Matematik 1 Projekt. Energioptag i buede solfangere

Transkript

1 Matematik 1 Projekt Energiotag i buede solfangere Solfanger 13 Andreas Feldt Poulsen (s1343) Lasse Blaabjerg (s13314) Thorbjørn Skovhus (s13464) Jakob Drachmann Havtorn (s13315) Karl Krøjer Toudahl (s1559) Matematik 1, 15 Danmarks Tekniske Universitet Vejledere: Nils Ulrik Grove og Karsten Schmidt 5. Aril 14

2 Indhold 1 Indledning Solfangere i Danmark og anvendelser af alternativt formede solfangere Strukturel indledning til raortens indhold Diskussion af matematisk model 1.1 Solvektorfeltets arametrisering Bestemmelse af klokkeslet til værdier af t-arameteren Diskussion af modelantagelser Solfanger af lane flader Indadgående flux og samlet energiotag Rotation af solfanger med bestemt vinkel Rotation af solfanger med vilkårlig vinkel Enkeltkrummet solfanger Parametrisering og normalvektor Indadgående flux og samlet energiotag Rotation af solfanger med bestemt vinkel Rotation af solfanger med vilkårlig vinkel Energiotag gennem solfangere som kugleudsnit Energiotag gennem en enhedshalvkugle Energiotag gennem kuglekalot Energiotag gennem en trekvart enhedskugleflade Sammenligning af energiotaget r. overfladeareal Enkelt glaslinjesolfanger i lanen 19 7 Solfangere obygget af glaslinjer 8 Plane solfangere af lukkede konvekse glaskurver 9 Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetode 3 1 Rotation af enkeltkrummet solfanger 3 11 Generel betragtning af omdrejningsflade Undersøgelse af funktionen ElliticE Modellering af omdrejningskegle Udledning af integralformlen Eftervisning af integralformel 7

3 13 Solfanger som nedadvendt omdrejningsaraboloide 8 14 Modellering af lukkede konvekse solfangere Gauss Divergenssætning Parameterfremstillinger for fladerne Planet α vinkelret å solvektorfelt Lukkede konvekse fladers skygge å α-lan Areal af skyggeflader samt indadgående flux Metoden anvendt å enkeltkrummet solfanger fra ogave Reuleaux Trekant som solfanger Reuleaux Trekant Reuleaux Trekantens skyggelinje i lanen Reuleaux Trekanten som rumlig omdrejningsflade Reuleaux Trekantens energiotag som funktion af tiden Rotation af Reuleaux Trekanten omkring x- og y-akse arallelle akser Reuleaux Trekant i København 4 17 Sammenfatning 4 A Udregninger i Male-ark 43 Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave Ogave

4 Figurer 3.1 Figurer, der illustrerer modelleringen af energiotaget for solfangeren fra delogave Figurer, der illustrerer modelleringen af energiotaget for solfangeren fra delogave Plot af energiotag som funktion af drejningsvinklen s. Energiotaget er maksimalt ved s = svarende til at solfanger-ryggen er arallel med x-aksen Figurer anvendt til modellering af den enkeltkrummede solfanger Plots som anvendes til bestemmelse af grænserne for integrationen Den indadgående flux for solfangeren, når den er roteret, så den er rygarallel med x-aksen. Den stilede kurve er den indadgående flux for fladen laceret rygarallel med y-aksen Figurer anvendt ved rotation af solfangeren med en vilkårlig vinkel s Figurene anvendt og udarbejdet til og ved modellering af halvkuglen Figurerne anvendt til modellering af kuglekalotten Figurerne anvendt til modellering af grænserne for kuglekalotten Trekant-solfanger med henholdsvis sids og stum vinkel [5] Illustration af de afrøvede solfangere [5] Illustration af to olygon-solfangere Figurerne anvendt til undersøgelse af ElliticE-funktionen Figurerne anvendt til undersøgelse af omdrejnignskeglen Figurerne anvendt i forbindelse med udledningen af integralformlen Figurer anvendt til modellering af nedadvendt omdrejningsaraboloide med indre cylinder De to lukkede konvekse flader fra ogave 14 og 15 lottet sammen med lanen α og deres skygge til tiden t = π Indadgående flux for de to lukkede konvekse flader undersøgt i ogave 14 og Indadgående flux for solfangeren fra ogave 3 fundet ved rojektions-metoden Figurer der illustrer ointerne i overvejelserne om en Reuleaux trekants geometriske egenskaber Profilkurve og omdrejningsflade for Reuleaux trekanten i rummet Energiotaget i Reuleaux trekanten som funktion af tiden. Omdrejningsfladen er her ikke roteret, og har symmetriakse omkring z-aksen Energiotaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden lottet for to forskellige rotationer omkring x-aksen. Det bemærkes, at denne rotation kun medfører en forskydning af energiotaget til et andet tidsunkt å dagen Energiotaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden lottet for otte forskellige rotationer omkring y-aksen. Det bemærkes, at denne rotation medfører en nominel ændring af energiotaget som funktion af tiden, og dermed også et ændret totalt energiotag. Energiotaget for drejningsvinklen φ = er blot energiotaget for R uden rotation om nogen akser

5 15.6 Det totale energiotag for Reuleaux trekanten som funktion af drejningsvinklerne θ og φ, her benævnt vinkel. Det ses tydeligt, at energiotaget ved rotation omkring x-aksen er konstant, mens det totale energiotag ved rotation omkring y-aksen er varierende Energiotaget for en Reuleaux trekant med lodret symmetriakse laceret i København, og energiotaget for en otimalt laceret Reuleaux trekant i København Tabeller 5.1 Energiotag, overfladeareal samt forholdet mellem disse for de tre enhedskugleudsnit

6 1 Indledning Dette rojekt og denne raort undersøger, modellerer og ræsenterer resultater af beregninger å solfangere af forskelligartede geometriske former, herunder solfangere af lane flader, enkeltkrummede flader, omdrejningsflader og lukkede konvekse flader. De matematiske kerneredskaber er arametriseringer af flader i lanen og rummet samt fluxberegning ved anvendelse af det ortogonale fladeintegral og Gauss divergenssætning. 1.1 Solfangere i Danmark og anvendelser af alternativt formede solfangere Solfangere er et tvetydigt begreb, der tilsammen dækker over solcelle- og solvarmeaneler. Fælles for disse aneler er, at de omsætter Solens stråler til energi, det være sig enten elektrisk energi eller termisk energi. Solfangere er vidt anvendte i dag, og særligt Danmark er et foregangsland for udvindingen af vedvarende energi, hvor særligt vindenergi og biomasse inkl. affald er store kilder til energi [1, s.51]. Solenergi fra solceller i Danmark har dog gennemgået en ekslosiv udbredelse siden 199 med en stigning i energiudvinding å over 11% [1, s.5], som kun overgås af energiudvinding fra vindkraft, der siden 199 er steget med over 15% [1, s.5]. På solvarmefronten har Danmark også været førende i en række år med Marstal Fjernvarmeanlæg, som indtil 1 var verdens største solvarmeanlæg, og med lanlagte solvarmerojekter in mente, ser det ud til at Danmark fra 14 igen bliver verdensførende []. Den dominerende form for en solfanger er i dag det karakteristiske rektangulære design. Dette design er da også i mange tilfælde det mest effektive design, og i kombination med en roterende sokkel, så anelet altid er vinkelret å solen, er det også det mest effektive. Men hvis solfangere skal anvendes i fx moderne storbyer eller omkring kornsiloer, er der dog designmæssige udfordringer, som eliminerer det rektangulære design som et muligt design. Hvis eksemelvis arkitekturen af en skyskraber ikke tillader kedelige rektangulære solfangere, så kan solfangere forestilles designet i sektakulære former, som i højere grad giver arkitektonisk værdi. 1. Strukturel indledning til raortens indhold I denne raort anvendes mange arametriseringer af flader. Disse benævne ofte r, evt. med et subscrit og efterfulgt af en arentes med dets variable. Det skal hertil bemærkes, at der kun for hvert hovedafsnit forsikres entydighed for en arametriserings navn (eksemelvis r rot (u, v, s)), mens disse navne kan gå igen i andre hovedafsnit men med en anden arametriseret flade. Diskussion af matematisk model - Indeholder ogave 1 I dette afsnit ræsenteres, vurderes og diskuteres en række af modelantagelserne, der ligger til grund for modellerne, der anvendes til undersøgelse og modellering af solfangerne i dette rojekt..1 Solvektorfeltets arametrisering Der argumenteres her for, at solvektorfeltet kan beskrives ved vektorfeltet i ligning.1, som består af et system af arallelle enhedsvektorer rettet væk fra solen til ethvert tidsunkt af dagen. V(x, y, z) = cos(t), t [, π] (.1) sin(t) 1

7 Jf. modelantagelserne (set fra ækvator en jævndøgnsdag) bevæger Solen sig i yz-lanen. Deraf vides det, at x-koordinatet i vektorfeltets arameterbeskrivelse må være. Det vides desuden, at solen bevæger sig i en halvcirkel å himlen set fra ækvator, hvilket kan arametriseres ved r(u, v) = cos(t), t [, π] (.) sin(t) Da der i denne havlcirkel er hhv. cos(t) og sin(t) i y- og z-koordinatet for t [; π] fås det negative fortegn for solvektorfeltet blot fra kravet, at vektorfeltet må have retning væk fra Solen. Dette onås jo neto ved at vende arametriseringens normalvektor, så den bliver modsatrettet. Størrelsen V vil i hele denne raort referere til solvektorfeltet i ligning.1 benævnt som enten V(x, y, z) eller V(t).. Bestemmelse af klokkeslet til værdier af t-arameteren I denne delogave overvejes, hvilke klokkeslæt der hører til forskellige værdier af arameteren t π for solvektorfeltet. Dagen har 1 timer fra kl. 6. til 18., hvorved t odeles i 1 r. time. Klokken 9., 1. og 17. er t dermed: t 9. =(9 6) π 1 = π 4 t 1. =(1 6) π 1 = π 3 t 17. =(17 6) π 1 = 11π 1.3 Diskussion af modelantagelser Solfangerens lacering At solfangeren er laceret å ækvator medfører, at solen står lodret over solfangeren ved middag. At det er jævndøgn medfører, at dag og nat er lige lange. Disse antagelser simlificerer modellen, da der ikke skal tages højde for varierende dagslængder og skæve indfaldsvinkler fra solen. Modellen er dog dermed kun ræcis gyldig for to dage om året (forårs-, og efterårsjævndøgn) og i et smalt geografisk område. Modellen vil dog med en nogen tilnærmelse virke som aroksimation de resterende dage ved ækvator da indfaldsvinklen her ikke vil overskride 3.5. For bedre aroksimeret beregning af energiotaget å andre lokationer, hvor indfaldsvinklen varierer, udvikles metoder, hvor rotation inkluderes. Solens bane Valget af koordinatsystem er meget vigtigt, da der her kan foretages nemmere valg end andre. At der indlægges et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem, der flugter med solens bane, giver det simleste system at arbejde med. Solstrålingen Når himlen antages at være skyfri, og der ses bort fra irradiation og bøjning af solstrålerne, kan vektorernes længde antages at være konstant hele dagen, mens kun indfaldsvinklen vil variere. Energiotaget Når det antages, at roortionalitetsfaktoren mellem B + (t) og E(t) er 1, kan der sættes lighedstegn mellem de to størrelser, hvilket eliminerer et ekstra (unødvendigt) led i beregningerne. Således vil de to størrelser blive behandlet som samme størrelse i denne raort.

8 Solfangerfladens reræsentation At fladerne, der arbejdes med, er næsten overalt differentiable gør, at der i de fleste tilfælde kan integreres over fladen uden roblemer. At fladen er injektiv sørger for, at et koordinatsæt i det aksearallelle område, som er arametriseringens definitionsmængde, kun tilknyttes ét koordinatsæt i arametriseringens billedmængde. Således sørges for, at fladens egenskaber er stringente i den forstand, at der ved for eksemel bestemmelse af areal eller flux ikke er risiko for at tælle nogle områder dobbelt etc. 3 Solfanger af lane flader - Indeholder ogave I denne ogave undersøges en solfanger, der består af lane flader. Slutteligt modelleres solfangerens energiotag som funktion af en drejningsvinkel, og den otimale lacering findes. 3.1 Indadgående flux og samlet energiotag I denne første delogave betragtes et sæt af vinklede flader laceret oad hinanden som et telt (se figur 3.1a). De to skrå flader betragtes som grafflader i rummet og arametriseres å følgende vis: 1 u u 1 r 1 (u, v) = v u r (u, v) = v u, u [; 1], v [ 1; 1] (3.1) Idet solfangeren er laceret, så den er rygarallel med y-aksen, kan den indadgående flux let bestemmes, da der neto ingen udadgående flux er at tage højde for. Fluxen udregnes for hver af de indgående flader i solfangeren, og den totale flux kan findes som summen af disse. Først bestemmes normalvektorerne til de to flader, som solfangeren består af. Disse fås ved at finde krydsroduktet af de to arametriseringers artielt afledede mht. arametrene u og v. Der fås: N 1 = u (r 1) 1 v (r 1) = (3.) 1 N = u (r ) v (r ) = 1 1 (3.3) Det bemærkes, at disse to normalvektorer for hver af de to flader er indadgående, hvorfor indadgående flux regnes ositivt. Dette er ønskeligt. De to delfluxe bestemmes med integralerne herunder: B + 1 (t) = 1 B + (t) = V(r 1 (u, v)) N 1 du dv = sin(t) (3.4) V(r (u, v)) N du dv = sin(t) (3.5) Her er V solens vektorfelt, og N 1 og N svarer til arameterfremstillingernes normalvektorer. Som forventet er den indadgående flux ens for fladerne. Den totale flux, og dermed energiotaget til et vilkårligt tidsunkt, E(t), fås nu som summen af de to delfluxe ved B + (t) = B 1 + (t) + B+ (t) = 4 sin(t) (3.6) Den totale indadgående flux for solfangeren ses lottet som funktion af tiden i figur 3.1b. For at bestemme det totale energiotag for en hel dag, E tot, tages nu det bestemte integrale af den 3

9 (a) Her ses solfangeren, som betragtes i denne ogave. Bemærk at ryggen af solfangeren er arallel med y-aksen. (b) Her ses den indadgående flux for solfangeren, når den er laceret rygarallelt med y-aksen. Figur 3.1: Figurer, der illustrerer modelleringen af energiotaget for solfangeren fra delogave 1. totale flux, B + (t), for t fra til π svarende til tidsrummet over en hel dag. Der fås følgende: E tot = π B + (t)dt = 8 (3.7) 3. Rotation af solfanger med bestemt vinkel I denne delogave drejes solfangeren nu vinklen π omkring z-aksen. Solfangeren drejes ved at gange r 1 og r med rotationsmatricen herunder: cos(π/) sin(π/) (3.8) R z, π = sin(π/) cos(π/) 1 Dette giver to nye arameterfremstillinger for de to flader givet ved r 1,rot (u, v) = v u 1 r,rot (u, v) = v u 1, u [; 1], v [ 1; 1] (3.9) u u Med samme metode som tidligere findes nu normalvektorer for arametriseringerne: N 1,rot = u (r 1,rot) v (r 1,rot) = 1 (3.1) 1 N,rot = u (r,rot) v (r,rot) = 1 (3.11) 1 I modsætning til forrige delogave gælder der nu ikke længere, at al flux gennem fladerne er ositiv, svarende til at noget af fladen er i skygge. Der er nu en del af fluxen, som er udadgående, hvilket giver udfordringen at bestemme hvilken grænse tidsintegralet, i bestemmelsen af det 4

10 totale energiotag, skal have. Ved at udnytte, at vektorfeltet og fladens normalvektor er vinkelrette å hinanden, når en given flade begynder eller ohører at være belyst, kan dette tidsunkt findes ved at løse rikroduktet af solvektorfeltet og normalvektoren sat lig nul. Dette vil være et kerneroblem i den resterende del af raorten. V (r 1,rot (u, v)) N 1,rot = = t = 3π 4 + nπ, n Z (3.1) Her kan løsningerne med det ekstra led nπ, n Z forkastes, da t i denne model kun antager værdier mellem og π. Der fås altså for den første flade et kritisk tidsunkt ved t kritisk,1 = 3π 4. Da Solen står o i den ositive y-akse-ende, og flade 1 således rammes af sollys fra t = må det kritiske tidsunkt for flade 1 indikere, hvornår fladen ikke længere rammes af solstråler å forsiden. Dette indikerer altså grænsen for, hvornår den indadgående flux for flade 1 bliver til udadgående flux. Det er neto denne grænse, der er vigtig for bestemmelsen af det totale energiotag. For flade 1 gælder altså, at det totale energiotag, E tot,1, bestemmes ved integralet E tot,1 = tkritisk,1 B + 1 (t) dt = 3π 4 B + 1 (t) dt (3.13) Alle disse overvejelser gør sig også gældende for flade, r (u, v), og der fås her et kritisk tidsunkt, t kritisk, = π 4. Integralet for bestemmelse af det totale energiotag for flade er således E tot, = π t kritisk, B + (t) dt = π B + π 4 (t) dt (3.14) Den totale flux, B + (t), skal dog først bestemmes før det totale energiotag over en hel dag kan beregnes. På samme måde som tidligere er fluxen givet ved dobbeltintegralet af rikroduktet mellem vektorfeltet og arametriseringens normalvektor. B + 1,rot (t) = 1 B +,rot (t) = V(r 1,rot (u, v)) N 1,rot du dv = cos(t) + sin(t) (3.15) V(r,rot (u, v)) N,rot du dv = cos(t) + sin(t) (3.16) For B 1,rot + (t) gælder, at den kun er indadgående for t [, t kritisk,1], og for B,rot + (t) gælder, at den kun er indadgående for t [t kritisk,, π], jf. ovenstående overvejelser. Den totale flux, B rot(t), + kan beskrives ved en funktion, der kan skrives å formen: B B rot(t) + 1,rot + (t) for t [ ], π 4 = B 1,rot + (t) + B+,rot (t) for t [ π 4, ] 3π 4 B,rot + (t) for t [ 3π 4, π] I figur 3.b ses den indadgående flux lottet som funktion af tiden. Den indadgående flux er jf. modelantagelserne lig med energiotaget i solfangeren til et vilkårligt tidsunkt. Det totale energiotag for en hel dag fås ved at integrere o over den indadgående flux fra til π. Her skal dog tages højde for, at flade 1 kaster skygge å flade, og vice versa, i løbet af dagen, som diskuteret ovenfor. Det totale energiotag fås ved integralet: E tot,rot = π B + rot(t) dt = 3π 4 π B 1,rot + (t) dt + B,rot + (t) dt = (3.17) Det totale energiotag gennem fladen er altså større, når den er laceret rygarallelt med x- aksen, end når den er laceret rygarallelt med y-aksen. Dette resultat stemmer godt overens med geometrien, da mere af solfangeren vender mod solen, når den er laceret rygarallelt med x-aksen. π 4 5

11 (a) Her ses solfangeren roteret vinklen π omkring z-aksen. Bemærk at solfangeren nu er rygarallel med x-aksen. (b) Her ses den indadgående flux for solfangeren, når den er roteret til at være rygarallelt med x- aksen. Den rikkede linje er den indadgående flux, når solfangeren er rygarallel med y-aksen. Figur 3.: Figurer, der illustrerer modelleringen af energiotaget for solfangeren fra delogave. 3.3 Rotation af solfanger med vilkårlig vinkel I denne delogave roteres fladen nu om z-aksen, så den danner en vinkel s med x-aksen. Rotationsmatricen er da: Figur 3.3: Plot af energiotag som funktion af drejningsvinklen s. Energiotaget er maksimalt ved s = svarende til at solfanger-ryggen er arallel med x-aksen. 6

12 cos(s) sin(s) R z,s = sin(s) cos(s) (3.18) 1 r 1,rot og r,rot drejes nu som i delogave, og fluxen udregnes å samme vis. Forskellen er her, at fluxen nu er en funktion af både s og t. De kritiske tidsunkter, hvor fluxen er lig (svarende til overgangen ositiv/negativ eller omvendt) er: t kritisk,1 = π arctan(cos(s)) (3.19) t kritisk = arctan(cos(s)) (3.) Energiotaget regnes igen som summen af integralet af de to delfluxe i de tidsintervaller, hvor fluxen er indadgående (defineret via hhv. t kritisk,1 og t kritisk, ). Det totale energiotag er nu en funktion af vinklen s og er givet ved integralet E tot,s = = π B + s (t) dt = π tan 1 (cos(s)) = 4 cos(s) tkritisk,1 B + 1,s (t) dt + π cos(t) cos(s) + sin(t) dt + B,s + t kritisk, π (t) dt tan 1 (cos(s)) cos(t) cos(s) + sin(t) dt I figur 3.3 ses det totale energiotag lottet som funktion af drejningsvinklen s. Det bemærkes, at det totale energiotag har et maksimum for solfangeren, når den er rygarallel med x-aksen (s = ), hvilket altså stemmer overens med forventningen i forhold til geometrien. 4 Enkeltkrummet solfanger - Indeholder ogave 3 I dette afsnit betragtes en solfanger, som er en enkeltkrummet cylinderflade. Den har rofilkurven i (x, z)-lanen givet ved z = 1 x, for x [ 1, 1] og y [ 1, 1]. 4.1 Parametrisering og normalvektor Nu findes først en arameterfremstilling for cylinderfladen. Denne fås ved at benytte rofilkurvens funktionsforskrift å z-koordinatet og hhv. u og v å x- og y-koordinatet. Parametriseringen bliver u r(u, v) = v, u [ 1; 1], v [ 1; 1] (4.1) 1 u Den indadgående normalvektor for fladen fås ved at krydse de to artielt afledte arameterfremstillinger med hensyn til hver af variablerne u og v med hinanden. Enhedsnormalvektoren fås herefter ved at dividere normalvektoren med dens længde givet ved kvadratroden af rikroduktet af vektoren med sig selv. Altså er normalvektoren givet ved N(u) = u r(u, v) r(u, v) = v u (4.) 1 7

13 (a) Her ses den enkeltkrummede solfanger, der modelleres i dette afsnit. Her rygarallel med y- aksen (b) Her ses den indadgående flux for solfangeren, når den er laceret rygarallelt med y-aksen. Figur 4.1: Figurer anvendt til modellering af den enkeltkrummede solfanger. Dette giver enhedsnormalvektoren som n(u) = N(u) N(u) N(u) = u 4u u + 1 (4.3) At normalvektoren, og dermed enhedsnormalvektoren, er indadgående for arametriseringen sikres ved blot at betragte fortegnene. Er den fremkomne normalvektor ikke indadgående for alle u for fladen, så kan dette ofte løses ved at bestemme den som krydsroduktet af de afledte af arameterfremstillingen for fladen i omvendt rækkefølge. Dette anvendes i senere ogaver. At normalvektoren er indadgående er en nødvendighed for at indadgående flux regnes som ositiv, og ikke negativ. 4. Indadgående flux og samlet energiotag Nu bestemmes den indadgående flux, B + (t), for solfangeren og derefter det samlede totale energiotag i løbet af dagen. Da den enkeltkrummede flade er laceret rygarallelt med y-aksen, vil solvektorfeltet å intet tidsunkt give en negativ flux gennem fladen. Fluxen som funktion af tiden kan således meget simelt udregnes ved nedenstående ortogonale fladeintegrale B + (t) = V(r(u, v)) N(u) du dv = 4 sin(t) (4.4) Da fluxen er B + (t) = 4 sin(t) ses, at fluxen er ositiv for hele dagen, t [, π], og det totale energiotag, E tot fås derfor blot ved integralet af fluxen over hele dage E tot = π 4 sin(t)dt = 8 (4.5) 8

