Studieretningsopgave Temperatur af en væske

Transkript

1 Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter materialet grafisk og analyser datamaterialet. Argumenter herunder for hvilke matematiske sammenhænge, der ser ud til at være mellem de variable. Gør rede for hvordan en eksponentielt aftagende funktion: f(t) = b a x hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0 kan omskrives til formen f(t) = b e -kt, hvor k > 0, og gør rede for hvorfor halveringskonstanten til sidstnævnte funktion kan beregnes således: T 1/2 = ln(1 2 ) = ln(2) k k Diskuter anvendeligheden af den benyttede model (fordele, ulemper, begrænsninger) og forventningerne til forløbet af afkølingen. Formuler konkrete spørgsmål af forskellig art, som kan besvares ud fra modellen, hvoraf nogle også involverer brug af differentialregning, og angiv metoderne til at besvare spørgsmålene. Giv en vurdering af fejlkilder for forsøget. Vurdér hvordan forsøget kan forbedres og hvilke yderligere parametre, der kan have betydning for afkølingskurverne. Skitsér et forsøg, hvor andre parametres betydning undersøges. Eleveksperiment: Opvarmning og afkøling af væske. Red.: Bemærk at dette eksempel på er fra den tidligere reform og derfor længere end den opgave, du skal skrive.

2 Resumé Denne opgave undersøger den matematiske sammenhæng mellem tid og temperatur på en væske under opvarmning og afkøling. Sammenhængen mellem de to parametre undersøges på basis af resultaterne af et eksperiment, hvor de to væsker, henholdsvis vand og mælk opvarmes og afkøles. Resultaterne illustreres vha. lineær og eksponentiel regressioner samt grafer for at visualisere udviklingen under opvarmning og afkøling. På baggrund heraf vurderes det, hvilken form for matematisk forbindelse der er mest i overensstemmelse med resultaterne. Derudover vurderes eksperimentets anvendelighed ud fra en overvejelse af fejlkilder i eksperimentet og r2-værdierne. En teoretisk analyse af den faldende eksponentielle funktion er lavet for at angive omskrivning af funktionen via den matematiske konstant e. Endvidere forklares formlen for halveringstiden og bagefter bestemmes den for de faldende eksponentielle funktioner. Denne peger på, at mælk har en lavere halveringstid, hvilket forklarer de observationer, hvor mælken køler og opvarmer hurtigere end vandet. Forskellen i hastigheden af afkøling og opvarmning fremgår af a-værdien af den eksponentielle funktion. Slutteligt konkluderes det, at en eksponentiel sammenhæng er fundet i processen med afkøling og opvarmning af en væske. Dette hænger sammen med, at en stigning i temperaturen forårsager en stigning i energien, som yderligere forårsager en stigning i hastigheden af temperaturstigningen. Denne konklusion er baseret på observationen af en procentuel stigning og fald i temperaturen under eksperimentet. 1 af 22

3 Indholdsfortegnelse Resumé... 1 Indholdsfortegnelse... 2 Indledning Opvarmning og afkøling af en væske Forsøget Fremgangsmåde Resultater Opvarmning og afkøling af vand Opvarmning og afkøling af mælk Fejlkilder En eksponentielt aftagende funktion Halveringskonstanten Diskussion Skitse af forsøg Halveringstiden ved de to væsker Anvendeligheden af modellen Konklusion Kilder Bilag af 22

4 Indledning Når man opvarmer eller nedkøler en væske, er der en sammenhæng mellem temperaturen og tiden. I denne opgave vil der blive fortaget en undersøgelse af sammenhængen mellem disse to parametre ved hhv. opvarmning og nedkøling af væsker. Væskerne, der vil blive fokuseret på, er hhv. vand og mælk. Sammenhængen mellem temperaturen og tiden vil blive behandlet på baggrund af et forsøg. Resultaterne herudfra anvendes efterfølgende til at præcisere den matematiske sammenhæng, som kan findes i processen. Dette gøres ved at behandle dataet fra forsøget via LoggerPro, hvorefter der vil blive foretaget regression. Der vil desuden blive redegjort for en eksponentielt aftagende funktion samt formlen for halveringskonstanten. Ved resultaterne fra afkøling af hhv. vand og mælk, vil halveringskonstanten bestemmes, hvorefter der vil blive foretaget en vurdering af hastigheden for nedkølingen. Der vil desuden blive lavet en vurdering af anvendeligheden af de opstillede modeller. Dette vil blive gjort på baggrund overvejelser om eventuelle fejlkilde samt en række spørgsmål, som skal kunne besvares ud fra modellerne. Afslutningsvis vil der blive konkluderet på resultaterne af det analyserede forsøg, de matematiske sammenhænge, som forekommer ud fra forsøget, samt anvendeligheden af modellerne. 3 af 22

