Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus 1-2006 Uge 40.2-1
Fri Vækst [S] 7.1 Modelling with differential equations Fri vækstmodel t tid og P(t) kvantitet 1 dp dt = kp Calculus 1-2006 Uge 40.2-2
Fri Vækst [S] 7.1 Modelling with differential equations Fri vækstmodel t tid og P(t) kvantitet 1 Løsninger dp dt = kp P(t) = Ce kt Calculus 1-2006 Uge 40.2-2
Fri Vækst [S] 7.1 Modelling with differential equations Fri vækstmodel t tid og P(t) kvantitet 1 dp dt = kp Løsninger P(t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Calculus 1-2006 Uge 40.2-2
Dæmpet vækst [S] 7.1 Modelling with differential equations Dæmpet vækstmodel t tid og P(t) kvantitet P kp for P << K P < 0 for K < P 2 dp dt = kp(1 P K ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-3
Dæmpet vækst [S] 7.1 Modelling with differential equations Dæmpet vækstmodel t tid og P(t) kvantitet P kp for P << K P < 0 for K < P 2 dp dt = kp(1 P K ) Løsninger P(t) = K 1 + Ce kt Calculus 1-2006 Uge 40.2-3
Bevægelse [S] 7.1 Modelling with differential equations Bevægelsesligning t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 d 2 x dt 2 = k m x Calculus 1-2006 Uge 40.2-4
Bevægelse [S] 7.1 Modelling with differential equations Bevægelsesligning t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 d 2 x dt 2 = k m x Løsninger k k x(t) = C 1 cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus 1-2006 Uge 40.2-4
Fjeder [S] 7.1 Modelling with differential equations Fjeder t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 d 2 x dt 2 = k m x Calculus 1-2006 Uge 40.2-5
Fjeder [S] 7.1 Modelling with differential equations Fjeder t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 d 2 x dt 2 = k m x Løsninger k k x(t) = C 1 cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus 1-2006 Uge 40.2-5
Pendul [S] 7.1 Modelling with differential equations Pendul tilnærmet t tid og x(t) udsving x hastighed x = k m x acceleration 3 d 2 x dt 2 = k m x Calculus 1-2006 Uge 40.2-6
Pendul [S] 7.1 Modelling with differential equations Pendul tilnærmet t tid og x(t) udsving x hastighed x = k m x acceleration 3 d 2 x dt 2 = k m x Løsninger k k x(t) = C 1 cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus 1-2006 Uge 40.2-6
Differentialligning [S] 7.1 Modelling with differential equations Generel ligning 4 y = xy eller 4 dy dx = xy Calculus 1-2006 Uge 40.2-7
Differentialligning [S] 7.1 Modelling with differential equations Generel ligning 4 y = xy eller 4 Løsning dy dx = xy y = f(x) f (x) = xf(x) Calculus 1-2006 Uge 40.2-7
Differentier funktion Eksempel 1 er løsning til [S] 7.1 Modelling with differential equations y = 1 + cet 1 ce t 4 y = 1 2 (y2 1) Calculus 1-2006 Uge 40.2-8
Differentier funktion Eksempel 1 er løsning til [S] 7.1 Modelling with differential equations y = 1 + cet 1 ce t 4 y = 1 2 (y2 1) Gør prøve y = cet (1 ce t ) + (1 + ce t )ce t (1 ce t ) 2 = 2ce t (1 ce t ) 2 1 2 (y2 1) = 1 2 (1 + ce t ) 2 (1 ce t ) 2 (1 ce t ) 2 = 2ce t (1 ce t ) 2 Calculus 1-2006 Uge 40.2-8
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen y = x + y prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne y(x) med små tangentstykker. Calculus 1-2006 Uge 40.2-9
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen y = x + y prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne y(x) med små tangentstykker. I et givet punkt (x 1,y 1 ) vil en tangent have ligning I dette tilfælde Skitsen kaldes et retningsfelt. y = y 1 + y (x 1 )(x x 1 ) y = y 1 + (x 1 + y 1 )(x x 1 ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-9
Grafisk løsning Retningsfelt [S] 7.2 Direction fields and Euler s method y 1 0 1 x I punktet (x,y) tegnes et kort linjestykke med hældning y (x) = x + y. En graf skitseres. Calculus 1-2006 Uge 40.2-10
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields... Eksempel - Retningsfelt dy dx = x3 y + e xy y 1 0 1 x Calculus 1-2006 Uge 40.2-11
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen y = x 2 + y 2 1 prøver vi at tilnærme grafen for løsningerne y(x) med små tangentstykker. Calculus 1-2006 Uge 40.2-12
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Retningsfelt For ligningen y = x 2 + y 2 1 prøver vi at tilnærme grafen for løsningerne y(x) med små tangentstykker. I et givet punkt (x 1,y 1 ) vil en tangent have ligning y = y 1 + (x 2 1 + y 2 1 1)(x x 1 ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-12
