Studieretningsprojekt for, 2009-10 Matematik og Fysik Opgavetitel: Vindenergi

Studieretningsprojekt for, 2009-10 Matematik og Fysik Opgavetitel: Vindenergi Du skal fortælle om, hvordan vindmøllen producerer energi, samt udlede formlen for vindens effekt 1 3 P vind A v 2 Endvidere skal du redegøre for møllens effekt og vise, at en vindmølle højst kan udnytte 59 % af vindens effekt (Betz lov. Ved hjælp af data fra en vindmølle skal du tegne effektkurven samt bestemme nyttevirkningen af møllen ved forskellige vindhastigheder.. Forklar Bernoullis ligning. I din forklaring skal du inddrage relevante fysiske størrelser og love samt antagelser. Tilrettelæg og udfør et forsøg, hvor du måler den dynamiske opdrift på en vinge. I din analyse og vurdering af måleresultater, skal du inddrage Bernoullis ligning. Opgaven forventes at fylde 15-20 sider. Side 1 af 22

Indledning... 3 Hvordan fungerer en vindmølle?... 4 Vindmøllen fra start til stop... 5 Vindens effekt, møllens effekt og møllens maksimale nyttevirkning... 6 Vindens mekaniske effekt... 6 Møllens mekaniske effekt... 7 Den maksimale nyttevirkning (Betz lov... 11 Møllens effekt og nyttevirkning visualiseret... 12 Bernoullis princip og ligning... 14 Forsøg med en vingeprofils dynamiske opdrift... 17 Materialer... 17 Gennemgang af forsøget... 17 Resultatbehandling... 19 Fejlkilder... 20 Konklusion på baggrund af forsøget... 20 Konklusion... 21 Litteraturliste... 22 Side 2 af 22

Indledning Vi står i dag lige midt i en klimakrise. Vi kan allerede se det på det mildere vejr, som den begyndende globale opvarmning har skabt. Vi har i Danmark lige haft en november måned næsten helt uden frost, dette er bestemt ikke normalt for denne årstid. Hvis vi fortsat bliver ved med at udlede disse enorme mængder CO 2 og andre drivhusgasser, som vi gør i dag på grund af afbrændingen af fossile brændsler, er fremtidsudsigterne ikke særligt lyse. Man regner med temperaturstigninger, globalt på flere grader i løbet af bare de næste hundrede år, dette vil være årsagen til at polerne, Indlandsisen og mange gletsjere vil begynde at smelte, som igen vil være årsagen til at verdenshavene stiger med mellem 0,5 og 1,5 meter. Denne fremtidsforudsigelse er noget de fleste forskere inden for klima kan blive enige om, og det er da også derfor at repræsentanter fra størstedelen af verdens landes regeringer i disse dage er samlet i København til et enormt klimatopmøde. Dette er de for at finde en løsning på klimaproblemet. En del af løsningen er uden tvivl udnyttelse af vedvarende energikilder, som f.eks. jordvarme, bølgekraft, solenergi, vindkraft og m.m.. Men det handler om penge til udvikling af teknologier, hvormed man skal udvinde energi fra disse vedvarende energikilder på en rentabel måde, og det handler i høj grad om at udvikle teknologier så vi får en høj udnyttelse af energikildernes effekt. Her er vindmøller en rigtig god del af løsningen, fordi de er en gennemprøvet og yderst velfungerende teknologi. Vindmøller er noget man har kendt til i mange hundrede år, selv den elproducerende vindmølle har over 100 år på bagen. Det var specielt efter oliekrisen i 1970 erne, at vindermøller begyndte at blive populære. Da de fossile brændsler blev for dyre, måtte man prøve at få energien på andre måder, og derfor kom denne fremgang. Men efter krisen var vindmøller forsat populære, de havde fået deres store gennembrud og er kommet for at blive. Et af det førende steder inden for vindmølleforskning er det danske Risø som er nationallaboratoriet for bæredygtig energi, så jeg fandt det nærliggende at kontakte dem for at få inspiration til min opgave. Jeg fik kontakt til Niels Erik Clausen som er seniorrådgiver i vindenergiafdelingen, og han gav mig en enorm baggrundsviden omkring vindmøller og vindenergi, som har været til stor gavn for mit arbejde med følgende opgave. Side 3 af 22