5 1.1 Forsøget 1. Opvarmning og afkøling af en væske Den 23. januar foretog vi et forsøg, hvor vi opvarmede og nedkølede væsker for, igennem fysikken, at undersøge, om der er en matematisk sammenhæng mellem tiden og temperaturen samt at finde halveringskonstanten ved nedkøling af væskerne. Materialelisten findes i Bilag Fremgangsmåde Opvarmning I første del af forsøget hælder man en mængde væske op i en kop, som man på forhånd har vejet. Volumen er den samme for alle væskerne. Herefter sænker man koppen ned i kogene vand i en elkedel. Koppen bliver holdt med en tang. Under opvarmningen måler man løbende temperaturen af væsken med et termometer, som er tilkoblet en computer. Elkedlen tændes gentagende gange i løbet af forsøget for at bevare en stigende temperatur. Man bruger LoggerPro på computeren til at samle observationerne, samt undersøge den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen under opvarmningen af væsken. Figur 1: Forsøgsopstilling Nedkøling Efter opvarmning af væsken stilles koppen på et bord, stadig med termometeret til at måle udviklingen i temperaturen ift. tiden. Efter x minutter stoppes forsøget, og man behandler observationerne via LoggerPro for at finde den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved afkøling af væsken Resultater Ud fra observationerne er der foretaget eksponentiel regression. Netop denne type regression er anvendt, fordi der skal mindre energi til at øge temperaturen for en væske, som på forhånd er opvarmet, hvilket den bliver i takt med forsøget. Den samlede data fra forsøget findes i bilag Figur 2: Afmærkningen i koppen sikrer, at man opnår den samme volumen for de forskellige væsker. 4 af 22

6 Opvarmning og afkøling af vand Opvarmning af vand Nedenfor er der foretaget eksponentiel regression for opvarmning af vand. Figur 4: Eksponentiel regression ved opvarmning af vand. Figur 3: Data for eksponentiel regression ved opvarmning af vand. På grafen kan man se, at observationerne ligger forholdsvist pænt inde for den eksponentielle graf. Dog passer den lineære regression bedre til observationerne, som set i bilag 2. Hvis forsøgets forløb havde været længere, kan man antage, at man ville kunne se en tydeligere eksponentiel udvikling, fordi hastigheden for temperaturstigningen øges, i tak med at temperaturen øges. Dette skyldes den øgede mængde energi, der følger med den øgede temperatur. Dette kan også ses ud fra sammenhængen: Q = m c T 1 Hvor Q er den termiske energi/varmeenergien, m er massen, c er den specifikke varmekapacitet og T er temperaturen. Man ser, at en øget temperatur medfører en øget mængde energi. Hvis man sammenligner de to regressioner, kan man se, at de begge har en r 2 -værdi, som ligger forholdsvis tæt på 1, idet begge værdier ligger over 0,95. Jo tættere r 2 -værdien er på 1, desto større overensstemmelse er der mellem regressionslinjen og observationerne. For den eksponentielle regression er r 2 = 0,99599, som set i skemaet ovenfor. For den lineære regression er r 2 = 0,99842 (se bilag 3). Det betyder, at sammenhængen mellem tiden og temperaturen i dette forsøg ser ud til at have en større lineær sammenhæng, ift. den eksponentielle sammenhæng. Men som tidligere nævnt, er tiden for forsøget ikke særligt lang. Hvis man havde fortaget forsøget over længere tid, kunne man antage, at sammenhængen ville fremstå som værende mere eksponentiel end lineær, da 1 Nielsen, Erik Knud og Fogh, Esper: Vejen til Fysik AB1. 1. udg. HAX, s af 22

