Tal og regning MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan forstå opbygningen af titalssystemet samt andre talsystemer kan forstå og anvende regningsarternes hierarki kan argumentere for sammenhængen mellem forskellige repræsentationer af samme tal kan vælge en relevant måde at skrive tal på, alt efter situationen tallene bruges i kan undersøge egenskaber ved rødder og potenser kan undersøge og anvende forskellige regneregler for rødder og potenser kan kende forskel på og anvende irrationale og rationale tal. FORHÅNDSVIDEN OPGAVE Regn først opgaverne uden brug af lommeregner. Tal derefter med din makker om, hvordan I løste opgaverne. Er der fx opgaver, I har løst forskelligt? A 7 + 7 B 0 D 00 : E + 7 F 7 G + 7 H 7 7 I dette kapitel skal du arbejde med tal og regning inden for tal mængderne de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal. Tal bruges i mange forskellige situationer i hverdagen, og det er ofte nødvendigt at kende tallene og at kunne regne med dem. Du kender allerede en del til tallene og deres egenskaber inden for de forskellige talmængder. Du skal i dette kapitel arbejde med, hvordan tal bruges i forskellige sammenhænge i hverdagen, og hvordan de kan bruges til at løse forskellige problemer i matematik. I kapitlet skal du også undersøge egenskaber ved potenser og rødder og finde ud af, hvordan du kan regne med den type tal. Du skal arbejde med: talsystemer brøk, decimaltal og procent potenser rødder rationale tal Q irrationale tal. OPGAVE Vis med en tegning og en beregning, hvordan du løser opgaverne. A Find en fjerdedel af. B Find % af 0. Læg halvdelen af til. D Læg % af 0 til 0. E Hvor mange procent er ud af 0? F Hvis % er,, hvad er så 00 %? OPGAVE Brug overslagsregning til at udregne en cirka-værdi af hvert regneudtryk. A 7, +, B % af 7,7 D, E, + 7,0 F, 0, G, : H, :, I Regn efter på lommeregner, og vurder om dine overslag er brugbare. J Tal med din makker om, hvilke metoder I bruger, når I regner overslag. OPGAVE Peter skal rette seks opgaver, som Alex har regnet, men der er fejl i besvarelserne. + ( ) 0 7 7 7 0 7 0 + + A Regn opgaverne. B Diskuter med din makker, hvad Alex kan have gjort forkert, når han har regnet opgaverne. OPGAVE Undersøg sammen med din makker, hvilket af tallene,, eller der skal stå på g s plads, for at regne ud trykket giver det tal, der står efter lighedstegnet. g + A g + g, B g (0, g +,) g ( ) g + (a a) 7 g OPGAVE Skriv tallene med eksponentiel notation. A 000 000 000 B 7 700 000 0 000 D 0,00007 E Syv hundredetusinddele F Treogfyrre millioner OPGAVE 7 A Et kvadrat har arealet cm. Hvad er sidelængden? B En kube har rumfanget cm. Hvad er kantlængden? En kube har rumfanget m. Hvad er kantlængden? D Et kvadrat har arealet cm. Hvad er sidelængden? E Et kvadrat har arealet 0 m. Hvad er sidelængden? F En kube har rumfanget 00 dm. Hvad er kantlængden? OPGAVE Hvilken rækkefølge skal der regnes i? Find resultatet uden brug af lommeregner. A ( + ) B + 7 ( + ) ( ) + D ( ) + : ( ) E Regn stykkerne på en lommeregner. F Hvis der er opgaver, hvor du har fået to forskellige resultater, må du undersøge, hvor fejlen ligger. Du kan fx undersøge, om du har lavet en simpel fejl. Regn stykket igen med og uden lommeregner. brugt regningsarternes hierarki forkert. Du kan evt. diskutere dine udregninger med din makker. OPGAVE A Beskriv regningsarternes hierarki med dine egne ord hvad regnes først, og hvad regnes sidst? B Tal med din makker om, hvordan I har beskrevet regningsarternes hierarki.