Hvordan fungerer en vindmølle? 1 Når man i dag ser en vindmølle, ser man oftest en mølle bestående af tre ting, nemlig et tårn, hvor der ovenpå sidder et møllehus også kaldet en nacelle og på denne nacelle sidder der så en rotor bestående af 3 vinger. En moderne vindmølle er en anordning, der omdanner kinetisk energi i vind til mekanisk energi i rotoren, som er en fælles betegnelse for de 3 møllevinger, og dernæst ved hjælp af en generator drevet af rotoren omdanner den mekaniske energi til elektrisk energi, som så kan sendes ud til forbrugerne. Det største fremskridt, der er sket i den moderne elproducerende vindmølles historie, var da man begyndte at benytte sig af aerodynamiske vingeprofiler, lige som dem man i nogen tid havde brugt i flyindustrien. Disse aerodynamiske vingeprofiler benyttet på vindmøller gjorde, at man ikke kun udnyttede det tryk, vinden havde på de skråtstillede vinger, men at man også udnyttede det undertryk, der, som følge af vingernes form, blev skabt på deres bagside. Den type mølle, der er langt den hyppigst opstillede i Danmark, er, det man kalder en opvindsmølle. Denne opvindsmølle har den fordel, i modsætning til det man kalder en medstrømsmølle, at vingerne er det første, der bliver ramt af vinden, og dermed er vinden forholdsvis jævn. Hvorimod vinden, der bevæger sig forbi en medstrøms mølles vinger, er turbulent på grund af denne først har passeret mølletårnet. Denne turbulente vind gør det umuligt, at unytte lige så meget af vindens energi som med en opvindsmodel. Grunden til at der overhovedet produceres disse medstrømsmøller er, at de ikke behøver noget krøjesystem. Krøjesystemet er den elektriske anordningen, der sørger for at opvindsmøller hele tiden står op imod vinden. Dette system er både dyrt i produktion og i brug. Medstrømsmøllen derimod vender helt af sig selv op imod vinden grundet konstruktionens tyndepunkt. Dette er bestemt ikke hensigtsmæssig til brug på store vindmøller og det er da normalt også kun små og lave møller, der bliver produceret med dette medstrømssystem. Som nævnt ovenfor har langt de fleste vindmøller en rotor bestående af netop tre vinger, og dette er bestemt heller ikke tilfældigt. For 3 vinger er på mange måder det mest hensigtsmæssige. Grunden til dette, og til at man kun meget sjældent benytter sig af rotorer bestående af 2, 4 eller et højere lige antal vinger, er, at disse skaber balanceproblemer, for når den øverste vinge er i toppen, hvor den bliver bøjet mest tilbage, vil den nederste vinge være foran tårnet og altså i den position, hvor der er 1 Dette afsnit bygger på, Det danske vindmølleeventyr, Vindmøller og energiomsætning og Sådan fungerer en vindmølle (Danmarks vindmølleforening Side 4 af 22

absolut mindst belastning. Ud over dette vil en rotor med kun to vinger skulle dreje hurtigere rundt end en model med 3 vinger for at få den samme mængde energi ud af vinden, dette øger slidtagen af møllens mekaniske dele. Da et lige antal vinger ikke er nogen god løsning, så må det jo være et ulige antal vinger, man skal benytte sig af. Men hvis man vælger f.eks. 5, 7, 9 eller flere vinger, kommer disse til at sidde for tæt og der vil blive dannet for meget turbulens. En anden ting er prisen, 5 vinger vil alt andet lige være dyrere end 3 vinger. Når man tager hensyn til mængden af turbulens, produktionsprisen, omløbshastigheden og belastningen af møllen kommer man til den konklusion, at en rotor med 3 vinger er den bedste løsning. Vindmøllen fra start til stop Efter at det har været vindstille, begynder det lige så stille at blæse op, møllens vindfane som retter ind i forhold til vindretningen, begynder at bevæge sig. Der hvor vindfanen er monteret på nacellen sidder en kontakt. Denne kontakt bliver aktiveret, når vinden skifter retning og starter krøjemotoren. Når man når en vindhastighed på lige omkring 4 m/s, begynder rotoren lige så stille at dreje rundt. Vindmøller der kan pitchregulere, altså dreje vingerne i forhold til vinden, har nemmere ved at sætte i gang ved lave vindhastigheder, da disse vinger får den mest hensigtsmæssige angrebsvinkel i forhold til vinden ved lave vindhastigheder. Dette pitchsystem er også smart på andre måder, men det kommer vi ind på lidt senere. Når rotoren så har opnået en tilpas høj hastighed, sørger vindmøllens computer for, at møllen bliver koblet på elnettet, så den kan levere strøm til forbrugerne. Møllen producerer i sagens natur mere el jo højere vindhastigheder, den udsættes for. Men der hvor dens nyttevirkning er størst, altså der hvor den udvinder den største procentdel af vindens energi, er normalt for vindmøller i Danmark lige omkring 8 m/s. Dette kaldes møllens driftpunkt. Når vinden kommer op på omkring 15 m/s producerer møllen energi med den maksimale effekt, det man kalder mærkeeffekten. Vindmøllen producerer energi med den maksimale effekt helt indtil vindhastigheden når over 25 m/s. Hvis vinden når en hastighed på over 25 m/s skal møllen bremses, da den ellers kan tage skade og der er to forskellige måder, hvorpå møller kan bremses. Dette kan ske ved enten pitch- eller stallregulering. Pitchregulering er, hvor vingerne drejer i forhold til vinden for at få den ønskede angrebsvinkel. Stallregulering er vingeprofilens aerodynamiske udformning, der ved højere vindhastigheder end de ønskede, skaber turbulens omkring vingen og på den måde bliver undertrykket på bagsiden af vingen, som ellers drev vingen rundt, mindre. På større møller er det pitchreguleringen, der er det mest udbredte. Vi vil senere se nærmere på vingernes konstruktion. Side 5 af 22

