Differentialligninger nogle beviser og modeller

Transkript

1 Erik Vestergaard Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger: yk y, ya y og yy( a y). Sætning (Eksponentiel vækst) Givet en differentialligning på formen yk y, hvor k er en konstant. Den fuldstændige løsning til differentialligningen kan skrives på formen: hvor c er en aritrær (vilkårlig) konstant. kx f( x) c e kx Bevis: Vi vil først vise, at en funktion på formen f( x) c e virkelig er en løsning til differentialligningen. Det gøres ved simpel indsættelse. Før vi kan gøre det, får vi rug for at udregne differentialkvotienten af funktionen f. () ( ) y f x ce c e ck e kx kx kx hvor vi i tredje lighedstegn har udnyttet reglen om, at når man differentierer en konstant gange en funktion, så kan konstanten sættes udenfor. I fjerde lighedstegn er reglen om differentiation af en sammensat funktion udnyttet. Den indre funktion er i den forindelse lig med k x. Vi kan nu indsætte udtrykkene for y f( x) og y f( x) i hver side af differentialligningen yk y: () Venstresiden: Højresiden: y cke ky kce kx kx kx Vi ser tydeligt, at venstresiden og højresiden er ens, så f( x) c e er virkelig en løsning til differentialligningen. Vi mangler at vise, at alle løsninger er på denne form for en eller anden konstant c. Så antag at f er en løsning til differentialligningen. Herefter foretager vi et smart trick ved at indføre en hjælpefunktion h ved følgende: (3) h( x) f( x) e Lad os prøve at differentiere funktionen. Hertil ruges produktreglen for differentiation: (4) h( x) f( x) e kx kx f( x) e f( x) e kx f( x) e f( x) ( k) e kf( x) e f( x) ke 0 kx kx I 4. lighedstegn har vi udnyttet, at funktionen f tilfredsstiller differentialligningen, dvs. at f( x) k f( x). Differentialkvotienten af hjælpefunktionen er altså 0 i alle x-værdier! kx kx kx

2 Erik Vestergaard Der er kun én funktion (defineret på et interval), som overalt har differentialkvotienten 0, og det er den konstante funktion. Lad os kalde konstanten c. Dermed har vi: kx kx (5) h( x) c f( x) e c f( x) c f( x) c e kx e Dermed er det ønskede vist. Sætning (Forskudt eksponentiel vækst) Givet en differentialligning på formen ya y, hvor a 0 og er konstanter. Den fuldstændige løsning til differentialligningen kan skrives på formen: f( x) c e a hvor c R er en aritrær (vilkårlig) konstant. ax Bevis: Først vil vi vise den påstand, at differentialligningen ya y kan omskrives til følgende differentialligning: (6) y ay a a Det indses ved at regne på venstre side og højre side af lighedstegnet i (6): Venstre side: y y y0 y a a Højre side: ay a ay Venstre side: Vi har enyttet en regneregel for differentiation samt at konstanten a differentierer til 0. Højre side: Vi har lot ganget ind i parentes. Alt i alt ser vi, at (6) ved disse omskrivninger reducerer til yay, som netop er den oprindelige differentialligning i sætning. Det gode ved omskrivningen (6) er, at "indmaden" i parentesen tilfredsstiller en differentialligning af typen fra sætning. Sætter vi nemlig zy a, kan vi se, at (6) liver til za z, netop en differentialligning af typen fra sætning. Vi ved allerede, at den ax fuldstændige løsning til denne er zce, hvor c er en aritrær konstant. Hvis vi sætter ind hvad z er, får vi: (7) zce y ce y c e a a Hvorved det ønskede er vist. ax ax ax Bemærk, at differentialligningen i sætning har en løsning, som er en konstant funktion. For c 0 fås nemlig den konstante funktion f( x). a