0 TITALSSYSTEMET Vores talsystem er bygget op, så den position, et ciffer har i tallet, er afgørende for den værdi, cifferet har. I tallet,7 har de forskellige cifre følgende betydninger: Der er tusinder, hundreder, tiere, enere, tiendedele og 7 hundrededele. Det kan vi også skrive som:,7 000 + 00 + 0 + + 0, + 7 0,0 eller med potenser af 0:,7 0 + 0 + 0 + 0 0 + 0 + 7 0. Tallet ti kaldes talsystemets base eller grundtal. Et sådan talsystem kaldes et positionssystem. Det vil sige, at et titalssystem er et positionssystem med base eller grundtal ti. OPGAVE 0 OPGAVE Find resultatet af regneudtrykkene uden brug af Undersøg, hvilke omskrivninger der er rigtige, lommeregner. og hvilke der er forkerte. A + 7 E 0 A 0 + B + 0 F,, B 0 +, +, G ( 7) 7 0 + 7 D 7, + 0,0 H ( ) D 7 7 0 70 + 0 + 7 70 + 7 E 0 + 0 0 + OPGAVE F 0 Find resultatet af regneudtrykkene uden brug af lommeregner. OPGAVE A 7 F : Lav regnestykker, så du får facit til at passe. B,7, G,0 : Du skal bruge alle tal én gang, men du må ikke 0,, H : 0 sammensætte flere cifre til et flercifret tal. Du må D 00 I 7, : 00 gerne bytte om på rækkefølgen. E, 000 J, : 00 I punkt A-D må du lægge sammen, trække fra, gange, dividere og bruge parenteser. OPGAVE I punkt E-H må du desuden opløfte til potens. Afrund til nærmeste hele tier. Du skal bruge din viden om regningsarternes A,7, hierarki. B,07 D 0, A B OPGAVE 7 7 7 7 7 Afrund til én decimal. D 7 7 7 7 7 A,,0 E B 7, D,77 F 0 7 G 0 7 H 7 7 OPGAVE A B D E Gæt på, hvordan mønstret fortsætter og regn efter. F Hvad sker der, når man kommer op til? OPGAVE 7 At gange med. A Forklar, om det at gange et tal med er det samme som at gange med 0 og så lægge tallet til. Giv eksempler. B Forklar, hvorfor man i nogle tilfælde kan gange et tocifret tal med ved at finde summen af de to cifre og placere summen mellem de to cifre. Fx:. Summen af +. placeres mellem og, så. Undersøg, hvad der sker, hvis summen af de to cifre er 0 eller derover. Fx 7. OPGAVE Undersøg, hvad resultatet bliver af nedenstående opgaver. Gentag proceduren i hver opgave tre gange. Får I samme resultat hver gang? A Vælg to forskellige etcifrede tal, der ikke er 0, fx og. Skriv de to forskellige tocifrede tal, som kan dannes, fx og. Læg de to tocifrede tal sammen (77), og divider resultatet med summen af de to cifre (7). B Gentag proceduren fra punkt A, men nu med tre etcifrede tal. Hvor mange trecifrede tal kan du danne? Læg alle de trecifrede tal sammen og divider resultatet med summen af de tre cifre. Hvordan tror du det går, hvis du skal vælge fire cifre? OPGAVE A Følg talopskriften.. Vælg et tilfældigt trecifret tal, og gentag cifrene, så du har et sekscifret tal. Som fx 7 der bliver til 77.. Divider dit sekscifrede tal med 7. Bemærk, at divisionen går op. Der bliver ikke nogen rest.. Divider dit resultat med. Igen går divisionen op.. Tag dit sidste resultat og divider med.. Hvad er dit nye tal? B Beregn resultatet af 7. Beskriv, hvad der sker, når du ganger et trecifret tal med resultatet fra punkt B. D Hvorfor kan man ikke lave en tilsvarende opskrift med et tocifret tal? OPGAVE 0 A Tænk på et tilfældigt tal og følg instrukserne herunder.. Gang dit tal med og træk fra.. Divider resultatet med og læg 0 til.. Gang resultatet med og læg til.. Divider resultatet med og læg 0 til.. Gang med og træk 00 fra.. Divider med 0. B Hvad er dit nye tal? Skriv tallet, du tænkte på og resultatet, du nåede frem til. D Kald dit tal for a, og skriv alle de beregninger, du lavede for at komme frem til det nye resultat. Skriv hver beregning fra - med parenteser. E Gang parenteserne ud, og vis, at du efter trin ender med 0 a. Begrund ud fra 0 a, at du efter punkt ender med det tal, du først tænkte på.
