1 [= *00.0 Chicago Spire 2012 Energioptag i buede solfangere karsten.schmidt@mat.dtu.dk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2011 1. Baggrund Før 1900 var glashuse mest kendt fra botaniske haver, palmehuse osv., men under den funktionalistiske periode i første halvdel 1900-tallet forsøgte førende arkitekter sig med beboelseshuse i glas og stål. Det sunde menneske blev dyrket og skulle bo i lyse og gennemsigtige huse. Stilen skulle være enkel og ren, alle vinkler rette, og husene blev oftest bygget efter kasse-modeller. Under dette koncept blev der bygget smukke eksempler på glashuse, som tilhører verdensarkitekturen, men i tiden efter kom der masser af kedelige efterligninger som først og fremmest udnyttede at byggemetoden var billig og egnede sig for masseproduktion. Ofte havde husene dårligt indeklima, og der blev brugt masser af energi til ventilation og afkøling om sommeren. Der har været to ledende trends i glashusarkitekturen i årtiet efter 2000, dristige former og ambitiøse miljøkrav. På figuren ovenfor ses en af de smukkeste visioner, det aktuelle projekt Chicago Spire, planlagt til at være færdigt ca. 2012, og som hvis det realiseres, bliver verdens højeste beboelsesejendom. Ofte er ideen at glashusene via solenergi skal være energineutrale, og i nogle tilfælde (som fx det aktuelle projekt på Westminster Place i London, se nedenfor) skal de endda levere overskydende energi til omgivelserne. Forskningen i glastyper og belægninger er omfattende, der ønskes multitasking glasfacader der er smukke og medvirker til et sundt indeklima, som ofte har changerende farver og samtidigt skal virke som solceller. Det aktualiserer selvsagt spørgmålet om hvordan man beregner solenergioptaget i et dristigt formet glashus eller i en buet solfanger/solcelle, fx over en hel dag. Hvilket er emnet for dette projekt.
2 Besvarelserne af projektopgaven forventes illustreret med fx Maple, og man bedes bemærke at det kan vise sig helt nødvendigt at prioritere mellem de stillede opgaver. 2. Matematisk model I dette projekt arbejder vi med den følgende meget simple model. 1. Solfangerens placering Vi forestiller os at solfangeren er placeret på ækvator en jævndøgnsdag, og at solen derfor står op kl. 6:00, står lodret over huset kl. 12:00 og går ned kl. 18:00. 2. Solens bane Vi lægger scenariet ind i et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem, således at solfangeren placeres på (x, y)-planen. Solen ses kl. 6:00 ved enden af y-aksens positive del, kl. 12:00 ved enden af z-aksens positive del og kl. 18:00 ved enden af y-aksens negative del. 3. Solstrålingen Bestrålingen fra solen repræsenteres af et vektorfelt, et system af parallelle enhedsvektorer, rettet fra solen mod solfangeren. Himlen er skyfri, og vi ser væk fra irradiation og bøjning af strålerne som følge af deres passage gennem atmosfæren etc. 4. Energioptaget Vi antager at energioptaget E(t) til tiden t er proportionalt med den indadgående flux, som betegnes B + (t). Hermed menes mere præcist fluxen til tiden t gennem den del af solfangerfladen hvorpå vinklen mellem solvektorfeltet og fladens indadgående normalenhedsvektor n er mindre end π 2. For nemhed skyld (og uden at det ændrer opgavens indhold) vil vi i det følgende forudsætte at proportionalitetsfaktoren er lig med tallet 1. Vi antager med andre ord at B + (t) = E(t). 5. Solfangerfladens repræsentation I langt de fleste tilfælde vil vi lade solfangeren repræsentere af en passende injektiv, næsten overalt differentiabel, parametriseret flade i rummet. Opgave 1 1. Begrund at man med rimelighed kan beskrive solvektorfeltet ved V(x, y, z) = (0, cos(t), sin(t) ) hvor t [0, π]. 2. Bestem de eksakte værdier af t for hvilke klokken er henholdvis 9:00, 10:00 og 17:00. 3. Diskutér de øvrige modelantagelser.