Vindens effekt, møllens effekt og møllens maksimale nyttevirkning Vindmøller er i dag blevet meget effektive, men der er en grænse for, hvor meget af vindens effekt vi kan udnytte med vindmøller. Ifølge Betz lov er det ikke muligt at udvinde mere end 59% af vindens energi, dette vil vi senere eftervise. Men vi kan da lige hurtigt kigge lidt på det. Hvis man forestiller sig, at man kunne udnytte al vindens energi, så vil vindes hastighed efter vindmøllen være lig nul, og hvis vindens hastighed er lig nul, så bevæger den sig jo selvsagt ingen steder. Der vil som følge af dette blive ved med at ophobe sig luft lige bag møllen, og dette kan ikke lade sig gøre. Så vi kan altså alene ud fra dette lille ræsonnement slutte, at vi vil få en maksimal nyttevirkning på under 100% af vindens effekt. Hvis man antog, at vindens hastighed ikke var aftaget i dens passage af vindmøllen, ville der ikke være overført noget energi fra vinden og over til møllen. Mængden af energi, som ved hjælp af møllen kan udvindes af vinden, er altså afhængig af et forhold mellem vinden efter og vinden før møllen. Det er vigtigt at nævne at denne maksimale nyttevirkning på 59%, som vi vil eftervise ved hjælp af Betz lov, er under de mest optimale forhold i et perfekt system, så man vil aldrig helt opnå denne teoretiske udnyttelse af vindens effekt. For at finde et udtryk for vindmølles maksimale nyttevirkning, skal vi først finde et udtryk for vindens effekt og for møllens effekt. Dette gøres i de følgende afsnit. Vindens mekaniske effekt 2 For at se på vindens effekt et vilkårligt sted, skal vi først kigge på massen af en vilkårlig mængde luft. Dette gør vi ved at betragte et vindrør (se figur 1, hvis sider vinden ikke bevæger sig på tværs af. 3 Figur 1 Den vindmængde vi vil beregne, er den vind, der bevæger sig fra punktet P 1 til P 2 på tiden t. 2 Vindenergi og vindmøller side 19 3 Lånt fra Det danske vindmølleeventyr side 110 Side 6 af 22

Denne har et tværsnitsareal vi kalder A, og en længde som i tidsrummet t vil være v t. Volumenet af dette rør kan derfor beregnes ved at sige V A v t. For at finde massen af dette volumen skal vi blot gange med densiteten af luft, og dermed får vi at: (1.1 m luft A v t Det er nu muligt at finde den kinetiske energi for denne luftmasse. Dette gør vi ved at benytte formlen: (1.2 E kin 1 2 m luft v 2 Ved at indsætte udtryk (1.1 i (1.2 får vi: E kin 1 2 A v t v 2 Vi ved at effekten (1.3 E kin 1 2 A t v 3 P er den kinetiske energi E kin pr. tidsenhed t, altså: P E kin 1 t Dermed kan vi udlede formlen for vindens effekt, som er, som følger: P vind E kin 1 t 1 2 A t v 3 1 t (1.4 P vind 1 2 A v 3 Dermed har vi udledt, at vindens effekt et vilkårligt sted kan skrives som P vind 1 2 A v 3 Møllens mekaniske effekt 4 Vi har nu vist at vindens effekt et vilkårligt sted er givet ved (1.4, nu vil vi vise at møllens effekt er givet ved: 1 2 A v (v 2 før før før 2 4 Følgende bygger på www.windpower.org og Vindenergi og vindmøller Side 7 af 22

5 Figur 2 Da der er energibevarelse i et lukket system som dette, vil differensen mellem effekten af vinden før møllen og vinden efter møllen, være den effekt møllen har. Vi antager, at densiteten i et sådanne lukket system er konstant. P før og P efter er vindens effekt henholdsvis før og efter møllen, og derfor kan møllens effekt skrives sådan: (2.1 P før P efter Vi indsætter vindens effekt (1.4: (2.2 1 2 A v 3 før før 1 2 A v 3 efter efter Vi benytter os her af, at der er massebevarelse, her vist med massen af to vilkårlige luftmængder: m 1 m 2 (2.3 A 1 v 1 t A 2 v 2 t Vi kan nu dividere med t på begge sider af lighedstegnet og får: (2.4 A 1 v 1 A 2 v 2 Derfor: A før A efter Dette udnytter vi så i ligningen for møllens effekt: 1 2 A 3 før 1 2 A 2 før (2.5 1 2 A v (v 2 før før før 2 Vi vil nu vise, at en mølles effekt er afhængig af vindens effekt, altså: 5 Lånt fra: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/betz_tube.jpg Side 8 af 22