BRØK, DEIMALTAL OG PROENT Du møder i mange sammenhænge både i hverdagen og i matematik i skolen tekster og beskrivelser, hvor der bruges brøker, decimaltal og procent. Det er ikke altid helt let og tydeligt, hvordan de forskellige tal skal læses og forstås. Det er også meget forskelligt, i hvilke sammenhænge og situationer, de forskellige skrivemåder bruges. Brøker, decimaltal og procent er tre forskellige måder at skrive samme forhold på. Man kan sige, at vi kan repræsentere fx 0, på følgende tre måder: 0, 0 0 % OPGAVE 0, 00 % 0, 0 % 0 0, 0, 0, % 0 % 7 % A Tegn en tallinje som vist herunder, og placer de tal på tallinjen. 0,7 0 % OPGAVE Vis, hvordan du regner. A Find tre tiendedele af. B Multiplicer med 0,. Find 0 % af. D Lav en regnehistorie til hvert af de tre regnestykker. OPGAVE Peter synes, det er svært at regne med procent. Han har regnet nogle opgaver, men ikke alle er rigtige. Regn opgaverne, og skriv en forklaring til ham om, hvorfor nogle af opgaverne er løst forkert. A Find % af 7. Løsning: 0, 7,. B Hvor mange procent er af 0? Løsning: 00 7 %. 0 Hvis 0 svarer til 0 %, hvor meget er så 00 %? Løsning: 0 0. 00 D Hvor mange procent er af 0? Løsning: 00 % %. 0 E Læg % til. Løsning: +,. 00 F Træk % fra 0. Løsning: 0,7 0 7,. OPGAVE Diskuter med din makker, hvordan nedenstående udsagn kan forstås. Skriv mindst ét kritisk spørgsmål til den måde, tallene er brugt på. A Publikums stemning er i anden halvleg faldet med 0 til %. B Han holdt hovedet % koldere end modstanderen. Rettelse: Vi skrev i går, at % af mia. er, mia. Det passer selvfølgelig ikke. % af mia. er cirka, millioner. D I 0 var hver syvende bil på de amerikanske veje lavet i USA i dag er det kun hver sjette. E 0 % af alle rygere dør. Løs opgaverne sammen med din makker. OPGAVE Når en person dør, så skal arven fordeles mellem de efterladte. Fordelingen sker ud fra helt præcise regler i arveloven, og den afhænger af den afdødes familieforhold. Hvis den afdøde efterlader sig både ægtefælle og fælles børn, skal arven deles mellem dem. Ægtefællen arver halvdelen, og børnene arver tilsammen halvdelen af afdødes formue, som deles lige imellem dem. Den efterlevende ægtefælle kan vælge at sidde i uskiftet bo, så fællesbørnene først arver, når den efterlevende ægtefælle dør. Kilde: borger.dk To barndomsvenner, Raphael og Anders, dør samme dag efter et langt liv. Raphael dør og efterlader sig en hustru og tre fælles børn. Raphael har en formue på 00 000 kr. A Hvor stor en del arver hvert af børnene? Når børnene skal arve fra deres far, så skal de betale nogle af de arvede penge til staten det kaldes boafgift. Raphaels hustru skal ikke betale boafgift. B Hvor mange penge arver hun? Hvor mange penge arver hvert barn, når de skal betale % i boafgift? Anders sidder i uskiftet bo efter sin hustru Frida, der døde for flere år siden. De fik fire børn sammen: Agnete, Thomas, Siv og Maj. Siv lader sin andel af arven gå videre til ligelig fordeling mellem sine tre børn. Det synes Maj er en god ide, så hun lader også sin andel gå videre til sine to børn. Agnete og Thomas beholder selv deres arv. D Lav en illustration, der viser, hvor stor en andel hver af arvingerne får. Anders efterlader sig 00 000 kr. Alle arvinger skal betale % i boafgift. E Beregn, hvor meget hver arving modtager. F Beskriv en arvesituation, hvor der er mindst én arving, der får af arven. G Hvorfor er det mere sandsynligt, at brøkdelen dukker op i en arvesituation end 7? OPGAVE I folketinget blev der den. november debatteret en ny bibliotekslov. Under debatten sagde et folketingsmedlem følgende: Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel med en gruppe delt ind efter alder, og dér står, at pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 0 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver pct. af mændene og 0 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være pct. Tager jeg fejl? Kilde: Fra. behandlingen af L 7-000. Aase D. Madsen MF (DF) I boede der ca., millioner mennesker i Danmark, og 0, % var kvinder. A Hvor stor en andel af befolkningen var mænd? B Hvor mange indbyggere var % af befolkningen? Tog folketingsmedlemmet fejl? Begrund jeres svar. D Giv en beskrivelse af, hvordan tallene skulle læses. E Hvor stor en andel bruger ikke biblioteket i dag? Find de relevante tal på internettet. F Find på en situation, hvor I bruger procentregningen lige så forkert som folketingsmedlemmet i teksten. 0
