Kapitel 8: Polære grafer

Kapitel 8: Polære grafer 8 Oversigt af polær tegning... 122 Oversigt over trinene i tegning af polære ligninger... 123 Forskelle mellem polær tegning og funktionstegning... 124 I dette kapitel beskrives, hvordan du tegner polære ligninger. Inden du læser dette kapitel, bør du kende indholdet i kapitel 6: Grundlæggende grafik. Betragt et punkt (x,y) som det på figuren nedenfor. I en polær ligning er punktets afstand (r) fra begyndelsespunktet en funktion af dets vinkel (q) fra den positive x-akse. Polære ligninger udtrykkes som r = f(q). Y x r (x,y) y Sådan omregner du mellem rektangulære koordinater (x,y) og polære koordinater (r,q): x = r cos q y = r sin q rñ = xñ + yñ q = ì tan x sign(y)ø p 1 y + 2 θ X Bemærk: Du finder q ved at anvende funktionen angle(x+iy), som automatisk udfører beregningen ovenfor. Du kan vise koordinaterne for et punkt i enten polær form (r,q) eller rektangulær (x,y) form. Kapitel 8: Polære grafer 121

Oversigt af polær tegning Grafen for den polære ligning r=a sin Bq har form som en rose. Tegn rosen for A=8 og B=2,5. Undersøg derpå udseendet af rosen for andre værdier af A og B. Trin Taster Display 1. Vis dialogboksen MODE. Vælg POLAR i Graph-tilstand. Vælg RADIAN i Angle-tilstand. 3 B 3 DDDB1 2. Vis og ryd Y=-editoren. Definer derpå den polære ligning r1(q) = A sin Bq. Skriv 8 og 2,5 for henholdsvis A og B. # ƒ8 82W2.5 Ïd 3. Vælg tegnevinduet ZoomStd, som tegner ligningen. Grafen viser kun fem kronblade på rosen. I standardvinduet er Window- variablern qmax = 2p. De resterende kronblade har q-værdier, der er større end 2p. Rosen vises ikke symmetrisk. Både x- og y-aksen spænder fra ì 10 til 10. Dette interval er længere langs x- aksen end y-aksen. 6 4. Vis Window-editoren, og ret qmax til 4p. 4p vil blive udtrykt i et decimaltal, når du forlader Window-editoren. $ D 42T 5. Vælg ZoomSqr, som tegner ligningen igen. ZoomSqr øger antallet af invervaller langs x- aksen, så grafen vises i det korrekte forhold. 5 6. Du kan ændre værdier for A og B efter ønske og tegne kurven igen. 122 Kapitel 8: Polære grafer

Oversigt over trinene i tegning af polære ligninger Når du vil tegne polære ligninger, anvender du samme generelle trin som for y(x)-funktioner, som beskrevet i kapitel 6: Grundlæggende grafik. De forskelle, der gælder for polære ligninger, er beskrevet på de følgende sider. Tegning af polære ligninger Sæt grafindstillingen (3) til POLAR. Indstil også vinkelenheden (Angle), hvis det er nødvendigt. Definer den polære ligning i Y=-editoren ( #). Tips: Tryk på 5, eller anvend, hvis du vil afmarkere og dermed deaktivere tegning af statistiske data (kapitel 16). Vælg ( ), hvilke definerede ligninger der skal afbildes. Tips: Dette er valgfrit. Hvis du skal tegne flere funktioner, er det lettere at skille dem ad. Indstil displayformatet (ˆ) til en ligning. Tips: Zoom ændrer også tegnevinduet. Definer tegnevinduet ( $). Tips: Indstil Coordinates = POLAR for at få vist r og q. Revider grafformatet ( Í eller ƒ 9), hvis det er nødvendigt. Tegn de markerede ligninger ( %). Analyser grafen Du kan gøre følgende fra tegnevinduet: Vise koordinater for en pixel ved at bruge den bevægelige markør, eller for et tegnet punkt ved at spore en polær ligning. Anvende menuen Zoom til at zoome ind eller ud på en del af grafen. Anvende menuen Math til at finde differentialkvotienter, tangenter osv. Visse menupunkter kan ikke bruges ved polære grafer. Kapitel 8: Polære grafer 123

