Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning Projk 8.4 Løsning af diffrnialligningn y + y + y= Vd a ygg vidr på d løsningsmodr, vi havd sus md vd løsning af ligningrn udn ldd y md dn nklafldd, r vi nu i sand il a løs dn gnrll ligning y + y + y=. ( Vi når frm il visrn for d forskllig ypr af løsningr gnnm n rkk øvlsr, hvor n dl r ovrlad il lsrns g arjd. Vi lavr nu d indldnd forrdlsr il a vis sningn. Førs analysrs prolm. Øvls : D karakrisisk polynomium k a Anag a f ( = r n løsning il (. Vis vd indsls, a vi får ligningn: k k k + + = k k Vis, a dnn ligning kan rdurs il: k + k+ = ( k Forløig konklusion: Hvis r n løsning il diffrnialligningn, så r k r rod i d andngradspolynomium p( x= x + x+, dr frmkommr vd a rsa y, y og y md hnholdsvis x, x og x, dvs. md x, x og. D polynomium kaldr vi d karakrisisk polynomium. Anag k r rod i d karakrisisk polynomium, dvs ( r opfyld. Vis a så r diffrnialligningn, dvs ( r opfyld. Såfrm d karakrisisk polynomium har o røddr, x x y = og x y = r løsningr il (. Øvls : Linarkominaionr r også løsningr x x og x, så vd vi alså, a k y= n løsning il x x Vis følgnd: Hvis y= og y= r løsningr il (, så r også y= + n løsning, for all valg af konsanr og. En sådan kominaion af d o løsningr, hvor vi gangr md konsanr og addrr, kalds for n linarkominaion. Vi r nu allrd nå frm il, a d karakrisisk polynomium, og d v. røddr hri må spill n ydningsfuld roll i løsningn af andn ordns diffrnialligningr. Mn Ikk all polynomir har røddr, så vi kan også allrd nu inds, a dn klass af funkionr, vi så på i dn forgånd øvls, ikk kan rumm hl hisorin om løsningn. I d følgnd vil vi drfor dl op i d r ilfld, vi kndr fra andngradspolynomir: To røddr, én rod llr ingn røddr. I d o ilfld md røddr får vi rug for følgnd lill sning om røddr i andngradspolynomium: Sning : Egnskar vd røddrn i andngradspolynomium. Anag, a andngradspolynomi p( x= x + x+ har røddrn x og x. Så gldr x+ x =- x x = Øvls 3: Bvis for sningn Lad x og x vr røddrn i polynomi. Røddrn kan skrivs få følgnd form: - + - 4 -- - 4 x = x =. mod. Anvnd di vrkøjsprogram il a udrgn x+ x og x x. 4 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Kønhavn K Tlf: 43533 Email: info@lru.dk
Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning. mod. I B-ogns kapil 3 om polynomir lr vi, a hvis x og x r røddr i polynomi p( x= x + x+, så kan vi fakorisr sålds: x + x+ = ( x- x ( x-x Udrgn nu højr sid. D skal vr lig md vnsr sid. Draf får vi rsula. Vi r nu para il a vis: Sning : Løsning af dn homogn linr andn ordns diffrnialligning. Dn fuldsndig løsning af ligningn y + y + y= afhngr af diskriminann d = - 4a i d karakrisisk polynomium x + x+ =. Hvis d >, og x og x r d o forskllig rll røddr i d karakrisisk polynomium, så r dn fuldsndig løsning lig md mngdn af all funkionr, dr kan skrivs på formn x x y= +, hvor og r konsanr. Hvis d =, og x r dolrodn i d karakrisisk polynomium, så r dn fuldsndig løsning lig md mngdn af all funkionr, dr kan skrivs på formn hvor x x y= +, og r konsanr. 3 Hvis d <, og q ss lig md all ( af all funkionr, dr kan skrivs på formn - ( ( ( y= os q + sin q, q= -, så r dn fuldsndig løsning lig md mngdn hvor og r konsanr. Bmrkning. Hvis vi rgnr indn for dn sørr almngd af komplks al, r punk 3 ovrflødig, id andngradspolynomir alid har komplks røddr og drmd alid kan fakorisrs indn for d komplks al. I d komplks als vrdn r ilfld og 3 drfor i virklighdn (mamaisk s dn samm siuaion. Mn modllrn agvd kan vr mg forskllig. D r mg undrlig, for d forllr, a når vi går ud i n sørr vrdn af -dimnsionll al og ragr hnholdsvis dn naurlig ksponnialfunkion og sinus og osinus, så vil vi pludslig s, a d lo r forskllig projkionr af samm funkion. Før vi går i gang md a vis sningn, vil vi sammnlign md d o idligr undrsøg ilfld. Øvls 4 I ilfld y = k y r diffrnialligningn (: y - k y= Opskriv d karakrisisk polynomium og find røddrn hri. Opskriv drns løsningsformln ifølg sningn ovnfor, og sammnlign md dn, dr omals i sning i kapil 8. Øvls 5 I ilfld y =- k y r diffrnialligningn (: y + k y= Følg punk 3 i sningn og sammnlign dn løsning du findr, md dn dr omals i sning i kapil 8- Bvis for sning punk og. (susiuionsmodn Bvis for d førs o punkr, hvor dr finds rll røddr i d karakrisisk polynomium, kan gnnmførs som d idligr visr, vd a anvnd n ingraionskonsan. E sådan vis kan du 4 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Kønhavn K Tlf: 43533 Email: info@lru.dk
Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning find i appndiks ndnfor. Mn vi vil hr dmonsrr n ny knik, dn såkald susiuionsmod. Dn har flr fordl, dls kan dn gnralisrs il højr ordns diffrnialligningr md konsan koffiinr, og dls kan knikkn anvnds vd løsning af inhomogn ligningssysmr, hvilk vi visr snr. Anag y r n løsning il diffrnialligningn: y + y + y= Udny sning om andngradspolynomirs røddr og inds x+ x =- og x x = : y - x + x y + x x y= ( ( Øvls 6 a Vis, a dnn ligning kan omskrivs il: y - x y '- x y - x y = ( ( Susiuér u= - x y, så ligningn rdurs il u- x u=. og vis, a dnn har løsningn: x u= Susiuér ilag så vi får ligningn: x y= x y +, dr r n linr førs ordns diffrnialligning. Anvnd løsningsformln i kapil 4 sning 4 il a opskriv: x x - x x y = + d ò x x ( x x y = + ò - d (3 Anvnd ponsrgl Hril har udrgningrn dkk ilfldn og. Mn hr skills vandn, fordi siuaionn md ( x- x dolrod mdførr, a = =. Øvls 7. Afsluning af vis for punk Hr r x ¹ x. Bsm n samfunkion il ovnsånd ingral (3 og vis: y x x ( = + - x x x-x x x x-x x-x x x y = + Anvnd ponsrgl Indførr vi nu gnlsn =, får løsningn dn ønskd form: y= + Øvls 8. Afsluning af vis for punk a x = x = x (dolrod. Inds i ligningn (3 ovnfor og vis vi får følgnd: x x y = + ò d Bsm ingral og vis: x x y= + Kaldr vi nu for, får løsningn dn ønskd form: x x y= + Bvis for sning punk 3. (Anvndls af ingraionskonsan Tilfld 3 har d <, dvs. - 4<. Vi vil før d ilfld ilag il diffrnialligningn ' = k y, som vi allrd har løs. 4 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Kønhavn K Tlf: 43533 Email: info@lru.dk
Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning Vi sarr md a spli ldd md y op i o, id vi hår a kunn saml diss fir ld o og o og anvnd produkrgln. Diffrnialligningn ( livr så skrv sålds: y + y + y + y= Øvls 9 Vis a dnn ligning kan omskrivs på følgnd måd: y + y + y + y = y ö y y ç + + = Vi kan ikk umiddlar anvnd produkrgln på d sids o ld. Mn vi lggr så i sd d ld il på vnsr sid, d givr os mulighd for a rug produkrgln. Øvls a Vis a ligningn kan omskrivs vidr på følgnd måd: y ö ç + y + y ( = y ( - y (( y ö y ö y ç + ç = - (( y y ö ç + = - y è ø ö y ö = (( - y ç ç è ø Vis, a vd a anvnd susiuionn Vis ( (( z = - z - >, når diskriminann r ngaiv. s q ( = - og vis a ligningn kan omskrivs il: z= y kan d omskrivs il: z =- q z d Vi har nu før ligningn ilag il dn yp, som kapil 8, sning givr os løsningn il: z= os q + sin q ( ( Susiuér ilag og vis: - ( ( ( y os q sin q = +, hvor q = - (, llr ( hvilk nop var løsningn på dn ønskd form. Hrmd har vi afslu vis for sning q= - Øvls Anvnd løsningsformlrn il a smm dn fuldsndig løsning il følgnd: a y + 5y + 4y= y - 6y + 9y= y + y + 5y= Øvls 4 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Kønhavn K Tlf: 43533 Email: info@lru.dk
Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning Anvnd åd løsningsformlrn og vrkøjsprogram il løsning af følgnd gyndlssvrdiprolmr, og gn grafrn for løsningskurvrn. a y -3y- 4y=, y( =, y ( = y + 4y + 4y=, y( =, y ( = 3 y + y + 4y=, y( =, y ( = Appndiks: Udldning af løsningsformln il sning punk og vd hjlp af n ingraionskonan. Vi skal løs: y + y + y=. ( Inds i ( udrykkn for og fra sning : ' - x - x + x x y= Inspirr af idligr løsningsmodr rgnr vi nu vidr sålds (gør slv rd for, hvad dr skr i hvr nkl skrid: ' - x - x + x x y = Û -x -x -x -x -x -x -x ( y x ( y x y -x -x ( ' x ( y ' -x -x ( x y ' ' '- ' - = Û - = Û - = Û - x y = Û ( r konsan -x -x x x - x y= Û = x y+ D gnknds som n linr. ordns diffrnialligning md x f = x og g( = ( Dn kan nn løss vd rug af formln, llr vd a forag d sdvanlig omskrivningr. 4 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Kønhavn K Tlf: 43533 Email: info@lru.dk