UNDERSØGELSE POTENSER REGNEREGLER FOR POTENSER Potenser bruges som en kortere måde til at skrive a n a a a... a, hvor n er et naturligt tal. Undersøgelse for to personer. B : 7 en multiplikation, hvor et tal ganges med sig selv et antal gange. Fx 0 læses som fire opløftet i sjette potens eller fire i sjette. Hvis a er et vilkårligt tal, og n er et naturligt tal, så kan potensen a n skrives som: UNDERSØGELSE POTENSER Undersøgelse for to personer. Materialer: Et regneark. I skal undersøge forskellige forhold vedrørende potenser. DEL POTENSER MED NEGATIV ROD n faktorer Tallet a kaldes roden, og tallet n kaldes eksponenten: Potens a n Eksponent Rod DEL POTENSER MED NEGATIV EKSPONENT A Fremstil et regneark, som vist herunder, hvor I kan undersøge potenser med roden med både positive og negative eksponenter og med eksponenten 0. I skal undersøge forskellige regneregler, der gælder for potenser. DEL Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande, og hvilke der er falske. A B 7 7 7 D E F G Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. H Formuler en regel for, hvordan I kan gange potenser med samme rod. I Skriv reglen færdig: a n a m DEL Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande, og hvilke der er falske. A 7 : : D : E : F Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. G Formuler en regel for, hvordan I kan dividere potenser med samme rod. H Skriv reglen færdig: a n : a m DEL Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande, og hvilke der er falske. A ( ) 7 B ( ) ( ) D ( ) E ( ) F Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. G Formuler en regel for, hvordan I kan opløfte en potens til ny potens. H Skriv reglen færdig: (a n ) m Når man ganger et negativt tal med sig selv, kan det skrives som potens med negativ rod. Fx kan regneudtrykket ( ) ( ) ( ) ( ) skrives som ( ). Potensen skrives som regneudtrykket. A Omskriv potenserne til regneudtryk, hvor der bruges gangetegn, og udregn værdien. ( ) ( 7) 7 ( ) ( ) B Find en regel for, hvornår værdien af en potens med negativ rod er et positivt tal, og hvornår den er et negativt tal. DEL POTENSER MED EKSPONENTEN NUL A Hvilken værdi har potensen med eksponenten 0? Undersøg, om det ser ud til at gælde for alle potenser med eksponenten 0. B Hvilken sammenhæng kan I finde mellem kolonne B og kolonne i regnearket? Prøv ved hjælp af regnearket at forklare, hvorfor det giver mening at: 0,. 0,. D Forklar, hvorfor følgende definition af potens med negativ eksponent ser ud til at gælde: a n a n a a... a a a og forklar, hvorfor a skal være forskellig fra nul. OPGAVE 7 Omskriv regneudtrykkene til én potens, og potenserne til regneudtryk. A B D E 7 F 0 G 00 00 00 00 00 00 00 00 OPGAVE Omskriv følgende til én potens. A : B 0, 0, 7 : D E ( ) : ( ) F ( )
7 RØDDER KVADRATROD Kvadratroden af et positivt tal a, er det positive tal, der opløftet til anden potens giver a. Desuden gælder specielt, at 0 0. For eksempel er, da er positiv, og. Hvis et kvadrat har arealet a, er kvadratets sidelængde lig med a. Dette kvadrat har arealet cm, og sidelængden cm. Det passer med, at, fordi er positiv, og. cm cm KUBIKROD Kubikroden af et tal a er det tal, der opløftet til tredje potens giver a. For eksempel er, da, og, da ( ). Hvis en terning (kube) har rumfanget a, er terningens kantlængde lig med a. Denne terning har rumfanget 7 cm, og kantlængden cm. Det passer med, at 7 Rodeksponent cm 7 cm cm cm cm, fordi 7. 7 Rodtegn Radikand OPGAVE A 7 B D E F OPGAVE 0 A Forklar, hvorfor 0 er større end, men mindre end. B Forklar, hvorfor det ikke er muligt at tage kvadratroden af et negativt tal, fx. Hvilke to naturlige tal ligger 0 imellem? D Hvilke tal kan man ikke tage kvadratroden af? E Forklar sammenhængen mellem og. OPGAVE Udregn nedenstående kvadrat- og kubikrødder på din lommeregner og indtegn dem på en tallinje. A 0 B D 7 E π F 7 OPGAVE A En terning har rumfanget 000 cm (en liter). Hver er terningens kantlængde? B Arealet af et kvadrat er cm. Hvad er kvadratets sidelængde? Hvilket tal skal ganges med sig selv for at få? D Hvilket tal skal opløftes i tredje potens for at få? E Hvilket tal skal ganges med sig selv for at få 0,? F En terning har rumfanget 7 cm. En anden terning har et rumfang, der er gange så stort. Hvor mange gange så lang er kantlængden i den store terning som kantlængden i den lille terning? UNDERSØGELSE REGNEREGLER FOR KVADRATRØDDER Undersøgelse for to personer. I skal undersøge forskellige regneregler, der gælder for kvadratrødder. DEL Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er sande, og hvilke der er falske. A : : DEL B : Undersøg, hvilke af følgende udsagn der er 7 : 7 sande, og hvilke der er falske. D : : A E : : B 7 F : + G Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. D H Formuler en regel for, hvordan I kan dividere E + kvadratrødder. F Forklar, hvordan I undersøgte udsagnene. G Formuler en regel for, hvordan I kan gange kvadratrødder. H Skriv reglerne færdige: a b og a b I Skriv reglerne færdige: a : b og a : b AKTIVITET AREALER OG SIDELÆNGDER Aktivitet for to personer. Materialer: Et digitalt værktøj. I skal undersøge arealer og sidelængder i forskellige kvadrater. DEL A DEL B A Bestem areal og sidelængde for hvert af jeres kvadrater, og udfyld et skema med jeres resultater. Sidelængder, der ikke er et helt tal, DEL skal skrives ved hjælp af kvadratrødder. A Tegn med et digitalt værktøj et kvadrat med arealet. B Tegn, som vist til højre, kvadrater inde i det første kvadrat, og fortsæt til I har et kvadrat Areal Sidelængde med arealet. B Beskriv, hvordan mønsteret i de to talrækker for areal og sidelængde udvikler sig.