7 temperaturen ikke stiger med det samme antal grader hele tiden, men i stedet ser ud til at vokse med en procentdel pr. tid. Afkøling af vand Nedenfor er der foretaget eksponentiel regression for forsøget med nedkøling af vand. Der er fratrukket 20 fra y-værdien, fordi grafen skal være asymptote til en x-aksen som svarer til at ligge ude for 20 grader, da temperaturen går imod stuetemperatur og ikke imod 0 grader. Figur 6: Eksponentiel regression ved nedkøling af vand Figur 5: Data for eksponentiel regression ved nedkøling af vand Ud fra r 2 -værdien kan man se, at udviklingen i afkølingen har en meget stor eksponentiel tilnærmelse, idet r 2 = 0, Der er desuden foretaget lineær regression for nedkølingen af vand, (se bilag 6). Her er r 2 = 0,982841, (se bilag 7), hvilket tyder på, at afkølingen af vand også kan siges at have en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng. Hvis man betragter datapunkterne synes udviklingen dog mest eksponentiel. Man kan se, at aftagningen af temperaturen er størst i starten, hvorefter hastigheden aftager, hvilket kan ses ud fra, at datapunkterne langsommere nærmer sig x-aksen. Grafen synes nærmest lineær, hvilket skyldes den høje a-værdi i den eksponentielle funktion. 6 af 22

8 Opvarmning og afkøling af mælk Figur 8: Graf for lineær regression ved opvarmning af mælk. Figur 7: Data for lineær regression ved opvarmning af mælk. På grafen kan man se, at datapunkterne ligger nogenlunde inde for den lineære graf. Dog er der en del udsving, hvor det ser ud til, at temperaturen har haft en uregelmæssig stigning. Dette kan skyldes fejlkilder, som uddybes i afsnittet Fejlkilder. Ved den lineære regression opnår man en r 2 -værdi på 0,99842, hvilket tyder på, at udviklingen i opvarmningen af mælk matematisk synes at have en forholdsvis lineær sammenhæng, hvilket også kan ses ud fra datapunkterne. Hvis man i stedet foretager eksponentiel regression, (se bilag 4), får man en r 2 -værdi på 0,995139, (bilag 5). Det tyder derfor også på, at der kan være tale om en eksponentiel sammenhæng. Nedkøling af mælk Figur 10: Graf for eksponentiel regression ved nedkøling af mælk. Figur 9: Data for eksponentiel regression ved nedkøling af mælk. 7 af 22

9 Der er foretaget eksponentiel regression for nedkølingen af mælk. Der er også her fratrukket 20 grader på y-aksen. Med regressionen opnås en r 2 -værdi på 0,999054, som set i figur 10. Matematisk set har udviklingen i afkølingen af mælk en forholdsvis eksponentiel sammenhæng. Hvis man i stedet foretager lineær regression, som set i bilag 9, får man en r 2 -værdi på 0,995787, hvilket kun afviger en smule fra r 2 -værdien ved eksponentiel regression. Derfor kan man konstatere, at udviklingen i afkølingen af mælk både ser ud til at kunne have en tilnærmet eksponentiel og en tilnærmet lineær sammenhæng. 1.2 Fejlkilder I forbindelse med forsøget med opvarmning og nedkøling af væsker, kan der opstå fejlkilder. Når man anvender en elkedel til at opvarme vandet med, bør man sikre sig, at vandet forbliver i en kogende tilstand, hvilket det ikke længere vil være, så snart elkedlen slukker. Denne fejlkilde kan medføre udsving i temperaturstigningen, hvilket bl.a. kunne ses ud fra datapunkterne ved opvarmning af mælk, (se figur 8). Desuden kan ydre parametre, som fx temperaturen i lokalet, have en indflydelse på resultaterne. Hvis man ikke tager højde for dette, vil man kunne opnå upræcise resultater. 2. En eksponentielt aftagende funktion En eksponentiel funktion, f(t) = b a t, beskriver en udvikling, som stiger eller aftager med en fast procent. På denne måde opnår man en graf, som set nedenfor. Denne graf viser eksponentiel aftagning, hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0. Hvis a > 1, vil grafen være voksende, fordi a-værdien i en eksponentiel funktion er fremskrivningsfaktoren, dvs. det der denne, der er afgørende for, hvor hurtigt eller langsomt en funktion vokser, eller aftager. b-værdien i en eksponentiel funktion er begyndelsesværdien, og hermed bestemmer b-værdien skæringen med y-aksen. Figur 11: Graf ved eksponentiel aftagning. 8 af 22

