Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
|
|
- Victoria Mathiasen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens homogene lineære ODE er var ODE er, der kunne bringes på standardformen y (x) + p(x)y(x) = 0, og følgende definition burde derfor ikke komme som en overraskelse: Definition 1.1 (Andenordens homogene lineære ODE er). En ODE som er eller vha. algebra kan bringes på formen y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = 0, kaldes en andenordens homogen lineær ODE. En anden ting fra sidste gang, der er værd at bide mærke i, er, at den generelle løsningsformel for en førsteordens homogen linær ODE var y = ce p(x) dx hvor c kan være et vilkårligt reelt tal. Vi minder om, at begrebet linearitet beskæftiger sig med forholdet mellem nogle størrelser (f.eks. v og u), som vi kalder vektorer, deres sum (f.eks. u + v), og deres skalering (f.eks. au) med en (typisk reel) skalar (her betegnet a). Lad nu c 1, c og a være reelle tal og definér y 1 = c 1 e p(x) dx og y = c e p(x) dx. Det er nu oplagt, at y 1 + y = (c 1 + c )e p(x) dx samt ay 1 = (ac 1 )e p(x) dx også er løsninger, idet c 1 + c og ac 1 også er reelle tal. I matematiske termer siges løsningsrummet for førsteordens homogene 1
2 lineære ODE er at være lukket under linearkombinationer, altså summer og skaleringer af løsninger er også løsninger. I førsteordenstilfældet er det ikke noget, man gør så meget ud af, idet det koger ned til, at summer og produkter af reelle tal også er reelle tal, men det er alligevel instruktivt at bemærke, at dette faktum dog også let kan ses af ODE en: (ay) +p(ay) = ay +apy = a(y +py) = a 0 = 0 = 0+0 = (y 1+py 1 )+(y +py ) = (y 1 +y ) +p(y 1 +y ), som altså ikke blot er otte måder at skrive nul på, men også et bevis på, at løsningsrummet for førsteordens homogene lineære ODE er er lukket under linearkombinationer, som ikke hænger på den generelle løsningsformel, men følger direkte af definitionen. Hvorfor al den snak? Sagen er naturligvis, at det samme gælder for andenordens homogene lineære ODE er, med verbatim det samme bevis: og (ay) + p(ay) + q(ay) = ay + apy + aqy = a(y + py + qy) = a 0 = 0 (y 1 +y ) +p(y 1 +y ) +q(y 1 +y ) = y 1+y +py 1+py +qy 1 +qy = (y 1+py 1+qy)+(y +py +qy ) = 0+0, hvor evalueringen af sidste sum er overladt til læseren pga. den begrænsede sidebredde. Vi opsummerer: Sætning 1. (Theorem 1 på side 48 i bogen). Hvis to løsninger til en andenordens homogen lineær ODE er defineret på samme interval, så vil også skaleringer af disse samt deres sum være løsninger på dette fælles interval. I førsteordenstilfældet kunne denne sætning reduceres til et udsagn om reelle tal, men dette linearitetsprincip (løsningsrummet for første-/andenordens homogene lineære ODE er er lukket under linearkombinationer) spiller en mere prominent rolle i andenordenstilfældet. Dette skyldes følgende tommelfingerregel: løsningsrummet for n te-ordens ODE er er typisk n-dimensionelt, et udsagn som løbende vil blive uddybet og præciseret i løbet af kurset. Vi tager først et eksempel: Eksempel 1.3 (Bogens Example 1 på side 47). Vi betragter den homogene, lineære andenordens- ODE y + y = 0. Det er oplagt, at både cos og sin løser denne ODE (differentiér selv to gange og sæt ind). Jævnfør Sætning 1. er således også alle funktioner f på formen f(x) = a cos(x) + b sin(x) løsninger, for alle valg af reelle konstanter a og b. Vi skal senere se, at alle løsninger nødvendigvis er på denne form. Da cos og sin ikke kan skrives som skaleringer af hinanden, siger man, at cos og sin er lineært uafhængige, og da alle løsninger kan skrives som en linearkombination af disse to lineært uafhængige funktioner, siger man, at de udgør en basis for løsningsrummet, som dermed er af dimension. Vi vil nu mere formelt definere begreberne linearkombination, uafhængighed, dimension og basis.