3 3. Solfangere bygget af plane flader De mest almindelige solfangere består af bare én plan flade. De ses jo ofte i villakvarterne, hvor der er indsat en optimistisk rektangulær solfanger eller solcelle i husets tag. Andre eksempler på denne type er glashuse der er bygget efter kassemodel, i København har vi fx det aften-illuminerede Koncerthuset. I verdens første glas-hovedbanegård i Berlin ses der dristige vinkler mellem plane flader afvekslende med enkeltkrummede overdækninger. Københavns Koncerthuset 2008 Berlin Hauptbahnhof 2008 I den følgende opgave skal vi undersøge et simplet drivhus, formet som et spejdertelt: Opgave 2 Under de nævnte modelbetingelser består en solfanger af to skrå plane flader, hvoraf den første er udspændt mellem de fire punkter (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) og den anden mellem (0, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 1, 0), (0, 1, 1). Solfangerens gavle anses som neutrale, og medtages ikke i beregningerne. 1. Bestem for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energioptag E total for solfangeren for hele dagen. 2. Solfangeren drejes nu vinklen π 2 omkring z-aksen, således at solfangerens ryg er parallel med x-aksen. Bestem igen for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energioptag E total for hele dagen. 3. Til sidst drejes solfangeren således at dens ryg danner en vinkel s med x-aksen. Find det kritiske tidspunkt t 0 for hver af fladerne hvor fladen veksler fra at ligge i skygge til at være solbelyst eller omvendt. Bestem herefter E total som funktion af s [ 0; π ] 2, og plot denne funktion.
4. 4. Enkeltkrummede solfangere Solfangeren i opgave 2 er et af de simpelste eksempler på enkeltkrummede flader. Denne type indeholder alle flader der populært sagt kun krummer på den ene led, og som kan tænkes bukket at et ark papir uden at man krøller papiret. Der findes overalt i verden eksempler på glashuse, som helt eller delvist består af enkeltkrummede flader, her er et nogle eksempler. Til venstre Kew Garden i London og til højre et parti fra lufthavnen i Bangkok. London 1846 Bangkok Airport 2006 En enkeltkrummet flade kan alternativt karakteriseres som en cylinderflade hvis ledekurve/profilkurve er givet i en plan, som indeholder z-aksen, og hvis frembringere står vinkelret på ledekurven. Opgave 3 Vi betragter en solfanger som er en cylinderflade, hvis ledekurve i (x, z)-planen har ligningen z = 1 x 2, og som opfylder x [ 1; 1 ] og y [ 1; 1 ]. 1. Angiv en parameterfremstilling for cylinderfladen, og bestem et udtryk for dens indadgående enhedsnormalvektor n. 2. Bestem for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag E total for solfangeren for hele dagen. 3. Solfangeren drejes nu vinklen π 2 omkring z-aksen, således at solfangerens ledekurve nu er parallel med y-aksen. Hvordan ser parameterfremstillingen nu ud? Bestem for ethvert t den indadgående flux B + (t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag E total for hele dagen.
5 4. Til sidst drejes solfangeren således at ledekurven danner en vinkel s med x-aksen. Bestem herefter et eksakt udtryk for E total som funktion af s [ 0; π ] 2, og plot denne funktion. Vink: Man kan evt. vælge at fastholde parameterfremstillingen fra spørgsmål 1, og i stedet forestille sig at den lodrette plan som solen bevæger sig i, drejes vinklen s med uret omkring z-aksen, hvorved vektorfeltet V bliver afhængigt af både s og t. 5. Solfangere som er omdrejningsflader Runde glashuse er næppe så praktiske som dem der står på et rektangulært fundament, men de har været populære som have- og prydhuse, og nu ser man også skyskrabere som med geometerens blik kan karakteriseres som omdrejningsflader. Her er eksempler på glashuse med de nævnte funktioner og kvaliteter: Palmehuset Kbh 1874 Gherkin London 2003 I den følgende opgave vil vi overveje hvordan vi skal skære en solfanger ud af en glaskugle for at optimere dagens samlede energiudbytte.