10 I figur 12 kan man se, at grafen ved eksponentiel aftagning er asymptote 2 til x-aksen, idet værdimængden ved en eksponentialfunktion kun udgør positive tal, dvs. at grafen ikke kan optræde på den negative del af y-aksen. 3 Sætning 11 4 For en eksponentielt aftagende størrelse: f(t) = b a t hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0 kan man omskrive til formen f(t) = b e -kt, hvor k > 0. I sætning 11 ser man, at a = e k. I det følgende vil der blive redegjort for hvorledes det er muligt at omskrive en eksponentiel funktion på denne måde. Redegørelse: e er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion, og er givet ved e = 2, Idet e > 1, må k- værdien være negativ, for at den samlede værdi er mindre en 1. Til venstre ses en række udregninger for e -k, som viser sammenhængen mellem fortegnet for k-værdien og a-værdien. Man kan se, at hvis k > 0, hvilket det skal være ifølge definitionen, så får man at 0 < a < 1, fordi a, som før nævnt svarer til e -k. Dette ses i udregning 1 og 2. Hvis det gælder, at k < 0, dvs. at k-værdien på forhånd er negativ, vil man opdage, at e ( k) = e k, fordi fortegnet ændres, når man hæver en minusparentes. Dette vil medføre, at den samlede værdi bliver større end 1, hvilket man fx. kan se i udregning 3 ovenfor. Hermed vil e k a, fordi det skal gælde, at 0 < a < 1, som beskrevet i definitionen. Man kan anvende følgende regneregel: e x = 1 e x 5 Regnereglen siger, at når man har en negativ k-værdi, får man et tal som er mindre end 1, hvilket man også så ud fra udregningerne ovenfor. Når a = e kaldes funktionen for den naturlige eksponentialfunktion. 6 k-værdien ved den naturlige eksponentialfunktion er en konstant, som afhænger af a-værdien således, at den er det positive tal, som man skal sættes som potens for e sådan at a = e k. 2.1 Halveringskonstanten Til en eksponentielt aftagende funktion følger en halveringskonstant, T 1/2, som beskriver den tid det tager for en eksponentielt aftagende funktion at blive halveret, (se figur 12). Vi betragter igen sætning Matematik C: Eksponentialfunktioner 3 Matematik center: Definitions- og værdimængde. 4 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2, 2007: s matlet.dk: Potensregneregler. 6 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1, 2007: s af 22

11 Sætning 11 7 For en eksponentielt aftagende størrelse y = b a t, 0 < a < 1, og hvor b > 0, kan man omskrive til formlen y = b e kt, hvor k > 0. Halveringskonstanten er givet ved T 1/2 = eksponentielt aftagende størrelse y = b a t. ln (0,5) = ln(2) k k. Under tiden omskriver man også den I det følgende vil der blive gjort rede for halveringskonstanten i sætning 11. Ved beviset tages der udgangspunkt i beviset for sætning 19 om fordoblingskonstanten på s. 148 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1. Her udskifter man a x med e -k, T 2 udskiftes med T 1/2, 2 udskiftes med 1 og log med ln. 2 Bevis: For ethvert x gælder: f (x T1) = f(x) b e kx+t 1/2 = 1 b e kx 2 b e kx e kt1 2 = 1 b e kx 2 e kt 1/2 = 1 2 Man ved, at f(x) = b e kx. Bruger potensregneregel: a n+m = a n a m 8 Dividerer med b e kx, på begge sidder. ln (e kt1 2) = ln ( 1 2 ) T 1/2 ln(e k ) = ln ( 1 2 ) T 1/2 k = ln ( 1 2 ) Tager den naturlige logaritmen på begge sider. Bruger logaritmeregneregel: ln(e x ) = x 9 T 1/2 = ln (1 2 ) k = ln (2) k QED Isolerer T 1/2. Fra den forrige redegørelse ved man, at a = e -k. Ud fra den naturlige eksponentialfunktion kan man også påvise, at ln(a) = -k: Denne sammenhæng kan også findes i Vejen til Fysik B2, s Ved udregningen får man, at k = -ln(a). Herudfra ved man, at man kan omskrive ln(a) til -k, så man får: 7 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2, s Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B1. 1. udg. Gyldendal, S Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1, S af 22