AKTIVITET REAKTIONSTID FIGURTAL Aktivitet for seks personer. Materialer: Tre målepinde pr. gruppe, der har en længde på min. 0 cm (fx linealer, trælister eller lign.) og et digitalt værktøj. Den tid, der går, fra en eller flere af vores sanser registrerer en påvirkning, til vi reagerer, kaldes reaktionstid. I skal undersøge, hvor hurtigt en forsøgsperson reagerer ved at lave et forsøg, hvor personen skal gribe en målepind mellem to fingre. På tegningen herunder er vist, hvordan forsøget udføres. Der skal være cirka cm mellem forsøgspersonens tommelfinger og pegefinger, så der ikke røres ved målepinden. Hjælperen skal slippe målepinden uden varsel, og forsøgspersonen griber den mellem fingrene. Aflæs (lineal) eller mål (træliste eller lign.), hvor langt målepinden er faldet. I kan beregne forsøgspersonens reaktionstid med denne formel: s t, 0 hvor s er faldlængden målt i cm, og t er reaktions tiden i sekunder. DEL Hver forsøgsperson i gruppen skal gentage forsøget 0 gange. I kan fx arbejde sammen to og to. A Lav et regneark, fx som det, der er vist herunder, hvor I kan notere jeres forsøgsresultater for hver person i gruppen. Indsæt et regneudtryk, så reaktionstiden automatisk bliver udregnet, når faldlængden bliver indtastet. DEL A Beskriv jeres forsøgsresultater. Er der nogen udvikling i reaktionstiderne fra. til 0. forsøg? Brug forskellige statistiske deskriptorer til at beskrive jeres datasæt med, fx længste og korteste reaktionstid, gennemsnitlige reaktionstid. Lav diagrammer, der illustrerer forsøget. B Fremlæg jeres beskrivelse for en anden gruppe. De græske matematikere havde ofte en geometrisk beskrivelse af tallene, og de brugte blandt andet småsten til at vise tallene. Nogle af tallene har fået navn efter den geometriske form, som de kan antage. Her kan du se de første tre af de tal, som kaldes trekantstal, kvadrattal og rektangeltal. Trekantstal OPGAVE Udfyld en tabel som vist herunder med de fem første A trekantstal. B kvadrattal. rektangeltal. Nummer (n) Figur Trekantstal Kvadrattal Rektangeltal OPGAVE Der findes for hver type figurtal en formel, hvor man kan beregne et tal i figurfølgen, hvis man kender det nummer n, tallet har i rækkefølgen. A Vi kalder det n te kvadrattal for K n. Forklar, hvorfor dette tal kan beskrives ved formlen K n n. OPGAVE Find formlen for det n te A trekantstal. B rektangeltal. OPGAVE 7 Alle kvadrattal kan skrives som summen af tallet og et eller flere af de efterfølgende ulige tal. + + + A Skriv de næste fem kvadrattal på samme måde. B Forklar, hvorfor man kan finde kvadrattallene på denne måde. I kan evt. bruge jeres besvarelse fra de øvrige opgaver på siden, der handler om kvadrattal. OPGAVE Hvad er det tiende A trekantstal? B kvadrattal? rektangeltal?