14 (a) Prikroduktet (grønt svarer til ositivt) som funktion af u (vertikalt) og t (horisontalt). (b) u-grænsen som funktion af t. Figur 4.: Plots som anvendes til bestemmelse af grænserne for integrationen. Dette svarer ræcis til energiotaget i solfangeren af lane flader tidligere behandlet. 4.3 Rotation af solfanger med bestemt vinkel Her roteres solfangeren nu omkring z-aksen med vinklen s = π/, og den indadgående flux bestemmes som funktion af tiden, og det totale energiotag i løbet af dagen bestemmes. Igen benyttes rotationsmatricen fra ligning 3.8, som ganges å r(u, v). r rot, π (u, v) = R z, π r(u, v) = v u (4.6) 1 u Som før findes normalvektor, og fluxen bestemmes ved det ortogonale fladeintegrale af rikroduktet mellem vektorfeltet og normalvektoren. Normalvektoren er givet ved N rot, π (u) = u r rot, π (u, v) v r rot, π (u, v) = u (4.7) 1 Udfordringen for denne enkeltkrummede solfanger i forhold til solfangeren af lane flader er, at skyggegrænsen nu løber over cylinderen i takt med solens vandring, og at der således ikke findes ét kritisk tidsunkt, men en funktion, der beskriver hvilken del af solfangeren, der er belyst til bestemte tidsunkter. Denne funktion må da afhænge af en af arametriseringens arametre, hvorfor fluxen ikke kan bestemmes med de sædvanlige grænser i integralet. Her udnyttes, at vinklen mellem cylinderens normalvektor og solens vektorfelt må være ortogonal ved skyggegrænsen, hvilket svarer til, at deres rikrodukt er. V(x, y, z) N rot, π (u) = (4.8) Løses dette udtryk mht. u fås u grænse, π = 1 tan(t) (4.9) 9

15 Figur 4.3: Den indadgående flux for solfangeren, når den er roteret, så den er rygarallel med x-aksen. Den stilede kurve er den indadgående flux for fladen laceret rygarallel med y-aksen. Når rikroduktet mellem vektorfeltet og normalvektoren lottes, fås lottet, som ses i figur 4.a. Her er grænsefunktionen for u grænsen mellem de grønne og blå områder. Det er neto her, hvor vektorfeltet er vinkelret å fladen. Ved at udregne, hvornår grænsefunktionen skærer u-arameterens grænser (-1 og 1) ses det, at venstre del af tangensfunktionen ender ved t-værdien arctan(), mens den højre del af tangensfunktionen starter ved t-værdien π arctan(). For at udregne fluxen benyttes derfor nu en iecewise-funktion i Male. Integralet til bestemmelse af fluxen kan ostilles som følger 1 1 B + 1,rot, (t) = V(x, y, z) N(u) du dv for t tan 1 () π tan(t) B + rot, (t) = B + π,rot, (t) = V(x, y, z) N(u) du dv for tan 1 () < t π tan 1 () π B + 3,rot, π (t) = tan(t) V(x, y, z) N(u) du dv for π tan 1 () < t π Denne fluxfunktion ses lottet i figur 4.3. Den stilede kurve er den indadgående flux for solfangeren, når den var laceret rygarallel med y-aksen. Det ses, at den indadgående flux igen er større for denne enkeltkrummede solfanger, når den er laceret rygarallel med x-aksen, end når den er laceret rygarallel med y-aksen. Med den bestemte fluxfunktion kan det totale energiotag bestemmes ved blot at integrere fra til π. Dvs. at hver af de tre delfunktion integreres o over det tidsinterval, for hvilke de neto 1

16 er definerede. Der fås π E tot, π = = = π B + rot, (t) dt π B + 1,rot, (t) + B + π,rot, (t) + B + π 3,rot, (t) dt π tan 1 () tan(t) V(x, y, z) N rot, π π tan 1 () 1 1 tan 1 () π π tan 1 () 1 (u) du dv dt V(x, y, z) N rot, π (u) du dv dt 1 tan(t) 1 = (5 ln(5) + ln + ) 5 V(x, y, z) N rot, π (u) du dv dt 9.9 (4.1) I god overensstemmelse med lottet for den indadgående flux i figur 4.3 ses det igen, at det totale energiotag i løbet af dagen er større for solfangeren, når den er laceret rygarallel med x-aksen, og solvektorfeltet således rammer siderne af solfangeren, og der ikke går flux tabt i de åbne gavlområder. 4.4 Rotation af solfanger med vilkårlig vinkel I denne delogave roteres solfangeren en vilkårlig vinkel s omkring z-aksen. Formålet er, at bestemme den rotation af solfangeren, der giver det maksimale totale energiotag i løbet af dagen. De samme metoder, som er blevet brugt tidligere, anvendes også her, og der bestemmes å samme måde som før nye grænser for integralerne til bestemmelse af fluxen og energiotaget. Til rotation af solfangeren omkring z-aksen med vinklen s anvendes rotationsmatricen fra ligning 3.18, og her vælges at rotere den allerede roterede solfanger, således at vinklen s dannes mellem rofilkurve og y-akse, eller anderledes betragtet, mellem fladens ryglinje og x-aksen. Der fås følgende arametrisering v cos(s) u sin(s) r rot,s (u, v, s) = v sin(s) + u cos(s) (4.11) 1 u Denne arametrisering har følgende indadrettede normalvektor N rot,s (u, s) = u r rot, π (u, v) v r rot, π (u, v) = u sin(s) u cos(s) (4.1) 1 På samme måde som før bestemmes grænserne for arameteren u som funktion af tiden, og der ostilles intervaller for t, for hvilke forskellige integraler giver den indadgående flux. Hertil betragtes rikroduktet mellem solvektorfeltet og arametriseringens normalvektor. V(x, y, z) N rot,s (u, s) = (4.13) 11

17 (a) Her ses grænserne for arameteren u lottet i form fluxintegrandens (grøn) skæringer med nullanen (blå). De tre dele, som fluxfunktionen deles o i, afsejles af dette lot, da det kan odeles i tre intervaller for arameteren t. (b) Her ses det totale energiotag for solfangeren gennem en dag lottet som funktion af drejningsvinklen s. Når s = er solfangeren laceret rygarallel med x-aksen, og intet sollys går tabt ved gavlene, hvorfor energiotaget her er maksimalt. Figur 4.4: Figurer anvendt ved rotation af solfangeren med en vilkårlig vinkel s. Løses dette udtryk for tidsgrænsen mht. u fås u grænse,s = 1 tan(t) cos(s) (4.14) Denne grænse er som før vigtig for ostilling af en fluxfunktion, der udelukkende medtager ositiv indadgående flux for fladen. Prikroduktet mellem solvektorfeltet og normalvektoren ses lottet i figur 4.4a. Nu bestemmes tidsunkterne, hvor u-arameteren er lig hhv. 1 og 1, og der fås, at det første kritiske tidsunkt er t 1,s = tan 1 ( cos(s)), mens det andet er t,s = π tan 1 ( cos(s)). Vha. lottet i figur 4.4a kan der ostilles tre intervaller for tiden t, hvor fluxen for hvert interval kan bestemmes ved et ortogonalt fladeintegrale, som i forrige afsnit. Det første fluxintegrale fås for t [, t 1,s ] ved at integrere fra u = u grænse,s til u = 1. Det andet fluxintegrale fås for t ]t 1,s, t,s ] ved at integrere fra u = 1 til u = 1. Det sidste fluxintegrale fås da for t ]t,s, π] ved at integrere fra u = 1 til u = u grænse,s. Således ostilles fluxfunktionen herunder. For overskuelighedens skyld er delfluxene, vektorfeltet og normalvektoren notationsmæssigt forkortet fra B + i,rot,s (t, s) til B+ i,rot,s, fra V(x, y, z) til V og N rot,s(u, s) til N rot,s. B + 1,rot,s = B rot,s(t, + s) = B +,rot,s = B + 3,rot,s = tan(t) cos(s) tan(t) cos(s) V N rot,s du dv V N rot,s du dv 1 V N rot,s du dv for t tan 1 ( cos(s)) for tan 1 ( cos(s)) < t π tan 1 ( cos(s)) for π tan 1 ( cos(s)) < t π Det bemærkes, at der for denne fluxfunktion ostår et roblem for s = π/ (rygarallel med y-aksen), da cos(π/) =,og der så divideres med i den ene grænse for u. For det totale energiotag i løbet af dagen defineres for s = π/ at E tot, π = 8, jf. udregningerne fra første afsnit i denne delogave. Det totale energiotag til alle andre drejningsvinkler, dvs, cos(s), 1

18 findes ved integralet fra t = til t = π af B + rot,s(t, s). Der fås, at det totale energiotag er givet ved udtrykket herunder E tot,s (s) = = = π π B + rot,s(t) dt (4.15) B 1,rot,s + (t) + B+,rot,s (t) + B+ 3,rot,s (t) dt tan 1 ( cos(s)) tan(t) cos(s) π tan 1 ( cos(s)) 1 1 tan 1 ( cos(s)) π π tan 1 ( cos(s)) 1 V(x, y, z) N rot,s (u, s) du dv dt V(x, y, z) N rot,s (u, s) du dv dt 1 tan(t) cos(s) 1 V(x, y, z) N rot,s (u, s) du dv dt (4.16) Integralet lader sig ikke løses analytisk, men i figur 4.4b ses funktionen lottet. Det ses tydeligt, at energiotaget, som forventet, er maksimalt ved en rotation å s =, svarende til at fladen er rygarallel med x-aksen, og rofilkurven er arallel med y-aksen. 5 Energiotag gennem solfangere som kugleudsnit - Indeholder ogave 4 I tidligere afsnit er den indadgående flux, og derved energiotaget, ved relativt simle betragtninger vedrørende skygge/sol-belagte områder å en enkeltkrummet flade blevet bestemt. Denne metode udvides nu til omdrejningslegemer, hvilket selv for nogle af de simleste geometrier viser sig at være besværligt. 5.1 Energiotag gennem en enhedshalvkugle Da kun indadgående flux ønskes medregnet, søges en arametrisering, der kun medtager den solbelagte del af halvkuglen, som en funktion af tiden. For at simlificere roblemet startes der derfor med nogle overordnede betragtninger omkring en hel kugle. For en hel kugle vil der gælde, at den indadgående flux fra et konstant vektorfelt som solvektorfeltet altid vil være ositiv gennem den halvdel af kuglen, der vender mod vektorfeltet (solen) og negativt gennem den anden halvdel. Parametriseres en halvkugle, så dens centrum ligger i (,, ), kan den solbelagte og den skyggebelagte del af halvkuglen således adskilles med et lan, der står vinkelret å solvektorfeltet, og går gennem (,, ). Den olagte arametrisering er derfor at lade enhedshalvcirklen i (x, y)- lanens 1. og. kvadrant overstryge halvkuglen fra (x, y)-lanen og over til det å solvektorfeltet vinkelrette lan. Denne metode vil virke den første halvdel af dagen, men fordi solfangeren (halvkuglen) er symmetrisk gennem (x, z)-lanen, må energiotaget gennem den sidste halvdel af dagen være lig energiotaget gennem den første halvdel af dagen. Dette generelle resultat kan benyttes ved samtlige omdrejningslegemer, der roteres omkring z-aksen, hvilket også vil blive udnyttet senere. Den nævnte arametrisering realiseres ved at bruge en rotationsmatrix, der roterer halvcirklen omkring x-aksen i ositiv omløbsretning. Dette skal gøres i en vinkel fra 13

19 (a) Sol- og skyggebelagt enhedshalvkugle kl. 9 om formiddagen. (b) Den ositive flux gennem halvkuglen den første halvdel af dagen. Figur 5.1: Figurene anvendt og udarbejdet til og ved modellering af halvkuglen. til θ, hvor θ = π/ + t, da dette neto er vinklen mellem (x, y)-lanen og lanen vinkelret å solvektorfeltet. Parametriseringen bliver således (jf. [3, nr.19]), 1 r(u, v) = cos ( v ( π + t)) sin ( v ( cos(u) π + t)) sin ( v ( π + t)) cos ( v ( sin(u) (5.1) π + t)) cos(u) = cos ( v ( π + t)) sin(u) sin ( v (, u [; π], v [; 1] (5.) π + t)) sin(u) Denne arametrisering ses lottet kl. 9 om formiddagen i figur 5.1a. I følgende udregning bestemmes arametriseringens indadgående normalvektor, N(u, v, t), ved krydsroduktet mellem de artielt afledede af arametriseringen i forhold til hhv. u og v: 1 N(u, v, t) = r v(u, v) r (π + t) sin(u) cos(u) u(u, v) = 1 (π + t) cos ( 1 v(π + t)) sin (u) 1 (π + t) sin ( (5.3) 1 v(π + t)) sin (u) Nu bestemmes indadgående flux gennem halvkuglen som funktion af tiden ved at integrere rikroduktet mellem den indadgående normalvektor til arametriseringen og solvektorfeltet o over grænserne for u og v (jf. [3, nr. 6]) B + (t) = π 1 V(t) N(u, v, t) du dv = π (sin(t) + cos (t) + sin (t)) (5.4) Med denne funktion for den indadgående flux kan den indadgående flux gennem halvkuglen i løbet af den første halvdel af dagen lottes, som set i figur 5.1b. Det totale energiotag gennem halvkuglen fås nu ved at integrere o i forhold til tiden fra til π/, altså energiotaget mellem kl 6. og kl. 1., og gange med for at komensere for den halve dag jf. symmetriargumentationen. π/ E halvkugle = B + (t) dt = π + 1 π (5.5) 14

20 5. Energiotag gennem kuglekalot I det følgende bestemmes energiotaget i løbet af en dag gennem en enhedskuglekalot med z [; 1/], altså centrum i (,, 1/). Der haves dermed følgende ligning for kalotten: ( x + y + z + ) 1 [ = 1, z ; 1 ] En olagt arametrisering er således at bruge arametrene u = x og v = y og lade z-koordinaten afhænge af de to. Fordi z-koordinaten skal være ositiv, bliver radius af kuglekalotten mindre end enhedskuglen, som den er skåret ud af. Radius, a, kan bestemmes ud fra Ligning 5.6 ved at sætte y =, z = og derefter løse for x: (5.6) a = x = 1 ( ) 1 = a = (5.7) Den ene af arametrene, her u, sættes til at løbe mellem u [ 3/; 3/]. Radius, a, kan også benævnes bundradiusen af kuglekalotten, da bunden af kalotten udgøres af en cirkel med neto radius a. Parametrene u og v, skal således altid antage værdier, så et unkt befinder sig inden for denne bundcirkel i (u, v) = (x, y)-lanet. Til en given u-værdi, u [ 3/; 3/], kan grænserne således ostilles for v-arameteren ved følgende betragtning: [ ] 3 3 u + v a v 4 u ; 4 u (5.8) Kuglekalotten kan derfor arametriseres å følgende vis: u [ ] [ ] r(u, v) = v , u 1 u v 1 ;, v 4 u ; 4 u (5.9) Kuglekalotten er afbilledet i figur 5.a. Nu bestemmes den indadgående normalvektor for arametriseringen og rikroduktet af denne med solvektorfeltet å sædvanlig vis: N(u, v) = r v(u, v) r u(u, v) = N(u, v) V(t) = sin(t) + u 1 u v v 1 u v 1 (5.1) v cos(t) 1 u v (5.11) Fordi der blot skal integreres o over områder med ositiv flux, når energiotaget bestemmes, findes en ny grænse for v-arameteren, der er afhængig af, hvor å kalotten rikroduktet mellem den indadgående normalvektor og solvektorfeltet er (grænsen mellem negativ og ositiv flux). Ved hjæl af ligning 5.11 fås: N(u, v) V(t) = v skyggegrænse (u, t) = tan(t) u 1 tan (t) + 1 (5.1) For at give et overblik afbilledes skyggegrænsen fra ligning 5.1 til fire forskellige tider i figur 5.b. Som med halvkuglen er kuglekalotten ligeledes symmetrisk i (x, z)-lanet, og derfor kan det totale energiotag i løbet af en dag, beregnes som gange energiotaget gennem den første halvdel af dagen. Dette er dog ikke simelt. For at kunne dette, må den første halvdel af dagen deles o i fire dele. I den første del af dagen er der, som vist å figur 5.b, områder i siderne af kalotten, der er fuldt olyst, svarende til u-værdier i intervallerne u [ 3/; skæring 1 (t)] og 15

21 (a) Kuglekalotten lottet vha. arametriseringen fra ligning 5.9. (b) Bundcirklen lottet sammen med skyggegrænsen fra ligning 5.1 i (u, v) = (x, y)-lanet. Figur 5.: Figurerne anvendt til modellering af kuglekalotten. u [skæring (t); 3/], hvor skæring 1 (t) og skæring (t) betegner u-koordinaterne i skæringsunkterne mellem bundcirklen og skyggegrænsen. Disse funktioner findes ved at løse følgende for u: v skyggegrænse (u, t) = a u (5.13) 4 cos (t) 1 4 cos (t) 1 skæring 1 (t) = og skæring (t) = (5.14) cos(t) cos(t) I disse områder skal der integreres o over de sædvanlige v-grænser for arametriseringen, mens der i midten skal integreres o fra skyggelinjen beskrevet i ligning 5.1 til den øvre v-grænse. Som indikeret å figur 5.b, kommer der desuden et tidsunkt, hvor kalotten er fuldt olyst, svarende til, at skyggegrænsen ikke længere skærer bundcirklen. Dette tidsunkt findes således: skæring 1 (t) = skæring (t) = t olyst = π 3 (5.15) Efter dette tidsunkt skal hele kalottens flux medtages. Med resultaterne af disse overvejelser kan enhedskuglekalottens energiotag gennem en hel dag nu beregnes ved følgende: t olyst skæring 1(t) 3/4 u E 1 = N(u, v) V(t) dv du dt.89 (5.16) E = t olyst E 3 = t olyst 3/ skæring (t) 3/4 u 3/4 u skæring 1(t) v skyggegrænse (u,t) 3/ 3/4 u skæring (t) 3/4 u N(u, v) V(t) dv du dt (5.17) N(u, v) V(t) dv du dt.89 (5.18) 16

22 E 4 = π/ t olyst 3/ 3/4 u 3/ 3/4 u N(u, v) V(t) dv du dt = 3π 8 (5.19) E kuglekalot = (E 1 + E + E 3 + E 4 ) (5.) 5.3 Energiotag gennem en trekvart enhedskugleflade Ved en trekvart enhedskugleflade forstås den flade, der er givet ved ligningen 5.1: ( x + y + z ) 1 = 1, z (5.1) Da det ositive energiotag gennem en hel enhedskugle er let at udregne, betragtes energiotaget for den kuglekalot, der mangler i bunden af trekvart enhedskuglefladen for, at den er en hel enhedskugle. Bortset fra, at denne kuglekalot vender nedad, er denne og den tidligere betragtede kuglekalot helt ens og udregningerne er derfor fuldstændigt analoge til dem foretaget i sidste afsnit. Derfor nævnes kun de vigtigste forskelle, mens de detaljerede udregninger kan findes i det vedhæftede Male-bilag A. Da tocirklen å den nu nedadvendte kuglekalot har samme radius a, bliver grænserne for arametriseringen de samme. Parametriseringen, den indadgående normalvektor samt rikroduktet mellem den indadgående normalvektor og solvektorfeltet bliver derfor som følger: r(u, v) = u v 1 1 u v, u [ 3 ; N(u, v) = r u(u, v) r v(u, v) = ] [ 3 3, v 4 u ; u 1 u v v 1 u v 1 ] 3 4 u (5.) (5.3) v cos(t) N(u, v) V(t) = sin(t) (5.4) 1 u v Findes skyggegrænsen mht. v-arameteren, fås følgende, som er lottet i figur 5.3b sammen med tocirklen: N(u, v) V(t) = v skyggegrænse (u, t) = tan(t) u 1 tan (t) + 1 Skæringerne mellem skyggegrænsen og tocirklen bliver som før: 4 cos (t) 1 4 cos (t) 1 skæring 1 (t) = og skæring (t) = cos(t) cos(t) (5.5) (5.6) Da der i løbet af den første halvdel af dagen kun er sol for ositive y-koordinater, og den nederste grænse for v-arameteren (figur 5.3b) hele tiden er den fundet i ligning 5.5, bliver denne udregning væsentlig simlere end den tilsvarende i forrige afsnit. Da der ydermere kun er sol å den nedadvendte kalot indtil tiden (udregnet som før) t skygge = π/3, er der kun et bidragende led til energiotaget, nemlig det midterste led fra før (E ). Dette medregnes to gange for hver halvdel af dagen, og der fås E nedadvendtkuglekalot = t skygge skæring (t) 3/4 u skæring 1(t) v skyggegrænse (u,t) N(u, v) V(t) dv du dt.413 (5.7) 17

23 (a) Den nedadvendte kuglekalot lottet vha. arametriseringen fra ligning 5.. (b) Tocirklen lottet sammen med skyggegrænsen fra ligning 5.5 i (u, v) = (x, y)-lanet. Figur 5.3: Figurerne anvendt til modellering af grænserne for kuglekalotten. Nu bestemmes energiotaget gennem en hel enhedskugleflade i løbet af en hel dag. For det konstante solvektorfelt vil der altid, som før beskrevet, være ositiv flux, svarende til sol, gennem den halvdel af kuglen, der vender mod solen. For at simlificere roblemet kan halvkuglen fra det forrige afsnit og solvektorfeltet kl. 1 betragtes, hvor hele halvkuglen er olyst: sin(u) cos(v) r(u, v) = sin(u) sin(v), u cos(u) [ ; π ], v [; π] (5.8) Den indadgående normalvektor for arametriseringen findes, og rikroduktet mellem denne og solvektorfeltet kl. 1. bestemmes: N(u, v) = r v(u, v) r u(u, v) = sin (u) cos(v) sin (u) sin(v) (5.9) cos(u) sin(u) ( π ) N(u, v) V = cos(u) sin(u) (5.3) Da der ingen skygge er, integreres der o over grænserne for arametrene u og v og over hele dagen for tiden t. Der fås E helenhedskugle = π π π/ cos(u) sin(u) du dv dt = π (5.31) Nu fås energiotaget gennem den betragtede trekvarte enhedskugle ved at trække energiotaget gennem den nedadvendte kuglekalot fra dette resultat: E trekvartenhedskuglekalot = E helenhedskugle E nedadvendtkuglekalot (5.3) 5.4 Sammenligning af energiotaget r. overfladeareal I de foregående afsnit blev det set, hvordan energiotaget har været størst gennem de enhedskugleudsnit, hvor mest muligt af enhedskuglen er medtaget i udsnittet. I det følgende undersøges, 18