1 2 P vind (1 ( v efter 2 (1 ( v efter Derfor vil vi først vise, at ved omskrivning af (2.5 kan møllens effekt også skrives som: A før ( v gennemsnit hvor v gennemsnit er gennemsnitshastigheden for vinden før og efter møllen, v gennemsnit er altså: Vi bruger 3. kvadratsætning på (2.5: (2.6 v gennemsnit 1 2 ( P mølle 1 2 A før ( ( Vi benytter os af (2.6: (2.7 A før ( v gennemsnit Nu vil vi omskrive dette, så møllens effekt er afhængig af vindens effekt. Men først skal vi vise at: A ligefør v ligefør A mølle v gennemsnit Først kan vi se at: A ligefør v ligefør 1 2 (A ligefør v ligefør A ligefør v ligefør På grund af massebevarelse er: A ligefør v ligefør A ligeefter v ligeefter Og derfor: A ligefør v ligefør 1 2 (A ligefør v ligefør A ligeefter v ligeefter Da arealet lige akkurat før møllen, lige akkurat efter mølle og netop ved møllen ligger næsten helt samme sted, kan de også betragtes som ens størrelser, derfor: A ligefør A ligeefter A mølle Dette benytter vi så: A ligefør v ligefør 1 2 (A mølle v ligefør A mølle v ligeefter A ligefør v ligefør A mølle 1 2 (v ligefør v ligeefter Side 9 af 22

Da at: og v efter er hastigheder for et vilkårligt sted henholdsvis før og efter møllen, må der gælde v gennemsnit 1 2 ( 1 2 (v ligefør v ligeefter Derfor er det givet at: A ligefør v ligefør A mølle v gennemsnit Vi erstatter i (2.7 A før med A mølle v gennemsnit : Vi benytter os af (2.6: A mølle v gennemsnit ( v gennemsnit 2 A mølle v gennemsnit ( A mølle ( 1 2 ( 2 ( Vi omskriver: A mølle ( 2 4 A mølle ( ( v efter 4 A mølle v 2 før 1 2 A 3 mølle 1 2 v 2 før 2 4 ( A mølle ( ( ( 4 ( A mølle v 2 2 før v efter ( 4 ( 1 2 A mølle 1 2 (v 2 før 2 2 1 2 A 3 mølle 2 ( 1 2 2 ( 2 vefter ( 2 2 1 2 A 3 mølle 1 2 (1 (v efter 2 (1 1 Vi erstatter 2 A 3 mølle med P vind, da vi kan se dette som effekten af vinden, som ville passere på møllens plads, hvis møllen ikke var der. Derfor ser vi altså på vindens effekt P vind i et vindrør med tværsnitsarealet A mølle. Hvis møllens ikke er der vil vindens hastighed være lig med hastigheden af den uberørte vind, så møllens effekt er: (2.8 1 2 P vind (1 (v efter 2 (1 Side 10 af 22

Møllens effektivitet er givet ved forholdet mellem møllens effekt og vindens effekt, altså: (2.9 C p P vind 1 2 (1 (v efter 2 (1 Vi sætter forholdet mellem hastigheden efter og hastigheden før lig med x: v efter x og kan nu skrive effektivitet som funktion af forholdet mellem de to hastigheder: (2.10 C p (x 1 2 (1 x 2 (1 x Den maksimale nyttevirkning (Betz lov Som tidligere nævnt, kan man højest opnå en nyttevirkning på lige over 59%, dette vil vi nu vise: Vi tegner grafen for funktionen (2.10 C p (x 1 2 (1 x 2 (1 x 6 Figur 3 Vi kan se at denne graf har maksimum et sted mellem x 0,3 og x 0,4, og hvor C p (x 0,6, dette maksimum vil vi nu finde. Vi differentierer funktionen C p (x og får et udtryk for tangentens hældning: C p '(x x 3 2 x 2 1 2 Grafen har ekstremum, i dette tilfælde maksimum, der hvor tangentens hældning er lig 0, derfor finder vi maksimum: C p '(x 0 6 Grafisk afbildning af funktionen (2.10 tegnet i Maple 13 Side 11 af 22