12 T 1/2 = ln(1 2 ) k Denne beregning kan anvendes til at bestemme halveringstiden for den naturlige eksponentialfunktion, og som set i beviset ovenfor kan den yderligere omskrives til: Dette skyldes, følgende: T 1/2 = ln(2) k Man kan se, at den naturlige logaritme til 0,5 giver et negativt tal, mens ln(2) giver det samme tal, men her er det positivt. Når k-værdien, i den førstnævnte brøk er negativ, skyldes det derfor, at tælleren også er negativ, så brøken samlet bliver positiv. Samtidig er nævneren i den anden brøk positiv, mens tælleren er positiv og brøken derfor også her samlet bliver positiv. Man kan finde sammenhængen i følgende regneregel: Herudfra bevises sammenhængen: ln ( 1 ) = ln(1) ln (2) 2 ln ( a 10 ) = ln(a) ln (b) b ln ( 1 ) = 0 ln (2) 2 ln(1) = 0 ln ( 1 ) = ln (2) 2 QED Man har bevist, at der er en sammenhæng mellem ln(2) og ln( 1 ), og at man derfor kan 2 omskrive formlen for T 1/2, som beskrevet i starten af kapitlet. 3. Diskussion Ved brug af regression, opnåede vi en række grafer og forskrifter, som fortalte noget om udviklingen i opvarmningen og afkølingen af hhv. vand og mælk. Ved opvarmning af vand blev der foretaget eksponentiel regression. På grafen (se figur 4, s. 5) kunne man se, at datapunkterne lå forholdsvis pænt inde for grafen, hvilket tyder på, at den eksponentielle model kan give os et rimeligt billede af stigningen af temperaturen ift. tiden. Dog er den begrænsede mængde af observationer en kilde til usikkerhed, hvilket er en ulempe ved dette forsøg. En længerevarende foretagelse af forsøget ville muligvis medvirke til at give et endnu mere klart billede af den matematiske sammenhæng. En anden 10 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B2. s af 22

13 begrænsning ved forsøget kunne være, at man ikke havde målt temperaturen i lokalet før forsøget, og at den opnåede model derfor ikke var identisk med virkeligheden. For at forbedre forsøget kunne man fra starten være opmærksom på eventuelle fejlkilder, for at forebygge usikkerhederne som kan opstå. Man kunne fx tage højde for temperaturen i lokalet samt sikre, at elkedlen ikke slog fra undervejs i forsøget. Man kunne eventuelt, i stedet for at bruge en elkedel, anvende en gryde, som stod på en kogeplade, så man bedre kunne kontrollere varmen. Man kunne se, ud fra den lineære regression i bilag 2, at også denne graf passede godt inde for datapunkterne. For begge former for regression gjaldt det, at r 2 > 0,95, hvilket indikerer, at udviklingen både kan siges til dels at have en eksponentiel sammenhæng og en lineær sammenhæng. Man kan dog antage, at hvis forsøget havde varet over længere tid, ville man kunne se en tydeligere eksponentiel sammenhæng, idet en øget temperatur medfører en øget mængde energi, som øger hastigheden for opvarmningen af vandet. Hermed ville man ikke længere kunne anvende den lineære funktion til at beskrive udviklingen. Hvis man sammenligner den eksponentielle og den lineære regression for afkølingen af vand kan man i højere grad se, at datapunkterne ligger en smule ude for grafen, især i de første punkter, (se figur 6, s. 6). På trods af dette gælder det også her, at r 2 > 0,95, og derfor må man konstatere, at udviklingen i afkøling af vand matematisk set delvist kan have en lineær og delvist en eksponentiel sammenhæng. Hvis man ser på datapunkternes forløb, ser udviklingen mest eksponentiel ud, idet datapunkterne samlet set udtrykker en aftagende hastighed for afkølingen ift. tiden, dvs. at temperaturen ikke aftager med det samme tal i hele forløbet, men at den aftager med en procentdel, som er karakteristisk for en eksponentiel funktion. Hvis dette er tilfældet, må man konstatere, at den lineære regression ikke gør sig særligt anvendelig som model for denne udvikling. Hvis man ser på grafen for opvarmning af mælk, (figur 8, s. 6), ser man, at datapunkterne ligger forholdsvis regelmæssigt langs den lineære graf. Dog svinger datapunkterne en smule mere her, end det var tilfældet med opvarmning af vandet. Dette kan, som tidligere nævnt, skyldes fejlkilder. Ud fra den høje r 2 -værdi, som ses i figur 7, forekommer den lineære model pålidelig. Det samme gør sig gældende for den eksponentielle regression for opvarmning af mælk, som ses i bilag 4 og 5. På trods af uregelmæssighederne for datapunkterne viser r 2 -værdien også her, at udviklingen kan siges at have en tilnærmelsesvis eksponentiel sammenhæng. Ved grafen for afkøling af mælk (figur 9), ser man en række regelmæssige datapunkter, der i høj grad følger den eksponentielle grafs forløb. Grundet den høje a-værdi, fremstår grafen nærmest lineær. Af denne grund er det ikke overraskende, at den lineære graf for afkøling af mælk også i høj grad passer til datapunkterne, (se bilag 6), og hvor r 2 -værdien, som set i bilag 7, er på 0,98, hvilket vidner om, at afkølingen af mælk også kan siges at have en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng - i hvert fald, hvis man skal gå ud fra den korte tid man har foretaget forsøget. Ud fra a-værdierne i funktionerne (se figur 5 og 10) kan man se, at mælk aftager hurtigere end vand gør, idet a-værdien ved mælk er en smule mindre end a-værdien ved vandet, hvilket betyder, at temperaturen ved mælken aftager med en større procentdel i takt med tiden. Dette kan fx skyldes, 12 af 22