3 Erik Vestergaard 3 Sætning 3 (Logistisk vækst) Givet en differentialligning på formen yy( a y), hvor a og er reelle konstanter med a 0. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er følgende: hvor c R er en aritrær konstant. f( x) 0 og f( x) a c e x Bevis: For det første ser man hurtigt ved indsættelse på højre og venstre side i den logistiske differentialligning yy( a y), at funktionen f( x) 0 er en løsning. I søgen efter andre løsninger vil vi herefter antage, at f( x) 0 for alle x. Påstanden er nu, at den logistiske differentialligning kan omskrives til følgende differentialligning: (8) a y y Vi viser denne påstand ved først at regne på venstre og højre side af lighedstegnet i (8): Venstre side: y y y y y y Højre side: a a y y Venstre side: Vi emærker, at vi har at gøre med en sammensat funktion og skal derfor anvende reglen for differentiation af en sammensat funktion. Inden vi differentierer, omskriver vi lige y til y. Bemærk at y efter det andet lighedstegn svarer til den indre funktion differentieret! ed omskrivningerne af venstre og højre side i (8) får vi: (8) y y a yy a yy( ay) y y. ensetydende: Vi har ganget med y på egge sider af lighedstegnet. 3. ensetydende: Skriv y som y( y) og gang y ind i parentesen. Dermed har vi vist, at (8) er ensetydende med den oprindelige differentialligning. Sættes z y ser vi, at (8) liver til za z, som er en differentialligning af typen ehandlet i sætning. Her er rollen af a og lot omyttet. Vi konkluderer, at den fuldstændige løsning z g( x) er på formen g( x) a c e for en aritrær konstant c. x en vi skal jo tilage til en løsning y f( x) til differentialligningen (8): (9) a x a x g( x) c e ce f( x) a f( x) c e a a a a x x c e a c e hvor vi i. lighedstegn nederst forlænger røken med a. Hvis vi kalder c c a kan vi se, at vi har vist det ønskede. NB! Når c gennemløer alle reelle tal, vil den aritrære konstant c også gøre det. x

4 4 Erik Vestergaard Bemærkning 4 Strengt taget har vi ikke undersøgt for løsninger, som måtte være 0 for nogle x-værdier og forskellig fra nul for andre x-værdier. I teorien for ikke-lineære. ordens differentialligninger, som den logistiske differentialligning hører ind under, kan man imidlertid vise, at der under visse forudsætninger "lokalt set" eksisterer en løsningskurve igennem ethvert punkt i planen, samt at denne løsning er entydig. Da vi allerede har den løsning, som er identisk 0 på hele x-aksen, kan der altså ikke være flere løsningskurver, som rammer x- aksen på grund af entydigheden. Nævnte sætning er alt for svær til at live gennemgået i gymnasiet. Bemærkning 5 Udover løsningen f( x) 0 til den logistiske differentialligning, er der også en anden løsning, som er konstant, nemlig f( x), som fremkommer ved at sætte c 0. a odeller Ikke overraskende er de ovennævnte tre modeller interessante fordi de repræsenterer generelle egenskaer, som kan genfindes i mange praktiske situationer. Differentialligningerne udtrykker noget om øjelikshastigheden til ethvert tidspunkt. I de fleste anvendelser er den variale tiden t fremfor x. Eksempel 6 Differentialligningen yk y kan fortolkes som at øjelikshastigheden y til ethvert tidspunkt t er proportional med størrelsen af y. Denne model kommer i sin ideelle form til anvendelse i væksten af en population. Det er naturligt at antage, at hastigheden, hvormed for eksempel en akteriekultur vokser, er proportional med populationens størrelse selv. Hvis der er doelt så mange akterier, så får de også doelt så mange "ørn" lidt løst sagt. Vi enytter også etegnelsen konstant relativ vækst fremfor konstant asolut vækst, hvor udviklingen ville have været lineær. Ifølge sætning er en konstant relativ vækst det samme som en eksponentiel vækst. Lad os se på et eksempel. Antag at antallet af akterier nt () til tiden t (enhed: timer) adlyder differentialligningen n() t 0,3 nt (). Det oplyses, at der fra egyndelsen er 5000 akterier. a) Bestem et udtryk for antallet af akterier til tidspunktet t. ) Bestem den øjelikshastighed, hvormed populationens størrelse ændrer sig, til tidspunktet 3 timer. c) Hvor stor er væksthastigheden til det tidspunkt, hvor der er 0000 akterier?