x 1 x 1 3 Løsningen x 1 forkastes da 0 x 1 og dermed er x 1 3 v Forholdet efter 1 er 3 når der er en maksimal nyttevirkning. Dette indsætter vi i vores funktion for effektiviteten og får: C p ( 1 3 16 27 0,59259 En vindmølle kan altså maksimalt udnytte omkring 59% af vindens effekt. Vi er dermed eftervist Betz lov. Møllens effekt og nyttevirkning visualiseret 7 Her kan vi se to figurer, som bygger på datafra en Vestas V90 3.0MW 8 vindmølle. 9 Figur 4 Den første (figur 4 er med møllens effekt som funktion af vindhastigheden, der er 12 forskellige grafer, med effekter målt ved forskellige densiteter 10 af luften. Vi kan se, at effekten stiger ved øget vindhastigheder. Vi kan også se, at stigningen i effekten ikke er lige så markant, når luften har en lav densitet, som når densiteten er høj, og der skal dermed højere vindhastigheder til, for at møllen kan nå sin mærkeeffekt. Hvis vi ser på en enkelt af graferne, lad os tage den der hedder 1.225 11 (alt- 7 Data stammer fra General Specification V90 3.0MW 8 En betegnelse for en vindmølle med en vingediameter på 90 meter og en mærkeeffekt på 3,0 MW 9 For at se større billede se bilag 1, for at se data se bilag 3 10 Disse er afhængige af luftens temperatur og tryk. 11 Se evt. bilag 4 og bilag 5 hvor denne graf er tegnet for sig selv Side 12 af 22

så den hvor luften har en densitet på 1,225 kg/m 3 12, kan vi tydeligt se, at ved vindhastigheder mellem 5-11 m/s stiger grafen mest, det vil altså sige, at det er her, vindmøllen har den højeste nyttevirkning, hvilket vi også kan se på den næste figur (figur 5. 13 Figur 5 Den anden (figur 5 er med møllens nyttevirkning som funktion af vindhastigheden, der er igen 12 forskellige grafer, med nyttevirkning udregnet ved forskellige densiteter af luften. Vi kan se at nyttevirkningen stiger ved øget densitet og dermed at den maksimale nyttevirkning af møllen ikke er lige så høj når luften har en lav densitet, som når dens densitet er høj, men fælles for dem alle er, at de har en maksimal nyttevirkning ved 9 m/s. Vi vil nu lige kigge på de to grafer med henholdsvis den højeste og den laveste densitet, og se på middelværdien for nyttevirkningen for den enkelte graf. Først vil vi lige se på, hvad vi mener med middelværdien af en funktion i et interval [a, b]. Hermed menes tallet 1 b a a b f (xdx, hvilket svarer til det tal jvf. figur 6, hvor arealet under grafen er lig arealet af rektanglet med grundlinje (b - a og højden lig middelværdien. 14 12 Dette er luftens densitet ved havets overflade, når luften har en temperatur på 15 o celsius (General Specification V90 3.0MW 13 For at se større billede se bilag 2, for at se data se bilag 3 14 Denne definition stammer fra Matematik Grundbog 2 side 78-79 (Denne fodnote hører til foregående side Side 13 af 22

Figur 6 Først ser vi på den gennemsnitlige nyttevirkning af graf 0.97 (hvor luftens densitet er 0,97 kg/m 3. Her benytter vi LoggerPro til at finde det bestemte integral fra 4 til 25, som er der hvor vindmøllen er i drift og resultatet er: 453,4 Dette skal nu divideres med x som er 25 4 = 21, derfor: 453,4 21 21,6 Det vil altså sige at den gennemsnitlige nyttevirkning for en V90 3.0MW med en luftdensitet på 0,97 kg/m 3 er 21,6% Nu vil vi gøre det sammen med 1.27 (hvor luftens densitet er 1,27 kg/m 3, vi finder med LoggerPro det bestemte integral fra 4 til 25 og får: 565,1 Vi dividerer igen med x, og får: 565,1 21 26,9 Det vil altså sige at den gennemsnitlige nyttevirkning for en V90 3.0MW med en luftdensitet på 1,27 kg/m 3 er 26,9%, og dermed kan vi se, at luftens densitet betyder en del for nyttevirkningen af en vindmølle. Bernoullis princip og ligning 15 Som nævnt tidligere var det største fremskridt, der er sket i den moderne vindmølles historie, da man begyndte at benytte sig af aerodynamiske vingeprofiler. Disse vinger er næsten helt plane på forsiden, som er siden, der vender op mod vinden, og krumme på bagsiden, selvsagt den side der vender væk fra vinden, dette skaber et undertryk på bagsiden som er med til at trække rotoren rundt, 15 Dette bygger på Vindenergi og vindmøller side 36-39 Side 14 af 22