24 Tabel 5.1: Energiotag, overfladeareal samt forholdet mellem disse for de tre enhedskugleudsnit. Figur Energiotag Overfladeareal E/A Halvkugle π Kuglekalot π Trekvart kugle π 1.34 hvilken af solfangerne, der har det største totale energiotag r. overfladeareal i løbet af en hel dag. Overfladearealet af en kugle med radius r er givet ved A = 4πr. En enhedskugle må således have overfladearealet A 1 = 4π, og enhedshalvkuglen A = π. Overfladearealet af kuglekalotten fås ved at bruge arameterfremstillingen fra det tilhørende afsnit. Overfladearealet fås som integralet over arametriseringsgrænserne med Jacobi-funktionen som integrand. Jacobifunktionen er givet ved længden af den allerede udregnede normalvektor. Udregnes dette integral (se Male-ark A), fås overfladearealet af enhedskuglekalotten til A 3 = π, mens den trekvarte enhedskugleflade som følge heraf må have overfladearealet A 4 = 4π π = 3π. Energiotagene, overfladearealerne samt forholdet mellem disse, E/A, er ostillet i tabel 5.1. Det kan altså konkluderes, at enhedskuglekalotten har det relativt største energiotag i forhold til overfladeareal. Dette overrasker ikke, da kuglekalotten skygger mindst for sig selv. 6 Enkelt glaslinjesolfanger i lanen - Indeholder ogave 5 I dette afsnit betragtes en simlificeret situation, hvor solfangerne begrænses til lanen og udgøres af lane kurver. Solvektorfeltet kan så beskrives ved V(t) = ( cos(t), sin(t)), hvor t [; π]. Solen står altså o til højre og går ned til venstre. I denne forbindelse undersøges en enkelt ret glaslinje med længden x, som er en del af en trekant-solfanger. Linjen undersøges i to forskellige situationer, hvor den har henholdsvis en sids og en stum vinkel ind mod solfangeren som illustreret i figur 6.1. Desuden medtages linjens rojektion ned i x-aksen, som har længden x. Det totale energiotag i løbet af en hel dag, E total, for glaslinjen ønskes bestemt i hver af de to situationer. Først betragtes den sidsvinklede solfanger. Solfangerens sidse vinkel kan trigonometrisk udtrykkes som θ = arccos ( ) x x. Den indadgående enhedsnormalvektor, n, kan så findes ved at udnytte, at den udadgående enhedsnormalvektor må have vinklen ϕ = π arccos ( ) x x med x-aksen i ositiv omløbsretning. Den udadgående enhedsnormalvektor kan således skrives som (cos (ϕ), sin (ϕ)). Dernæst udnyttes, at den indadgående og udadgående enhedsnormalvektor har modsat retning, hvorved følgende udtryk for n onås: n = ( cos ( π arccos ( x x )), sin Fluxintegranden, V n, får altså følgende udseende: ( π ( x V n = cos(t) cos arccos x )) + sin(t) sin ( π arccos ( x x ))) ( π ( x )) arccos x Dernæst kan det udnyttes, at fluxen til ethvert givet t naturligvis er konstant langs hele linjen, hvorfor x V n blot kan integreres i det tidsinterval, hvor solfangeren er olyst, for at bestemme E total. Det skal her bemærkes, at solfangeren, i forhold til modelantagelserne, naturligvis vil være olyst indtil det tidsunkt, hvor solvektorfeltet er arallelt med glaslinjen, da vinklen mellem vektorfeltet og n herefter vil være over π. Jævnfør kendskabet til den sidse vinkel i solfangeren (6.1) (6.) 19

25 Figur 6.1: Trekant-solfanger med henholdsvis sids og stum vinkel [5]. integreres udtrykket x V n altså fra t = til t = π arccos ( ) x x for at bestemme Etotal. Herved onås følgende resultat: E total = π arccos( x x ) x V n dt = x + x (6.3) Det samlede energiotag i løbet af en dag for en glaslinje, som er en del af en sidsvinklet trekantsolfanger, er altså lig summen af glaslinjens længde og længden af dens rojektion ned å x-aksen. Nu betragtes den stumvinklede solfanger. Glaslinjens vinkel med x-aksen målt mod uret kan trigonometrisk udtrykkes som θ = arccos ( ) x x. Den indadgående enhedsnormalvektor må så have vinklen ϕ = π arccos ( ) x x ind mod solfangeren. Dette giver følgende udtryk for n: n = ( cos ( π arccos ( x x )), sin ( π ( x ))) arccos x Fluxintegranden, V n, får altså i dette tilfælde følgende udseende: ( π ( x )) ( π ( x )) V n = cos(t) cos arccos sin(t) sin x arccos x Som ved den sidsvinklede solfanger vil fluxen også her være konstant langs hele linjen til ethvert t, hvorfor det igen er udtrykket x V n, der skal integreres i det korrekte tidsinterval. I denne situation vil solvektorfeltet dog være arallelt med linjen ved t = arccos ( ) x x, hvorfor udtrykket x V n skal integreres fra t = til denne værdi. Følgende resultat onås: E total = arccos( x x ) (6.4) (6.5) x V n dt = x x (6.6) Det samlede energiotag i løbet af en dag for en glaslinje, som er en del af en stumvinklet trekant-solfanger, er altså lig længden af glaslinjen minus længden af dens rojektion ned å x-aksen. 7 Solfangere obygget af glaslinjer - Indeholder ogave 6 Nu afrøves to solfangere, som hver er obygget af to glaslinjer, og hvis konstruktion ses illustreret i figur 7.1. Begge solfangere udgøres af en trekant, hvis grundlinje ligger mellem brændunkterne i en ellise, og hvis tounkt ligger å selve ellisen. Den blå trekant er ligebenet,

26 Figur 7.1: Illustration af de afrøvede solfangere [5]. og den grønne er stumvinklet. Først ønskes bestemt, hvilken af de to solfangere, der har det største E total. Til dette formål udnyttes de tidligere fundne sammenhænge. Den blå solfanger udgøres af to glaslinjer med sidse vinkler ind mod solfangeren, som således hver især vil have et E total svarende til summen af deres længde og længden af deres rojektion ned å x-aksen. På baggrund af figur 7.1 indses det let, at E total for den blå solfanger således vil svare til længden af dens grundlinje lus længderne af de to glaslinjer. Den grønne solfanger udgøres derimod af en glaslinje med sids vinkel ind mod solfangeren og en glaslinje med stum vinkel ind mod solfangeren. E total for den stumvinklede glaslinje vil altså svare til dens længde minus længden af dens rojektion ned å x-aksen. Det ses ud fra figur 7.1, at rojektionen af den stumvinklede glaslinje ned å x-aksen neto svarer til det stykke, som rojektionen af den sidsvinklede glaslinje er længere end trekantens grundlinje. Den grønne solfanger vil således også have et E total svarende til længden af dens grundlinje lus længderne af de to indgående glaslinjer. Da de to solfangeres trekanter har nøjagtig samme grundlinje, idet grundlinjen udgøres af afstanden mellem brændunkterne i den samme ellise, er det således kun længden af de linjer, der danner hver solfanger, som har betydning for hvilken solfanger, der har det største E total. Imidlertid er linjerne i begge solfangere faktisk brændstråler, idet linjerne i hver solfanger går fra ellisens brændunkter til det samme vilkårlige unkt å ellisen. Det gælder som bekendt om brændstråler, at summen af deres længder altid er lig storaksen i den ellise, som de er brændstråler i. Eftersom begge solfangere er indlagt i samme ellise, kan det således konkluderes, at summen af længderne af de to grønne glaslinjer er lig summen af længderne af de to blå glaslinjer. Af disse grunde må de to solfangere have samme E total. Dernæst undersøges, hvilken af de to solfangere, der har det største energiotag r. glaslinjelængde. Imidlertid er det neto konkluderet, at de to solfangere har samme E total og i den forbindelse endvidere udledt, at summen af de indgående glaslinjers længder er den samme for begge solfangere. Altså må begge solfangere også have det samme energiotag r. glaslinjelængde. Til sidst ønskes bestemt, hvilken af solfangerne, der har det største areal i forhold til E total. Eftersom begge solfangere har det samme E total, er dette udelukkende et sørgsmål om, hvilken solfanger, der har det største areal. Begge solfangere udgøres af trekanter. Arealet af en trekant afhænger kun af grundlinje og højde jf. formlen A = 1 lh. Det er dog allerede konkluderet, at de to trekanter har samme grundlinje, hvorfor kun deres højder har betydning. Idet de linjer, som danner hver trekant, har den samme totale længde, kan det let udledes, at den ligebenede trekant må have en større højde end den stumvinklede, hvad der også understøttes af figur 7.1. Således kan det konkluderes, at den blå solfanger har det største areal i forhold til E total. 1

27 Figur 8.1: Illustration af to olygon-solfangere. 8 Plane solfangere af lukkede konvekse glaskurver - Indeholder ogave 7 Nu flyttes fokus videre til mere generelt at afrøve de fundne sammenhænge for glaslinjer å to lane solfangere, der er olygoner, som otentielt kunne svæve i luften eller understøttes af stilladser. Dette gør ingen forskel for E total, da solen aldrig kommer nedefra. Dette er en følge af modelantagelsen om, at solens afstand til jorden er så stor, at solvektorfeltet består af arallelle vektorer. De to undersøgte solfangeres obygning ses illustreret i figur 8.1. Først betragtes solfangeren til venstre og E total bestemmes. Denne solfanger udgøres af tre searate glaslinjer a, b og c. Det indses relativt let, at b og c har sidse vinkler ind mod solfangeren, mens a har en stum vinkel ind mod solfangeren. Rent fysisk kan det ointeres, at b og c således vil være olyste i mere end halvdelen af dagen, mens b vil være olyst i mindre end halvdelen af dagen. Kaldes rojektionen af linjen a ned å x-aksen nu for a, mens samme notation benyttes for de to andre linjer, onås følgende udtryk for solfangerens E total via de tidligere fundne sammenhænge: E total = a a + b + b + c + c (8.1) Imidlertid ses det ud fra figur 8.1 relativt let at a = b + c. Udnyttes denne sammenhæng, ses det, at E total for den venstre solfanger har følgende værdi: E total = a + b + c (8.) Det bemærkes altså, at solfangerens energiotag i løbet af en hel dag er lig dens omkreds. Nu betragtes solfangeren til højre. Denne solfanger udgøres af glaslinjerne a, b, d og e. Ved som før at vurdere, hvor længe hver linje vil være olyst, indses det let, at b og d har sidse vinkler ind mod solfangeren, mens a og e har stume vinkler ind mod solfangeren. Anvendes samme notationskonvention som før, onås et udtryk for solfangerens E total. Dog skal det her bemærkes, at rojektionen af d ned å x-aksen er lig d selv. Udtrykket får følgende udseende: E total = a a + b + b + d + e e (8.3) Ud fra figur 8.1 ses, analogt til den anvende solfanger, at d + b = a + e. Udnyttes denne sammenhæng, onås følgende værdi af E total for den højre solfanger: E total = a + b + d + e (8.4) Igen ses det, at solfangerens energiotag i løbet af en hel dag er lig dens omkreds. I forlængelse af de neto onåede resultater bemærkes det, at E total i forbindelse med de to trekant-solfangere også svarede til deres omkreds, selvom en del af omkredsen lå nede i jorden. På baggrund af disse observerede resultater vil en generel sammenhæng nu forsøges udledt. En vilkårlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler å jorden, vil altid kunne reræsenteres ved et antal tilstrækkeligt små linjestykker, hvorfor tilsvarende

28 observationer burde kunne gøres for en sådan solfanger. Af denne grund konkluderes det, at E total for enhver vilkårlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler å jorden, vil svare til kurvens længde. Længden af kurven vil jo neto være identisk med omkredsen af den figur, som kurven danner. E total for enhver solfanger af den nævnte tye vil således kunne bestemmes ved blot at bestemme dens omkreds. 9 Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetode - Indeholder ogave 8 Nu forsøges den neto fundne sammenhæng overført til solfangere i rummet og i den forbindelse betragtes igen den enkeltkrummede arabelsolfanger laceret rygarallelt med y-aksen. I denne sammenhæng havde solfangeren som bekendt arameterfremstillingen i Ligning 5.. I denne situation kan solfangeren faktisk reræsenteres ved en lang række identiske lukkede konvekse stykkevist differentiable glaskurver, som alle kan siges at være beliggende i (x, z)-lanen, om end de har forskellige y-værdier. Jævnfør de tidligere fundne sammenhænge, må solfangerens samlede E total således svare til summen af længderne af alle disse lukkede kurver. Det kan relativt let indses, at denne sum vil svare til arealet af den flade, som udgør solfangeren lus arealet af solfangerens bund i xy-lanen. Altså må det være muligt at verificere det tidligere fundne resultat ved at beregne solfangerens E total med den neto beskrevne metode og sammenligne de to værdier. Solfangerens bund er kvadratisk med sidelængden, hvorfor dens areal vil være 4. Det er således kun arealet af den flade, som udgør solfangeren, der skal bestemmes. Dette gøres å sædvanlig vis. I denne forbindelse anvendes Jacobi-funktionen, der beregnes med formlen Jacobi r = r u(u, v) r v(u, v). Selve udregningen ses i bilagene. Den fundne Jacobi-funktion er oskrevet i ligning 9.1. Jacobi r = 4u + 1 (9.1) Arealet bestemmes derefter som altid ved at integrere i de gældende arametergrænser. Selve udregningen ses i bilagene. Følgende værdi for arealet af solfangerens flade onås. A (9.) Lægges denne værdi sammen med bundens areal å 4, onås E total = , der neto er det samme resultat, som tidligere blev onået ved udregning med skyggelinjer. Herved er det tidligere resultat verificeret, og en simel metode til bestemmelse af E total for enkeltkrummede solfangere, der vender o mod solen, er blevet eftervist. 1 Rotation af enkeltkrummet solfanger - Indeholder ogave 9 Nu ønskes det afgjort, hvorledes en vilkårlig enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund skal drejes omkring z-aksen for at give maksimalt E total. Dette kan gøres ud fra nogle logiske betragtninger. Enhver enkeltkrummet solfanger vil, uanset dens obygning, være fuldt olyst i et eller andet tidsinterval omkring midten af dagen om ikke andet så ved t = π/. Så længe solfangeren er fuldt olyst, vil dens energiotag naturligvis ikke åvirkes af, hvorvidt den er drejet en eller anden given vinkel omkring z-aksen. Drejningsvinklen har således kun betydning for energiotaget i de tidserioder, hvor solfangeren ikke er fuldt olyst. Disse tidserioder vil generelt ligge omkring starten og slutningen af dagen. Tager man så udgangsunkt i den situation, hvor solfangerens rofilkurve er arallel med y-aksen, kan det let indses, at al den sol, som sendes mod solfangeren, fx ved t =, vil ramme overfladen og blive otaget. Drejes solfangeren derefter, så dens ledekurve danner en vinkel med y-aksen, vil noget af den sol, som 3

29 sendes mod solfangeren, ved fx t =, ramme bagsiden af den modsatte overflade og således gå til silde. Jo større drejningsvinklen er, jo mere sol vil der gå til silde, o til det unkt, hvor solfangeren er drejet vinklen π/, således at gavlene vender mod y-aksens ender. I denne situation vil der slet ikke være noget energiotag ved t =. Man kan altså let indse, at den eneste situation, hvor der aldrig er noget sol, der går til silde, er den, hvor rofilkurven er arallel med y-aksen. Dette må således logisk set være den ideelle lacering af solfangeren. Enhver enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund vil altså have maksimalt E total, hvis den er drejet, så rofilkurven er arallel med y-aksen. 11 Generel betragtning af omdrejningsflade - Indeholder ogave 1 og 13 I det følgende afsnit gøres generelle betragtninger i forbindelse med integralformlen for omdrejningsflader, der introduceres i Projektkørelanen [5] Undersøgelse af funktionen ElliticE I denne delogave undersøges funktionen ElliticE. Male definerer ElliticE-funktionen å følgende måde: 1 1 x t x t ElliticE(x) = dt ElliticE(ix) = 1 t 1 t dt (11.1) Det ses her tydeligt, at funktionen ElliticE(x) minder om det inderste integrale i funktionen for E total af omdrejningslegemer. Det ses desuden, at ElliticE(x) antager reelle funktionsværdier for x < 1, hvor den ved x = 1 antager funktionsværdien 1. For ElliticE(ix) ses det, at denne funktion antager reelle funktionsværdier for alle x R. Det ses desuden af nedenstående graf, at ElliticE(ix) bevæger sig asymtotisk mod funktionsværdien x for store x-værdier. (a) Funktionen ElliticE(x). Det er her tydeligt, at funktionen kun er defineret for x 1. (b) Funktionen ElliticE(ix). Det er her tydeligt, at funktionen går asymtotisk mod funktionsværdien x for store x-værdier. Figur 11.1: Figurerne anvendt til undersøgelse af ElliticE-funktionen. 4

30 (a) Her ses den omtalte omdrejningskegle. (b) Her ses lottet af rikroduktet mellem vektorfeltet og omdrejningskeglens normalvektor. Det blå område å figuren indikerer indadgående flux, røde områder indikerer udadgående flux. Figur 11.: Figurerne anvendt til undersøgelse af omdrejnignskeglen. For begge funktioner gælder, at de er kontinuerte og differentiable, hvor begge funktioners stamfunktioner består af generaliserede, hyergeometriske funktioner. Funktionernes afledte er definerede overalt å funktionernes resektive definitionsmængde og består af ellitiske funktioner (differentialet er dog ikke defineret for x = for nogen af de to funktioner og ej heller ±x = 1 for ElliticE(x)). 11. Modellering af omdrejningskegle Som indledning til udledningen af integralformlen for omdrejningsflader betrages i denne delogave en omdrejningskegle med bundradius r og højde h. De elementære metoder anvendt i de første ogaver genanvendes i denne ogave til bestemmelse af grænserne for integralerne. Først arametriseres omdrejningskeglen som funktion af dens bundradius og højde ved ur cos(v) r(u, v, h, r) = ur sin(v), u [, 1], v [ π, π] (11.) h hu I figur 11.a ses et lot af omdrejningskeglen. Normalvektoren for arameterfremstillingen er urh cos(v) N(u, v, h, r) = urh sin(v) (11.3) r u 5

31 For at finde skyggegrænsen over keglefladen betragtes som sædvanligt rikroduktet mellem solvektorfeltet og arametriseringens normalvektor. ( ) h sin(v) V (r(u, v, h, r)) N(u, v, h, r) = = t kritisk,n = tan 1 + nπ, n Z (11.4) r Plottes rikroduktet mellem solvektorfeltet og arametriseringens normalvektor for værdier af r, h og u, fås lottet afbildet i figur 11.b, der illustrerer grænserne, der skal anvendes for at bestemme det totale energiotag over en dag for omdrejningskeglen. Det blå område å figuren indikerer indadgående flux, mens de røde områder indikerer udadgående ) flux. Det ses heraf, at der for v [ π, ] skal integreres fra t kritisk, = tan 1 ( h sin(v) r til π, mens der for v [, π] ( ) skal integreres fra til t kritisk,1 = π tan 1 h sin(v) r. Med styr å grænserne kan integralet ostilles, og et udtryk for det totale energiotag over en dag kan udregnes ved 1 π E tot = V (r) N dt dv du + π t kritisk, ( ) =r π + r ElliticE h r 1 π tkritisk,1 V (r) N dt dv du (11.5) Dette udtryk kan simlificeres ved at faktorisere og anvende at 1 = i. Dette gøres herunder, mens der indføres størrelsen a = h r. ( ) E tot = r π + r ElliticE h r (11.6) = r (π + ElliticE (a i)) (11.7) Dette er det analytiske udtryk for den eksakte værdi af det totale energiotag for en oretstående omdrejningskegle Udledning af integralformlen Resultatet fra ligning 11.7 kan bruges til at udlede integralformlen, der aroksimerer en omdrejningsflade med uendeligt mange, uendeligt små vandrette kegleudsnit. Først betragtes dog et vandret kegleudsnit med en endelig størrelse. Af ligning 11.7 ses, hvordan energiotaget i en oretstående kegle kun er afhængig af dens bundradius r og størrelsen a = h/r, der jo svarer til rofilkurvens hældning med omvendt fortegn. Bundradiusen er ydermere blot længden af rofilkurvens rojektion å x-aksen, og således betragtes blot rofilkurven i D, fremfor keglen i 3D. På figur 11.3a betragtes et tilfældigt vandret kegleudsnit, dvs. et stykke af keglen, der er skåret ud af to vandrette laner, her markeret med blåt. Et sådant tilfældigt vandret kegleudsnit er givet ved henholdsvis u, som er afstanden fra det øverste lans skæring med keglens yderside til omdrejningsaksen, og u, som er forskellen i samme afstand fra det øverste lan til det nederste. Givet rofilkurvens hældning, kan energiotaget gennem det tilfældige vandrette kegleudsnit beregnes som energiotaget i en kegle med bundradius u + u fratrukket energiotaget i en kegle med bundradius u. På figur 11.3a svarer dette til energiotaget i keglen bestående af det røde og det blå område fratrukket energiotaget i keglen bestående af det røde område. Anvendes ligning 11.7 fås: E udsnit = ( (u + u) u ) (π + ElliticE(ai)) (11.8) = ( u u + u ) (π + ElliticE(ai)) (11.9) = (u + u) (π + ElliticE(ai)) u (11.1) 6

32 (a) Koncetionel D tegning af et vandret kegleudsnit (blåt). (b) Den givne ledekurve inddeles i stykker med bredden u, der aroksimeres med et vandret kegleudsnit. Figur 11.3: Figurerne anvendt i forbindelse med udledningen af integralformlen. Nu betragtes et tilfældigt omdrejningslegeme, der fremkommer, ved rotation af en aftagende (z (u) ) rofilkurve z(u) i 1. kvadrant i (x, z)-lanen omkring z-aksen. Idet rofilkurven er aftagende, kan energiotaget aroksimeres i et sådant omdrejningslegeme ved at dele rofilkurven o i et antal stykker med bredden u, der hver især aroksimeres med et vandret kegleudsnit som illustreret i figur 11.3b. Energiotaget bliver således aroksimeret ved summen af de vandrette kegleudsnits energiotag, der kan beregnes med ligning 11.1, hvor a = z (u). Gøres u så uendelig lille, aroksimerer kegleudsnittene rofilkurven uendelig godt, og u kan skiftes ud med du. Ydermere bliver leddet u+du uendeligt tæt å u. I grænsen, hvor stykkerne bliver uendeligt små, kan summen erstattes af et integrale. Dette giver altså: E total = r u(π + ElliticE( z (u)i))du (11.11) Dernæst anvendes definitionen å ElliticE-funktionen, hvorved energiotaget i ethvert omdrejningslegeme, der dannes af en ositiv aftagende rofilkurve, z(u), altså kan udregnes ved: E total = r u π z (u) τ 1 τ dτ du (11.1) 1 Eftervisning af integralformel - Indeholder ogave 1 I denne del undersøges integralformlens (Ligning 11.1) anvendelighed å enhedshalvkuglen og kuglekalotten, som blev behandlet tidligere. Formlen anvendes nu å enhedshalvkuglen, der har ledekurven 1 u. Det bemærkes, at denne ikke er differentiabel i u = 1, hvorfor grænsen må 7

33 modificeres til at være tæt å 1. Således løses integralet u ( 1 u ) τ E total = u(π + dτ, dx 8.77 (1.1) 1 τ Dette ses at stemme fint overens med den foregående og mere manuelle metode. Grunden til den lille forskel er, at man ikke kan integrere helt o til den virkelige grænse å 1. Integralformlen anvendes nu å kuglekalotten, der har ledekurven 1 u 1/ samt radius (og dermed grænsen) 3/. ( 1 u 1 ) τ E total = 3 1 u(π u 1 τ dτ, dx (1.) Resultatet stemmer nu fuldstændigt overens med det manuelle resultat, hvorfor integralformlen må siges at være eftervist for de to tilfælde og en del nemmere at arbejde med end den manuelle metode. Det eneste, der kræves, er integralets grænse og en ledekurve for det omdrejningslegeme, der betragtes, hvilket naturligvis også begrænser formlens anvendelighed til legemer, der kan beskrives som omdrejningslegemer. 13 Solfanger som nedadvendt omdrejningsaraboloide - Indeholder ogave 11 I denne sektion undersøges en solfanger, som er en nedadvendt omdrejningsaraboloide. Målet er at skitsere solfangerens totale energiotag r. arealenhed som funktion af højden. Denne araboloide har bundcirklen {(x, y, z) x + y = 1 og z = } og tounktet (x, y, z) = (,, h). En arametrisering af ledekurven for dette omdrejningslegeme skal ofylde, at Z(u, h) = når u = 1 samt Z(u, h) = h når u =, idet u ligger mellem og radius af araboloidens grundcirkel, som er 1. En sådan ledekurve er givet ved Z(u, h) = h(1 u ). Paraboloiden skal nu arametriseres, hvilket er ligetil, idet z-koordinaten er givet ved ledekurvens arameterfremstilling, og x- og y-koordinaten er givet ved arameterfremstillingen for enhedscirklen, idet x + y = 1. Dette er analogt til at gange ledekurven med rotationsmatricen i ligning Dermed bliver arametriseringen af araboloiden følgende r(u, v, h) = u cos(v) u sin(v), u [; 1], v [; π] (13.1) h(1 u ) Nu hvor arametriseringen er blevet fastlagt, kan arealet af araboloidens overflade som funktion af højden findes ved hjæl af fladeintegralet. Først bestemmes Jacobi-funktionen. Jacobi r(u,v,h) = u r(u, v, h) r(u, v, h) v = u 4h u + 1 (13.) Dernæst bestemmes fladeintegralet og dermed overfladearealet A araboloide = π 1 u 4h u + 1 du dv = π(4h 4h h + 1 1) 6h (13.3) Energiotaget findes nu ved hjæl af integralformlen, hvorefter energiotaget r. areal lottes som funktion af højden i 13.1a. Nu laceres en cylinder inden i araboloiden, hvorefter det ønskes at beregne cylinderens højde og radius, samt araboloidens højde, således at araboloiden har 8