6 Opgave 4 En solfanger A har form som enhedshalvkuglefladen, dvs. den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. En anden solfanger B er en kuglekalot, den består af den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + (z + 1 2 )2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. Endelig er en tredje solfanger C den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + (z 1 2 )2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. 1. Bestem for hver af de tre solfangere B + (t) på et vilkårligt tidspunkt af dagen, og bestem derefter E total for hver af de tre solfangere. 2. Hvilken af solfangerne A, B og C giver det største totale energioptag pr. dag pr. areal (dvs i forhold til solfangernes areal)? En af de store udfordringer i beregningerne indtil nu, er at afgøre hvordan man til bestemte tidspunkter finder grænsen mellem beskygget og beskinnet område på solfangeren, heraf afhænger jo de områder der skal integreres over. I visse tilfælde kan man med fordel indrette sin parametrisering (eller reparamterisere) således at det ene sæt koordinatkurver følger grænsen mellem lys og skygge på fladen. På figuren nedenfor er dette sæt koordinatkurver tegnet på en halvellipsoide. Parametriseret efter skyggegrænsen Hver af solfangerne vi har arbejdet med, kræver sin særlige inspektion eller beregning af skyggegrænsen på fladen - og vi har endda kun arbejdet med geometrisk meget simple former. Er der mulighed for ved beregning af E total at komme ud over disse besværligheder? Det er den røde tråd i resten af projektopgaven. Vi starter med igen at se på enkeltkrummede soltage. Derefter gå vi løs på omdrejningsfladerne. Og til sidst skal vi se på hvad vi gør når de geometriske former er endnu mere avancerede.
7 6. Nyt blik på enkeltkrummede solfangere Vi skal nu betragte solfangere i planen! Det betyder at vi for en stund ikke betragter glasflader, men glaslinjer eller rettere solfangere som består af plane kurver. Nedenfor undersøges en enkelt ret glaslinje med længden x som er en del af en trekant-solfanger. Vi betragter den i tre forskellige situationer. Til venstre har den ret vinkel ind mod solfangeren, i midten spids og til højre stump: ret spids stump Vektorfeltet kan nu beskrives ved vektorfeltet V = ( cos(t), sin(t)) for t [ 0; π ]. Solens stråler kommer altså ind fra højre om morgenen, står lodret over huset ved middag og går ned til venstre om aftenen. Lad os beregne E(t) for fladen på figuren til venstre. Den indadgående enhedsnormalvektor er her n = ( 1, 0). Fluxintegranden V n er for et givet t konstant langs hele linjen. Vi har dermed følgende enkle resultat: π 2 E(t) = x V n = x cos(t) E total = x 0 cos(t)dt = x. Opgave 5 Bestem E total for glaslinjen i figuren i midten udtrykt ved x og xp, længden af glaslinjens projektion på grundlinjen (jordoverfladen). Det samme for figuren til højre. Vi afprøver nu to solfangere som er opbygget af to glaslinjer. De er for nemheds skyld indført i den samme figur nedenfor, men afprøves uafhængigt af hinanden. Deres grundlinjer ligger på jordlinjen mellem de to brændpunkter i en ellipse og deres toppunkter ligger på ellipsen. Den ene solfanger (den blå) udgør sammen med grundlinjen en ligebenet trekant, den anden (den grønne) udgør sammen med grundlinjen en stumpvinklet trekant. På figuren ses en morgensolstråle.
