < & ' % 3 & & ) < ( & ', & ' ) * & G(t)=0 & ' W ( t ). < % ' & ' βb & ' ' ' ' t τ) I ' 4 *& γ <1 ' 4 W ( t ) < W ( t ) < W ( t β) G(t) >0) < & ( & V ) < & ' ' ' & ' ' ) * ' ' ' ' () *& γ >1 ' W ( t ) ) > W ( t ) ) * & G(t) G(t) < 0) * ' ( & & ' ) <& ' ' ' ' ) * ', ' ( ' 6"
) < ) $' & & t & t <( D /D ) / r/σ ( & V 3) <& G(t) <0 ) G(t) >0) * ' V &' W ( t ) V( t ) t 3 & γ >1 & 2r/(σ ) > 1B) <& G(t) > 0 ) G(t)=0.* V 3B W ( t ) V( t ) t 3) * ' & γ > 1. * % ( & ' ) I & t G(t)=0) <& '. @B 8B4 = β 1 Mab D?B '. M(a+b) < D B) ' & ' - ( CB) < ' ) < & ' τ '. ' ' β B4 V( τ )=W( τ β) 7B < ' ' 4 *& γ <1 τ & 4 τ V ()d=w( τ β) #B V(0)=0 & γ <1) ; V & & & τ D ). #B ) E &' & 4 σ = 0.013O b = 0.25O a = 0.7O γ=0.5o x=10o y=0.25o r=0.05o σ =0.5O β=0.1) < & % - &, =0.525) 66
: 6 ' &4 V() & ' W( β) & ' W () ' ') < ' τ =0.82. ; & yc ' C & B xc ' C & B) * & % ) <, 4 V() E 4 W( β) 2 4 W () : 6 4 < & & γ <1 B *& γ > 1 ' τ = '.?B) < 6=B ' & & ' 4 V( t )= 1 D 1 t +[M(a+b)]( τ β) D τ ="B ; V( t ) 3 ' γ >1) E ' & &' & 4 σ =0.013O b=0.25o a=0.7o γ=2o x=10o y=0.25o r=0.05o σ =0.1O β =0.1) < & % - &, =1.95. 6
: ' &4 V() & ' W( β) & ' W () ' ') < ' ' =0.265.?BB) ' & γ < 1 % & ) <, 4 V() E 4 W( β) 2 4 W () : 4 < & & γ >1 B I 3 ( B ' % & ) H ' & ' & ) < & ' & ' ' & & x & & y) *. & ' ' & ' & ' & ' ' ) & ' ' ) 2 % & & ) & a C B b C B 6" ' 6" ; ' & & b '.. b a) 6=
&' 4 & )) ab '' % & b & γ ) <, - γ ( % 0 ', ' ) E ' γ & ' ) 2 ' % & ) < & ' & ' ' σ B - & & & ' ) * & & & 3 rb ' & & 3 σ B) : ' ' & ' ) E σ. & ' & r σ B % ' r) < % & r σ & γ <1. : γ >1 ) " * ' &. 0) * C. & ' 4 (C a ρv = max t Ct) b γ + V (r C xc )+ 1 C t, C t 1 γ 2 σ V =6B (0 ' C t C t ρv.v = b γ 1 γ a a γ b + rv x + 1 2 σ V V =B E. (C& ρ=0) C. ' ) ' 1H 1 6##B I ""@B) " # N. =B 3 L4 L(V)()= b γ 1 γ a a γ b + rv x + 1 2 σ V V ρv r V. 6@
L & & & [0, τ ]) 1 6## 6##7B & L C & C ) < %. =B '. 6=B 6@B ' & 3 C & V 4 L(V)() = 0 V( τ ) = W( τ β) V ( τ ) = W ( τ β). ==B =@B = B < 3 ==B ( & V() & ) 66 ' ( ' 4 V(,)= 1 N 2 c T ()+ c i T i (), i =8B ' [0, τ ] T i () i & 3, 3 &' 4 T = 1 T = 4 T n = 2T n () T n (), T n ()=cos(narccos ). I '. & ( ( 1 6##B) " $ I c={c, c, c,..., c N } V(, c) & &. =B) < ' 3 =@B = B 3 &4 F(,) L( V)()) =?B. =?B & L( V)() ' 0 ) < & - c &, F(, c) - 0 &). =8B. =?B) ; ' N+1 - c i 66 C I ',' C & ( & ) E N. =8B ' V, c V) 6
&) <& ' N+1 i [0, τ ] ' τ & τ ) : ( + 2 ) < 3 &'4 6 i θ i = τ 2 (θ i+1), iπ = cos. N & & N+1. 4 F i ( i,)=0, i=0,1,..., N. =7B C )) ) : ) τ &. =8B. =@B 4 V( τ ) W( τ β)=0. =#B < 3 & =7B. =#B) < ' c =(c i )) E3 ';'H4 c k = c k (J k) P(c k ) ' J k 1 & F(, c) c k ) : ' τ & & ) I & τ = τ & 4 V ( τ )=W ( τ β) * ' N =10 H ' B ( ρ = 0.0001) E ' ' & ) 6= E 2 &' ) * &' 3 ' ' & & & ' ' & ' τ 4 6 < + 2 3 & θ i ) < i & & θ i i τ) 6= & ρ & ) 68
" γ <1) < τ =0.5049. # " γ >1) < τ =0.2653. : ( ' & ' ) : & ' ) E 3 ' ρb ' 3 ) 6?