3 Definition 1.4 (Linearkombination, uafhængighed, dimension og basis). Lad M være en mængde vektorer (dvs. matematiske størrelser, som kan adderes og skaleres). En linearkombination er da en endelig sum af skalerede elementer fra M, dvs. noget, der kan skrives på formen: n a i v i = a 1 v 1 + a v + + a n 1 v n 1 + a n v n i=1 hvor n er et naturligt tal, {a i } n i=1 er skalarer ((typisk reelle) tal) og v i M for i = 1,..., n. Vektorerne i M kaldes uafhængige, hvis a v v = 0 v M medfører, at a v = 0 for alle v M. Med andre ord: den eneste linearkombination af vektorer i M, som giver nul, er den trivielle linearkombination, hvor alle skalarer er 0. Dimensionen af et vektorrum 1 er lig det højeste antal lineært uafhængige vektorer, der kan findes i vektorrummet. En mængde vektorer B V siges at være en basis for vektorrummet V, såfremt vektorerne i B er uafhængige og antallet af vektorer i B er lig med dimensionen af V. Det er værd at understrege, at alle vektorer i et vektorrum V med basis B kan skrives (entydigt) som en linearkombination af basiselementerne i B, men vi springer beviset over. I relation til Eksempel 1.3 betyder dette, at for at bevise at alle løsninger kan skrives på den angivne form, a cos +b sin, er det nok at vide at sin og cos er uafhængige løsninger, samt at dimensionen af løsningsrummet er. Sidstnævnte oplysning følger af en eksistens- og entydighedssætning, som vi vil behandle næste gang, samt en betragtning omkring IVP er, som vi straks vil fokusere på: 1. IVP er for andenordens homogene lineære ODE er Det viser sig, at den rette definition af et IVP i andenordenstilfældet er bygget på følgende Definition 1.5 (IC for andenordens-ode er). En IC for andenordens-ode er består af to krav på formen y(x 0 ) = K 0 og y (x 0 ) = K 1. Eksempel 1.6 (Bogens Example 4 på side 49). Vi har set, at linearkombinationer af cos og sin løser y + y = 0. Et IVP for denne ODE er givet ved IC en y(0) = 3 og y (0) = 1 Da ( cos(0) ) ( cos (0) = 10 ) ( og sin(0) ) ( sin (0) = 01 ) er lineært uafhængige, kan vi (entydigt) finde a og b så ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos(0) sin(0) a cos + b (0) sin = a + b =, (0) 0 1 og det kræver ikke fuld ædruelighed at se, at løsningen er a = 3 og b = 1. Vores IVP har derfor løsningen y(x) = 3 cos(x) 1 sin(x). 1 Vi minder om, at et vektorrum V er en mængde, hvor av V og v + u V, hvis a er en skalar og u, v V. 1 3
4 1.3 Reduktion af orden Vi vil nu gennemgå en metode til givet én kendt løsning at finde en anden løsning til en andenordens homogen lineær ODE, som er kendt under navnet reduktion af orden. Vi starter med at anvende metoden i et konkret tilfælde og destillerer derefter den generelle metode. Eksempel 1.7 (Bogens Example 7 på side 51). Vi skal finde to lineært uafhængige løsninger til ODE en (x x)y (x) xy (x) + y(x) = 0. (1) Når koefficientfunktionerne er polynomier, er det ofte en god idé at prøve at se, om vi kan finde en løsning, som er et polynomium, og vi konstaterer, at y 1 (x) = x rent faktisk er en løsning. Vi mangler derfor blot at finde én anden, uafhængig løsning, sagt med andre ord, en løsning y hvorom det gælder, at ay 1 + by 0 medfører, at a = b = 0. Hvis vi derfor antager, at den anden løsning y kan skrives på formen y (x) = y 1 (x)u(x), så kan u ikke være en konstant funktion. Vi vil nu prøve at bestemme et sådant u. Sæt y(x) = u(x)y 1 (x) = u(x)x og udregn: Sætter vi dette y ind i ODE en, får vi: y (x) = u (x)x + u(x) og y (x) = u (x)x + u (x). 0 = (x x)(u (x)x + u (x)) x(u (x)x + u(x)) + u(x)x = (x x)(u (x)x + u (x)) u (x)x. Vi forkorter nu med x: (x 1)(u (x)x + u (x)) u (x)x = (x x)u (x) + ( x)u (x) = 0, som ved at sætte v = u bliver til: (x x)v (x) + ( x)v(x) = 0, () som altså er en førsteordens-ode, deraf navnet reduktion af orden. Separation af de variable giver nu 1 v(x) v (x) = x x x = x (x 1) x x x x = 1 x 1 x, som ved integration giver ln v(x) = ln x 1 ln x = ln x 1 + k, x hvor vi kan vælge k = 0, da vi blot skal bruge én løsning. Dette medfører v(x) = x 1, så vi har de to (lineært afhængige) løsninger til () v(x) = ± x 1 x = ± 1 x 1 x. I bogen står der basis, men da vi ikke har grundlag for at sige, at det er en basis, før vi har diskuteret eksistens og entydighed i næste lektion, så holder vi os til dét, vi ved, nemlig at vi skal finde to lineært uafhængige løsninger. 4 x