dette kaldes lift. Dette undertryk kan eftervises ved hjælp af Bernoullis princip, som siger: Når hastigheden af en luftstrøm vokser, vil trykket i luftstrømmen falde. 16 Dette kan også udtrykkes ved hjælp af Bernoullis ligning: p 1 2 v 2 konstant 17 Figur 7 Vi vil nu eftervise Bernoullis ligning: Vi kan pga. luftstrømmens minimale bevægelse vertikalt se bort fra tyngdekraften. Da vi har med en laminar 18 strømning at gør, kan vi betragte et vindrør, der bevæger sig lige umiddelbart over vingen (se figur 7. Vi betragter to luftmængder (på samme måde som luftmængden i vindrøret i beviset for vindens mekaniske effekt som dette vindrør indholder, den første er en luftmængde før vindrøret overhovedet bliver påvirket af vingen, dette rør har et tværsnitsareal på A 1 og bevæger sig fra punktet P 1 til punktet P 1 ' i tiden t, med hastigheden v 1. Den anden er en luftmængde, der er oven over vingen, og dermed er påvirket af vingens form, dette rør har et tværsnitsareal på A 2 og bevæger sig fra punktet P 2 til punktet P 2 ' i tiden t, med hastigheden v 2. Grundet massebevarelse er følgende givet: m 1 m 2 (3.1 A 1 v 1 t A 2 v 2 t og derfor: (3.2 V A 1 v 1 t A 2 v 2 t 16 Det danske vindmølleeventyr side 17 17 http://www1999297.thinkquest.dk/vindkomp.html 18 En regelmæssig strømning med konstant retning Side 15 af 22

Tilvæksten i et objekts kinetiske energi dette tilfælde en luftmængde, derfor: E kin er lig det samlede arbejde A der udføres på objektet, i Arbejde er kraft (3.3 E kin A F gange med den tilbagelagte afstand v t, altså: Kraften F er tryk A F 1 v 1 t F 2 v 2 t p gange med den tilbagelagte afstand v t, så: A p 1 A 1 v 1 t p 2 A 2 v 2 t Vi benytter os her af (3.2 og sætter uden for en parentes: (3.4 A V (p 1 p 2 Forskellen i kinetisk energi er differensen mellem den kinetiske energi før (1 og den kinetiske energi efter (2, derfor er dette givet: Vi benytter os af (3.1 og (3.2, og derfor: E kin 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 1 v 1 2 E kin 1 2 V v 2 2 1 2 V v 2 1 (3.5 E kin 1 2 V (v 2 2 v 2 1 Vi benytter os af (3.4 og (3.5 og indsætter dem i (3.3, og får: Dermed kan vi se at: 1 2 V (v 2 2 v 2 1 V (p 1 p 2 1 2 (v 2 2 v 2 1 p 1 p 2 1 2 v 2 2 1 2 v 2 1 p 1 p 2 p 2 1 2 v 2 2 p 1 1 2 v 2 1 p 1 2 v 2 konstant Vi vil nu kigge lidt nærmere på Bernoullis ligning, og se hvilken betydning denne har for en aerodynamisk vingeprofil. Der er specielt to kræfter, som er meget vigtige, når vi taler om aerodynami- Side 16 af 22

ske vingeprofiler, disse to er drag og liftkrafterne. Dragkraften er faktisk den kraft, der udnyttes på alle typer vingeprofiler, det er nemlig en kraft der er parallel med vindretningen, og er det direkte resultat af vindens arbejde på vingen. Liftkraften derimod bliver specielt udnyttet af de aerodynamiske vingeprofiler. Den er et resultat af den trykforskel, der også er omtalt i Bernoullis princip, altså når der er højere tryk på undersiden eller forsiden, hvis det er en mølle vinge vi taler om, af en vinge end på oversiden, bliver der skabt en liftkraft. Denne liftkraft er en meget vigtig faktor når det handler om, at få rotoren til at drej rundt. Forsøg med en vingeprofils dynamiske opdrift Formålet med dette forsøg er at bestemme en vingeprofils dynamiske opdrift som funktion af dens angrebsvinkel på vindretningen og jeg vil med hjælp af en computermodel kigge på forholdet mellem trykket og hastigheden af luften over og under vingen. Min teori er at opdriften stiger ved øget angrebsvinkel og at forholdet mellem trykket og hastigheden af luften både over og under vingen er konstant som følge af Bernoullis princip. Materialer Der skulle til forsøget benyttes følgende ting: En modificeret støvsuger (i det følgende er dette omtalt som en vindkanon, der i steder for at suge luft pustede luft med konstant effekt, for enden af støvsugerslangen monterede jeg et mundstykke der havde et cirkulært areal med en diameter på 15 cm. Dette mundstykke var forsynet med omkring 40 små rør, der fordelte luften jævnt udover hele dette areal. Der skulle også benyttes en vægt, der skulle måle den masse som luften løftede ved en given angrebsvinkel. Der skulle bruges et kamera, som var monteret på et stativ, så angrebsvinklen kunne måles ved hjælp af programmet LoggerPro igennem billedanalyse. Så skulle der bruges en vindmåler til at måle hastigheden af den vind, der ramte vingen. Til sidste skulle der benyttes det som det hele drejede sig om, et stykke vinge. Gennemgang af forsøget Jeg opstillede mit forsøg på et langt tomt bord, da jeg ville undgå for meget turbulens i luften omkring min opstilling, af samme grund sørgede jeg for, at vinduer og døre i lokalet var lukket og begrænsede bevægelsen i rummet til et minimum så længe forsøget stod på. Jeg monterede vingeprofilen på et stativ så den kunne holdes ind foran vindkanonen og stillede dette stativ på en vægt, og nulstillede denne, så vægten af stativet samt vingen var nulpunktet. Jeg kunne derfor aflæse med hvor mange gram luften løftede opstillingen, med omvendt fortegn, da det er kræfterne som modvirker tyngdekraften vi er interesseret i at finde. Ved hjælp af denne masse kan vi let beregne den Side 17 af 22