34 (a) Energiotag r. arealenhed som funktion af højden for en nedadvendt omdrejningsaraboloide. Bemærk at E/A bliver større, jo lavere araboloiden er, idet der vil være mindre skygge å en lav araboloide. (b) Nedadvendt omdrejningsaraboloide indeholdende en cylinderflade med konstant volumen. Begge flader er otimeret, for at give maksimalt energiotag r. arealenhed Figur 13.1: Figurer anvendt til modellering af nedadvendt omdrejningsaraboloide med indre cylinder. maksimal E total r. arealenhed, idet cylinderen har et konstant volumen å π/. Volumen for en vilkårlig cylinder er givet som V = hr π. Dette sættes nu lig π/. π/ = h cyl r π 1/ = h cyl r. Nu substitueres r = a, hvorefter der gælder, at cylinderens højde til en given a-værdi er lig araboloidens z-værdi for den tilsvarende værdi af u = a, dvs. h cyl = h ar (1 a ). Dette indsættes nu i formlen for cylinderens volumen, hvorefter et udtryk for araboloidens højde som funktion af cylinderens radius findes. 1 = h cylr a h ar (1 a ) = 1 h 1 ar = a (1 a ) (13.4) Dette udtryk differentieres nu mht. radius. Derved findes det unkt, hvor tilvæksten i araboloidehøjden med cylinderens radius er, og højden derfor er mindst mulig. Sagt å en anden måde findes minimum for araboloidens højde som funktion af cylinderradius ved at differentiere funktionsudtrykket og sætte det lig. Altså bestemmes den cylinderradius, for hvilken araboloidens højde er mindst mulig. Denne cylinderradius vil så medføre det maksimale energiotag r. araboloideareal for araboloiden indeholdende cylinderen, jft. 13.1a. Dette sættes nu lig og løses for a a h ar = 1 a a (1 a ) = a 1 a 3 (a 1) (13.5) a 1 a 3 (a 1) = a = ± (13.6) Der ses bort fra den negative løsning, da a betegner en længde. Den fundne radius er dermed /, og denne indsættes nu i formlen for h ar, samt h cyl, hvorved den otimale højde for araboloiden og cylinderen findes. ( 1 h ar,ot = ( ) ( ) ) = h cyl,ot = 1 (1 ( ) ) = 1 (13.7) 9

35 Nu bestemmes det otimale energiotag r. areal vha. de neto fundne størrelser. Energiotaget bestemmes vha. integralformlen til 9.63 (se evt. aendix A), og overfladearealet af araboloiden bestemmes med 13.3 til A ar = 17/4 17π 1/4π. Dermed bliver det otimale E/A = Således er der blevet beregnet værdier for at onå maksimal E/A for en nedadvendt omdrejningsaraboloide, der indeholder en cylinder med konstant volumen. 14 Modellering af lukkede konvekse solfangere - Indeholder ogave 14 og 15 I den resterende del af raorten betragtes lukkede konvekse flader som solfangere. I dette afsnit betragtes secifikt to forskellige lukkede konvekse solfangere Gauss Divergenssætning De følgende to ogaver, hhv. ogave 14 og 15, vil tage udgangsunkt i Gauss divergenssætning. V dv = n da = Flux(V, Ω) (14.1) Ω Ω En af de første antagelser i dette ogavesæt betod i, at solens vektorfelt var konstant, hvorved divergensen af solvektorfeltet altså er. Gauss divergenssætning siger dermed, at netto-fluxen gennem enhver lukket flade i solvektorfeltet må være. I dette tilfælde kan dette udnyttes, da fladen er konveks, hvilket betyder, at den indadgående flux gennem den solbelagte flade er lig den udadgående flux gennem den skyggebelagte flade. Samtidig kan disse to flader lukkes til to nye lukkede flader med deres rojektion å et lan, α-lanet, der står vinkelret å solvektorfeltet. Konkret sættes α-lanet til at gå gennem origo. Da netto-fluxen ligeledes er gennem disse lukkede flader, må den indadgående flux å den olyste flade være ræcis halvdelen af fluxen gennem de to rojicerede flader. Da disse flader ikke er krumme, og længden af solvektorfeltet altid er 1, bliver derfor den indadgående flux gennem enhver lukket konveks flade halvdelen af arealet af hele fladen rojicieret ned å α-lanet vinkelret å solvektorlanet, hvilket svarer til arealet af hele fladens skygge å α-lanen, der dobbeltdækkes ved rojektionen. Denne overgang fra flux til areal kan udtrykkes matematisk, som ses gjort i det følgende B + F =1 Flux rojektionen = 1 F V n dµ = 1 d b c a V n N du dv = 1 d b c a N du dv = 1 A rojektionen = A skyggen (14.) 14. Parameterfremstillinger for fladerne Punktmængden A svarer til en halv ellisoide, som er hævet over (x, y)-lanet med afstanden 4. Halvakserne er hhv. 1, 1 og og arameterfremstillingen er derfor: sin(u) cos(v) r A,bund = sin(u) sin(v), u [; π/], v [ π; π] (14.3) 4 sin(u)cos(v) r A,to = sin(u)sin(v), u [; π/], v [ π; π] (14.4) cos(u) + 4 3

36 Parameterfremstillingen for solfangerhusets tag fås ud fra ledekurven i og. 3. Gavlene fås ved at betragte de to endeunkter af cylinderen og derfra bygge en flade fra højden 4 og o til ledekurvens højde. Bunden fås let ved et kvadrat hævet til højden 4. I alt fås fire arametriserede flader før drejningen: r hus,to = u v, u [ 1; 1], v [ 1; 1] (14.5) u + 5 u r hus,bund = v, u [ 1; 1], v [ 1; 1] (14.6) 4 u r hus,gavl1 = 1, u [ 1; 1], w [; 1] (14.7) w( u + 1) + 4 u r hus,gavl = 1, u [ 1; 1], w [; 1] (14.8) w( u + 1) + 4 I stedet for at rotere fladerne ovenfor arametriseret roteres solvektorfeltet vinklen s omkring z-aksen. Solvektorfeltet bliver da sin(s) cos(t) V rot,s = cos(s) cos(t) (14.9) sin(t) 14.3 Planet α vinkelret å solvektorfelt α t -lanet, der til enhver tid er ortogonal å solvektorfeltet, fås ved at benytte solvektorfeltets koordinater som koefficienter i det generelle lan-udtryk. Herved bliver α t givet ved sin(s) cos(t)x cos(s) cos(t)y sin(t)z =. Stedvektoren har formen: OP = (x, y, z). Det udnyttes nu, at en vektor rojiceres ned å et lan findes ved at trække vektorens rojektion å lanets normalvektor fra vektoren selv. Dette sker via formlen: hvor N αt OP αt = OP OP N α t N αt N αt (14.1) svarer til solvektorfeltet, som er ortogonalt å α t. Herved fås: x OP αt = y + ( cos(t)y sin(t)z)cos(t) (14.11) z + ( cos(t)y sin(t)z)sin(t) 14.4 Lukkede konvekse fladers skygge å α-lan Projektion af unktmængden A og solfangerhuset å α t fås ved at benytte formlen i ligning Denne situation er lottet for begge flader i figur Areal af skyggeflader samt indadgående flux Arealerne af de rojicerede skyggeflader for unktmængden A samt solfangerhuset fås som halvdelen af fladeintegralet over Jacobi-funktionerne, som er knyttet til de tilhørende arametiseringer, som objektet er obygget af. Udregningerne for disse udtryk kan ses i Male-bilaget. I figur 14.a og 14.b er lottet hhv. den indadgående flux som funktion af tiden og det totale energiotag i løbet af dagen, som funktion af drejningsvinklen. Det totale energiotag over hele dagen 31

37 (a) Projektion af unktmængden A å lanet α t til tiden t = π/6. (b) Projektion af solfangerhus drejet vinklen s = π/3 å lanet α t til tiden t = π/5. Figur 14.1: De to lukkede konvekse flader fra ogave 14 og 15 lottet sammen med lanen α og deres skygge til tiden t = π 5. (a) Arealet af skyggefladen for unktmængden A som funktion af tiden t svarende til B + (t) for unktmængden A. Det ses, at energiotaget toer midt å dagen svarende t = π/ samt at det totale energiotag over hele dagen er 13,89. (b) Det totale energiotag for solfangerhuset som funktion af drejningsvinklen s. Det ses, at energiotaget har et maksimum ved en rotation å s = π/4. Figur 14.: Indadgående flux for de to lukkede konvekse flader undersøgt i ogave 14 og 15. 3

38 Figur 14.3: Indadgående flux for solfangeren fra ogave 3 fundet ved rojektions-metoden. fås ved at integrere udtrykket for den indadgående flux med hensyn til t i intervallet t [; π], hvilket for unktmængden A giver værdien 13,89. For solfangerhuset ses det ved aflæsning, at det totale energiotag er maksimalt ved drejningen s π/ Metoden anvendt å enkeltkrummet solfanger fra ogave 3 Den enkeltkrummede solfanger fra ogave 3 svarer ræcis til solfangerhuset betragtet ovenfor uden bund og gavl. Da gavlene å denne solfanger er identiske og arallelle vil fluxen gennem den ene gavl til ethvert tidsunkt udlignes af fluxen gennem den anden gavl i et konstant vektorfelt. Derfor er netto-fluxen gennem den krumme flade og dens bund stadig, og gavlene kan uden videre fjernes fra solfangeren uden at metoden bryder sammen. Med andre ord kan den indadgående flux gennem solfangeren i ogave 3 findes med rojektions-metoden, hvis kun solfangeren samt bunden medtages. Dette resulterer i figur 14.3, hvilket stemmer overens med de traditionelle beregninger (startorienteringen er drejet π/). 15 Reuleaux Trekant som solfanger - Indeholder ogave 17 I denne ogave foretages modellering af en Reuleaux trekant som solfanger Reuleaux Trekant En Reuleaux trekant er en særlig geometrisk figur med nogle bestemte egenskaber. Reuleaux trekanten er en af de såkaldte Reuleaux olygoner. Disse tegnes alle ved at definere et unkt i hvert af en ligesidet olygons hjørner, og derefter tegne en cirkel med en bestemt radius omkring disse hjørneunkter. Dette gøres for hvert hjørneunkt med den samme cirkelradius. De linjer, der ostår som bestemte stykker af disse cirklers cirkelbuer, er da neto Reuleaux olygonen. For Reuleaux trekanten ses konstruktionen i figur 15.1a. For disse secielle tyer olygoner gælder 33

39 (a) Her ses hvordan en Reuleaux trekant konstrueres med udgangsunkt i en ligesidet trekant. Fra hvert hjørneunkt tegnes en cirkel med bestemt radius. Den figur, der dannes af bestemte stykker af cirkelbuerne, er da neto Reuleaux trekanten [4]. (b) Her ses, hvordan to arallelle tangentlinjer til Reuleaux trekanten kaster en skygge å en ret linje, som er vinkelret å tangentlinjerne, der har samme længde som afstanden mellem unktet å den ene side og det modstående skårne hjørneunkt.[5, s.15] Figur 15.1: Figurer der illustrer ointerne i overvejelserne om en Reuleaux trekants geometriske egenskaber der, da hvert hjørneunkts modstående side er en del af cirkelbuen af cirklen med centrum i det ågældende hjørneunkt, at alle unkter å én side er ækvidistante med det modstående hjørneunkt. 15. Reuleaux Trekantens skyggelinje i lanen I dette afsnit redegøres for, at trekantens skygge å en ret linje, som er vinkelret å det lane solvektorfelt, er konstant. Argumentet for denne egenskab er i tæt forlængelse af den neto omtalte egenskab for Reuleaux trekanten. Da alle unkter å en side er ækvidistante med det modstående hjørneunkt, følger der, at vilkårlige to arallelle tangentlinjer til Reuleaux trekanten vil være ækvidistante. Dette følger med den tilføjelse, at vektorer fra solvektorfeltet, der neto er arallelle, altid vil kunne sammenlignes med arallelle tangentlinjer, og at disse altid, grundet trekantens geometri, vil kunne tegnes, så den ene skærer et hjørneunkt å trekanten Reuleaux Trekanten som rumlig omdrejningsflade Nu vil en bestemt Reuleaux trekant med cirkelradier og følgende centrummer blive overført til rummet ved at betragte den som en omdrejningsflade. Denne benævnes R. C 1 =( 1, ) (15.1) C =(, 3) (15.) C 3 =(1, ) (15.3) Dette gøres her ved at betragte den del af trekanten, der er å den ositive u-akse i figur 15.1b. Denne benævnes K. K roteres så π omkring den lodrette z-akse. Den højre side af trekanten og 34

40 (a) Her ses rofilkurven for den rumlige omdrejningsflade, Reuleaux trekanten i rummet. (b) Her ses omdrejningsfladen, den rumlige Reuleaux trekant, der fremkommer ved rotation af rofilkurven π omkring z-aksen. Figur 15.: Profilkurve og omdrejningsflade for Reuleaux trekanten i rummet. bunden af trekanten arametriseres hver for sig med følgende arametriseringer u s side (u) =, u [, 1] (15.4) 4 (1 + u) u s bund (u) =, u [, 1] (15.5) 3 4 u Ved rotation omkring z-aksen tages, som altid, vektorroduktet mellem rotationsmatricen og arametriseringen af rofilkurven. Dette leder til de følgende to arametriserede omdrejningsflader. u cos(v) r side (u, v) = u sin(v), u [, 1], v [, π] (15.6) 4 (1 + u) u cos(v) r bund (u, v) = u sin(v), u [, 1], v [, π] (15.7) 3 4 u r side (u) er gældende for den del af rofilkurven hvor z. r bund (u) er gældende for den del af rofilkurven hvor z <. Omdrejningsfladen, der er resultatet af disse arametriseringer, ses lottet i figur 15.b. Hvis omdrejningsfladen R skæres med en vilkårlig lan gennem symmetriaksen, vil fællesmængden mellem denne lan og fladen R i alle tilfælde udgøre en Reuleaux trekant. To arallelle tangentlaner, der tangerer Reuleaux trekanten i rummet, vil altid skære i to unkter, som modsvarer to unkter å en Reuleaux trekant i lanen. For to sådanne unkter gælder det tidligere formulerede argument om den konstante bredde i en sådan Reuleaux trekant. Derfor må det gælde, at afstanden mellem de to arallelle tangentlaner også er konstant. 35

41 15.4 Reuleaux Trekantens energiotag som funktion af tiden Med samme metode som tidligere anvendt for lukkede konvekse flader, hvor Gauss divergenssætning anvendes til argumentation for, at halvdelen af fluxen gennem skyggen af fladen å den, altid å solvektorfeltet vinkelrette α-lan, er lig med den indadgående flux gennem fladen. Således rojiceres arametriseringerne for omdrejningsfladen R ind å α-lanen, og fluxen bestemmes med det sædvanlige ortogonale fladeintegral. Projektionerne findes ved anvendelse af de vektorer, der udsænder α-lanen, 1 v 1 = (15.8) v = sin(t) (15.9) cos(t) For Reuleaux trekanten i rummet har rojektionerne, normalvektorerne og Jacobifunktionerne, som alle bestemmes fortløbende, meget store og komlekse matematiske udtryk, hvorfor disse ikke ræsenteres her. Normalvektorer og Jacobifunktioner findes å normalvis og rojektionen å samme måde som tidligere ved følgende. De benævnes secielt, (u, v, t). side (u, v, t) = (r side (u, v) v 1 ) v 1 + (r side (u, v) v ) v (15.1) bund (u, v, t) = (r bund (u, v) v 1 ) v 1 + (r bund (u, v) v ) v (15.11) Fluxen gennem fladen, tilsvarende energiotaget, som funktion af tiden, findes da ved følgende ortogonale fladeintegral E(t) = 1 1 π Jacobi side (u, v, t) + Jacobi bund (u, v, t) dv du (15.1) Ved evaluering af dette analytisk udtryk for energiotaget vha. Male konstateres, at det kun er muligt at løse integralerne for ganske få værdier af t. Med disse kan udtrykkets gyldighed dog kontrolleres, idet arealet ( af ) en cirkel er A cirkel = πr, og arealet af en Reuleaux trekant er givet ved A Reuleaux = 1 π 3 s. Dette er nyttigt, da det vides, at arealet af skyggen under den rumlige Reuleaux trekant neto er arealet af en cirkel med radius r = til tiden t = π og arealet af en Reuleaux trekant med sidelængde s = til tiden t =. Der fås med ovenstående udtryk neto tilsvarende resultater ved evaluering i Male (jf. Male udregningsark). Af disse overvejelser ses det tydeligt, at arealet af skyggen og energiotaget ikke er konstant i løbet af dagen for omdrejningsflade R. For videre at illustrere dette ostilles en funktion til numerisk beregning af energiotaget. Denne ses lottet i figur Rotation af Reuleaux Trekanten omkring x- og y-akse arallelle akser I dette afsnit undersøges energiotaget i omdrejningsfladen R ved rotation omkring hhv. x- og y-akse arallelle akser. 36

42 Figur 15.3: Energiotaget i Reuleaux trekanten som funktion af tiden. Omdrejningsfladen er her ikke roteret, og har symmetriakse omkring z-aksen. Til rotation omkring disse akser anvendes følgende rotationsmatricer 1 R x (θ) = cos(θ) sin(θ) (15.13) sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ) R y (φ) = 1 (15.14) sin(θ) cos(θ) Som altid udregnes rojektioner, normalvektorer og Jacobifunktioner for arametriseringerne. De fås ved nedenstående udtryk. Her benævnes secielt rojektioner, (u, v, t, θ, φ). 1 1 side,rot (u, v, t, θ, φ) = (R y (φ) R x (θ) r side (u, v)). + (R y (φ) R x (θ) r side (u, v)). sin(t) sin(t) (15.15) cos(t) cos(t) 1 1 bund,rot (u, v, t, θ, φ) = (R y (φ) R x (θ) r bund (u, v)). + (R y (φ) R x (θ) r bund (u, v)). sin(t) sin(t) (15.16) cos(t) cos(t) Her roteredes rojektionerne blot ved at tage vektorroduktet mellem rotationsmatricerne og rojektionen. Hermed fås en rojektion, som inkluderer vinklerne θ og φ, der kontrollerer rotationen af omdrejningsfladen omkring x- og y-akse arallelle akser. Projektioner fandtes som 37

43 Figur 15.4: Energiotaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden lottet for to forskellige rotationer omkring x-aksen. Det bemærkes, at denne rotation kun medfører en forskydning af energiotaget til et andet tidsunkt å dagen. tidligere ved anvendelse af vektorerne v 1 = (1,, ) og v = (, sin(t), cos(t)). Rotation omkring x-aksen I lottet i figur 15.4 ses energiotaget i omdrejningsfladen ved ingen rotation og ved en rotation å θ = π 6. Det ses her, at en rotation omkring x-aksen kun medfører en forskydning af energiotaget langs tidsaksen, men ikke ændrer det totale energiotag. Denne sammenhæng er i god overensstemmelse med Reuleaux trekantens geometri, da man fra solens synsunkt ser samme figur blot fra forskellig start- og slutvinkel ved rotation af figuren om x-aksen. Rotation omkring y-aksen I lottet i figur 15.5 vises energiotaget som funktion af tiden lottet for otte forskellige rotationsvinkler omkring y-aksen. Her ses forskellige totale energiotag i løbet af en hel dag for forskellige drejningsvinkler omkring y-aksen. Denne sammenhæng er også i god overensstemmelse med Reuleaux trekantens geometri, da en rotation om y-aksen medfører, at figuren ser drejet ud fra solens synsunkt, modsat for rotation om x-aksen. Disse sammenhænge for drejning omkring hhv. x- og y-akserne kan illustreres mere stringent ved at lotte en numerisk funktion til bestemmelse af det totale energiotag i løbet af en dag som funktion af drejningsvinklerne. Denne funktion ses lottet i figur Det totale energiotag ved rotation omkring y-aksen har tydeligt maksima ved rotationsvinklen φ = og φ = π, mens der findes et minimum i det totale energiotag ved vinklen φ = π. Det totale energiotag som funktion af drejningsvinklen omkring x-aksen er, som forventet, konstant. I forhold til en Reuleaux trekant med lodret symmetri-akse svarer dette til, at energiotaget er maksimalt å ækvator og minimalt å olerne. 38

44 Figur 15.5: Energiotaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden lottet for otte forskellige rotationer omkring y-aksen. Det bemærkes, at denne rotation medfører en nominel ændring af energiotaget som funktion af tiden, og dermed også et ændret totalt energiotag. Energiotaget for drejningsvinklen φ = er blot energiotaget for R uden rotation om nogen akser. Figur 15.6: Det totale energiotag for Reuleaux trekanten som funktion af drejningsvinklerne θ og φ, her benævnt vinkel. Det ses tydeligt, at energiotaget ved rotation omkring x-aksen er konstant, mens det totale energiotag ved rotation omkring y-aksen er varierende. 39

45 16 Reuleaux Trekant i København - Indeholder ogave 18 I denne ogave betragtes en Reuleaux trekant laceret et sted i København. Her vælges Brønshøj- Torv, som har en lacering å N og E. Da solen bevæger sig Øst-Vest, og det, jft. forrige ogave, blev konkluderet, at kun rotation omkring y-aksen har betydning for energiotaget i en Reuleaux trekant, vil denne længde-breddegrads lacering blot medføre, at Reuleaux trekanten kan betragtes som værende roteret omkring y-aksen, når vi ostiller den med lodret symmetri-akse i København. Dette svarer til en rotation å 55.7, som igen svarer til en vinkel å 55.7π 18 radianer. Ønskes otimalt energiotag gennem Reuleaux trekanten, skal Reuleaux trekanten således blot roteres 55.7 tilbage mod Ækvator rundt om øst-vest aksen. Med andre ord skal sidsen af Reuleaux trekanten ege direkte mod solens osition kl. 1. for at onå maksimalt energiotag. I figur 16.1 ses energiotaget for en Reuleaux trekant i København, hhv. laceret med lodret symmetriakse og otimalt. Figur 16.1: Energiotaget for en Reuleaux trekant med lodret symmetriakse laceret i København, og energiotaget for en otimalt laceret Reuleaux trekant i København. 17 Sammenfatning Dette rojekt har modelleret en række solfangere i forskellige geometriske former med forskellige metoder. Først blev en solfanger med en fast skyggelinje betragtet med en simel geometrisk metode. Dernæst blev en solfanger med en vandrende skyggeline betragtet, og hertil blev rikroduktet mellem vektorfelt og fladens indadgående normalvektor anvendt til bestemmelse af skyggelinjen. Endvidere blev en række omdrejningsflader, herunder en halvkugle, en kuglekalot og et keglesnit, betragtet og den indadgående flux blev bestemt ved anvendelse af viden om skyggelinjernes lacering, ligeledes ud fra rikroduktet mellem vektorfelt og fladens indadgående normalvektor. Da flyttedes fokus til at finde en mere effektiv metode for modellering af solfangere. Hertil betragtedes først en solfanger bestående af en glaslinje i dimensioner. Her 4