0 REELLE TAL OG IRRATIONALE TAL Mængden af reelle tal R består både af de rationale tal Q og de irrationale tal. DE REELLE TAL OPGAVE 0 Johannes Kepler fandt i år 0 ud af, at planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omkring Solen. Den ene af ellipsens brændpunkter falder sammen med Solens centrum. Planeternes afstand til Solen er derfor ikke konstant. Herunder er vist en model af en planetbane omkring Solen. Naturlige tal N 7 Hele tal Z 0 7 Rationale tal Q,7 Irrationale tal De rationale tal er alle hele tal og alle brøker, der kan beskrives med hele tal i tæller og nævner. De rationale tal kan også beskrives som alle de decimaltal, der enten er endelige eller periodiske. De irrationale tal er de tal, der ikke er rationale, dvs. tal der ikke kan skrives som et helt tal eller en brøk, og hvor decimaltallet ikke er endeligt eller periodisk. Det er fx tal som og. 7 0,, A Brændpunkt (Sol) Lilleakse Planet Brændpunkt B Storakse Beregn, hvor mange km middelafstanden er fra Solen til Merkur. Saturn. Pluto. Det sker, at Solen (S), Merkur (M) og Jupiter (J) befinder sig på samme linje. OPGAVE A Tegn en figur, der viser de fire talmængder N, Z, Q og R. Placer tallene i de mængder, de hører til. 0, 0,0 0 0, 7 0 7 0, 0, 0, OPGAVE Vi kan ikke skrive alle decimalerne på eller eller noget andet irrationalt tal. Det betyder, at vi heller aldrig kan bruge alle decimalerne af, hvis vi skal regne med i praksis. Et atletikstadion har fire løbebaner: Bane (inderst) til bane (yderst). Hver bane er, m bred. d 7 m, m En løber følger midten af bane hele vejen rundt. A Hvor mange centimeters forskel er der på r esultatet, hvis man beregner længden af denne rute ved at sætte π til,, og ved at bruge lommeregnerens π-tast? B Hvor langt løber man på en omgang, hvis man følger inderkanten af bane? yderkanten af bane? I et 00 m løb starter løberen på bane midt på den ene langside. Her er løbets målstreg også. Hvis løberne på bane - også skal have løbet 00 m, når de kommer til målstregen, skal de have forskellige forspring for løberen på bane. Beregn hvert af disse forspring for bane, og. A Hvor i banen har planeten sin mindste afstand til Solen, og hvor har den sin største afstand til Solen? Når man taler om en planets afstand til Solen, så er det planetens middelafstand, der beregnes på denne måde: (mindste afstand + største afstand) Middelafstand Jordens mindste afstand til Solen er,7 0 km, og den største afstand er, 0 km. B Beregn Jordens middelafstand til Solen. Da afstandene i solsystemet er meget store, måler man længder i en enhed, der kaldes astronomisk enhed, der forkortes til AE. En AE er middelafstanden fra Solen til Jorden. Tabellen herunder viser forskellige planeters middelafstand til Solen angivet i AE. J S M J D Hvor mange km (svar med eksponentiel notation) er der mellem Merkur og Jupiter, når afstanden er kortest? længst? E Lyset bevæger sig med,0 0 m/sek. Hvor lang tid tager det cirka for lyset at komme fra Solen til Jorden? Solen til Merkur? Solen til Mars? Planet Merkur Venus Jorden Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto, m Middelafstand til Solen i AE 0,7 0,7,000,,0,, 0,0,
TEMA ANDRE TALSYSTEMER EVALUERING Tema for to personer. Materialer: Evt. centicubes. I dette tema skal I undersøge og regne med forskellige talsystemer. Vores talsystem har grundtallet ti, men sådan behøver det ikke at være. Det er faktisk sådan, at ethvert naturligt tal større end eller lig med to kan bruges som base for et talsystem. Eksempel I firetalssystemet er der cifrene: 0,, og. Et tal skrevet i firetalssystemet kan fx se sådan ud:. Basen er vist ved det lille firtal, så det er tydeligt, hvilken base tallet skrives i. Hvis tallet repræsenterer et antal enkroner, hvordan finder vi så ud af, hvor mange penge der er? I har tidligere i kapitlet set, hvordan man kan skrive tal ved hjælp af potenser af ti. På samme måde kan man skrive tallet med potenser af fire: + + + 0 + + + Tallet repræsenterer altså enkroner. Det kan også tegnes eller bygges med fx centicubes. På samme måde som i eksemplet her, kan man regne med forskellige andre talsystemer. Det kan være en hjælp at tegne eller bruge centicubes til opgaverne. DEL A Hvor store er disse fem tal, hvis de skal skrives i titalssystemet? 0 B Tal med et andet makkerpar om, hvordan I fandt frem til, hvor store tallene er i titals systemet. Undersøg, hvordan tallene fra 0 til 0 0 kan omskrives til tretalssystemet. D Undersøg, hvordan I kan omskrive disse fire tal fra titals systemet til firetals systemet: 0 0 7 0 0 0 E Tal med et andet makkerpar om, hvordan I omskrev tallene fra titalssystemet til firetalssystemet. DEL Hvordan kan man regne med andre talsystemer? I denne del er det ikke meningen, at I skal oversætte til titalssystemet. I skal undersøge og forklare, hvordan man kan regne med de fire regningsarter i sekstalssystemet. I kan evt. tegne eller bygge tallene som vist herunder, hvor tallet er tegnet. A Regn nedenstående opgaver og forklar, hvordan I har gjort. + og + og og : og 0 : B Kan I bruge jeres sædvanlige metoder til at lægge sammen og trække fra med tal skrevet i sekstalssystemet? Kan man på samme måde som i titalssystemet genkende lige og ulige tal i sekstals systemet? I andre talsystemer? På denne side skal I enten bruge arket Begreber og fagord Tal og regning (E) eller jeres egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. DEL I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire elever sammen. A Lav fem kort. Skriv ét af begreberne herunder på hvert kort og læg dem på bordet med forsiden opad. IRRATIONALE TAL POTENSER RATIONALE TAL Q RØDDER TALSYSTEMER B Vælg på skift et kort, og forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, lægges kortet til side. Fortsæt til alle begreber er forklaret og skriv stikord undervejs. Hvis der er kort med begreber, som ingen i gruppen kan forklare, hænger I kortene op på tavlen. Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. Det kan være en anden elev eller jeres lærer, der hjælper med at forklare begreberne. DEL For hvert af de fem ord og begreber du lige har arbejdet med, skal du A vise et eksempel med en tegning. B skrive din egen forståelse af begrebet. Arbejd sammen med din makker. DEL Undersøg, hvilke regnestykker der har det rigtige resultat. Forklar, hvilke regnefejl der kan være. A 0, +,,0 0, +,, B 0,0,, 0,0, 7, 7 D : 0 : DEL Jens, Kim og Peter skal på kanotur. De køber et telt sammen. Jens betaler 0 kr., Kim betaler 0 kr., og Peter betaler 00 kr. Forklar, hvordan I kan beregne A hvor stor en procentdel af den samlede pris, hver af drengene skal betale. B hvor stor en brøkdel af den samlede pris, hver af drengene skal betale. DEL A Vis og forklar for hinanden, hvordan I finder kvadratroden og kubikroden af et tal. DEL Forklar, hvordan I kan omskrive til én potens. A 7 E ( ) B 7 D F ( ) DEL 7 Beregn og forklar, hvordan I kan regne med kvadratrødder. A : : B D DEL Skriv tre tal, der A ikke er naturlige tal. B er rationale tal, men ikke naturlige tal. er irrationale.