dynamiske opdrift, altså den resulterende kraft, vingen blev påvirket af. Vægten stod lige umiddelbart opad vindkanonen så vinden var konstant og koncentreret, når den ramte vingeprofilet. Jeg satte vindkanonen til at puste med dens maximale effekt, så udsvingene på vægten blev størst muligt og dermed kunne aflæses mest præcist. 19 Figur 8 Jeg startede med at finde den angrebsvinkel, hvor vægten viste 0,0 gram og dermed den vinkel hvor vingen blev påvirket med lige store kræfter opad og nedad af vinden. Jeg tog her et billede af vingen, så jeg senere kunne sætte det ind i programmet LoggerPro og der måle angrebsvinklen. Mellem de enkelte aflæsninger af vægten slukkede jeg for vindkanonen for, at der ikke skulle blive skabt for meget turbulens. Så vinklede jeg profilen en smule, så angrebsvinklen blev større, tændte vindkanonen og aflæste, hvad der stod anført på vægten og tog igen et billede. Dette fortsatte jeg med, indtil jeg havde en angrebsvinkel på omkring 11 o, som jeg antog, var et passende sted at stoppe, jeg havde på dette tidspunkt 13 billeder. Dette skulle være nok til at vise tendensen og udlede en forskrift. En anden grund til at stoppe der var, at vinger normalt begynder at stalle ved høje angrebsvinkler på grund af deres form. Dermed ophører den regelmæssige dynamiske opdrift som fremkommer af laminar strømninger og derfor vil Bernoullis ligning ikke længere passe ved højere angrebsvinkler. Til sidst afmonterede jeg vingeprofilen fra stativet og anbragte en vindmåler, der hvor vingeprofilet havde siddet og målte vinden til konstant at være 7 m/s. Resulter kan findes i bilag 6 19 Billede af forsøgsopstillingen Side 18 af 22

Resultatbehandling Da forsøget var færdigt, og resultaterne var indsamlet, satte jeg billederne ind i LoggerPro for at analysere dem. Formålet med analysen var at finde vindens angrebsvinkel på vingen. Dette gjorde jeg ved at markere et koordinatsystem på billedet. Koordinatsystemets placering i forhold til vingen er underordnet, det vigtigste er at x-aksen er parallel med vindretningen, da det er vingens hældning i forhold til denne vindretning, som er interessant. Når vi så har vingens hældning a, kan vi tage tan 1 (a og dermed får vi vingens vinkel i forhold til vindretningen med omvendt fortegn (dette skyldes den side jeg tog billedet fra. Denne procedure udførte jeg med alle billederne. Jeg skulle nu finde den dynamiske opdrift af vingen ved vindens forskellige angrebsvinkler. Jeg havde nedskrevet den masse som vægten havde vist, så jeg tog denne masse med omvendt fortegn, fordi det er den kraft opdriften modvirker tyngdekraften med, jeg vil have, og gangede den med tyngdeaccelerationen som i Danmark som bekendt er 9,82 N/kg. Nu havde jeg så mine resultater, disse blev sat ind i LoggerPro, med vinklen som førstekoordinat og den dynamiske opdrifts kraft som anden koordinat. Nu var punkterne plottet ind og disse dannede tilnærmelsesvis en ret linje, dermed konkluderede jeg, at et lineær fit ville være det rigtige, og jeg fik tegnet en graf, som så sådan ud: 20 Figur 9 Jeg kan altså se at denne vingeprofils dynamiske opdrift som funktion af vindretningens angrebsvinkel på denne er en lineær funktion med forskriften F( 0,0043 0,04 Jeg vil nu benytte mig af en computermodel 21 til at se nærmere på, hvad der sker omkring vingen, og hvordan vindens hastighed er over og under vingen. Jeg har i modellen prøvet at efterligne for- 20 For at se større billede se bilag 7 21 Denne model kan findes her: http://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/foil2.html (Denne fodnote hører til foregående side Side 19 af 22