46 fandtes en sammenhæng mellem energiotag og længden af glaslinjen. Dernæst betragtedes en række konvekse solfangere bestående glaslinjer og fandtes at energiotaget var givet ved omkredsen af solfangeren. Desuden udledtes en formel til bestemmelse af energiotag i solfangere bestående af omdrejningslegemer ved aroksimation med keglesnit. For lukkede konvekse solfangere i rummet fandtes ved hjæl af Gauss divergenssætning desuden, at energiotaget var givet ved arealet af fladens skygge å α-lanet. 41

47 Litteratur [1] Energistatistik 1 - data, tabeller, statistikker og kort. Raort, Energistyrelsen, 13. Hentet fra htt:// statistik-noegletal/aarlig-energistatistik/energistatistik1.df d. 1. aril 14 kl [] Udvalget for Bæredygtig Energi å Ærø Estru T.B. Kamen om titlen?verdens største solfangeranlæg? htt://veaeroe.wordress.com/1/1/13/ kamen-om-titlen-verdens-storste-solfangeranlaeg/, December 1. Hentet d. 1. aril 14 kl [3] Steen Markvorsen, Karsten Schmidt og Søren Enemark. enoter fra Matematik 1 kursus 15. DTU Comute, Setember 1. [4] Frédéric Michel. How to construct a reuleaux triangle. htt://en.wikiedia.org/wiki/ File:Construction_triangle_Reuleaux.svg, August 9. Hentet d. 14. aril 14 kl [5] Karsten Schmidt. Solfanger Projekt Kørelan, 14. 4

48 A Udregninger i Male-ark Vedlagt i dette bilag er et fuldstændigt Male ark indeholdende samtlige udregninger foretaget i forbindelse med løsning af alle ogaver. 43

49 Ogave 1 - Diskussion af Solvektorfeltet restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: 1. Solvektorfeltet Begrund at man med rimelighed kan beskrive solvektorfeltet ved V x, y, z =,Kcos t,ksin t hvor t, Defineres: V:=unaly( <,-cos(t),-sin(t),x,y,z,t): 'V(x,y,z,t)'=V(x,y,z,t); V x, y, z, t = Kcos t Ksin t (1.1.1) Solen bevæger sig langs en halvcirkel i y,z-lanen. Derfor er x-koordinaten altid. Denne halvcirkel kan arametriseres med vektorer å formen, cos t, sin t hvor t,. Da vektorfeltet fra solen til en given t neto kommer fra solen så vendes fortegnet å vektorerne og der fås,kcos t,ksin t. Det ses at vektorfeltet da til en bestemt værdi af tiden t, udsænder et system af arallelle enhedsvektorer, som er rettet mod y-aksen eller løber arallelt med den (t = og t = ) animate fieldlot3d, V x, y, z, t, x =K.., y =K.., z =.., arrows = THICK, color = grey, grid = 3, 3, 3, t =..Pi, frames = 5 44

50 t =. 45

51 Ogave - Solfanger af lane flader restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: Under de nævnte modelbetingelser består en solfanger af to skrå lane flader, hvoraf den første er udsændt mellem de fire unkter (1, 1, ), (, 1, 1), (, -1, 1), (1, -1, ) og den anden mellem (, 1, 1), (-1, 1, ), (-1, -1, ), (, -1, 1). Solfangerens gavle anses som neutrale, og medtages ikke i beregningerne. 1. Indadgående flux og samlet energiotag Parametrisering af sejdertelt r1:=unaly( <1-u, v, u,u,v): 'r1(u,v)'=r1(u,v); r:=unaly( <u-1, -v, u,u,v): 'r(u,v)'=r(u,v); Plots af sejderteltflader flade1unkterlot:=ointlot3d({[1,1,],[,1,1],[,-1,1],[1,-1, ]},color=red,symbol=solidcircle,symbolsize=): fladeunkterlot:=ointlot3d({[,1,1],[-1,1,],[-1,-1,],[, -1,1]},color=blue,symbol=solidcircle,symbolsize=): flade1lot:=lot3d(r1(u,v),u=..1,v=-1..1,scaling=constrained, color=red,labels=[x,y,z]): fladelot:=lot3d(r(u,v),u=..1,v=-1..1,scaling=constrained, color=blue,labels=[x,y,z]): dislay(flade1unkterlot,flade1lot,fladeunkterlot, fladelot); 1 K u r1 u, v = v u r u, v = u K 1 Kv u 46

52 Parameterfremstillingerne er lavet sådan at normalvektorerne er indadrettede for begge flader. Dvs. indadgående flux regnes ositivt. V:=unaly( <,-cos(t),-sin(t),x,y,z): 'V(x,y,z)'=V(x,y,z); V x, y, z = Kcos t Ksin t r1u:=diff~(r1(u,v),u): (.1.1) 47

53 r1v:=diff~(r1(u,v),v): n1:=simlify(kryds(r1u,r1v)); n1 := ru:=diff~(r(u,v),u): rv:=diff~(r(u,v),v): n:=simlify(kryds(ru,rv)); n := n1lot:=vectorcalculus[plotvector](n1,color=red): nlot:=vectorcalculus[plotvector](n,color=blue): dislay(flade1unkterlot,flade1lot,fladeunkterlot, fladelot,n1lot,nlot); K1 K1 1 K1 (.1.) (.1.3) Flux gennem fladen, ositivt regnet i normalvektorens retning 48

54 rik(v(vo(r1(u,v))),n1): integrand1:=simlify(%); integrand1 := sin t rik(v(vo(r(u,v))),n): integrand:=simlify(%); integrand := sin t Flux1:=int(int(integrand1,u=..1),v=-1..1); Flux1 := sin t Flux:=int(int(integrand,u=..1),v=-1..1); Flux := sin t Flux:=unaly(Flux1+Flux,t); Flux := t/4 sin t (.1.4) (.1.5) (.1.6) (.1.7) (.1.8) Energiotag i løbet af hele dagen lot Flux t, t =.., labels = 4 't', tyeset B 'C' t 3 B C t t Fluxen har maksimum ved middag t =. Etot:=int(Flux(t),t=..Pi); (.1.9) 49

55 Etot := 8 (.1.9). Rotation af solfangeren med bestemt vinkel Solfangeren drejes nu vinklen omkring z-aksen, således at solfangerens ryg er arrallel med x-aksen. Bestem igen for et vilkårligtt den indadgående flux B C (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energiotag E total for hele dagen. Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(pi/), -sin(pi/), ], [ sin(pi/), cos(pi/), ], [,, 1 ] ]); K1 Rotationsmatrix := 1 1 Rotationsmatrix.r1(u,v):r1d:=unaly(%,u,v): 'r1d(u,v)'=r1d(u,v); Kv r1d u, v = 1 K u Rotationsmatrix.r(u,v):rd:=unaly(%,u,v): 'rd(u,v)'=rd(u,v); v rd u, v = u u K 1 flade1roteretlot:=lot3d(r1d(u,v),u=..1,v=-1..1,scaling= constrained,color=yellow,labels=[x,y,z]): fladeroteretlot:=lot3d(rd(u,v),u=..1,v=-1..1,scaling= constrained,color=green,labels=[x,y,z]): dislay(flade1roteretlot,fladeroteretlot,flade1lot, fladelot); u (..1) (..) (..3) 5

56 Fladerne er tydeligvis roteret Nu beregnes den indadgående flux for et vilkårligt t og derefter det totale energiotag E total r1du:=diff~(r1d(u,v),u): r1dv:=diff~(r1d(u,v),v): n1d:=simlify(kryds(r1du,r1dv)); n1d := K1 K1 rdu:=diff~(rd(u,v),u): rdv:=diff~(rd(u,v),v): nd:=simlify(kryds(rdu,rdv)); nd := n1dlot:=vectorcalculus[plotvector](n1d,color=yellow): ndlot:=vectorcalculus[plotvector](nd,color=green): 1 K1 (..4) (..5) 51

57 dislay(flade1roteretlot,fladeroteretlot,n1dlot,ndlot); Flux gennem fladen, ositivt regnet i normalvektorens retning rik(v(vo(r1d(u,v))),n1d): integrand1d:=simlify(%); integrand1d := cos t C sin t rik(v(vo(rd(u,v))),nd): integrandd:=simlify(%); integrandd := Kcos t C sin t Flux1d:=int(int(integrand1d,u=..1),v=-1..1); Flux1d := cos t C sin t Fluxd:=int(int(integrandd,u=..1),v=-1..1); Fluxd := K cos t C sin t solve(flux1d=,t,allsolutions); K 1 4 C _Z1~ (..6) (..7) (..8) (..9) (..1) solve(integrand1d=,t,allsolutions); K 1 4 C _Z~ (..11) 5

58 solve(fluxd=,t,allsolutions); 1 4 C _Z3~ solve(integrandd=,t,allsolutions); 1 4 C _Z4~ (..1) (..13) Vi skal nu finde det interval af t-værdier som giver udelukkende indgående flux å hver flade hver især. For flade 1 lot(flux1d,t=..pi); t K1 K Dette giver t, 3 4 For flade lot(fluxd,t=..pi); 53

59 t K1 K Dette giver t 4, Flux1diecewise:=iecewise(Flux1d,Flux1d); cos t C sin t! cos t C sin t Flux1diecewise := otherwise lot(flux1diecewise,t=..pi); (..14) 54

60 t Fluxdiecewise:=iecewise(Fluxd,Fluxd); K cos t C sin t! K cos t C sin t Fluxdiecewise := otherwise (..15) lot(fluxdiecewise,t=..pi); 55

61 t Fluxd:=Flux1diecewise+Fluxdiecewise; cos t C sin t! cos t C sin t Fluxd := otherwise C (..16) K cos t C sin t! K cos t C sin t otherwise Fluxdlot d lot Fluxd, t =..Pi, y =..4, labels = 't', tyeset B 'C' t : Fluxlot d lot Flux t, t =.., labels = 't', tyeset B 'C' t, linestyle = dot : dislay(fluxdlot,fluxlot); 56

62 4 3 B C t t Fluxen har maksimum ved middag t =. Energiotag i løbet af hele dagen int(flux1d,t=..3*pi/4);evalf(%); C int(fluxd,t=pi/4..pi);evalf(%); C Etot=int(Flux1d,t=..3*Pi/4)+int(Fluxd,t=Pi/4..Pi); 8 = 4 C 4 Etotd:=int(Fluxd,t=..Pi);evalf(%); Etotd := 4 C dislay(flade1roteretlot,fladeroteretlot); (..17) (..18) (..19) (..) 57

63 3. Rotation af solfangeren med vilkårlig vinkel Til sidst drejes solfangeren således at dens ryg danner en vinkels med x-aksen. Find det kritiske tidsunkt t for hver af fladerne hvor fladen veksler fra at ligge i skygge til at være solbelyst eller omvendt. Bestem herefter E total som funktion af s,, og lot denne funktion. Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s), -sin(s), ], [ sin(s), cos(s), ], [,, 1 ] ]); cos s Ksin s r1d(u,v); Rotationsmatrix := Kv sin s cos s 1 K u u 1 (.3.1) (.3.) 58

64 rd(u,v); v u K 1 u Rotationsmatrix.r1d(u,v):r1ds:=unaly(%,u,v): 'r1ds(u,v)'=r1ds(u,v); Kcos s v K sin s 1 K u r1ds u, v = Ksin s v C cos s 1 K u u Rotationsmatrix.rd(u,v):rds:=unaly(%,u,v): 'rds(u,v)'=rds(u,v); cos s v K sin s u K 1 rds u, v = sin s v C cos s u K 1 u (.3.3) (.3.4) (.3.5) Det kritiske tidsunkt for hver af fladerne er givet ved det tidsunkt hvor fluxen gennem hver af fladerne hver især er nul. r1dsu:=diff~(r1ds(u,v),u): r1dsv:=diff~(r1ds(u,v),v): n1ds:=simlify(kryds(r1dsu,r1dsv)); sin s n1ds := Kcos s K1 rdsu:=diff~(rds(u,v),u): rdsv:=diff~(rds(u,v),v): nds:=simlify(kryds(rdsu,rdsv)); nds := Ksin s cos s rik(v(vo(r1ds(u,v))),n1ds): integrand1ds:=simlify(%); integrand1ds := cos t cos s C sin t rik(v(vo(rds(u,v))),nds): integrandds:=simlify(%); integrandds := Kcos t cos s C sin t K1 (.3.6) (.3.7) (.3.8) (.3.9) Flux1ds:=int(int(integrand1ds,u=..1),v=-1..1); Flux1ds := cos t cos s C sin t Fluxds:=int(int(integrandds,u=..1),v=-1..1); Fluxds := K cos t cos s C sin t lot3d([flux1ds,[t,s,]],t=..pi,s=..pi/,color=[blue,green], orientation=[,,]); (.3.1) (.3.11) 59

65 lot3d([fluxds,[t,s,]],t=..pi,s=..pi/,color=[blue,green], orientation=[,,]); 6

66 Kritiske tidsunkter: t1:=solve(flux1ds=,t,allsolutions); t1 := Karctan cos s C _Z35~ t11:=pi-arctan(cos(s)); t11 := K arctan cos s t:=solve(fluxds=,t); t := arctan cos s lot(t11,s=..pi/); (.3.1) (.3.13) (.3.14) 61

67 s lot(t,s=..pi/); 6

68 s Vi vil nu bestemme det totale energiotag som funktion af drejningsvinklen s og lotte dette. int(flux1ds,t=..t11); int(fluxds,t=t..pi); C cos s C 1 C cos s C 1 Etot:=int(Flux1ds,t=..t11)+int(Fluxds,t=t..Pi); Etot := 4 C 4 cos s C 1 lot(etot,s=..pi/,labels=[s,'e[total]']); (.3.15) (.3.16) (.3.17) 63

69 E total s Når solfangeren er arallel med y-aksen svarer det til s = Etotd;evalf(%); 4 C Når solfangeren er arallel med y-aksen svarer det til s = Etot; 4 C 4 cos s C 1 Dette ses at stemme. (.3.18) (.3.19) 64

70 Ogave 3 - Enkeltkrummet solfanger restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: Vi betragter en solfanger som er en cylinderflade, hvis ledekurve i (x, z)-lanen har ligningen z = 1 K x,og som ofylder x K1, 1, y K1, Parametrisering og Normalvektor Angiv en arameterfremstilling for cylinderfladen, og bestem et udtryk for dens indadgående enhedsnormalvektor n lot(1-x^,x=-1..1); 65

71 Profilkurvens arametrisering sd:=unaly( < u, 1-u^,u): 'sd(u)'=sd(u); u sd u = Ku C 1 K1 K x lot([sd(u)[1],sd(u)[],u=-1..1]); (1.1.1) 66

72 K1 K Parametriseringen af rofilkurven overføres til rummet s3d:=unaly( < u,,1-u^,u): 's3d(u)'=s3d(u); u s3d u = Ku C 1 ledekurvelot:=sacecurve(s3d(u),u=-1..1,scaling=constrained, color=red): r:=unaly( < u, -v,1-u^,u,v): 'r(u,v)'=r(u,v); u r u, v = Kv Ku C 1 fladelot:=lot3d(r(u,v),u=-1..1,v=-1..1,scaling=constrained, color=blue,labels=[x,y,z]): dislay(ledekurvelot,fladelot); (1.1.) (1.1.3) 67

73 Den indadgående normalvektor bestemmes ru:=diff~(r(u,v),u): rv:=diff~(r(u,v),v): n:=simlify(kryds(ru,rv)); n := K u K1 (1.1.4) Denne normeres ne:=n/sqrt(rik(n,n)); ne := K K u 4 u C u C 1 (1.1.5) Plot af fladen med ledekurve og én normalvektor 68

74 u:=-.4: nelot:=vectorcalculus[plotvector](ne,color=yellow): dislay(ledekurvelot,fladelot,nelot); u:='u':. Indadgående flux og samlet energiotag Bestem for et vilkårligt t den indadgående flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energiotag E total for solfangeren for hele dagen. V:=unaly( <,-cos(t),-sin(t),x,y,z): 'V(x,y,z)'=V(x,y,z); V x, y, z = Kcos t Ksin t (1..1) Fluxen bestemmes rik(v(vo(r(u,v))),n): integrand:=simlify(%); integrand := sin t (1..) 69

75 Flux:=int(int(integrand,u=-1..1),v=-1..1); Flux := 4 sin t Flux1 d lot Flux t, t =.., labels = 't', tyeset B 'C' t : dislay Flux1 4 (1..3) 3 B C t t Total energiotag Etot:=int(Flux,t=..Pi); Etot := 8 (1..4) 3. Rotation af solfanger med bestemt vinkel Solfangeren drejes nu vinklen omkring z-aksen, således at solfangerens ledekurve nu er arallel med y-aksen. Hvordan ser arameterfremstillingen nu ud? Bestem for ethvert t den indadgående flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energiotag E total for hele dagen. Fladen roteres omkring z aksen Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(pi/), -sin(pi/), ], [ sin(pi/), cos(pi/), ], 7

76 ]); Rotationsmatrix := [,, 1 ] K1 1 1 Rotationsmatrix.r(u,v): rd:=unaly(%,u,v): 'rd(u,v)'=rd(u,v); v rd u, v = u Ku C 1 fladelotdrejet:=lot3d(rd(u,v),u=-1..1,v=-1..1,scaling= constrained,color=green,labels=[x,y,z]): dislay(fladelot,fladelotdrejet); (1.3.1) (1.3.) dislay(fladelotdrejet); 71

77 Problemet er at fladen nu ikke veldefineret har en skyggegrænse som i ogave. Her vil skyggegrænsen kastes å fladen af fladen selv og vil bevæge sig langsomt over toen af "arablen". Hertil anvendes antagelse 4. Normalvektoren bestemmes rdu:=diff~(rd(u,v),u): rdv:=diff~(rd(u,v),v): nd:=simlify(kryds(rdu,rdv)); nd := K u K1 (1.3.3) Denne normeres ned:=nd/sqrt(rik(nd,nd)); (1.3.4) 7

78 ned := K u 4 u C 1 (1.3.4) K 1 4 u C 1 Prikroduktet skal være ositivt for at vektorfeltet er vinklet maks 9 å normalvektoren. lot3d([[u, t, *cos(t)*u+sin(t)], [u, t, ]],u=-1..1,t=..pi, color=[green,blue],labels=[u,t,rik],orientation=[,,]); rik(v(x,y,z),nd); cos t u C sin t (1.3.5) u=solve(%=,u); u = K 1 sin t cos t (1.3.6) Dette er udtryk for de grænser der skal anvendes ved bestemmelse af den samlede flux. 73

79 lot(-(1/)*tan(t),t=..pi,y=-1..1,labels=[t,u],discont=true); 1 u t K.5 K1 Tiden kan odeles i tre delintervaller. Det første er fra til: t=solve(-(1/)*tan(t)=-1,t,allsolutions); t = arctan C _Z~ evalf(pi-arctan()); (1.3.7) (1.3.8) Det andet er derfra og til t=solve(-(1/)*tan(t)=1,t,allsolutions); t = Karctan C _Z3~ og slutteligt fra Karctan C til. (1.3.9) Vi ostiller en funktion der beskriver fluxen ved fluxen gennem fladen med tidsvarierende grænser til de tidsintervaller hvor der kun er indgående (ositiv) flux: Flux d t/iecewise t! arctan, int int rik V x, y, z, nd 74

80 , v =K1..1, u =K 1 tan t..1, iecewise t! PiK arctan, int int rik V x, y, z, nd, v =K1..1, u =K1..1, int int rik V x, y, z, nd, v =K1..1, u =K1..K 1 tan t : 'Flux'=Flux(t); cos t 1 K 1 4 tan t C sin t 1 C 1 tan t t! arctan Flux = cos t 4 sin t t! K arctan 1 4 tan t K 1 C sin t K 1 tan t C 1 otherwise otherwi Flux d lot Flux t, t =.., labels = 't', tyeset B 'C' t, linestyle = dot : Flux3 d lot Flux t, t =.., labels = 't', tyeset B 'C' t : dislay(flux,flux3); 4 3 B C t t Det totale energiotag er 75

81 Etot:=int(Flux(t),t=..Pi);evalf(%); Etot := 4 C 5 K 1 ln 5 C ln 5 C (1.3.11) 4. Rotation af solfanger med vilkårlig vinkel Til sidst drejes solfangeren således at ledekurven danner en vinkel s med x-aksen. Bestem herefter et eksakt udtryk for Etotal som funktion af s,, og lot denne funktion. Vi drejer den arametrisede flade. Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s), -sin(s), ], [ sin(s), cos(s), ], [,, 1 ] ]); cos s Ksin s Rotationsmatrix := sin s cos s 1 Rotationsmatrix.rd(u,v): rds:=unaly(%,u,v): 'rds(u,v)'=rds(u,v); cos s v K sin s u rds u, v = sin s v C cos s u Ku C 1 (1.4.1) (1.4.) Finder normalvektor rdsu:=diff~(rds(u,v),u): rdsv:=diff~(rds(u,v),v): nds:=unaly(simlify(kryds(rdsu,rdsv)),s):'nds(s)'=nds(s); sin s u nds s = K cos s u Normeret normalvektor neds:=nds(s)/sqrt(rik(nds(s),nds(s))); sin s u neds := K K K1 1 C 4 sin s u C 4 cos s u cos s u 1 C 4 sin s u C 4 cos s u 1 1 C 4 sin s u C 4 cos s u (1.4.3) (1.4.4) 76

82 Når fluxen skal bestemmes skal den kun regnes for den belyste del af fladen. Den belyste del af fladen kan findes ved at betragte rikroduktet mellem vektorfeltet og normalvektoren til fladen: rik(v(x,y,z),nds(s)); cos t cos s u C sin t (1.4.5) Når rikroduktet er har vi grænse mellem skygge og lys (skyggegrænsen). Så fluxen kan deles o i 3 dele som funktion af tiden jf nedenstående lot. lot3d([[u, t, *cos(t)*u+sin(t)], [u, t, ]],u=-1..1,t=..pi, color=[green,blue],labels=[u,t,rik],orientation=[,,]); De blå områder viser steder hvor fluxen er negativ () og det grønne er hvor fluxen er ositiv. Vi isolerer u i rikroduktet når dette sættes lig nul. 77