TRÆN FÆRDIGHEDER TRÆN FÆRDIGHEDER OPGAVE OPGAVE OPGAVE OPGAVE 7 Løs ligningerne. A + A x + A,7 + 7,0 A + B 0 B x7 B 00, x + D 00 : D x OPGAVE A Hvad er kiloprisen, når 00 g koster 0 kr.? OPGAVE 7 OPGAVE A 0, A B 0, 00 B Hvor meget mel skal hun bruge i alt? A 0, 0, kr. i timen.,, Hvor stor var timelønnen før? D, : 0, A Hvad er kiloprisen, når 00 g koster kr.? OPGAVE E 0, : 0, er m? B Hvad er helheden, når A Skriv et decimaltal, der er større end, Hvad er helheden, når 0 % er m? OPGAVE D En vare er sat ned med %. Hvad er den Skriv tallene i rækkefølge med det mindste tal først. oprindelige pris, når tilbudsprisen er 7 kr.? Skriv en brøk, der er dobbelt så stor som D Skriv % som decimaltal. E Skriv en brøk, der er større end end. og mindre af, hvad D Janes løn er steget med %, så hun nu får B 0, 0, OPGAVE. hun skal bruge. OPGAVE B Skriv 0, som procent. er 0, m? kg mel i skabet. Det er og brøk. D, : 0 og mindre end,. Beregn resultatet, og skriv det som både decimaltal : E 0, : 0, Mette har + D 00,0 : OPGAVE 0, 0,0 0 :,, B Hvad er helheden, når B OPGAVE Omskriv til én potens, og beregn værdien. A Sandt eller falsk? A B,,0 D, A, 7 0,0, B () D 000, E F () B 7 7 OPGAVE D 77 A + E () B + 7 : F (7) + D ( ) OPGAVE 0 E + ( : ) ( : ) OPGAVE Lav regnestykker, så du får facit til at passe. Du må lægge sammen, trække fra, gange, dividere og sætte parenteser. Alle tal skal bruges, og du må ikke sam mensætte cifre til flercifrede tal. Du må gerne ændre på rækkefølgen. A B 7 OPGAVE OPGAVE 0 Sandt eller falsk? A A ( ( + )) + B + ( ) OPGAVE Lav regnestykker, så du får facit til at passe. Du må lægge sammen, trække fra, gange, dividere og sætte A parenteser. Alle tal skal bruges, og du må ikke sam B mensætte cifre til flercifrede tal. A D 00 B D OPGAVE A Beregn længden af en kant i en kube med rumfanget cm. OPGAVE Hvad er tallet, hvis det skal skrives i titalssystemet? OPGAVE Løs ligningerne. A x + B x 0 x + A B D x B 00 00 D 00 E + F ( 7 ) G ( ) OPGAVE A Beregn længden af en kant i en kube med rumfanget cm OPGAVE Beregn resultatet i base. A + B D :
7 TRÆN PROBLEMLØSNING TRÆN PROBLEMLØSNING OPGAVE Tallene fra - kan placeres i figuren herunder, så summen af tallene i den vandrette og lodrette række bliver den samme. Undersøg nedenstående påstande. Vis med et eksempel eller en forklaring, om påstanden er sand eller falsk. A Der findes mere end én løsning. B Der findes en løsning, hvor det midterste tal er et lige tal. OPGAVE På Danmarks Statistiks hjemmeside kan man læse en masse statistiske oplysninger om det danske samfund. Man kan bl.a. læse: I 0 er der 000 familier, hvor der bor en enlig far med sine børn, og det er procent flere end i 00. Der er stadig mere end fire gange så mange enlige mødre som fædre, der bor sammen med sine børn. Hver anden dansker røg dagligt i 0, men i 0 røg kun hver sjette. procent af mændene og 7 procent af kvinderne røg dagligt i 0. I 0 var befolkningstallet i Danmark 0. I 0 var antallet af kvinder 0, og antallet af mænd. Brug ovenstående oplysninger til at besvare spørgsmålene. A Hvor mange enlige fædre boede med sine børn i 00? B Giv et bud på, hvor mange enlige mødre der cirka bor med sine børn i 0. Hvor mange danskere røg i 0? D Hvor mange kvinder røg i 0? E Hvor mange mænd røg i 0? OPGAVE Jordens masse (vægt) er,7 0 kg. Saturns masse er, 0 kg. Aysia, Emilie og lara vil undersøge, hvor mange gange så stor Saturns masse er som Jordens masse. De er ikke enige om, hvordan de skal