8 Ligebenet og stumpvinklet solfanger Opgave 6 1. Hvilken af de to solfangerne på figuren ovenfor har det største E total? 2. Hvilken af solfangerne har det største energioptag pr. glaslinjelængde? 3. Hvilken af solfangerne har det største areal (mest plads til tomaterne!) i forhold til E total? Herefter er vi rede til at betragte plane solfangere som er polygoner, som ikke nødvendigvis står på jorden, men kan svæve i luften eller understøttes af et stillads. På figuren nedenfor betragtes til venstre en glastrekant (alle tre sider er en glaslinje). Glasfirkanten til højre fremkommer af trekanten ved at siden c fjernes, og at der derefter foretages en konveks udvidelse af solfangeren med siderne d og e. Opgave 7 1. Angiv E total for hver af de to solfangere. 2. Antag nu at en plan solfanger er bygget som en vilkårlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler på jorden. Overvej ud fra de foregående overvejelser E total for solfangeren, vi er på udkig efter et vigtigt resultat til brug i det følgende!
9 Opgave 8 Gå nu tilbage til parabelsolfangeren i opgave 3, spørgsmål 3. Hvordan kan vi verificere det resultat vi nåede frem til vha. de metoder, vi nu har udviklet for solfangere i planen? Opgave 9 Betragt igen situationen vedr. parabelsolfangeren i opgave 3, spørgsmål 4. Kan vi for enhver enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund afgøre hvordan solfangeren skal drejes omkring z-aksen for at give maksimalt E total? 7. Nyt blik på solfangere som er omdrejningsflader Det totale energioptag i løbet af en dag for omdrejningsflader er generelt langt vanskeligere at beregne end for de enkeltkrummede. Vores undersøgelser nedenfor bygger på de såkaldt elliptiske funktioner, som historisk stammer fra den vanskelige opgave at bestemme kurvelængden af ellipser. At ellipser på en eller anden måde indgår i e- nergioptaget for omdrejningsflader, er måske ikke så overraskende, fra en skæv vinkel rammer solvektorfeltet de omdrejningscirkler, fladen populært sagt er opbygget af, som ellipser. Alligevel er de matematiske sammenhænge ikke nemme at gennemskue! Først ser vi på den integralformel, vi skal bruge til de numeriske beregninger. Bagefter skal vi se på hvordan formlen kan vises bl.a. med hjælp fra Maple. En solfanger O har form af en omdrejningsflade hvis meridiankurve i en (u, z)- plan er grafen for en (stykvis) differentiabel funktion z(u) for u [ 0 ; r ], som overalt i definitionsmængden opfylder z (u) 0. Der gælder da for E total af O: E total = r 0 1 1 + z 2u (π + 2 (u) 2 τ 2 dτ) du. 0 1 τ 2 Opgave 10 Afprøv integralformlen på fladen A og fladen B i Opgave 4. (Vink: Den funktion I bruger til meridiankurven for A er nok ikke differentiabel i u = 1, find resultatet ved at integrere næsten helt hen til u = 1). Et energiforbrugende silo-anlæg af et givet rumfang ønskes omsluttet af en parabolsk klimaskærm/solfanger således at der opnås maksimalt energioptag pr. arealenhed af klimaskærmen, dette er enmet for den følgende opgave.