83 solve(rik(v(x,y,z),nds(s)),u,allsolutions); K 1 sin t cos t cos s Som kan forkortes til grænse:=unaly(-(1/)*tan(t)/cos(s),t,s); grænse := t, s /K 1 tan t cos s (1.4.6) (1.4.7) Det er denne grænse som u skal integreres fra hhv. til som er funktion af tiden. (linjen mellem den blå og grønne flade. Det første delinterval for t er fra t= til t[1]=solve(-(1/)*tan(t)/cos(s)=-1,t,allsolutions); t 1 = arctan cos s C _Z34~ (1.4.8) Der hvor grænsen er lig 1 er grænsen denne blot lus π. t[]=solve(-(1/)*tan(t)/cos(s)=1,t,allsolutions); t = Karctan cos s C _Z35~ hvilket tilsvarer grænserne i forrige ogave. Denne tidsgrænse defineres tidsgrænse1:=unaly(solve(-(1/)*tan(t)/cos(s)=-1,t),s); tidsgrænse1 := s/arctan cos s tidsgrænse:=unaly(pi-arctan(*cos(s)),s); tidsgrænse := s/ K arctan cos s (1.4.9) (1.4.1) (1.4.11) Vi ostiller en funktion der beskriver fluxen ved fluxen gennem fladen med tidsvarierende grænser til de tidsintervaller hvor der kun er indgående (ositiv) flux: Flux:=(t,s)- iecewise(t<tidsgrænse1(s),int(int(rik(v(x,y,z), nds(s)),v=-1..1),u=grænse(t,s)..1),iecewise(t<tidsgrænse(s), int(int(rik(v(x,y,z),nds(s)),v=-1..1),u=-1..1),int(int(rik(v (x,y,z),nds(s)),v=-1..1),u=-1..grænse(t,s)))): 'Flux'=Flux(t,s); cos t cos s 1 K 1 tan t 4 cos s C sin t 1 C 1 tan t cos s Flux = 4 sin t t! K arctan cos cos t cos s 1 4 tan t cos s K 1 C sin t K1 tan t cos s C 1 otherwise Denne flux som funktion af tiden animeres for værdier af s. animate lot, Flux t, s, t =..Pi, s =.. Pi, frames = 1 78

84 4 s = t Vi definerer det totale energiotag i løbet af en dag som funktion af drejningsvinklen. Energi1 d unaly iecewise cos s s, int int int rik V x, y, z, nds s, v =K1..1, u = grænse t, s..1, t =..tidsgrænse1 s C int int int rik V x, y, z, nds s, v =K1..1, u =K1..1, t = tidsgrænse1 s..tidsgrænse s C int int int rik V x, y, z, nds s, v =K1..1, u =K1..grænse t, s, t = tidsgrænse s..pi, 8, s assuming t R and t % Energi1 := s/iecewise cos s s, arctan cos s cos t cos s 1 (1.4.13) K 1 4 tan t cos s C sin t 1 C 1 tan t cos s dt C 8 4 cos s C 1 C K arctan cos s cos t cos s 1 4 tan t cos s K 1 C sin t K1 tan t cos s 79

85 C 1 dt, 8 'Energi1'=Energi1(s); Energi1 = arctan cos s cos t cos s 1 K 1 4 tan t cos s C sin t 1 C 1 tan t cos s dt C Vi tester at energiotaget er 8 i løbet af en dag når fladen er arallel med y-aksen: Energi1(Pi/); 8 Det totale energiotag i løbet af en hele dag som funktion af drejningsvinklen lottes: lot(energi1(s),s=..pi/,labels=[s,'e']); (1.4.15) E s Der er maksimum ved s= - dvs. når fladen er rygarallel med x-aksen

86 Ogave 4.1 A, Energiotag gennem en enhedshalvkugle restart : with lots : with LinearAlgebra : rik d x, y / VectorCalculus DotProduct x, y : kryds d x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y, Vector : vo droc X o convert X, list end roc: grad d X, Y / convert linalg grad X, Y, Vector column : div d V / VectorCalculus Divergence V : rot droc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end roc: Vt d x, y, z, t /,Kcos t,ksin t Vt := x, y, z, t /, Kcos t, Ksin t V d x, y, z /,Kcos t,ksin t V := x, y, z /, Kcos t, Ksin t (.1) (.) Vi definerer en halvcirkel i (x,y)-lanen, som herefter roteres om x-aksen i en vinkel Pi C t, således at der overstryges et område svarende til den solbeskinnede del af figuren til tiden t indtil kl. 1. r d u/ cos u, sin u, r := u/ cos u, sin u, (.3) rotmatxt d 1,,, cos v$ $ Pi C t rotmatxt := Pi C t, sin v$ Pi C t,ksin v$ Pi C t, cos v 1 cos v sin v 1 C t Ksin v 1 C t 1 C t cos v 1 C t (.4) r3 d unaly rik rotmatxt, r u cos v sin v, u, v, t : r3 u, v, t cos u 1 C t sin u 1 C t sin u (.5) Det solbeskinnede område animeres og lottes sammen med vektorfeltet: animate lot3d, r3 u, v, t, u =..Pi, v =..1, labels = x, y, z, scaling = constrained, color = red, t =.. Pi, frames = 5 81

87 t =. vektorflot d fieldlot3d Vt x, y, z, Pi 4, x =K1...1., y =K1...1., z =..1., scaling = constrained, arrows = THICK, color = yellow, grid = 4, 4, 3 kuglelot d lot3d r3 u, v, vektorflot := PLOT3D... Pi 4, 1.4 Pi $v,, K 1.4 Pi $u,k1.4$v,, r3 u, v 3 C 1, Pi 4 $u, 1.4$v,, K1.4 Pi $u, 1.4$v,, 1.4 Pi $u,k1.4, u =..Pi, v =..1, color = yellow, green, green, green, green, grey, labels = x, y, z, labelfont = "TIMES", 14 dislay kuglelot, vektorflot kuglelot := PLOT3D... (.6) (.7) 8

88 Den indadvendte normalvektor findes: rm3u d diff~ r3 u, v, t, u : rm3v d diff~ r3 u, v, t, v : N3 d unaly kryds rm3v, rm3u, u, v, t :'N3 u, v, t '= simlify N3 u, v, t K 1 C t sin u cos u N3 u, v, t = K 1 C t cos 1 v C t sin u (.8) K 1 C t sin 1 v C t sin u Prikroduktet mellem den indadgående normalvektor og solvektorfeltet intereres over arametriseringens grænser, hvorved fluxen findes og lottes: Flux3 d unaly int int rik V x, y, z, N3 u, v, t, u =..Pi, v =..1, t Flux3 := t/ 1 sin t C 1 cos t C 1 sin t (.9) lot Flux3 t, t =.. Pi, labels = t, Flux, legend = 1 sin t C 1 cos t 83

89 C 1 sin t, legendstyle = location = bottom, labelfont = "TIMES", Flux sin t C 1 cos t C 1 sin t 4 t Det samlede energiotag findes ved at integrere fluxen o mht. tiden fra kl. 6. til 1. og gange med : Energikugle d int Flux3 t, t =.. Pi $ Energikugle := C 1 (.1) Ogave 4.1 B, Energiotag gennem kuglekalot restart : with lots : with LinearAlgebra : rik d x, y / VectorCalculus DotProduct x, y : kryds d x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y, Vector : vo droc X o convert X, list end roc: grad d X, Y / convert linalg grad X, Y, Vector column : div d V / VectorCalculus Divergence V : 84

90 rot droc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end roc: Vt d x, y, z, t /,Kcos t,ksin t Vt := x, y, z, t /, Kcos t, Ksin t V d x, y, z /,Kcos t,ksin t V := x, y, z /, Kcos t, Ksin t Vi definerer arameterfremstillingen, finder grænser og lotter: (3.1) (3.) r d u, v / u, v, sqrt 1 K u K v K 1 : r u, v u v (3.3) Ku K v C 1 K 1 a1 d solve r u, 3 =, u a1 := K 1 3, 1 3 (3.4) vgrænse d solve u C v = a1, v vgrænse := 1 K4 u C 3, K 1 K4 u C 3 (3.5) lot3d r u, v, u = a1 1..a1, v = vgrænse 1..vgrænse, scaling = constrained, labels = x, y, z, color = red 85

91 Vi finder normalvektoren samt rikroduktet: rmu d diff~ r u, v, u : rmv d diff~ r u, v, v : N d unaly kryds rmv, rmu, u, v : N u, v u K Ku K v C 1 K v Ku K v C 1 K1 (3.6) rikrod d unaly rik V x, y, z, N u, v, u, v, t rikrod := u, v, t / cos t v C sin t 1 K u K v Vi finder, hvornår rikroduktet er lig og animerer området: vgrænseskygge d unaly solve rikrod u, v, t =, v, u, t (3.7) (3.8) 86

92 vgrænseskygge := u, t /Ktan t K u K 1 cirkel d imlicitlot x C y = 3 4, x =Ksqrt 3.. sqrt 3 tan t C 1, y =K sqrt 3 = blue, scaling = constrained, labels = u, v, legend = bundcirkel cirkel := PLOT... animate lot, vgrænseskygge u, t, u =K sqrt 3 = skyggegrænse, t =.. Pi.. sqrt 3, frames = 5, background = cirkel.8 t =. 1.. sqrt 3, labels = u, v, legend, color (3.8) (3.9) v.6.4. K.8 K.6 K.4 K K. u K.4 K.6 K.8 skyggegrænse bundcirkel skygge1 d lot vgrænseskygge u, Pi 8, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = black, legend = t = 8 skygge1 := PLOT... (3.1) 87

93 skygge d lot vgrænseskygge u, Pi 4, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = urle, legend = t = 4 skygge := PLOT... (3.11) skygge3 d lot vgrænseskygge u, Pi 3, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = brown, legend = t = 3 skygge3 := PLOT... (3.1) skygge4 d lot vgrænseskygge u, = t = 5 $ Pi 5, u =K sqrt 3 skygge4 := PLOT..... sqrt 3, color = red, legend (3.13) dislay cirkel, skygge1, skygge, skygge3, skygge4.8.6 v.4. K.8 K.6 K.4 K K. u K.4 K.6 K.8 bundcirkel t = 1 8 t = 1 4 t = 1 3 t = 5 Vi bestemmer skæringen mellem vores skyggegrænsefunktion og cirkel samt tidsunktet, hvor kalotten 88

94 er fuldt olyst: skæringcirkel d solve vgrænseskygge u, t = sqrt a1 Ku skæringcirkel := 1 tkritisk d solve skæringcirkel 1 = 4 cos t K 1 cos t, K 1 tkritisk := 1 3, 3, u 4 cos t K 1 cos t Vi bestemmer energiotaget over en halv dag, da der integreres o over de relevante områder til de relevante tider: int int int rikrod u, v, t, v =Ksqrt a1 K u..sqrt a1 K u, u = a1 1..skæringcirkel, t =..tkritisk 1 K 1 I ElliticE K 3 16 C 1 I ElliticE 1, Edel1 d evalf % Edel1 := C. I int int int rikrod u, v, t, v =Ksqrt a1 K u..sqrt a1 K u, u = skæringcirkel 1..a1, t =..tkritisk 1 K 1 I ElliticE K 3 16 C 1 I ElliticE 1, Edel3 d evalf % Edel3 := C. I (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) int int int rikrod u, v, t, v = vgrænseskygge u, t..sqrt a1 K u,'allsolutions', u = skæringcirkel..skæringcirkel 1,'AllSolutions', t =..tkritisk 1 assuming t T real and t O 1 3 K 1 1 (3.) 4 cos t K3 cos t sin t arcsin cos t K 1 3 cos t K 4 cos t arcsin 1 4 cos t K 1 cos t K 4 cos t K 1 sin t sin t cos t cos t C 4 cos t K 1 cos t K 4 cos t K 1 dt Edel d evalf % Edel := (3.1) Edel4 d int int int rikrod u, v, t, v =Ksqrt a1 K u..sqrt a1 K u, u 89

95 = a1 1..a1, t = tkritisk 1.. Pi Edel4 := 3 8 Energitotal d evalf $ Edel1 C Edel C Edel3 C Edel4 Energitotal := C. I (3.) (3.3) Ogave 4.1 C, Energiotag en trekvart enhedskugleflade restart : with lots : with LinearAlgebra : rik d x, y / VectorCalculus DotProduct x, y : kryds d x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y, Vector : vo droc X o convert X, list end roc: grad d X, Y / convert linalg grad X, Y, Vector column : div d V / VectorCalculus Divergence V : rot droc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end roc: Vt d x, y, z, t /,Kcos t,ksin t Vt := x, y, z, t /, Kcos t, Ksin t V d x, y, z /,Kcos t,ksin t V := x, y, z /, Kcos t, Ksin t Vi betragter den del af kuglen, som ligger under jorden og dermed ikke bidrager til energiotaget. Vi definerer arameterfremstillingen, finder grænser og lotter: (4.1) (4.) r d u, v / u, v,ksqrt 1 K u K v C 1 : r u, v u v (4.3) K Ku K v C 1 C 1 a1 d solve r u, 3 =, u a1 := K 1 3, 1 3 (4.4) vgrænse d solve u C v = a1, v vgrænse := 1 K4 u C 3, K 1 K4 u C 3 (4.5) lot3d r u, v, u = a1 1..a1, v = vgrænse 1..vgrænse, scaling = constrained, labels = x, y, z, color = red 9

96 Vi finder den indadgående normalvektor samt rikroduktet: rmu d diff~ r u, v, u : rmv d diff~ r u, v, v : N d unaly kryds rmu, rmv, u, v : N u, v u K Ku K v C 1 K v Ku K v C 1 1 (4.6) rikrod d unaly rik V x, y, z, N u, v, u, v, t rikrod := u, v, t / cos t v K sin t 1 K u K v Vi finder, hvornår rikroduktet er lig og animerer området: vgrænseskygge d unaly solve rikrod u, v, t =, v, u, t (4.7) (4.8) 91

97 vgrænseskygge := u, t /tan t K u K 1 cirkel d imlicitlot x C y = 3 4, x =Ksqrt 3.. sqrt 3 tan t C 1 = blue, scaling = constrained, labels = u, v, legend = tocirkel cirkel := PLOT... animate lot, vgrænseskygge u, t, u =K sqrt 3 = skyggelinje, t =.. Pi.. sqrt 3, frames = 5, background = cirkel t =., y =K sqrt 3.. sqrt 3, labels = u, v, legend, color (4.8) (4.9).8 v.6.4. K.8 K.6 K.4 K K. u K.4 K.6 K.8 K1 skyggelinje tocirkel skygge1 d lot vgrænseskygge u, Pi 8, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = black, legend = t = 8 skygge1 := PLOT... (4.1) 9

98 skygge d lot vgrænseskygge u, Pi 4, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = urle, legend = t = 4 skygge := PLOT... (4.11) skygge3 d lot vgrænseskygge u, Pi 3, u =K sqrt 3.. sqrt 3, color = brown, legend = t = 3 skygge3 := PLOT... (4.1) skygge4 d lot vgrænseskygge u, = t = 5 $ Pi 5, u =K sqrt 3 skygge4 := PLOT..... sqrt 3, color = red, legend (4.13) dislay cirkel, skygge1, skygge, skygge3, skygge4.8 v.6.4. K.8 K.6 K.4 K K. u tocirkel t = 1 8 t = 1 4 t = 1 3 t = 5 K.4 K.6 K.8 93

99 Vi bestemmer skæringen mellem vores skyggegrænsefunktion og cirkel, samt tidsunktet, når hele fladen er i skygge: skæringcirkel d solve vgrænseskygge u, t =Ksqrt a1 Ku, u skæringcirkel := 1 tkritisk d solve skæringcirkel 1 = 4 cos t K 1 cos t, K 1 tkritisk := 1 3, 3 4 cos t K 1 cos t Vi bestemmer nu energiotaget gennem fladen "under" jorden gennem en hel dag: Efladeunder = $ int int int rikrod u, v, t, v = vgrænseskygge u, t..sqrt a1 K u, 'AllSolutions', u = skæringcirkel..skæringcirkel 1,'AllSolutions', t =.. Pi Efladeunder = K cos t 4 cos t K 1 K cos t K 1 cos t sin t cos t (4.14) (4.15) (4.16) K 4 cos t arcsin 1 4 cos t K 1 cos t csgn cos t C 3 cos t arcsin cos t K 1 cos t sin t C 4 cos t K 1 cos t K 4 cos t K 1 csgn 1 cos t csgn cos t dt Efladeunder = evalf rhs (4.16) Efladeunder = Vi bestemmer nu energiotaget gennem en hel kugle. Her vil der gennem hele dagen være olyst en halvkugle, svarende til, at vektorfeltet var konstant,,k1 og vi betragtede halvkuglen i 4.a: V1 d,,k1 V1 := K1 (4.17) (4.18) r1 d u, v / sin u $cos v, sin u $sin v, cos u r1 := u, v / sin u cos v, sin u sin v, cos u lot3d r1 u, v, u =.. Pi, v =..$Pi, scaling = constrained (4.19) 94

100 rmu1 d diff~ r1 u, v, u rmu1, u, v : N1 u, v : rmv1 d diff~ r1 u, v, v : N1 d unaly kryds rmv1, Ksin u cos v Ksin u sin v (4.) Kcos u cos v sin u K cos u sin v sin u rikrod1 d unaly rik V1, N1 u, v, u, v rikrod1 := u, v /cos u cos v sin u C cos u sin v sin u Ehelkugle = int int int rikrod1 u, v, u =.. Pi Ehelkugle =, v =..$Pi, t =..Pi (4.1) (4.) Energiotaget gennem en hel dag fås nu som energiotaget gennem helkuglen minus energiotaget i den del af kuglen, som i figur C ligger under jorden: EnergiC = evalf rhs (4.) Krhs (4.17) EnergiC = (4.3) 95

101 Ogave 4., Sammenligning af energiotag r. overfladeareal restart : with lots : with LinearAlgebra : rik d x, y / VectorCalculus DotProduct x, y : kryds d x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y, Vector : vo droc X o convert X, list end roc: grad d X, Y / convert linalg grad X, Y, Vector column : div d V / VectorCalculus Divergence V : rot droc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end roc: Vt d x, y, z, t /,Kcos t,ksin t Vt := x, y, z, t /, Kcos t, Ksin t V d x, y, z /,Kcos t,ksin t V := x, y, z /, Kcos t, Ksin t Overfladearealet af halvkuglen fås som halvdelen af overfladen af en hel kugle: (5.1) (5.) A = 4$$r Ahalv d $Pi Ahalv := Overfladearelet af kalotten bestemmes ved et fladeintegral over fladen, hvor f x sættes til 1: (5.3) r d u, v / u, v, sqrt 1 K u K v K 1 : r u, v u v (5.4) Ku K v C 1 K 1 a1 d solve r u, 3 =, u a1 := K 1 3, 1 3 (5.5) vgrænse d solve u C v = a1, v vgrænse := 1 K4 u C 3, K 1 K4 u C 3 (5.6) rmu d diff~ r u, v, u : rmv d diff~ r u, v, v : N d unaly kryds rmu, rmv, u, v : Jacobi d unaly sqrt rik N u, v, N u, v, u, v : Jacobi = simlify Jacobi u, v Jacobi = 1 K u C v K 1 Akalot d int int Jacobi u, v, v = vgrænse..vgrænse 1,'AllSolutions', u = a1 1..a1 Akalot := Overfladearealet af den "trekvarte" kugle kan nu findes ved at trække kalotarealet fra en helkugle: Atrekvart d 4$PiK Akalot Atrekvart := 3 (5.7) (5.8) (5.9) 96

102 Vi kan nu bestemme energiotaget over en dag r. areal for de tre figurer: relehalvkugle = PiC Ahalv relehalvkugle = 1 C 1 relehalvkugle = evalf rhs (5.1) relehalvkugle = relekalot = Akalot relekalot = evalf rhs (5.1) reletrekvartkugle = Atrekvart relekalot = relekalot = reletrekvartkugle = reletrekvartkugle = evalf rhs (5.14) reletrekvartkugle = evalf C (5.1) (5.11) (5.1) (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) 97

103 Ogave 5 - Enkelt glaslinjesolfanger i lanen restart:with(linearalgebra): V = Kcos t,ksin t, t e ; Sidsvinklet trekant-solfanger: Indadgående enhedsnormalvektor: n = Kcos Ksin K x cosk1 x K x cosk1 x V, n = cos t $cos K x cosk1 x C sin t $sin K x cosk1 x E t = x$v, n = x$ cos t $cos K x cosk1 x C sin t $sin K x cosk1 x Solfangeren er olyst indtil t = K cos K1 x x E total = K cos K1 x x x$ cos t $cos K x cosk1 x C sin t $sin K x cosk1 x dt Udregning: int(x*(cos(t)*cos(pi/-arccos(x/x))+sin(t)*sin(pi/-arccos(x/x) )),t=..pi-arccos(x/x)); x C x (1.1) Stumvinklet trekant-solfanger: Indadgående enhedsnormalvektor: n = Kcos sin K x cosk1 x K x cosk1 x V, n = cos t $cos K x cosk1 x Ksin t $sin K x cosk1 x E t = x$ cos t $cos K x cosk1 x Ksin t $sin K x cosk1 x 98

104 Solfangeren er olyst indtil t = cos K1 x x E total = cos K1 x x x$ cos t $cos K x cosk1 x Ksin t $sin K x cosk1 x dt int(x*(cos(t)*cos(pi/-arccos(x/x))-sin(t)*sin(pi/-arccos(x/x) )),t=..arccos(x/x)); Kx C x (1.) 99

105 Ogave 8 - Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetode Parameterfremstilling: r u, v = v, u, 1 K u, u e K1, 1, v e K1, 1 r u ' u, v =, 1,K$u r v ' u, v = 1,, r[u]:=vector[column]([, 1, -*u ]); r[v]:=vector[column]([ 1,, ]); CrossProduct(r[u],r[v]); r u := r v := K u K1 1 K u 1 (.1) (.) (.3) Jacobi r = K$u C K1 = 4$u C 1 A = 1 K1 1 K1 Jacobi r du dv = 1 K1 1 K1 4$u C 1 du dv int(int(sqrt(4*u^+1),u=-1..1),v=-1..1); 5 K ln K C 5 evalf[6]( (.4) ); (.4) (.5) 1

106 Ogave Undersøgelse af funktionen ElliticE with(lots): Først undersøges ElliticE(x). ElliticE(x); (1.1) lot(ellitice(x),x=-1..1); int(ellitice(x),x); lot(int(ellitice(x),x),x=-1..1); (1.) 11

107 diff(ellitice(x),x); (1.3) lot(diff(ellitice(x),x),x=-1..1); 1

108 Nu undersøges ElliticE(ix). ElliticE(I*x); lot(ellitice(i*x),x=-5..5); (1.4) 13

109 int(ellitice(i*x),x); (1/)*Pi**hyergeom([-1/, 1/, 1/], [1, 3/], -^); lot(int(ellitice(i*x),x),x=-5..5); (1.5) 14

110 simlify(diff(ellitice(i*x),x)); (1.6) lot(simlify(diff(ellitice(i*x),x)),x=-5..5); 15

111 16

112 Ogave 1. - Modellering af omdrejningskegle restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: Bestem med hjæl fra Male den eksakte værdi af Etotal for en oretstående omdrejningskegle K som har højden h og bundradius r. Vink: Dette grundlæggende resultat for omdrejningsflader er vi nødt til at finde ved elementær insektion af de områder der skal integreres over å forskellige tidsunkter af dagen, med metoder svarende til de første ogaver. V:=unaly( <,-cos(t),-sin(t),x,y,z): 'V(x,y,z)'=V(x,y,z); V x, y, z = Kcos t Ksin t (1.1) Udregning af formel for rofilkurven Z:=unaly(h-h/r*x,x,r,h); Z := x, r, h /h K h x r lot(z(x,,5),x=..5,scaling=constrained); (1.) 17

113 x K K4 K6 Parametrisering af rofilkurve s:=unaly( < u*r,, -h*u+h,u,h,r): 's(u,h,r)'=s(u,h,r); u r s u, h, r = Kh u C h (1.3) Plottet for højde : sacecurve(s(u,,1),u=..1,labels=[x,y,z]); 18

114 Vi finder Jacobifunktionen for rofilkurven: Tangentvektor s :=unaly(diff~(s(u,h,r),u),u,h,r): 's (u,h,r)'=s (u,h,r); r s u, h, r = Jacobifunktionen sqrt(rik(s (u,h,r),s (u,h,r))): Jacobi:=simlify(%); Kh Jacobi := h C r (1.4) (1.5) Parametrisering af omdrejningskegle r:=unaly( < u*r*cos(v), u*r*sin(v), -u*h+h,u,v,h,r): 'r(u,v,h,r)'=r(u,v,h,r); (1.6) 19