5 Vi skal dog blot finde én løsning til (1), og det gør vi ved at vælge den ene af de to mulige løsninger til () ovenfor (f.eks. v 1 (x) = 1 1 ) og bruge v x x 1 = u og y (x) = u(x)x: u = v 1 (x) dx + c giver u(x) = ln x + 1 x for passende valg af c, så er den ønskede anden løsning. y (x) = x ln x + 1 Dette var reduktion af orden i et konkret tilfælde. Vi vil nu gennemgå den generelle metode. Tag derfor en andenordens homogen lineær ODE på standardform Antag, at y 1 er en løsning og sæt y = uy 1, så y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = 0. y = u y 1 + uy 1 og y = u y 1 + u y 1 + u y 1 + uy 1 = u y 1 + u y 1 + uy 1, som vi nu kan indsætte i ODE en u y 1 + u y 1 + uy 1 + p(u y 1 + uy 1) + quy 1 = u y 1 + u (y 1 + py 1 ) + u(y 1 + py 1 + qy 1 ) = 0, hvor vi ser, at da y 1 er en løsning, er sidste parentes 0. Dette betyder, at u kun indgår som førsteog andenafledede: u y 1 + u (y 1 + py 1 ) = 0. Vi dividerer nu med y 1 og sætter v = u : ( y v + 1 y 1 ) + p v = 0, som er den ordensreducerede form. Igen separerer vi: 1 ( y ) v v = 1 + p som vi integrerer og tager eksponent af, ln v = ln y 1 y 1 p(x) dx, v = 1 y 1 e p(x) dx. Vi vælger den positive løsning v 1 = 1 y 1 e p(x) dx, integrerer igen og ganger med y 1 : u = v 1 (x) dx, y = y 1 u = y 1 v 1 (x) dx. Vi bemærker, at da v 1 er positiv, så er v(x) dx voksende, og altså ikke konstant, så y 1 og y er lineært uafhængige. Pr. konstruktion er y en løsning. Homogene lineære ODE er med konstante koefficienter [Bogens afsnit., side 53] 5
6 .1 Problemet i en nøddeskal Indtil videre kan vi håndtere generelle homogene lineære ODE er, såfremt vi kan finde blot én løsning. Hvis vi snævrer os ind til homogene lineære ODE er med konstante koefficienter, altså p a og q b eller y + py + qy = y + ay + by = 0 hvor a og b er reelle konstanter, så viser det sig, at vi kan klare alt. Som bekendt (eller, hvis det ikke er jer bekendt, så som følge af løsningsformlen fra sidste lektion) er x ce kx en løsning til følgende førsteordens homogene lineære ODE: y + ky = 0. Det kunne derfor være interessant at se, hvordan y 0 (x) = e λx klarer sig i det aktuelle setup. Vi forsøger at sætte ind: y 0 + ay 0 + by 0 = λ y 0 + aλy 0 + by 0 = (λ + aλ + b)y 0 = 0 (3) hvilket oplagt kræver, at λ + aλ + b = 0 (idet y 0 0). Vi skal med andre ord til at bruge, hvad vi ved om andengradspolynomier. Vi deler op i de tre tilfælde:. Positiv diskriminant: a 4b > 0 og dermed to rødder Hvis a 4b > 0 (bemærk, at polynomierne ikke er på formen aλ + bλ + c = 0 men i stedet 1 λ + aλ + b = 0) har vi to reelle rødder λ ± = a± a 4b, og x e λ ±x udgør derfor to lineært uafhængige løsninger, idet c 1 e λ +x + c e λ x = 0 betyder at c 1 e (λ + λ )x = c hvilket tydeligvis kun kan lade sig gøre for c 1 = c = 0 (vi behøver ikke tjekke efter, at de er løsninger, det følger jo af (3))..3 Diskriminanten er 0: a 4b = 0 og dermed én dobbeltrod Hvis a 4b = 0, så er λ 0 = a en dobbeltrod, og vi har kun én løsning. Frygt ej! Vi har jo en metode ved navn reduktion af orden til at finde en anden lineært uafhængig løsning. Anvender vi den metode på vores kendte løsning x e ax, så får vi den anden løsning til at være x xe ax. Tror man det ikke, har man følgende tre muligheder: 1. Sæt ind i ODE en og se, at det er en løsning!. Benyt selv reduktion af orden-metoden med x e ax som input og få lidt træning i metoden gratis med i købet! 3. Tjek de slibrige detaljer i bogen. Denne mulighed er den kedelige. 6