10 Silo inddækket af parabolsk klimaskærm/solfanger Opgave 11 En nedadvendt omdrejningsparabloide har toppunkt i (x, y, z) = (0, 0, h), og dens bundcirkel er punktmængden {( x, y, z) x 2 + y 2 = 1 og z = 0 }. 1. Plot forholdet mellem solfangerens E total og dens overfladeareal som funktion højden h. 2. En cylinder med rumfang π 2 ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel på (x, y)-planen, mens dens topcirkel rører parabloiden hele vejen rundt. Bestem parabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at parabloiden opnår maksimalt E total pr. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi. Herefter følger nogle hints til hvordan integralformlen kan udledes. Først skal vi undersøge den enkleste af de elliptiske funktioner, den hedder i Maple s katalog EllipticE. Bemærk at EllipticE i Maple opskrives både som en funktion af én variabel og af to variable. Vi har i denne sammenhæng kun brug for den førstnævnte, men skal også se på konsekvenser af at vælge denne som en kompleks variabel. Opgave 12 1. Undersøg ved hjælp af Maple funtionen EllipticE(x) for x R, kan den plottes, er den differentiabel, har den en stamkfuntion osv. Det samme med funktionen EllipticE(i x) for x R. 2. Bestem med hjælp fra Maple den eksakte værdi af E total for en opretstående omdrejningskegle K som har højden h og bundradius r. Vink: Dette grundlæggende resultat
11 for omdrejningsflader er vi nødt til at finde ved elementær inspektion af de områder der skal integreres over på forskellige tidspunkter af dagen, med metoder svarende til de første opgaver. 3. Vi snitter nu omdrejningskeglen K i spørgsmål 2, to forskellige steder med en vandret plan og betragter den åbne keglesnitsring K der udgøres af den midterste, afsnittede del af omdrejningskeglen. Forskellen mellem K s bundradius og topradius kalder vi u. Bestem E total for K. Vejen frem mod integralformlen går via appproximation af omdrejningsflader med keglesnitsringe. På den følgende figur er der plottet en enkelt keglesnitsring, som fremkommer ved drejning af et tangentstykke til omdrejningsfladens meridiankurve. Opgave 13 Eftervis den benyttede integralformel. Vink: Find evt. først E total udtrykt ved EllipticE og anvend derefter definitionen i Maples online help på EllipticE(k) til én enkelt variabel, her kaldet k. 8. Lukkede konvekse solfangere Vi skal nu introducere vores generelle metode til numerisk bestemmelse af E(t) og E total for parametriserede lukkede konvekse solfangere. Her er nogle aktuelle glasfacader som hverken er opbygget efter enkeltkrummet model eller omdrejningsmodel:
12 Beijing Opera 2007 Westminster Place 2012 Metoden vi skal bruge, bygger på Gauss s divergensteorem. Det viser sig at solfangerens skygge fortæller en masse om solfangerens aktuelle energioptag. Hvis vi kender skyggens areal, kender vi energioptaget! Lad os tage udgangspunkt i en solfanger som har form af en keglesnitsflade, metoden vi introducerer kan derefter umiddelbart overføres til andre opgaver af denne type. Opgave 14 Et massivt område A i rummet er afgrænset af planen med ligningen z = 4 og af en keglesnitsflade som har ligningen x 2 4 + y2 + z = 5. En solfanger dannes af overfladen af A. Der er altså tale om en lukket flade. Den er af praktiske grunde og uden at ændre på den principielle situation hævet over jorden, dvs. over(x, y)- planen, med afstanden 4. 1. Bestem en parameterfremstilling for solfangeren (dvs. for hver af de to flader som den består af). 2. Lad OP være stedvektoren for et vilkårligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad α t være en plan som går gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af OP på α t udtrykt ved x, y, z og t. 3. Plot solfangeren sammen med den vinkelrette projektion af solfangeren ned på α t, idet der vælges en testværdi af t. 4. Bestem arealet af solfangerens skygge på α t som funktion af t.