holdene, der var på dagen, hvor forsøget blev udført. Jeg har indtastet temperaturen (21 o celsius, trykket (1006 hpa, højde over havoverfladen (10 meter og på baggrunden af disse tal fandt modellen selv luftdensiteten, som var 1,19 kg/m 3. Dernæst indtastede jeg vindhastigheden (7 m/s, angrebsvinklen (-4.56 o og størrelsen af vingen (10,5 cm lang og 6 cm bred, og prøvede så godt som det var muligt at finde en form som passede i forhold til den rigtige vingeprofil. Jeg kan nu finde vindhastigheden på en given placering over og under vingen. Så dette vil jeg gøre. Jeg har udvalgt fem punkter på vingen, hvor jeg måler hastigheder både over og under vingen, disse hastigheder er: Over vingen: 8,3 m/s 9,2 m/s 9,4 m/s 9,2 m/s 8,3 m/s Under vingen: 7,5 m/s 6,9 m/s 6,1 m/s 5,8 m/s 5,6 m/s Ved at benytte Bernoullis princip kan man se, at trykket er lavere over vingen end under vingen, da hastigheden er højere over vingen end under vingen ved alle punkterne. Som følge af dette må der være dynamisk opdrift, hvilket der da også er ifølge forsøget. Fejlkilder Vi kan se at resultaterne afviger en smule mere fra vores fit ved de sidste målinger end ved de første, dette må vi formode skyldes turbulens i luften, der er opstået på grund af, at vindkanonen sammenlagt har stået tændt i et anseligt stykke tid. Dette kunne være forhindret, hvis jeg havde ventet i længere tid med vindkanonen slukket mellem de enkelte målinger. Det kunne også være undgået, hvis jeg havde konstrueret et rør, der omsluttede forsøget, og dermed havde lavet en miniature udgave af en vindtunnel. Upræcishederne kan også være et resultat af en kun næsten konstant vindstrøm, jeg prøvede efter bedste evne af finde den masse som vægten målte ved de enkelte angrebsvinkler, men disse varierede til tider med 0,3 gram, så jeg tog det, jeg synes så ud til at være det hyppigst forekommende, oftest middelværdien. Dette kan have skabt en fejl i resultaterne, da bare 0,1 gram er af en rimelig stor betydning ved så små masser. Konklusion på baggrund af forsøget Trods små unøjagtigheder i resultaterne, må det siges, at der på baggrund af forsøget kan tegnes en god lineær model for vingeprofilen dynamiske opdrift som funktion af vinklen. Med en computer- Side 20 af 22

model har jeg også eftervist ved hjælp af Bernoullis princip, at det er trykforskellen over og under vingen, som skaber opdriften og ikke alene vindens skub på vingen Konklusion Jeg har i denne opgave forklaret, hvordan en vindmølle grundlæggende er bygget op, samt udledt formlen for vindens effekt, som er den effekt vinden indeholder, men den effekt vi kan udvinde af vindens energi ved hjælp af en vindemølle, er aldrig lige så høj som vindens effekt. Den effekt vi kan udvinde fra vinden ved hjælp af en vindmølle, er det, vi kalder møllens effekt, og denne har jeg redegjort for gennem et matematisk bevis. Ligeledes har jeg redegjort for Betz lov, som siger, at det kun er muligt at udvinde mindre end 59% af vindens effekt. Jeg har benyttet data fra en V90 3.0MW vindmølle til at tegne en kurve over møllens effekt og effektivitet, og fundet ud af, at denne mølles effektivitet er højest med vindhastigheder mellem 5 og 11 m/s og topper ved vindhastigheden 9 m/s. Jeg har kigget på nyttevirknings middelværdi, og har kunnet konkludere, at luftens densitet har en vis betydning for den gennemsnitlige nyttevirkning, nemlig at den gennemsnitlige nyttevirkning stiger ved øget densitet af luften. Jeg har bevist Bernoullis ligning ved hjælp af relevante fysiske størrelser og love. Jeg har i forbindelse med denne opgave lavet et forsøg, som har vist at en vingeprofils dynamiske opdrift er afhængigt af vindens angrebsvinklen. Side 21 af 22

Litteraturliste Bøger Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog 2; Gyldendal, 2007. Elverkjær, Finn & Nielsen, Henry: Vindenergi og vindmøller; F&K forlaget, 1980 Ingwersen, Jens m.fl. : Fysik i blæst; Systime, 1992 Jakobsen, Kasper Rønnow: Vindmøller og energiomsætning; Grønvision, 2009. Petersen, Flemming m.fl.: Det danske vindmølleeventyr; Fysikforlaget, 2007. Hjemmesider http://www.dkvind.dk/fakta/pdf/t1.pdf Fakta om vindenergi, T1 : Sådan fungerer en vindmølle, (Udskrevet 1.11.2009 http://guidedtour.windpower.org/da/stat/betzpro.htm Bevis for Betz lov, (Udskrevet 22/11-2009 http://guidedtour.windpower.org/da/tour/wres/tube.htm Vinden afbøjes, (Udskrevet 22/11-2009 http://www.gov.pe.ca/photos/sites/envengfor/file/950010r1_v90-generalspecification.pdf Vestas: General Specification V90 3.0MW, (Udskrevet 20/11-2009 http://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/foil2.html NASA: Foil Sim II beta 1.5a Side 22 af 22