5 Erik Vestergaard 5 Løsning: a) Ifølge sætning ses det, at løsningen til differentialligningen n() t 0,3 nt () er på 0,3t formen nt () c e, hvor c er en aritrære konstant. Vi enytter egyndelsesetingelsen til at fastlægge den aritrære konstant c: (0) Altså er 0,30 n(0) 5000 ce 5000 c ,3 nt () 5000 e t et udtryk for populationens størrelse til tiden t. ) Øjelikshastigheden, hvormed populationen vokser, fås ved at differentiere: 0,3t 0,3t 0,3t n () t 5000e 50000,3e 500 e () Til tidspunktet 3 timer fås: () 0,33 e n(3) ,4 Til tidspunktet t 3 timer er øjelikshastigheden, hvormed populationen vokser, altså lig med 3689 akterier pr. time. Bemærk at det ikke etyder, at der efter en time er 3689 akterier flere, for øjehastigheden ændrer sig hele tiden! c) an kunne her naturligvis vælge først at estemme det tidspunkt, hvor populationen er oppe på 0000 akterier ved at løse ligningen nt () 0000 og derefter sætte løsningen for t ind i udtrykket for hastigheden (). Der er imidlertid en meget nemmere måde at gøre det på, nemlig ved at ruge differentialligningen direkte! (3) n0,3n 0, idet vi af pædagogiske årsager her har undertrykt den variale t. Vi konkluderer, at når populationen er nået op på 0000 akterier, så er øjelikshastigheden, hvormed akterierne formerer sig, lig med 6000 akterier/time. Forsøg: Newtons afkølingslov afprøves

6 6 Erik Vestergaard Eksempel 7 Et godt eksempel på anvendelse af differentialligningen for den forskudte eksponentielle vækst fra sætning er ved afkøling af kaffe. Ifølge Newtons afkølingslov vil temperaturen T() t af kaffen i en kop til tiden t adlyde følgende differentialligning: dt (4) k( T Tomg) dt hvor k er en konstant og T omg er omgivelsernes temperatur. Differentialligningen udtrykker, at hastigheden, hvormed kaffens temperatur ændrer sig, er proportional med forskellen mellem kaffens temperatur og omgivelsernes temperatur. Dette lyder umiddelart meget fornuftigt, idet man må forvente, at temperaturen aftager hurtigere, når kaffens temperatur er meget over omgivelsernes temperatur fremfor når kaffens temperatur er tæt på omgivelsernes temperatur. Ved at gange ind i parentesen i (4) ser man, at der virkelig er tale om en differentialligning af typen ya y. Her svarer til k Tomg og a til k og y naturligvis til T. Detaljerne gives ikke her, da de er led i en projektopgave. Sætning giver med oversættelserne følgende fuldstændige løsning til (4): kt (5) T() t ce T omg For at estemme den aritrære konstant indsættes egyndelsesetingelsen, at kaffens temperatur til tidspunktet t 0 er T 0. Det overlades igen til læseren at vise, at det giver ct0 Tomg. Når denne værdi for c indsættes i (5) fås det endelige udtryk for løsningen til differentialligningen med egyndelsesetingelser: kt (6) T() t ( T0 T ) e T omg Konstanten k afhænger landt andet af hvor godt koppen er isoleret. Lad os tegne grafen for løsningen i tilfældet, hvor kaffens starttemperatur er T0 85 C, hvor omgivelsernes temperatur er T 0 C og k 0,038 min. omg omg T ( C) t (min)