7 .4 Negativ diskriminant: a 4b < 0 og ingen reelle rødder Jeg har tidligere, i lektion, nævnt Eulers formler. Kort fortalt giver de sin og cos som linearkombinationer af komplekse eksponentialfunktioner. Idet a 4b < 0, så er λ ±i = a ± a 4b = a ± iω de to komplekse rødder, hvor ω = b 1 4 a. Set i lyset af Eulers formler, skulle det derfor ikke komme bag på jer, at y 1 (x) = e ax cos(ωx) og y (x) = e ax sin(ωx) er to lineært uafhængige løsninger. I har ikke haft tilstrækkeligt med kompleks funktionsteori til at få et ordentligt argument, men igen har I et par muligheder: 1. Tjek efter, at de to påståede løsninger rent faktisk er løsninger!. Lad som om I har styr på kompleks funktionsteori og anvend Eulers formler i blind vildskab. Har I brikkerne på plads og/eller heldet med jer, vil I nå frem til ovenstående resultat som værende blandt de mulige reelle uafhængige løsninger..5 Opsummering Vi har påstået, at vi nu i tilfældet andenordens homogene lineære ODE er med konstante koefficienter kan klare alt. For nu må I nøjes med at tro på, at det er tilstrækkeligt at kende to uafhængige løsninger og herudover benytte Sætning 1. til at danne vilkårlige linearkombinationer. Næste gang vil I se, at det er tilstrækkeligt. Vi vil vende tilbage til de tre netop behandlede scenarier om lidt, hvor vi tolker dem som forskellige typer løsninger til et dæmpet masse-fjedersystem. 3 Differentialoperatorer [Bogens afsnit.3, side 60] 3.1 Differentialligninger i et abstrakt setup Nogle af jer vil i lektion have set, hvad en lineær operator er: En lineær operator er en afbildning mellem vektorrum, som respekterer linearkombinationer. Disse vektorrum er normalt som i vores tilfælde funktionsrum. Idet (ay 1 + by ) = ay 1 + by, hvis a og b er konstanter, kan vi altså betragte differentiering D givet ved Dy = y som en lineær operator. Idet start- og slutvektorrummet er det samme funktionsrum (hvis vi ikke bliver alt for pernitne), så kan man anvende D to (eller flere) gange på samme vektor: DDy = Dy = y. 7
8 Det giver derfor mening at skrive P (D), hvor P er et polynomium, og D 0 = I er identitetsoperatoren Iy = y. Tolkes foregående afsnit i disse termer, kan man altså betragte en andenordens homogen lineær ODE som P (D)y = 0 for P (λ) = λ +aλ+b og opsplitningen i rødder og løsninger kan ses som en faktorisering af polynomiet. 4 Oscillationer i et masse-fjeder-system [Bogens afsnit.4 på side 6] 4.1 Det udæmpede system En fjeder, som er spændt fast i loftet og har en kugle hængede for enden, kan modelleres med formlen my + ky = 0, hvor m > 0 er massen af kuglen og k > 0 er fjederkonstanten fra Hooke s lov. Den generelle løsning er selvfølgelig på formen y(t) = A cos ( k m t) + B sin ( k m t) = C cos ( k m t δ), C = A + B, tan(δ) = B A, jævnfør løsningsformlen for andenordens homogene lineære ODE er og en anvendelse af additionsformlerne for trigonometriske funktioner, altså et oscillerende system. 4. Det samme men med dæmpning Vi modellerer nu en dæmpning ved cy, c > 0 og får ODE en Vi ser, at vi skal løse andengradspolynomiet my + cy + ky = 0. λ + c m λ + k m = 0 og får rødderne λ 1 = c + c 4mk og λ m m 1 = c c 4mk, som begge nødvendigvis er ikkepositive, idet c 4mk < c. Diskriminantens fortegn afgør nu m m resultatet: c > 4mk: Den generelle løsning har formen y(t) = c 1 e λ 1t + c e λ t, og er altså en sum af to eksponentielt aftagende funktioner. Ingen oscillation! c = 4mk: Den generelle løsning har formen y(t) = (c 1 + c t)e λ 1t, og er altså en sum af en eksponentielt aftagende funktion og en skalering af samme funktion ganget t. Den kan være heldig at krydse nulpunktet en enkelt gang, men ingen oscillation! c < 4mk: Den generelle løsning har formen y(t) = Ce ct m cos ( 4mk c t δ) og er altså en m eksponentielt aftagende, men oscillerende løsning! For uddybning refereres til bogen. 8
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereDOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereFordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
Læs mereDesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mere