115 r u, v, h, r = Hvor u, 1 og v K, og h r = a. u r cos v u r sin v Kh u C h (1.6) rlot:=lot3d(r(u,v,3,1),u=..1,v=-pi..pi,scaling=constrained, labels=[x,y,z],orientation=[,8,]):dislay(rlot); ru:=diff~(r(u,v,h,r),u): rv:=diff~(r(u,v,h,r),v): n:=unaly(simlify(kryds(rv,ru)),u,v,h,r):'n(u,v,h,r)'=n(u,v,h, r); n u, v, h, r = Ku r cos v h Ku r sin v h Kr u nlot:=vectorcalculus[plotvector](n(1,pi,,),color=red): dislay(rlot,nlot); (1.7) 11

116 rik(v(x,y,z),n(u,v,h,r)); cos t u r sin v h C sin t r u f:=(u,v,h,r,t)-(1.8): (1.8) Det blå område å figuren herunder indikerer ositiv flux (indadgående flux), røde områder indikerer negativ flux (udadgående) som ikke skal regnes med. grænselot:=imlicitlot(subs({r=1,h=,u=.5},cos(t)*u*r*sin(v)* h+sin(t)*r^*u),v=-pi..pi,t=..pi,filled=true):dislay (grænselot); 111

117 Plotter rikroduktet lig animate(lot3d,[[f(u,v,,,t),<u,v,],u=..1,v=..*pi,color= [red,green]],t=..pi,frames=5,orientation=[,,]); 11

118 t =. Vi finder tidsgrænsen: tkritisk:=solve(rik(v(x,y,z),n(u,v,h,r))=,t); tkritisk := Karctan h sin v r Vi finder det totale energiotag i løbet af en dag som funktion af højden og radius. (1.9) Vi integrerer (ud fra imlicitlot ovenfor) fra det kritisk tidsunkt til å Etot = 1 K tkritisk tkritisk C dt dv du rik V vo r u, v, h, r, n u, v, h, r dt dv du C rik V vo r u, v, h, r, n u, v, h, r 1 Etot = r ElliticE K h r C r (1.1) 113

119 Etot = 1 K n u, v, h, r dt dv du tkritisk rik V x, y, z, n u, v, h, r dt dv du C 1 tkritisk C rik V x, y, z, Etot = r ElliticE K h r C r Etot:=unaly(*r^*ElliticE(sqrt(-h^/r^))+r^*Pi,h,r); (1.11) Etotf=factor(Etot(h,r)); Etot := h, r / r ElliticE K h r C r (1.1) Etotf = r C ElliticE K h r (1.13) Dette kan omskrives til følgende da h og r er reelle tal E tot = r C ElliticE K h r I E tot = r C ElliticE a I 114

120 Ogave 1 - Solfangere som er omdrejningsflader I denne ogave benyttes integralformlen til, at regne energiotaget gennem et omdrejningslegeme. Formlen defineres E:=(Z,a)-(int(*u*(Pi+*int(sqrt(1+diff(Z,u)***t**)/sqrt(1-t** ), t=..1,numeric=true)),u=..a)); Herefter bruges formlen til, at udregne energiotaget i kuglekalotten fra ogave 4. E(sqrt(1-u^)-1/,sqrt(3)/); restart; assume u T real : assume! u! 1 : interface showassumed = ; E := Z, a / evalf(%); a u C int 1 3 u C 1 C v vu Z t Kt C 1 Samme resultat som den manuelle metode Det samme gøres nu for halvkuglen i ogave 4 E(sqrt(1-u^), ); C u t K1. u C K1. t C 1., t =..1, numeric = true du Resultatet er ikke helt identisk med den manuelle metode, hvilket skyldes at flade ikke er differentiabel i 1 og derfor, vælges der en græsen 'tæt' å 1. Derfor kommer der en lille afvigelse i energiotaget. dt du (1.1) (1.) (1.3) (1.4) (1.5) 115

121 Ogave 11 - Nedadvendt omdrejningsaraboloide restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;Curl(X) end roc: En nedadvendt omdrejningsarabloide har tounkt i (x, y, z) = (,, h), og dens bundcirkel erunktmængden x, y, z x C y = 1 og z = a) Plot forholdet mellem solfangerens E total og dens overfladeareal som funktion højden h. assume(u::real,x::real,a::real,t::real,tau::real,h::real,h, u,t,a); Udregning af formel for rofilkurven (x+1)*(x-1)*(-h); K x C 1 x K 1 h (.1.1) Z:=unaly(h*(-x^+1),x,h); Z := x, h /h Kx C 1 lot(z(x,),x=-1..1); (.1.) 116

122 K1 K x Parametrisering af rofilkurve s:=unaly( < u,, -(u+1)*(u-1)*h,u,v,h): 's(u,v,h)'=s(u,v,h); u s u, v, h = K u C 1 u K 1 h (.1.3) Parametrisering af araboloide r:=unaly( < u*cos(v), u*sin(v), -(u+1)*(u-1)*h,u,v,h): 'r(u,v,h)'=r(u,v,h); u cos v r u, v, h = u sin v K u C 1 u K 1 h hvor u, 1, v, rlot:=lot3d(r(u,v,),u=..1,v=..*pi,scaling=constrained) :dislay(rlot); (.1.4) 117

123 Vi beregner nu overfladearealet af fladen vha. fladeintegralet Jacobifunktion b:=crossproduct(diff~(r(u,v,h),u),diff~(r(u,v,h),v)): simlify(sqrt(b.b)) assuming u and v and h: Jacobi:=unaly(%,u,v,h); Jacobi := u, v, h /u 4 h u C 1 (.1.5) Overfladeareal: A d unaly $ 1 A := h/ 3 Areal=factor(A(h)); Areal = 1 6 Jacobi u, v, h du dv, h ; 4 h C 1 C h C 1 h K h 4 h C 1 C 4 h C 1 K 1 h h (.1.6) (.1.7) 118

124 lot(a(h),h=..15); h Det ses hvordan arealet vokser med stigende højde, som forventet. Integralformlen for E total defineres, som kun gælder for omdrejningslegemer. Eformel:=(Z,a)-(int(*u*(Pi+*int(sqrt(1+diff(Z,u)***t**) /sqrt(1-t**), t=..1,numeric=true)),u=..a)); Eformel := Z, a / a u C int 1 C v vu Z t Kt C 1, t =..1, numeric (.1.8) = true du Herefter defineres rofilkurven Z(u,h); (diff(z(u,h),u))^; h Ku C (.1.9) (.1.1)

125 Integralet udregnes Eformel(h*(-u^+1),1); 1 u C h u 4. h u t C 1. K1. t C 1. (.1.1) (.1.11) Det bemærkes at male ikke kan udregne integralet numerisk. Dette er heller ikke nødvendigt, da der bare skar laves et lot over energiotaget r. arealenhed. Dette gøres med et 'sequencelot', da hvert unkt i grafen kræver relativt meget regnekraft og en fuldstændig graf derfor vil tage meget lang tid at udregne. Nedenfor ses et sequencelot for E som funktion af højden. Det stiger selvfølgelig bare mod det uendelige, idet en større overflade også vil betyde et større energiotag. E:=unaly(%,h); E := h/ 1 u C 4. h u C 1. ElliticE dt du. u h 4. h u C 1. du (.1.1) lot([seq]([j,e(j)],j=.1..1,.),style=oint,labels=['h',e]); 5 E h Herefter laves et sequencelot over energiotaget som brøkdel af arealet som funktion af højden af 1

126 omdrejningsfladen: lot([seq]([j,e(j)/a(j)],j=.1..1,.),style=oint,view=.., labels=['h',e/a]); 1.5 E A h Energiotaget r. areal er højest når højden er lavest b) En cylinder med rumfang ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel å (x, y)- lanen, mens dens tocirkel rører araboloiden hele vejen rundt. Bestem arabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at arabloiden onår maksimalt Etotal r. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi. Om cylinder med rumfang 11

127 , højde h og radius r gælder følgende ud fra volumenformlen for en cylinder Volumenet for den her givne cylinder er givet ud fra arametriseringen af araboloiden. Paraboloiden er arametriseret ved 'r(u,v,h)'=r(u,v,h); r u, v, h = u cos v u sin v K u C 1 u K 1 h (..1) Profilkurven Z(u,h); h Ku C 1 Den generelle formel for en cylinders volumen ostilles (..) r h cyl = V Dette sættes nu lig som er cylinderens volumen r h cyl = 5 r h cyl = 1 Vi substituerer r = a og at højden af cylinderen skal være lig med højden af araboloiden når u = a, dvs h cyl = h Ka C 1. a h Ka C 1 = 1 Herudfra udtrykkes højden som funktion af radius h = 1 a 1 K a Herefter lottes højden som funktion af radius, hvor et ekstremumsunkt er tydeligt 1 h d a $ 1 K a ; lot(h,a=..4); h := 1 a Ka C 1 (..3) 1

128 a Der differentieres nu mht. radius. Sættes dette udtryk lig nul findes der hvor tilvæksten af h a og dermed et ekstremum (otimal). h :=diff(h,a); 1 h := K a 3 Ka C 1 C 1 a Ka C 1 er nul (..4) Det fremkomne udtryk for den afledte højde kan altså bruges til at finde den radius som giver højest muligt energiotag. (Energiotaget r. areal er højest når højden er lavest). Dermed findes den radius der hører til den laveste højde. solve(h =,a); Warning, solve may be ignoring assumtions on the inut variables. 1 Dette er den otimale radius af cylinderen., K 1 a = 1 (..5) 13

129 a:=1/*sqrt(): Nu kan højden af araboloiden bestemmes ud fra h = h:=1/(*a^*(-a^+1)); h := (..6) Der fås at højden af cylinderen skal være lig med højden af araboloiden i den ukværdi der er radius af cylinderen, a, dvs: 'h[c]'=h*(-a^+1); h c = 1 (..7) 1 a $ 1 K a Det totale energiotag å en dag for en araboloide med højde er evalf(e()); Arealet af araboloiden er A(); K 1 4 Energiotaget r. areal for denne otimale araboloide er 'E/A'=evalf(E()/A()); E A = (..8) (..9) (..1) restart:with(lots): Resultatet lottes: r:=unaly( < u*a*cos(v), u*a*sin(v), -(u+1)*(u-1)*h,u, v,h,a): 'r(u,v,h,a)'=r(u,v,h,a): c:=unaly( < a*cos(v), a*sin(v), u*h,u,v,h,a): 'c(u,v,h,a)'=c(u,v,h,a): rlot:=lot3d(r(u,v,,1),u=..1,v=..*pi,scaling=constrained, transarency=.5,color=blue): clot:=lot3d(c(u,v,1,(1/)*sqrt()),u=..1,v=..*pi,scaling= constrained,color=green,labels=[x,y,z],orientation=[15,8,]): dislay(rlot,clot); 14

130 15

131 Ogave 11 - Nedadvendt omdrejningsaraboloide restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;Curl(X) end roc: En nedadvendt omdrejningsarabloide har tounkt i (x, y, z) = (,, h), og dens bundcirkel erunktmængden x, y, z x C y = 1 og z = a) Plot forholdet mellem solfangerens E total og dens overfladeareal som funktion højden h. assume(u::real,x::real,a::real,t::real,tau::real,h::real,h, u,t,a); Udregning af formel for rofilkurven (x+1)*(x-1)*(-h); K x C 1 x K 1 h (.1.1) Z:=unaly(h*(-x^+1),x,h); Z := x, h /h Kx C 1 lot(z(x,),x=-1..1); (.1.) 16

132 K1 K x Parametrisering af rofilkurve s:=unaly( < u,, -(u+1)*(u-1)*h,u,v,h): 's(u,v,h)'=s(u,v,h); u s u, v, h = K u C 1 u K 1 h (.1.3) Parametrisering af araboloide r:=unaly( < u*cos(v), u*sin(v), -(u+1)*(u-1)*h,u,v,h): 'r(u,v,h)'=r(u,v,h); u cos v r u, v, h = u sin v K u C 1 u K 1 h hvor u, 1, v, rlot:=lot3d(r(u,v,),u=..1,v=..*pi,scaling=constrained) :dislay(rlot); (.1.4) 17

133 Vi beregner nu overfladearealet af fladen vha. fladeintegralet Jacobifunktion b:=crossproduct(diff~(r(u,v,h),u),diff~(r(u,v,h),v)): simlify(sqrt(b.b)) assuming u and v and h: Jacobi:=unaly(%,u,v,h); Jacobi := u, v, h /u 4 h u C 1 (.1.5) Overfladeareal: A d unaly $ 1 A := h/ 3 Areal=factor(A(h)); Areal = 1 6 Jacobi u, v, h du dv, h ; 4 h C 1 C h C 1 h K h 4 h C 1 C 4 h C 1 K 1 h h (.1.6) (.1.7) 18

134 lot(a(h),h=..15); h Det ses hvordan arealet vokser med stigende højde, som forventet. Integralformlen for E total defineres, som kun gælder for omdrejningslegemer. Eformel:=(Z,a)-(int(*u*(Pi+*int(sqrt(1+diff(Z,u)***t**) /sqrt(1-t**), t=..1,numeric=true)),u=..a)); Eformel := Z, a / a u C int 1 C v vu Z t Kt C 1, t =..1, numeric (.1.8) = true du Herefter defineres rofilkurven Z(u,h); (diff(z(u,h),u))^; h Ku C 1 19 (.1.9) (.1.1)

135 Integralet udregnes Eformel(h*(-u^+1),1); 1 u C h u 4. h u t C 1. K1. t C 1. (.1.1) (.1.11) Det bemærkes at male ikke kan udregne integralet numerisk. Dette er heller ikke nødvendigt, da der bare skar laves et lot over energiotaget r. arealenhed. Dette gøres med et 'sequencelot', da hvert unkt i grafen kræver relativt meget regnekraft og en fuldstændig graf derfor vil tage meget lang tid at udregne. Nedenfor ses et sequencelot for E som funktion af højden. Det stiger selvfølgelig bare mod det uendelige, idet en større overflade også vil betyde et større energiotag. E:=unaly(%,h); E := h/ 1 u C 4. h u C 1. ElliticE dt du. u h 4. h u C 1. du (.1.1) lot([seq]([j,e(j)],j=.1..1,.),style=oint,labels=['h',e]); 5 E h Herefter laves et sequencelot over energiotaget som brøkdel af arealet som funktion af højden af 13

136 omdrejningsfladen: lot([seq]([j,e(j)/a(j)],j=.1..1,.),style=oint,view=.., labels=['h',e/a]); 1.5 E A h Energiotaget r. areal er højest når højden er lavest b) En cylinder med rumfang ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel å (x, y)- lanen, mens dens tocirkel rører araboloiden hele vejen rundt. Bestem arabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at arabloiden onår maksimalt Etotal r. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi. Om cylinder med rumfang 131

137 , højde h og radius r gælder følgende ud fra volumenformlen for en cylinder Volumenet for den her givne cylinder er givet ud fra arametriseringen af araboloiden. Paraboloiden er arametriseret ved 'r(u,v,h)'=r(u,v,h); r u, v, h = u cos v u sin v K u C 1 u K 1 h (..1) Profilkurven Z(u,h); h Ku C 1 Den generelle formel for en cylinders volumen ostilles (..) r h cyl = V Dette sættes nu lig som er cylinderens volumen r h cyl = 5 r h cyl = 1 Vi substituerer r = a og at højden af cylinderen skal være lig med højden af araboloiden når u = a, dvs h cyl = h Ka C 1. a h Ka C 1 = 1 Herudfra udtrykkes højden som funktion af radius h = 1 a 1 K a Herefter lottes højden som funktion af radius, hvor et ekstremumsunkt er tydeligt 1 h d a $ 1 K a ; lot(h,a=..4); h := 1 a Ka C 1 (..3) 13

138 a Der differentieres nu mht. radius. Sættes dette udtryk lig nul findes der hvor tilvæksten af h a og dermed et ekstremum (otimal). h :=diff(h,a); 1 h := K a 3 Ka C 1 C 1 a Ka C 1 er nul (..4) Det fremkomne udtryk for den afledte højde kan altså bruges til at finde den radius som giver højest muligt energiotag. (Energiotaget r. areal er højest når højden er lavest). Dermed findes den radius der hører til den laveste højde. solve(h =,a); Warning, solve may be ignoring assumtions on the inut variables. 1 Dette er den otimale radius af cylinderen., K 1 a = 1 (..5) 133

139 a:=1/*sqrt(): Nu kan højden af araboloiden bestemmes ud fra h = h:=1/(*a^*(-a^+1)); h := (..6) Der fås at højden af cylinderen skal være lig med højden af araboloiden i den ukværdi der er radius af cylinderen, a, dvs: 'h[c]'=h*(-a^+1); h c = 1 (..7) 1 a $ 1 K a Det totale energiotag å en dag for en araboloide med højde er evalf(e()); Arealet af araboloiden er A(); K 1 4 Energiotaget r. areal for denne otimale araboloide er 'E/A'=evalf(E()/A()); E A = (..8) (..9) (..1) restart:with(lots): Resultatet lottes: r:=unaly( < u*a*cos(v), u*a*sin(v), -(u+1)*(u-1)*h,u, v,h,a): 'r(u,v,h,a)'=r(u,v,h,a): c:=unaly( < a*cos(v), a*sin(v), u*h,u,v,h,a): 'c(u,v,h,a)'=c(u,v,h,a): rlot:=lot3d(r(u,v,,1),u=..1,v=..*pi,scaling=constrained, transarency=.5,color=blue): clot:=lot3d(c(u,v,1,(1/)*sqrt()),u=..1,v=..*pi,scaling= constrained,color=green,labels=[x,y,z],orientation=[15,8,]): dislay(rlot,clot); 134

140 135

141 Ogave 14 - Modellering af lukkede konvekse solfangere restart; rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: with(lots): with(linearalgebra): with(vectorcalculus): BasisFormat(false): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): re:=<sin(u)*cos(v),*sin(u)*sin(v),cos(u)+4: 're(u,v)'=re; sin u cos v re u, v = sin u sin v cos u C 4 rb:=<cos(v)*sin(u),*sin(v)*sin(u),4: 'rb(v,u)'=rb; sin u cos v rb v, u = sin u sin v 4 solvektorfelt:=<,-cos(t),-sin(t); solvektorfelt := Kcos t Ksin t (1.1) (1.) (1.3) rojre:=re-(solvektorfelt.re)*solvektorfelt assuming t; sin u cos v rojre := sin u sin v C K cos t sin u sin v K sin t cos u C 4 cos t cos u C 4 C K cos t sin u sin v K sin t cos u C 4 sin t (1.4) rojrb:=rb-(solvektorfelt.rb)*solvektorfelt assuming t; sin u cos v rojrb := sin u sin v C K cos t sin u sin v K 4 sin t cos t 4 C K cos t sin u sin v K 4 sin t sin t (1.5) lot1:=lot3d({re,rb},u=..pi/,v=-pi..pi): lot:=lot3d({subs({t=pi/6},rojre), subs({t=pi/6},rojrb)},u=..pi/,v=-pi..pi): 136

142 alfa:=imlicitlot3d(-cos(pi/6)*y-sin(pi/6)*z=,x=-..,y=-4.., z=..5,scaling=constrained,colour=white,style=surface): dislay(lot1,lot,alfa,scaling=constrained); n1:=simlify(kryds((diff~(rojre,u),(diff~(rojre,v))))); n1 := sin u cos t cos t sin u sin v C sin t cos u sin u sin u cos t sin v sin t K cos t cos u C cos u (1.6) Jacobi1:=simlify(sqrt(rik(n1,n1))) assuming <u,u<pi/; Jacobi1 := sin u cos u cos v cos t C 4 sin u cos u cos t sin v sin t K 5 cos u cos t K cos v cos t C 4 cos u C cos t 1/ n:=kryds((diff~(rojrb,u),(diff~(rojrb,v)))); n := K cos u sin v K cos t cos u sin v cos t sin u cos v sin t (1.7) (1.8) 137

143 C cos t cos u sin v sin t sin u cos v K cos t sin u cos v, cos u cos v cos t sin u sin t C sin v sin u cos t sin t cos u, cos u cos v sin u cos v K cos t sin u cos v C cos u sin v K cos t cos u sin v sin u sin v Jacobi:=simlify(sqrt(rik(n,n))) assuming <u,u<pi/,<t, t<pi; Jacobi := cos u sin u sin t (1.9) Digits:=4: E:=1/*Int(Int(abs(Jacobi1)+abs(Jacobi),u=..Pi/),v=-Pi..Pi); E := 1 1 K (1.1) sin u cos u cos v cos t C 4 sin u cos u cos t sin v sin t K 5 cos u cos t K cos v cos t C 4 cos u C cos t 1/ C cos u sin u sin t du dv lot E, t =.., view =..7, labels = 't', tyeset B 'C' t ; 138

144 7 6 5 B C t t evalf(int(e,t=..pi)); (1.11) 139

145 Ogave 15 - Modellering af lukkede konvekse solfangere restart; rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: with(lots): with(linearalgebra): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): interface(showassumed=): assume(u-1, u<1, w, w<1, t, t<pi/, s, s<pi/, u::real, w::real, v::real, s::real): alfalan:= cos(t)*y-sin(t)*z: alfalanrot:= unaly(-sin(s)*cos(t)*x-cos(s)*cos(t)*y-sin(t)*z, s,t): rbund:=<u,v,4: 'rbund'=rbund; rto:=<u,v,-u^+5: 'rto'=rto; rbund = rto = rgavl1:=<u,1,w*(-u^+1)+4: 'rgavl1'=rgavl1; rgavl1 = rgavl:=<u,-1,w*(-u^+1)+4: 'rgavl'=rgavl; rgavl = u v u v 4 Ku C 5 u 1 w Ku C 1 C 4 u K1 w Ku C 1 C 4 (1.1) (1.) (1.3) (1.4) solvektorfelt:=unaly(<,-cos(t),-sin(t),t): 14

146 Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s), sin(s), ], [ -sin(s), cos(s), ], [,, 1 ] ]): Rotationsmatrix.solvektorfelt(t): solroteret:=unaly(%,s,t): 'solroteret(s,t)'=solroteret(s,t); Ksin s cos t solroteret s, t = Kcos s cos t Ksin t (1.5) rojbund:=rbund-(solroteret(s,t).rbund)*solroteret(s,t) assuming t: rojto:=rto-(solroteret(s,t).rto)*solroteret(s,t) assuming t: rojgavl1:=rgavl1-(solroteret(s,t).rgavl1)*solroteret(s,t) assuming t: rojgavl:=rgavl-(solroteret(s,t).rgavl)*solroteret(s,t) assuming t: lot1:=lot3d({subs({t=pi/5,s=pi/3},rbund), subs({t=pi/5,s=pi/3}, rto)},u=-1..1,v=-1..1): lot:=lot3d({subs({t=pi/5,s=pi/3},rgavl1), subs({t=pi/5,s=pi/3},rgavl)},u=-1..1,w=..1): lot3:=lot3d({subs({t=pi/5,s=pi/3},rojbund), subs({t=pi/5,s= Pi/3},rojto)},u=-1..1,v=-1..1,style=atch,color=black): lot4:=lot3d({subs({t=pi/5,s=pi/3},rojgavl1), subs({t=pi/5,s= Pi/3},rojgavl)},u=-1..1,w=..1,style=atch,color=black): alfa:=imlicitlot3d(alfalanrot(pi/3,pi/5)=,x=-4..,y= ,z=1..5,scaling=constrained,colour=grey,style=surface): dislay(lot1,lot,lot3,lot4,alfa,scaling=constrained); 141