løse opgaven. De har løst opgaverne på denne måde: Aysia:,7 0, 0 7, 0 00 Emil:, 0,,7 0,7 0 0, 0 lara: 000 000 000 000 000 000 000 000 70 000 000 000 000 000 000 000,7, A Hvem har løst opgaven korrekt? B Hvordan ville du have løst opgaven? Begrund dit svar. OPGAVE Victor vil lave en rangle til sin lillebror. Ranglen består af to cirkelformede træskiver, der er sat sammen af seks runde pinde. Inde i ranglen er der en bjælde, der er formet som en kugle. Træskiverne har en radius på 0 mm. De runde pinde har en diameter på mm. Afstanden fra pindenes centrum til kanten på træskiven er mm. A Vis med en tegning, hvordan de seks pinde skal placeres på den cirkelformede træskive. B Undersøg, hvor stor diameteren i den kugleformede bjælde mindst skal være, for at den ikke falder ud mellem pindene. OPGAVE A Tænk på et tal, og udfør nedenstående beregninger med lommeregner.. Tænk på et tal større end 0.. Gang det med og læg til.. Tag cifrene i tallet og læg sammen, så du får et nyt tal.. Gang det nye tal med.. Tag cifrene af resultatet og læg sammen til et nyt tal.. Gentag trin indtil du står med ét ciffer nemlig. Begrundelsen for at dette virker hver gang bygger på følgende to regneregler: Hvis går op i et tal, så går op i summen af cifrene i tallet. Det samme gælder for tallet. B Brug dem til at vise, at vi altid ender med at få. OPGAVE På Danmarks Statistiks hjemmeside kan man læse en masse statistiske oplysninger om det danske samfund. Man kan bl.a. læse: Der er i 0 kommet procent flere personbiler på gaden siden 00, så der nu er, mio. Vi er blevet flere og flere mennesker i de seneste år. Samlet var der 707 danskere. januar 0. På samme tidspunkt i 00 var der 7 7 danskere. Danskerne udgør i øvrigt 0, promille af Jordens befolkning. Tre ud af fire danskere handler på internettet. Billetter til teater, koncerter og biograf fyldes i flest digitale indkøbskurve, men procent af danskerne klikker også dagligvarer i kurven. Brug ovenstående oplysninger til at besvare spørgsmålene. A Hvor mange personbiler var der i 00? B Hvor mange procent er den danske befolkning steget med fra 00 til 0? Hvor stor er hele Jordens befolkning? D Hvor mange danskere handler ikke på internettet? E Hvor mange danskere køber også dagligvarer på internettet? F Forklar, hvilken betydning det ville have for besvarelserne i punkt A, hvis antallet af personbiler var angivet med det eksakte antal på 0 stk. punkt B og, hvis antallet af danskere var opgivet med henholdsvis,7 mio. og, mio. OPGAVE Der findes en sammenhæng mellem planeternes omløbstid og deres middelafstand til Solen, som kan beskrives ved hjælp af Keplers. lov: T a, hvor T er omløbstiden målt i år. a er planetens middelafstand til Solen målt i AE. AE, mio km. Himmellegeme Middelafstand til Solen i km Venus,0 0 Jorden,0 0 Neptun, 0 A Beregn, hvor lang omløbstiden er for hver af de tre planeter, der er beskrevet i skemaet. OPGAVE Forestil dig, at der ligger et reb hele vejen rundt om Jorden, som har en omkreds på 0 000 km. Du vil gerne gøre rebet lidt længere, så du og mange andre mennesker kan stå op og holde rebet en meter over jorden. A Tegn en skitse af situationen. B Hvor meget længere skal rebet være? Kom først med et gæt, inden du beregner. Forstil dig igen, at rebet ligger stramt omkring Jorden. Nu sætter du meter mere på rebet, så det bliver hævet en lille smule hele vejen rundt. Hvor meget bliver rebet hævet over jorden? Kom først med et gæt, inden du beregner.