7 Erik Vestergaard 7 Som ventet ser vi, at kaffens temperatur aftager mest i egyndelsen, mens den stadig er meget varm. Når tiden går mod uendelig vil kaffens temperatur nærme sig asymptotisk til omgivelsernes temperatur. Det er markeret med en vandret stiplet linje ud for 0 C. atematisk siger vi, at T() t 0 for t, og y 0 siges at være en vandret asymptote til grafen. I aple kan grænseværdien estemmes med kommandoen lim, hvis forskriften for funktionen i forvejen er defineret: Den logistiske differentialligning Før vi går videre med at kigge på konkrete logistiske vækster, er det hensigtsmæssigt at emærke, at de logistiske vækster forekommer i forskellige varianter. Vi skal nævnte tre af dem. Der er vel at mærke tale om præcist de samme vækster. Der er lot forskel på de indgående konstanter. Den første variant har vi fra sætning 3. De næste to fås ved at indføre størrelsen og så ellers rokere lidt rundt. I taellen nedenfor er de tre varianter a angivet sammen med udtrykkene for de fuldstændige løsninger. Logistiske differentialligning Den fuldstændige løsning Bæreevne yy( a y) a f( x) 0 og f( x) x c e a yay( y) f( x) 0 og f( x) a x c e y yy f( x) 0 og f( x) x c e Størrelsen etegnes undertiden æreevnen (på engelsk: Carrying Capacity), mens enævnes den indre vækstrate. Den er et mål for, hvor hurtigt funktionsværdien nærmer sig æreevnen. Normalt antages a, og positive. Vi har tidligere gennemført et matematikprojekt, hvor vi har studeret den logistiske vækst i forindelse med differentialregning. Dengang lev funktionens forskrift indført uden nogen egrundelse for, hvorfor netop denne forskrift skulle være specielt interessant. Teorien om differentialligninger kan imidlertid kaste mere lys over den sag. i Den forindelse er det mest hensigtsmæssigt at etragte den tredje variant ovenfor. y (7) yy I forhold til differentialligningen for den eksponentielle vækst, y y, er der ganget en faktor ( y ) på højresiden. Faktoren afviger fra ved at have et dæmpende led, y. Det har den virkning, at jo større y liver, jo mindre liver faktoren, og jo mere vil

8 8 Erik Vestergaard hastigheden y dermed live dæmpet i forhold til, hvis der var tale om en eksponentiel vækst. Når y nærmer sig til æreevnen, vil faktoren nærme sig til 0, hvorfor hastigheden ligeledes vil nærme sig til 0. Det passer fint med, at løsningen vil nærme sig til æreevnen, når x går mod uendelig, eller sagt med matematik: (8) lim f( x) x Størrelsen kaldes den indre vækstrate. Den fortæller noget om, hvor hurtigt y nærmer sig til. Det er på tide med et eksempel. Eksempel 8 Der sættes 00 fisk af en estemt art ud i en stor sø i Danmark. Antag at populationens udvikling adlyder den logiske differentialligning (7) med indre vækstrate 0,046og med æreevne 300. a) Bestem et udtryk for antallet af fisk som funktion af tiden t i dage. ) Til hvilket tidspunkt vokser populationen af de pågældende fisk kraftigst? c) Bestem den øvre grænse for fisk i søen.