13 5. Gør ved hjælp af Gauss s divergenssætning rede for at B + (t) for solfangerhuset er lig med arealet af solfangerens skygge på α t. 6. Plot B + (t) som funktion af t, og bestem E total. Opgave 15 Vi udvider det solfangertag vi arbejdede med i opgave 3 til et solfangerhus, idet vi forsyner det med to lodrette gavle og en bund, således at hele det lukkede solfangerhus er potentielt energioptagende. Antag som i Opgave 3, spøgsmål 4, at huset er drejet omkring z-aksen med vinklen s (eller antag i det følgende alternativt og nemmere at solfeltet er drejet tilsvarende). Af praktiske grunde, og uden at ændre på den principielle situation, parallelforskyder vi solfangeren opad med 4 i z-aksens retning. 1. Bestem en parameterfremstilling for solfangerhuset (dvs. for hver af de fire flader som huset består af). 2. Lad OP være stedvektoren for et vilkårligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad α t være en plan som går gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af OP på α t udtrykt ved x, y, z, t og s. 3. Plot for en valgt værdi af t og s solfangerhuset sammen med projektionen af dets fire dele ned på α t. Vink: Bestem først en parameterfremstilling for hver af de fire projektioner. 4. Plot E total for solfangerhuset som funktion af s og aflæs den værdi af s som giver maximalt energioptag. 5. Gør rede for at resultatet i Opgave 3, spørgsmål 4 kan reproduceres ved i udregningerne at se bort fra husets to gavle (således at solfangeren kun består af parabeltaget og bunden)! Opgave 16 En konveks lukket solfanger består af to flader givet ved parameterfremstillingerne 3 cos(v) 1 2 cos(u) og r 1 (u, v) = r 2 (u, v) = cos(v) + 3 2 cos(u) 3 sin(u) sin(v) 3 cos(v) 1 2 cos(u) cos(v) + 3 2 cos(u) 0 for u [ 0; π ] og v [ 0; π ], for u [ 0; π ] og v [ 0; π ].
14 1. Vi ønsker et plot af E(t). Vink: Disse beregninger begynder at bliver krævende selv for Maple. Derfor kan man her - og også i kommende opgaver - evt. gå frem ved at bestemme E(t) for en række værdier af t [ 0; π ] 2, og plotte grafen ved hjælp af de tilsvarende punkter. Hvornår på dagen er energioptaget størst? 2. Bestem E total for solfangeren. De sidste to opgaver handler om en omdrejningsflade der fremkommer ved drejning af en helt specielt plan figur, en såkaldt Reuleaux trekant. Reuleaux trekanten på figuren nedenfor til venstre er tegnet i (u, z)-planen vha. af tre cirkelbuestykker som har centre i ( 1, 0) henholdvis (1, 0) og (0, 3). Opgave 17 1. Gør rede for at trekantens skygge på en ret linje som er vinkelret på det plane solvektorfelt, er konstant. 2. Gør rede for at den højre halvdel af Reuleaux trekanten er en kurve K som kan parametriseres ved: z 1 (u) = 4 (u + 1) 2 for u [ 0; 1 ] og z 2 (u) = 3 4 u 2 for u [ 0; 1 ].
15 3. Lad R betegne det omdrejningslegeme der opstår ved drejning af K omkring z-aksen. Overvej om R har konstant bredde, dvs: Hvis R placeres mellem to parallelle tangentplaner, er afstanden mellem tangentplanerne da den samme uanset hvilket sæt af parallelle tangentplaner der er valgt? 4. Er E(t) for R konstant i løbet af dagen? 5. Antag at vi ændrer R s position ved at dreje den en vilkårlig vinkel omkring en akse parallel med x-aksen. Vil E total for R da være uændret? Samme spørgsmål hvis vi drejer omkring en akse parallel med y-aksen. Opgave 18 Der skal i København rejses en solfanger af formen R (omdrejningsfladen fra forrige opgave med Reuleaux-trekanten som meridiankurve). Som udgangspunkt ønskes der maksimalt E total af R ved jævndøgn. 1. Først overvejes opstilling af R med lodret symmetriakse. Plot solfangerens energioptag ved jævndøgn som funktion af tiden, og illustrér evt. med en animation af R s skygge på Gauss-projektionsskærmen hen over dagen. Bestem E total. 2. Beskriv hvordan R positioneres optimalt, således at der opnås maksimalt E total ved jævndøgn i København. SLUT