147 Nbund:=simlify(kryds((diff~(rojbund,u),(diff~(rojbund,v))))): Nto:=simlify(kryds((diff~(rojto,u),(diff~(rojto,v))))): Ngavl1:=simlify(kryds((diff~(rojgavl1,u),(diff~(rojgavl1,w)))) ): Ngavl:=simlify(kryds((diff~(rojgavl,u),(diff~(rojgavl,w)))) ): Jacobi1:=simlify(sqrt(rik(Nbund,Nbund))); Jacobi1 := sin t Jacobi:=simlify(sqrt(rik(Nto,Nto))); Jacobi := (1.6) (1.7) K4 cos s cos t u C 4 sin s sin t cos t u C 4 cos t u K cos t C 1 Jacobi3:=simlify(sqrt(rik(Ngavl1,Ngavl1))); Jacobi3 := Kcos s cos t u K 1 Jacobi4:=simlify(sqrt(rik(Ngavl,Ngavl))); Jacobi4 := Kcos s cos t u K 1 14 (1.8) (1.9)

148 Flux:=unaly((int(int(Jacobi1+Jacobi,u=-1..1),v=-1..1)+int(int (Jacobi3+Jacobi4,u=-1..1),w=..1)),s,t); Flux := s, t /K 1 1 (1.1) cos t cos s K 1 K cos t cos s 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t K 8 cos s sin t cos t K cos t cos s 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C sin s sin t 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t K sin s sin t 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C cos t 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C 8 sin t cos t C cos t 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C 8 3 cos s cos t E d s/evalf Int Flux s, t, t =.. Pi, digits = 5 ; E := s/evalf Int Flux s, t, t =.. 1, digits = 5 (1.11) lot([seq]([j,e(j)],j= /,.1),labels=['s','e']); 143

149 E s Undersøgelse af solfanger fra ogave tre Her betragtes ovenstående solfanger uden gavle Flux1:=unaly(int(int(Jacobi1+Jacobi,u=-1..1),v=-1..1),s,t); Flux1 := s, t /K 1 1 cos t cos s K 1 K cos t cos s 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t (1.1) K 8 cos s sin t cos t K cos t cos s 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C sin s sin t 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t K sin s sin t 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C cos t 1 C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t C 8 sin t cos t C cos t 1 K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s cos t C 3 cos t 144

150 E1 d s/evalf Int Flux1 s, t, t =.. Pi, digits = 5 ; E1 := s/evalf Int Flux1 s, t, t =.. 1, digits = 5 (1.13) lot([seq]([j,e1(j)],j= /,.1),labels=['s','e[tot]']) ; E tot s Dette er det samme totale energiotag som for solfangeren i ogave 3 145

151 Ogave 17 - Reuleaux Trekant restart: with(lots): with(linearalgebra): rik:=(x,y)-vectorcalculus[dotproduct](x,y): kryds:=(x,y)-convert(vectorcalculus[crossproduct](x,y),vector): vo:=roc(x) o(convert(x,list)) end roc: grad:=(x,y)-convert(linalg[grad](x,y),vector[column]): div:=v-vectorcalculus[divergence](v): rot:=roc(x) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end roc: 1. Reuleaux trekantens skyggelinje i lanen Gør rede for at trekantens skygge å en ret linje som er vinkelret å det lane solvektorfelt, er konstant. Vi har følgende for en Reuleaux Trekant r 1 = r = r 3 = C 1 = K1, C =, 3 C 3 =, 1 Da trekantens sider er dele af cirkelskiverne for tre cirkler med centrum i trekantens hjørner 3 vil diameteren i trekanten være cirklernes diameter alle steder. c1:=unaly( < *cos(u)-1,*sin(u),u): 'c1(u)'=c1(u); c1 u = cos u K 1 sin u (16.1.1) hvor u, 3 c:=unaly( < *cos(u)+1,*sin(u),u): 'c(u)'=c(u); c u = cos u C 1 sin u (16.1.) hvor u 3, c3:=unaly( < *cos(u),*sin(u)+sqrt(3),u): 146

152 'c3(u)'=c3(u); c3 u = cos u sin u C 3 (16.1.3) hvor u 4 3, 5 3 c1lot:=lot([c1(u)[1],c1(u)[],u=..pi/3],scaling=constrained, color=blue): clot:=lot([c(u)[1],c1(u)[],u=*pi/3..pi],scaling= constrained,color=green): c3lot:=lot([c3(u)[1],c3(u)[],u=4*pi/3..5*pi/3],scaling= constrained,color=red): clot:=[c1lot,clot,c3lot]: dislay(clot); K1 K K. s:=unaly( < *u-1,,u): 's(u)'=s(u); s u = u K 1 (16.1.4) slot:=lot([s(u)[1],s(u)[],u=..1],scaling=constrained,color= 147

153 red): dislay(c1lot,clot,c3lot,slot); K1 K K. s:=unaly( < (*u-1), (u+1)*sin(v),u,v): 's(u,v)'=s(u,v); u K 1 s u, v = u C 1 sin v (16.1.5) animate(lot,[[s(u,v)[1],s(u,v)[],u=..1]], v=..1, frames = 5, background = clot); 148

154 1.6 v = K1 K K.. Parametriseringer for Reuleaux trekant Betragt den kurve K som den højre halvdel af Reuleaux trekanten består af. Ostil en arameterfremstilling for hver af de to dele som udgør K. c1:=unaly( < u,,sqrt(4-(1+u)^),u): 'c1(u)'=c1(u); u c1 u = 4 K u C 1 (16..1) hvor u, 1 c:=unaly( < u,,sqrt(3)-sqrt((u+)*(-u+)),u): 'c(u)'=c(u); (16..) 149

155 c u = u 3 K u C Ku C (16..) hvor u, 1 s:='s': c1lot d lot c1 u 1, c1 u 3, u =..1, scaling = constrained, color = blue, legend = tyeset s side u : clot d lot c u 1, c u 3, u =..1, scaling = constrained, color = green, legend = tyeset s bund u : dislay(c1lot,clot); K. s side u s bund u 3. Reuleaux som rumlig omdrejningsflade Lad R betegne det omdrejningslegeme der ostår ved drejning af K omkring z-aksen. Overvej om R har konstant bredde, dvs: Hvis R laceres mellem to arallelle tangentlaner, er 15

156 afstanden mellem tangentlanerne da den samme uanset hvilket sæt af arallelle tangentlaner der er valgt? Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(v), -sin(v), ], [ sin(v), cos(v), ], [,, 1 ] ]); cos v Ksin v Rotationsmatrix := sin v cos v 1 c1d:=unaly(rotationsmatrix.c1(u),u,v): 'c1d(u,v)'=c1d(u,v); cos v u c1d u, v = sin v u 4 K u C 1 cd:=unaly(rotationsmatrix.c(u),u,v): 'cd(u,v)'=cd(u,v); cos v u cd u, v = Hvor u, 1 og v, sin v u 3 K u C Ku C (16.3.1) (16.3.) (16.3.3) c1dlot:=lot3d(c1d(u,v),u=..1,v=..*pi,labels=[x,y,z], orientation=[-15,8,]): cdlot:=lot3d(cd(u,v),u=..1,v=..*pi): dislay(c1dlot,cdlot); 151

157 4. Reuleaux Trekantens energiotag som funktion af tiden Arealet Reuleaux Trekantens rojektion ned å fladen a (som er konstant vinkelret å solvektorfeltet), dvs. arealet af Reuleaux Trekantens skygge er fluxen gennem fladen til det tidsunkt. Ved at integrere dette o over dagens længde fås det totale energiotag. Initialisering restart:with(linearalgebra):with(lots): diffvec droc vec, var : return diff vec 1, var, diff vec, var, diff vec 3, var : end roc: interface showassumed = : assume u T real, v T real, t T real, u O, u! 1,! t! : Vektorfelt V d,kcos t,ksin t : 15

158 Parametriseringer r1 d u, v / u$cos v, u$sin v, 4 K u C 1 : r d u, v / u$cos v, u$sin v, 3 K 4 K u : Projektioner å fladen a roj1 d u, v, t / r1 u, v. 1,, $ 1,, C r1 u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : roj d u, v, t / r u, v. 1,, $ 1,, C r u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : Normalvektorer for rojektioner (skygger) N1 d u, v, t /diffvec roj1 u, v, t, u # diffvec roj1 u, v, t, v : N d u, v, t /diffvec roj u, v, t, u # diffvec roj u, v, t, v : Jacobifunktioner for rojektioner J1 d u, v, t /simlify N1 u, v, t.n1 u, v, t : J d u, v, t /simlify N u, v, t.n u, v, t : Analytisk funktion til bestemmelse af energiotag (indadgående flux/areal af fladen) Eana d t/ 1 $ 1 $ J1 u, v, t C J u, v, t dv du : Bestemmelse af energiotag for bestemte værdier af t til sammenligning med Reuleaux trekant og cirkel: Når tiden er t = fås at Reuleaux trekantens rofil er en cirkel og vi forventer arealet π. Når tiden er t = fås en Reuleaux trekant og arealet forventes at være 1 K 3 s hvor s = for den ågældende trekant. Dvs. arealet forventes at være 1 K 3 $ =K 3 C. Der fås følgende med modellen: 'E '= Eana ;'E '= Eana ; E = K 3 C E 1 = (16.4.1) Parametriseringernes Jacobifunktioner oskrives og evalueres: 'J1(u,v,t)'=J1(u,v,t); 'J(u,v,t)'=abs(J(u,v,t)); 153

159 J u, v, t J1 u, v, t = u sin v cos t u C sin v cos t C sin t Ku K u C 3 Ku K u C 3 (16.4.) = u Kcos v sin t Ku C 4 K sin v Ku C 4 sin t C sin v cos t u Ku C 4 Det ses, at Jacobifunktionen for flade kan forsimles vha. idiot reglen sin v C cos v = 1 således, at der kan skrives følgende J u, v, t = u$ sin v $u$cos t K sin t $ 4 4 K u K u Der ostilles en numerisk funktion til lotning, da den analytisk funktion kun har løsninger for bestemte t. E d t/ evalf.5$int Int u$ sin t $ 3 K u K u C sin v $cos t $u C sin v $cos t C u$ sin v $u$cos t K sin t $ 4 3 K u K u K u 4 K u, v =.., digits = 4, u =..1, digits = 4 : Nu lottes energiotaget som funktion af tiden for en Reuleauxtrekant laceret som vist i lottet ovenfor (dvs. ikke-roteret / med symmetriakse arallel med z-aksen). E-værdier: Exværdier1:=[seq](E(j),j=..3.1,.1): Tilhørende t-værdier txværdier1:=[seq](j,j=..3.1,.1): Energiotag som funktion af tiden P1x:=lot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nos (Exværdier1)),x=..Pi,y=.8..3.,thickness=,color=blue,labels= ['t','e'],legend=[energiotag]): dislay(p1x); 154

160 E t Energiotag Energiotaget for fladen ændrer sig en smule over dagen. 5. Rotation af Reuleaux Trekant omkring x-akse og y-akse arallelle akser Antag at vi ændrer R s osition ved at dreje den en vilkårlig vinkel omkring en akse arallel med x- aksen. Vil Etotal for R da være uændret? Samme sørgsmål hvis vi drejer omkring en akse arallel med y-aksen. assume(theta::real):assume(hi::real): Definition af rotationsmatricer Rx:=theta - <1,,,cos(theta),sin(theta),-sin(theta),cos (theta): Ry:=theta - <cos(theta),,-sin(theta),1, sin(theta),,cos (theta): Rotation og rojektion af arameterfremstillinger 155

161 rojrot1 d u, v, t, q, f / Ry f.rx q.r1 u, v. 1,, $ 1,, C Ry f.rx q.r1 u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : rojrot1 u, v, t, q, f : rojrot d u, v, t, q, f / Ry f.rx q.r u, v. 1,, $ 1,, C Ry f.rx q.r u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : Definition af Normalvektorer Nrot1 d unaly diffvec rojrot1 u, v, t, q, f, u # diffvec rojrot1 u, v, t, q, f, v, u, v, t, q, f : Nrot1 u, v, t, q, f : Nrot d unaly diffvec rojrot u, v, t, q, f, u # diffvec rojrot u, v, t, q, f, v, u, v, t, q, f : Definition af Jacobifunktioner Jrot1 d u, v, t, q, f / Nrot1 u, v, t, q, f.nrot1 u, v, t, q, f : Jrot1 u, v, t, q, f : Jrot d u, v, t, q, f / Nrot u, v, t, q, f.nrot u, v, t, q, f : Energiotaget til et tidsunkt og det totale energiotag i løbet af en dag defineres som funktioner Erot d q, f, t / evalf.5$int Int simlify Jrot1 u, v, t, q, f C simlify Jrot u, v, t, q, f, v =..$, digits = 4, u =..1, digits = 4 : Etotrot d q, f /evalf Int.5$Int Int simlify Jrot1 u, v, t, q, f C simlify Jrot u, v, t, q, f, v =..$, digits = 4, u =..1, digits = 4, t =.., digits = 4 : Rotation omkring x-aksen Værdier for rotation omkring x-aksen med q = 6 Exværdier:=[seq](Erot(Pi/6,,j),j=..4.5,.3): txværdier:=[seq](j,j=..4.5,.3): Px:=lot([seq]([txværdier[j],Exværdier[j]],j=1..nos (Exværdier)),x=..3.5,y=.7..3.,color=blue,thickness=, color=red,labels=['t','e'],legend = [theta=pi/6]): (Nye værdier til tilasset lot af drejning q =, så graferne har samme grænser) Exværdier3:=[seq](E(j),j=..4.5,.1): txværdier3:=[seq](j,j=..4.5,.1): P3x:=lot([seq]([txværdier3[j],Exværdier3[j]],j=1..nos (Exværdier3)),x=..Pi,y=.8..3.,thickness=,color=blue, labels=['t','e'],legend = [theta=]): Dislay af lottene: dislay(p3x,px); 156

162 E t q = q = 1 6 Det ses her hvordan en rotation omkring x-aksen blot medfører en forskydning af grafen for energiotaget som funktion af tiden. Der lader ikke til at være nogen netto-ændring i det totale energiotag. Dette undersøges i afsnittet "Undersøgelse af totalt energiotag for Reuleaux trekanten" herunder. Rotation omkring y-aksen Nu drejer vi Reuleaux trekanten om y-aksen med en række forskellige vinkler. Dette gøres ved at beregne værdier for energien til forskellige tidsunkter til et sæt af drejningsvinkler omkring y-aksen herunder Energiværdier Eyværdier1:=[seq](Erot(,Pi/6,j),j=..3.1,.1): Eyværdier:=[seq](Erot(,Pi/5,j),j=..3.1,.1): Eyværdier3:=[seq](Erot(,Pi/4,j),j=..3.1,.1): Eyværdier4:=[seq](Erot(,Pi/3,j),j=..3.1,.1): Eyværdier5:=[seq](Erot(,9*Pi/4,j),j=..3.1,.1): Eyværdier6:=[seq](Erot(,11*Pi/4,j),j=..3.1,.1): Eyværdier7:=[seq](Erot(,Pi/,j),j=..3.1,.1): 157

163 Tilhørende t-værdier tyværdier1:=[seq](j,j=..3.1,.1): Disse defineres i lots: P1y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier1[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=orange,labels=['t','e'], legend = [hi=pi/6]): Py:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=blue,labels=['t','e'],legend = [hi=pi/5]): P3y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier3[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=red,labels=['t','e'],legend = [hi=pi/4]): P4y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier4[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=green,labels=['t','e'],legend = [hi=pi/3]): P5y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier5[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=urle,labels=['t','e'], legend = [hi=9*pi/4]): P6y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier6[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=yellow,labels=['t','e'], legend = [hi=11*pi/4]): P7y:=lot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier7[j]],j=1..nos (tyværdier1)),thickness=,color=black,labels=['t','e'],legend = [hi=pi/]): (Tilasset lot P1x mht. legend og farve) P4x:=lot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nos (Exværdier1)),x=..Pi,y=.8..3.,thickness=,color= "SteelBlue",labels=['t','E'],legend = [hi=]): Visning af lots Viser lots for forskellige drejninger omkring y-aksen inklusiv ikke-drejet. dislay(p4x,p1y,py,p3y,p4y,p5y,p6y,p7y); 158

164 E t f = f = 1 6 f = 1 5 f = 1 4 f = 1 3 f = 3 8 f = 11 4 f = 1 Undersøgelse af totalt energiotag for Reuleaux trekanten Det totale energiotag for trekanten beregnes for forskellige rotationer omkring hhv. x og y- aksen. Energiotag for rotation omkring x-akse Exværdierrot:=[seq](Etotrot(j,),j=..3.1,.1): txværdierrot:=[seq](j,j=..3.1,.1): Pxrot:=lot([seq]([txværdierrot[j],Exværdierrot[j]],j=1..nos (Exværdierrot)),x=..Pi,y=8.6..1,thickness=,color=red, labels=['vinkel','e[total]'],legend = tyeset("rotation omkring x-aksen")): Energiotag for rotation omkring y-akse Eyværdierrot:=[seq](Etotrot(,j),j=..3.1,.1): tyværdierrot:=[seq](j,j=..3.1,.1): Pyrot:=lot([seq]([tyværdierrot[j],Eyværdierrot[j]],j=1..nos (Eyværdierrot)),x=..Pi,y=8.6..1,thickness=,color=blue, labels=['vinkel','e[total]'],legend = tyeset("rotation 159

165 omkring y-aksen")): Dislay af lottene af energiotaget dislay(pxrot,pyrot); E total vinkel Rotation omkring x-aksen Rotation omkring y-aksen Det ses hvordan energiotaget r. dag i Reuleaux trekanten er konstant ved drejning omkring x- aksen, men har et maksimum og et minimum for drejning omkring y-aksen ved vinklerne f = og f =. Altså er energiotaget maksimalt når solfangeren slet ikke roteres omkring y-aksen. 16

166 Ogave 18 - Reuleaux Trekant i København Der skal i København rejses en solfanger af formen R (omdrejningsfladen fra forrige ogave med Reuleaux-trekanten som rofilkurve). Som udgangsunkt ønskes der maksimalt Etotal af R ved jævndøgn. 1. Animation af skygge og lot af energiotag Først overvejes ostilling af R med lodret symmetriakse.plot solfangerens energiotag ved jævndøgn som funktion af tiden, og illustrer evt. med en animation af R s skygge å Gaussrojektionsskærmen hen over dagen. Bestem E total. c1d:=(u,v) - <u*cos(v),u*sin(v),sqrt(4-(1+u)^):c1d(u,v); cd:=(u,v) - <u*cos(v),u*sin(v),sqrt(3)-sqrt((u+)*(-u)): c1dlot:=lot3d(c1d(u,v),u=..1,v=..*pi,orientation=[,8, ],labels=[x,y,z]): cdlot:=lot3d(cd(u,v),u=..1,v=..*pi,orientation=[,8, ],labels=[x,y,z]): u cos v cdlot:=[c1dlot,cdlot]: dislay(cdlot); u sin v 4 K u C 1 (17.1.1) 161

167 At Reuleaux trekanten har lodret symmetriakse betyder at trekanten står å jorden med bundfladen og sidser til oad med den lodrette symmetriakse vinkelret å jorden. I København er breddegraden (midt i Brønshøj) Dette giver altså en vinkling å y-aksen for solfangeren (ved jævndøgn) å Disse omregnes til radianer: 55.7 $ 18 =.31 Solen står o i øst (ositive y-akse-ende) og går ned i vest (negative y-akse-retning). x-aksen markerer således nord (negative-x-akse-retning) og syd (ositive x-akse-retning). Først laves en animation af Reuleaux trekantens skygge ved otimal lacering: Redefinerer rojektioner å a-lanen: roj1 d u, v, t / c1d u, v. 1,, $ 1,, C c1d u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : roj d u, v, t / cd u, v. 1,, $ 1,, C cd u, v., sin t,kcos t $, sin t,kcos t : Redefinerer lots til testlot af skygge til bestemt tidsunkt: 16

168 roj1lot:=lot3d(roj1(u,v,pi/4),u=..1,v=..*pi,orientation= [,8,],labels=[x,y,z],color=grey): rojlot:=lot3d(roj(u,v,pi/4),u=..1,v=..*pi,orientation= [,8,],labels=[x,y,z],color=grey): rojlot:=[roj1lot,rojlot]: dislay(rojlot); Animationer af skygge fra de to arametriserede flader hver især an1:=animate(lot3d,[roj1(u,v,t),u=..1,v=..*pi],t=..pi, frames=5,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface): an:=animate(lot3d,[roj(u,v,t),u=..1,v=..*pi],t=..pi, frames=5,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface): Visning af begge skygger i samme lot med første orientering: dislay([an1,an],orientation=[,8,]); 163

169 t =. Med anden orientering: dislay([an1,an],orientation=[3,,]); 164

170 t =. Nu laves en animation af Reuleaux trekantens skygge ved lacering i København: an3:=animate(lot3d,[rojrot1(u,v,t,,(55.7*pi)/18),u=..1,v=..*pi],t=..pi,frames=5,labels=[x,y,z],color=grey,style= surface): an4:=animate(lot3d,[rojrot(u,v,t,,(55.7*pi)/18),u=..1,v=..*pi],t=..pi,frames=5,labels=[x,y,z],color=grey,style= surface): dislay([an3,an4]); 165

171 t~ =. Nu laves et lot af energiotaget til forskellige tidsunkter af dagen Eyværdierkbh:=[seq](Erot(,(55.7*Pi)/(18),j),j=..3.1,.5): tyværdierkbh:=[seq](j,j=..3.1,.5): Pykbh:=lot([seq]([tyværdierkbh[j],Eyværdierkbh[j]],j=1..nos (tyværdierkbh)),thickness=,color=red,labels=['t','e'],legend = tyeset("energiotag for solfanger i København")): (Tilasset lot P1x) P5x:=lot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nos (Exværdier1)),x=..Pi,y=.8..3.,thickness=,color=blue,labels= ['t','e'],legend =tyeset("maksimalt muligt energiotag")): dislay(p5x,pykbh); 166

172 E t Maksimalt muligt energiotag Energiotag for solfanger i København Maksimalt energiotag er ved middag t = og her er energiotaget: 'E[otag](Pi/)'=Erot(,(55.7*Pi)/(18),Pi/); 1 E otag = (17.1.) Det totale energiotagt kan bestemmes således: 'E[tot](København)'=Etotrot(,(55.7*Pi)/(18));m:=9.34: E tot København = 9.34 'E[tot](Maksimalt)'=Etotrot(,);n:=9.551: E tot Maksimalt = (17.1.3) (17.1.4) Forskellen kan beregnes: 167

173 'DE tot '= n K m DE tot =.317 (17.1.5) Forskel i rocent (hvor mange rocent mindre er energiotaget i København i forhold til maksimalt udbytte) kan også beregnes: 'DE tot '= n K m $1 n DE tot = (17.1.6) Plot med til 3. å y-aksen (illusterer den lille forskel) Pykbh1:=lot([seq]([tyværdierkbh[j],Eyværdierkbh[j]],j=1..nos (tyværdierkbh)),thickness=,color=red,labels=['t','e'],legend = tyeset("energiotag for solfanger i København")): P5x1:=lot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nos (Exværdier1)),x=..Pi,y=..3.,thickness=,color=blue,labels= ['t','e'],legend =tyeset("maksimalt muligt energiotag")): dislay(p5x1,pykbh1); 168

174 3 E t Maksimalt muligt energiotag Energiotag for solfanger i København. Beskriv hvordan R ositioneres otimalt, således at der onås maksimalt E total ved jævndøgn i København. Solfangeren laceres som beskrevet ovenfor. En tilføjelse kunne være at dreje solfangere i løbet af dagen sådan at energiotaget til ethvert tidsunkt a er, og der således ikke sildes noget. 169