Grafisk løsning Retningsfelt [S] 7.2 Direction fields and Euler s method y 1 0 1 x Calculus 1-2006 Uge 40.2-13
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode For begyndelsesværdiproblemet y = x + y, y(0) = 1 prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. Calculus 1-2006 Uge 40.2-14
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode For begyndelsesværdiproblemet y = x + y, y(0) = 1 prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (x n,y n ) vil differentialet være dy = (x n + y n )dx og y y n + (x n + y n )(x x n ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-14
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode y y n + (x n + y n )(x x n ) giver rekursionen y n+1 = y n + (x n + y n )(x n+1 x n ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-15
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode y y n + (x n + y n )(x x n ) giver rekursionen y n+1 = y n + (x n + y n )(x n+1 x n ) For en inddeling på x-aksen x 0,x 1,...,x n,x n+1,... tabellægges tilnærmelser til funktionsværdierne y n y(x n ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-15
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode Tabellæg løsning til y = x + y, y(0) = 1 x 0 = 0, y 0 = 1 n x n y n 1 0.1000 1.1000 2 0.2000 1.2200 3 0.3000 1.3620 4 0.4000 1.5282 5 0.5000 1.7210 n x n y n 6 0.6000 1.9431 7 0.7000 2.1974 8 0.8000 2.4872 9 0.9000 2.8159 10 1.0000 3.1875 Calculus 1-2006 Uge 40.2-16
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode For begyndelsesværdiproblemet y = x 2 + y 2 1, y(0) = 1 prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. Calculus 1-2006 Uge 40.2-17
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode For begyndelsesværdiproblemet y = x 2 + y 2 1, y(0) = 1 prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (x n,y n ) vil differentialet være dy = (x 2 n + y2 n 1)dx og y y n + (x 2 n + y 2 n 1)(x x n ) Calculus 1-2006 Uge 40.2-17
Eulers metode [S] 7.2 Direction fields and Euler s method Eulers metode Tabellæg løsning til y = x 2 + y 2 1, y(0) = 1 n x n y n 1 0.1000 1.0000 2 0.2000 1.0010 3 0.3000 1.0052 4 0.4000 1.0152 5 0.5000 1.0343 n x n y n 6 0.6000 1.0663 7 0.7000 1.1160 8 0.8000 1.1895 9 0.9000 1.2950 10 1.0000 1.4438 Calculus 1-2006 Uge 40.2-18
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 dy dx = g(x)f(y) kaldes separabel. Calculus 1-2006 Uge 40.2-19
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 dy dx = g(x)f(y) kaldes separabel. Løsning Integration 2 dy f(y) = g(x)dx Fastlægger løsninger optil en konstant. Calculus 1-2006 Uge 40.2-19
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 2 er separabel. dy dx = 6x 2 2y + cos(y) Calculus 1-2006 Uge 40.2-20
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 2 er separabel. Løsning dy dx = 6x 2 2y + cos(y) (2y + cos(y))dy = 6x 2 dx Calculus 1-2006 Uge 40.2-20
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 2 er separabel. Løsning dy dx = 6x 2 2y + cos(y) (2y + cos(y))dy = 6x 2 dx Giver løsning bestemt ved ligningen 3 y 2 + sin(y) = 2x 3 + C Calculus 1-2006 Uge 40.2-20
Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 1. ordens differentialligningen 1 dp dt = kp(1 P K ) kaldes den logistiske ligning. Calculus 1-2006 Uge 40.2-21
Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 1. ordens differentialligningen 1 dp dt = kp(1 P K ) kaldes den logistiske ligning. Løsning Ligningen er separabel 2 dp P(1 P/K) = kdt Calculus 1-2006 Uge 40.2-21
Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel - fortsat 2 dp P(1 P/K) = kdt integreres til løsninger 4 P(t) = K 1 + Ae kt hvor A = K P(0) P(0) Calculus 1-2006 Uge 40.2-22
Vækst [S] 7.4 Exponential growth and decay Definition 1 dy dt = ky Vækstligningen er separabel med løsninger dy y = kdt ln y = kt + C y = Ae kt Calculus 1-2006 Uge 40.2-23
Vækst [S] 7.4 Exponential growth and decay Definition 1 dy dt = ky Vækstligningen er separabel med løsninger dy y = kdt ln y = kt + C y = Ae kt A fastlægges ved y(0) = Ae 0 = A Calculus 1-2006 Uge 40.2-23
1. ordens ligning [S] 7.4 Exponential growth and decay 2 Sætning Løsningen til begyndelsesværdiproblemet dy dt = ky y(0) = y 0 er givet ved y(t) = y 0 e kt Calculus 1-2006 Uge 40.2-24