9 Erik Vestergaard 9 Løsning: a) Ifølge taellen med de fuldstændige løsninger til de tre varianter af den logistiske differentialligning er den søgte løsning til (7) på formen: (9) nt () t c e hvor funktionen dog enævnes n og den variale t, regnet i dage. Vi indsætter først værdierne for parametrene og i (9) og udnytter derefter egyndelsesetingelsen til at estemme den aritrære konstant c n(0) c3 ce c (0) 0,046 0 Indsættes værdien for c fås endeligt: 300 nt () 3 e () 0,046 t som er det ønskede udtryk for populationens størrelse som funktion af tiden. ) Her er det hastigheden n () t, som skal maksimeres, ikke nt (). Opgaven kan klares ved at sætte vt () n() t og foretage en funktionsundersøgelse af n. Detaljerne overlades til læseren. Det er klart, at funktionen i det ønskede punkt opfylder v() t 0, dvs. n() t 0. an siger, at funktionen nt () har en skrå vendetangent i det søgte punkt! Svaret i opgaven er i øvrigt t 8,548 dage. Senere, i Bemærkning 0, skal vi se, hvordan man kan løse dette spørgsmål enklere! 0,046t c) Her lader vi tiden gå mod uendelig. Da e 0fort, vil nævneren i røken i () nærme sig til, hvorfor hele røken vil nærme sig til 300: nt () 300 for t 30 () 0,046 t 3e Den øvre grænse af fiskeestanden er altså 300, hvilket vi egentligt godt vidste i forvejen, da det var ygget ind i modellen. Lad os til slut tegne grafen for populationens størrelse som funktion af tiden Antal fisk i søen t (dage)

10 0 Erik Vestergaard Grafen har en vandret asymptote i y 300, som afspejler påstanden om at populationens størrelse nærmer sig til 300, når tiden nærmer sig til uendelig. Endvidere er punktet, hvor den største hastighed antages, indtegnet, foruden tangenten til grafen i punktet. Sætning 9 For en voksende logistisk vækst, hvor 0, 0 forekommer den største væksthastighed, netop når funktionsværdien (eller populationen) har nået halvdelen af æreevnen, altså. Den maksimale hastigheds størrelse er givet ved: v max 4 Bevis: Det nemmeste er at etragte differentialligningen (7) og gange ind i parentesen: y y y y y Væksthastigheden y er altså et andengradspolynomium i y med følgende koefficienter, (hvor vi enytter store ogstaver for koefficienterne): A, B og C 0 Formlen for toppunktet for en parael er som ekendt givet ved: B, D T A 4A. B A er altså den værdi af y, som giver den største væksthastighed. Den maksimale væksthastighed kan da findes ved at udregne toppunktets. koordinat. Først diskriminanten: D B 4AC 4 0 hvorefter vi kan udregne. koordinaten: D 4 4 4A 4 Vi har dermed vist, at den maksimale væksthastighed er givet ved vmax, og at den antages, når y. Bemærkning 0 Der er også en hurtig måde at vise, at den maksimale væksthastighed opnås, når y. I eviset for sætning 9 anvendte vi toppunktsformlen for en parael. an kan imidlertid

11 Erik Vestergaard også udnytte, at toppunktet altid ligger midt mellem rødderne for andengradspolynomiet (forudsat at polynomiet har rødder). Rødderne fås ved rug af nulreglen: y y y 0 y0 0 0 y0 y Bemærkning (Eksempel 7 igen) Vi kunne med fordel have enyttet sætning 9 til at esvare spørgsmål ) i eksempel 8. Her var 0,046 og 300. Den største væksthastighed opnår derfor, når populationens størrelse er Tidspunktet for, hvornår det sker, kan da udregnes ved at løse en ligning: 300 nt () t8,5 0,046 t 3e Det maksimale væksthastighed opnås derfor efter 8,5 dage. Den maksimale væksthastighed kan vi også finde: v 0, ,8 max 4 4 altså en maksimal væksthastighed af populationen på 33,3 fisk/dag. Linjeelementer Vi skal indføre et nyt egre her, nemlig et linjeelement: Definition Hvis det om en differentiael funktion f gælder, at f( x0) y0 og f( x) a, så siges f at gå igennem linjeelementet ( x0, y0; a ). Af definitionen ser vi, at funktionen går igennem linjeelementet ( x0, y0; a ) netop når grafen for f går igennem punktet ( x0, y 0) og a er hældningen af tangenten til grafen i dette punkt. Betragt nu en differentialligning på formen: dy (3) g( x, y) dx En funktion f er en løsning til denne differentialligning, hvis og kun hvis f går igennem ethvert (relevant) linjeelement på formen ( x, y, g( x, y )). an kan nu forestille sig, at man i planen tegner et helt netværk af punkter ( x, y ) og i ethvert af disse udvalgte punkter tegner et lille linjestykke med hældning g( x, y ). Det kan se ud som på figuren næste side til venstre:

12 Erik Vestergaard Det er lidt som jernfilspåner påvirket af en stangmagnet. Det er vigtigt at emærke, at linjeelementerne hører til differentialligningen. At estemme en løsning til differentialligningen svarer da geometrisk set til at finde en løsningskurve, hvis tangenthældning i ethvert punkt er den, som pilene indikerer. Et eksempel på en løsningskurve er vist på den højre del af figuren ovenfor. Et diagram med linjeelementer for en differentialligning kan altså være med til at give et fingerpeg om, hvordan løsningerne til differentialligningen ser ud. Eksempel 3 (Linjeelement) Diagrammet med linjeelementer ovenfor stammer fra differentialligningen (4) yx y Linjeelementet i for eksempel punktet ( x, y) (, ) eregnes således: Værdierne for x og y indsættes lot på højre side af (4), hvilket giver x y ( ). Det giver linjeelementet (, ; ). Kigger man på diagrammet, kan man godt ane, at pilen i (, ) har en hældning på. Heldigvis har man CAS-værktøj til at tegne diagrammer med linjeelementer. At gøre det manuelt ville være et alt for stort arejde! Bemærkning 4 (Eksempel 7 igen) Vi er endnu ikke helt færdige med den logistiske differentialligning fra eksempel 7. Den kan nemlig være med til at kaste lys over flere sider af den logistiske differentialligning generelt set. Differentialligningen hørende til udviklingen af fiskepopulationen i eksempel 7 er ifølge (7), med værdierne 0,046 og 300 for henholdsvis og, følgende: n (5) n0,046n 300 hvor vi dog kalder den involverede funktion for n i stedet for y. Differentialligningen giver anledning til det diagram med linjeelementer, som er vist på næste side. I diagrammet er også indtegnet løsninger, som vi skal kommentere i det følgende. Den grønne kur-

13 Erik Vestergaard 3 ve er teknisk set en løsning til differentialligningen (5), men den er ikke relevant i forindelse med populationers vækst, fordi funktionsværdierne er negative. Den lå løsningskurve er derimod ikke urealistisk. Her starter populationen lot med en størrelse, som er større end æreevnen. Vi ser da også, at populationen aftager mod, som tiden går. Den røde løsningskurve er den mest anvendte, da den viser, hvorledes en population, som fra start er mindre end æreevnen, udvikler sig. Her vil populationens størrelse vokse mod. En anden ting, som er værd at nævne er, at man godt kan komme ud for, at sætning 9 ikke liver relevant i en konkret anvendelse. Det kan jo være, at populationen fra start havde en størrelse, som er større end. I det tilfælde vil den største væksthastighed være starttidspunktet. Sætning 9 udtaler sig om en hel løsningskurve, mens konkrete anvendelser kun vil involvere en del af løsningskurven.

14 4 Erik Vestergaard Bemærkning 5 (Om modeller) Det skal siges, at løsningerne til den logistiske differentialligning naturligvis forudsætter, at populationen virkelig adlyder den logistiske ligning. Det kan man langt fra gå ud fra i virkeligheden, og eksempel 7 med en population af fisk er da også konstrueret. I modeller søger man at tage en række forhold i etragtning, men det er umuligt at tage højde for alle forhold. Kunsten ved at modellere er netop at tage højde for alle de væsentligste forhold, men stadig holde antallet af parametre eller variale nede på et acceptaelt niveau, så man kan regne med det, selv på en computer Billeder: Side 4: istock.com/jezperklauzen, Side 8: istock.com/atese. Resten egne fotos og figurer.