Forskelle mellem polær tegning og funktionstegning I dette kapitel forudsættes det, at du ved, hvordan du tegner y(x)-funktioner som beskrevet i kapitel 6: Grundlæggende grafik. I dette afsnit beskrives de forskelle, der gælder for polære ligninger. Indstilling af Graphtilstand Anvend 3 til at indstille Graph = POLAR, inden du definerer ligninger eller indstiller Window-variabler. Med Y=-editoren og Window-editoren kan du kun indtaste information for den aktuelle grafindstilling. Du bør også indstille vinkelenheden (Angle) til den enhed (RADIAN eller DEGREE), som du vil anvende til q. Definition af polære ligninger i Y=-editoren Du kan definere polære ligninger for r1(q) til r99(q). Tips: Du kan anvende kommandoen Define fra hovedskærmen (se bilag A) til at definere funktioner og ligninger for en hvilken som helst graftilstand, uanset den aktuelle tilstand. Y=-editoren opretholder en uafhængig funktionsliste for hver grafindstilling. Antag f.eks. følgende: I graftilstanden FUNCTION definerer du et sæt y(x)-funktioner. Du skifter til graftilstanden POLAR og definerer et sæt r(q)-ligninger. Når du returnerer til graftilstanden FUNCTION, er y(x)- funktionerne stadig defineret i Y=-editoren. Når du vender tilbage til graftilstanden POLAR, er r(q)-ligningerne stadig definerede. Valg af displayformat Formaterne Above og Below kan ikke bruges ved polære ligninger og er derfor nedtonede på menuen 2ˆ Style i Y=-editoren. 124 Kapitel 8: Polære grafer

Window-variabler Window-editoren opretholder et uafhængigt sæt Window-variabler til hver grafindstilling (ligesom Y=-editoren opretholder uafhængige funktionslister). Til polære kurver anvendes følgende Windowvariabler. Bemærk: Du kan anvende et negativt qstep. Hvis du gør det, skal qmin være større end qmax. Variabel qmin, qmax qstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Beskrivelse Den mindste og største q-værdi, der skal beregnes. Forøgelsen af q-værdien. Polære ligninger beregnes ved: r(qmin) r(qmin+qstep) r(qmin+2(qstep))... må ikke overskride... r(qmax) Grænser for tegnevinduet. Afstand mellem skalastreger på x- og y-aksen. Standardværdier (indstilles, når du vælger 6:ZoomStd på menuen Zoom) er: qmin = 0. xmin = ë 10. ymin = ë 10. qmax = 2p (6.2831853... radianer eller 360 grader) xmax = 10. ymax = 10. qstep = p/24 (.1308996... radianer eller 7.5 grader) xscl = 1. yscl = 1. Du kan være nødt til at ændre standardværdierne for q-variablerne (qmin, qmax, qstep) for at sikre, at der tegnes tilstrækkeligt mange punkter. Indstilling af grafformat Du kan få vist koordinaterne som r- og q-værdier ved at anvende Í eller ƒ 9 til at angive Coordinates = POLAR. Hvis Coordinates = RECT, tegnes de polære ligninger korrekt, men koordinaterne bliver vist som x og y. Når du sporer en polær ligning, vises q-koordinateten, selv om Coordinates = RECT. Kapitel 8: Polære grafer 125

Analysér en graf Tips: Under en sporing kan du også beregne r(q) ved at skrive q-værdien og trykke på. Tips: Du kan anvende QuickCenter når som helst under en sporing, selv om markøren stadig befinder sig i tegnevinduet. Ligesom ved funktionstegning kan du analysere en graf med følgende værktøj. Koordinater vises i polær form eller rektangulær form, alt efter indstillingerne i grafformatet. Værktøj Bevægelig markør Ved polærgrafer: Fungerer som ved funktionstegning. Zoom Fungerer som ved funktionstegning. Trace Kun x (xmin, xmax, xscl) og y (ymin, ymax, yscl) Window-variabler påvirkes. q-window-variablerne (qmin, qmax, qstep) påvirkes ikke, med mindre du vælger 6:ZoomStd (hvilket indstiller qmin = 0, qmax = 2p og qstep = p/24). Du kan flytte markøren langs grafen et trin, qstep, ad gangen. Når du begynder en sporing, befinder markøren sig på den første markerede ligning ved qmin. QuickCenter gælder for alle retninger. Hvis du flytter markøren udenfor vinduet (top eller bund, venstre eller højre), trykker du på for at centrere tegnevinduet ved markørens position. Automatisk panorering kan ikke bruges. Hvis du flytter markøren ud af venstre eller højre side af vinduet, panoreres tegnevinduet ikke automatisk. Du kan derimod anvende QuickCenter. Math Kun 1:Value, 6:Derivatives, 9:Distance, A:Tangent og B:Arc kan bruges ved polære grafer. Disse værktøjer baseres på q-værdier. Eksempel: 1:Value viser en r-værdi (eller x og y, afhængigt af grafformatet) for en bestemt q-værdi. 6:Derivatives finder dy/dx eller dr/dq i et punkt, der svarer til en bestemt q-værdi. 126 Kapitel 8: Polære grafer