% * ' ' ', ) C 3 - ) *. & ', ' & - ' ' ) < & & 0) I 3 ' 0 ) I ' & ') *, & ' '. & ) : ' ' ' - % 3 & ) <, % & '.) 67
& ' ;$ ""7B D &. 2 D. ""7) 1) E, /) ""#B D< ( F (D =? =B "64"") C 3 E) : ) : ) 1 ) ""7B DI & E / CD =" B "=4 68) C' ) ""6B K, : C C & L #6@B 66#?46"?) C )) ""?B D2 C P Q H-.D /G. < 2F* @#48) <) J I :) ""@B)D * 4 & ' C. )D 1 & J 7?B 6@=?46@86) 0/ *) 1) ""#B D - $ * %D I, EE/;) ( ) 9), /) E) 6##@B D* N D N ) : ) ""#B D/, I & - E / D I, <$ S E'0 ) $ 9) ) & +) ) 6##=B D *4 : TD 6 8B?6"4?68) $ 9) ) & +) ) 6## B D < ( / *4 & D 1 &? B "646?) $ 1) ) 6#?#B D* / N 0 & N D < C 1 & 6" 6B ==4 @) $ 1) ) E E) "" B D* * +.D I, :/ " 6" E E & C) $ 1) :) ) ""7B D< N +.D I, N & 2 ) 6#
1 % ) C) E /) ;) 6##@ B D- * D 1 6 B @=48 ) 1 % ) C) E /) ;) 6##@B K< - + ) I TL 6"B 7"@476") 1, ) ""8B D C3 & - * / C ED =@ B 6?467?) 1 9O2 6##B D & E +' D 1 & 7 @6"4@ ) 1 9)2 6##7B D; D < *< ) I) ) C 1, ) ""8B D, *, S 00-0 I D 3 & - B : + B & <$S E'0 ) ) E 9) ""#B D < N L 6= "@ @#=4 ) E )$) C ) E& E)) 6## B K$' $ F - *TL =#B?="4?@=) E )$) $' /)C) 6##@B K;,, *& -L 6"B4 7664767) E I) <) 6##8 K: < & & & ' ;( N <L 2 =46=U6=6) E I) <) V) E) E "" K ; / E&& TL 1 & @#4 U8?) "
( # ) < C. ' 4 (C a W( t )= max t Ct) b γ dt+e t (W( tdt )) C t, C t 1 γ ' t τ N *MH. 4 (C a max t Ct) b γ σ dt+w (r C yc )dt+ C t, C t 1 γ 2 y C+ σ 2 r W dt =0 @"B < 3 4 C t= C W b γ a γ t a C t= yw bc b γ t C a γ t σ y W I Ct = B. W( t )=W( t )= M γ ' B M =1 (a+b)(1 γ) % - &,. B (B) <4 W = M(a+b) ab γ W = M(a+b)[(a+b)(1 γ) 1] ab γ C (. ' 4 0 = 1 1 γ W (B) b γ a a γ a γ (B) b γ W (B) +W r b γ a γ σ y(b) + W a 2 y (B) + σ 2 6
M b γ a γ B a γ a = a+b ( & C t ' 4 a γ a(1 γ) σ 1 a(1 γ) 2 y B + σ r+ yb $4 M b γ a γ B B a γ = b a a γ a γ (a+b) a γ y+ σ y B 1 γ 1 a(1 γ) σ y B + σ 2 r+ yb = B b y+ σ y B B 2 σ y 1 γ (1 γ) [1 a(1 γ)] 2 + B y b 1 a(1 γ) 1 b ρ + 1 r+ 1 γ 2 σ =0 1 a(1 γ) B 2 σ y b 2 [1 a(1 γ)] +B y b [1 a(1 γ)] 1 γ 1 γ B 2 σ y 2a+b 2 = y a+b 1 1 γ <&4 1 γ 4 +B y a+b 1 2 σ y 2a+b 1 γ 2 (1 γ) + b 2 σ br+ bρ 1 + b 2 σ br+ bρ =0 1 b 2 σ br+ bρ 1 =0 B = y((a+b)(1 γ) 1)±(1 γ) σ y [(2a+b)(1 γ) 2] = y((a+b)(1 γ) 1)±(1 γ) σ y [2(a+b)(1 γ) 2 b(1 γ)] = y±(1 γ) σ y [2 b(1 γ)] B W( t )=B b γ b a a γ a γ (a+b) a γ y+ σ y B a γ ab γ (1 γ) I ( & % - &,. '. 6 & (B4
B W( t )=B b γ b a a γ a γ (a+b) a γ y+ σ y B a γ (1 γ) ( % ) % & σ C t & γ >1& σ C t C t ) < &' 3 & % & H @)) : 4 % & σ C t ' γ >1 : 4 % & & σ C t C t ' γ <1 : 4 % & σ C t C t ' γ >1 =
) N*MH && V(τ) {t<τ} &4 (C a max t Ct) b γ dt+v (r C xc )dt+ 1 C t, C t 1 γ 2 σ V dt =0 @6B < 3 4 ac a γ t C b γ t C a γ t bc b γ t = V = xv <&4 C t= a b γ ( bx )b γ V Ct= a a γ b ( ) a γ x V / ( C. V 4 1 γ a a γ b b γ + V x r+ 1 2 σ V V =0 I, &' 4 f( t ) = V f ( t ) = V ) $. ' 4 V 1 γ a a γ b b γ + f( t ) t r+ 1 x 2 σ t f ( t )=0 I f( t ) ' &'4 f( t )= D + D D t t f ( t )= D t + D D D t ' D D D ) <4 @
1 γ a a γ b b γ D + + D D t t r+ 1 x t 2 σ t D + D D D t =0 t <. & &4 g( t )+υ=0 * & 3 ' t 4 g( t )=0 υ=0 <&4 1 γ a a γ b b γ + D r 1 x 2 σ =0 < ' D D 4 r+ 1 2 σ D =0 D = γ 1 a a γ b x b γ 1 r σ D = r σ I ' & ' & ' 4 V ( t )= γ a a γ b x b γ r σ D t + D r t σ D '. 6@B & (B) :. ' 4 V = f()= D + D D D V = + D D
. 6@B (B4 $4 V = W ( τ β)=m(a+b)( τ β) ) D + D D τ τ = M(a+b)( τ β) D + D D τ = [M(a+b)] τ τ β D D τ <. =B () D [M(a+b)] = V = + t ( τ β) D τ = D + t W t / = [M(a+b)] τ β D = [M(a+b)] ( τ β) D τ [M(a+b)] ( τ β) W τ β / D D τ D τ D D t D τ W τ / D τ t τ. D < ( & & ' ' &'4 V ( t )= γ a a γ b x b γ r σ t + G(t) ' G(t) ) *. "B () ; W ( t ) & & ' ' &4 0 = γ 1 a a γ W ( t )= W ( t )=D b b γ + W r+ 1 x 2 σ W γ a a γ b x b γ r σ (a+b)(1 γ) (a+b)(1 γ) : ' σ =0 x=y ' M = D /(a+b). 8
) : ρ=0 γ <1 % & x % & y % & β :& & a :& & b?
% & γ % & σ % & σ % & r 7
: ρ=0 γ >1 % & x % & y % & β % a % & b #
% & γ % & σ % & σ % & r ="
: ρ=0.0001 γ <1 ρ$ ρ$ β$ β$ β$ ρ$ % & ρ % & β #$ #$ #$ &$ &$ &$ % % & x % & y $ $ $ $ $ $ % & a % & b =6
% % σ$ % % σ$ σ$ σ$ % σ$ σ$ % & σ % & σ γ$ $ γ$ $ γ$ $ % & γ % & r : ρ. γ > # # ρ$ ρ$ ρ$ ρ$ ρ$ ρ$ % & ρ % & ρ 0B =
# # #$ #$ #$ #$ #$ #$ % & x % & x 0B # # &$ &$ &$ &$ &$ &$ % & y % & y 0B # # $ $ $ $ $ $ % & a % % & a 0B ==
# # $ $ $ $ $ $ % & b % & b 0B # σ$ σ$ σ$ # σ$ σ$ σ$ % & σ % & σ 0B # # σ$ σ$ σ$ σ$ σ$ σ$ % & σ % & σ 0B =@
# # γ$ γ$ γ$ γ$ γ$ γ$ % & γ % % % & γ 0B # # β$ β$ β$ β$ β$ β$ % & β % & β 0B =