14 forskellen på densiteten for de to væsker, men da man ikke kender værdien af denne, vil man ikke ud fra dette forsøg kunne påvise sammenhængen. Den specifikke varmekapacitet for hhv. vand og mælk kan også have en betydning for hastigheden af nedkølingen. Vand har en specifik varmekapacitet på ca J kg C 11. Da mælken hurtigere blev opvarmet og afkølet kan man antage, at denne må have en mindre specifik varmekapacitet end vand. 3.1 Skitse af forsøg Man kan undersøge, om densiteten af en væske har indflydelse på hastigheden for stigningen/ aftagningen af temperaturen. Ved at udføre et tilsvarende forsøg, som det der er beskrevet i denne opgave, men hvor man på forhånd kender densiteten af væsken, vil man kunne påvise en eventuel sammenhæng mellem densiteten og hastigheden for stigning og aftagning af temperaturen ift. tiden. 3.2 Halveringstiden ved de to væsker Man bruger a-værdien ved den eksponentielle funktion for afkølingen af de to væsker til at bestemme konstanten k, hvorefter T 1/2 beregnes. Vand: T 1/2 = ln(2) k = log (2) 0, = 2207,48 s Mælk: T 1/2 = ln (2) k = ln (2) 0, = 2020,84 s Man kan se, at mælk har en kortere halveringstid, hvilket hænger sammen med, at a-værdien i funktionen for afkøling af mælk er mindre end a-værdien ved afkøling af vand. Om afkølingen havde man kunne forvente, at aftagningen i temperaturen ville være hurtigst i starten hvorefter den med tiden vil aftage. Dette skyldes, at procentdelen, som temperaturen aftager med, udgør et mindre og mindre antal grader i takt med at temperaturen bliver lavere. Denne hypotese blev, ud fra modellen, bekræftet og ud fra dette kan man konstatere, at de benyttede modeller er gode til at beskrive den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved aftagning af temperaturen. 3.3 Anvendeligheden af modellen Den opstillede model kan anvendes til at undersøge en række parametre i forbindelse med opvarmning og afkøling af hhv. vand og mælk. Man kan bl.a. besvare spørgsmål som: 11 I-Fysik C: Specifik varmekapacitet. Gyldendal. 13 af 22

15 På hvilket tidspunkt aftager temperaturen ved nedkøling af vand med 0,009 grader pr. Sekund? For at besvare dette spørgsmål skal man differentiere funktionen, og sætte f (t) = 0,009 grader pr. Sekund, hvorefter man finder t. Hvilken væskes temperatur halveres hurtigst? Man bestemmer halveringskonstanten for begge funktioner, hvorefter de sammenlignes. Hvor hurtigt stiger temperaturen for vandet efter 10 sekunder? Man finder vha. differentialregning den afledte funktion af funktionen, hvorefter man sætter x = Konklusion Ud fra det foretaget forsøg samt efterbehandlingen kan man konstatere, at der er en eksponentiel matematisk sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved opvarmning og nedkøling af hhv. vand og mælk. Dette konstateres på baggrund af, at hastigheden for stigningen af temperaturen i starten var langsom, men at den blev øget i takt med temperaturen og den øget mængde energi. Modsat aftog temperaturen hurtigst i starten, mens hastigheden med tiden aftog, fordi procentdelen, som temperaturen aftog med, udgjorde en mindre og mindre mængde grader i takt med tiden. Halveringstiden var kortest for mælk, hvilket kan skyldes forskellige faktorer, som dog ikke kan præciseres ud fra dette forsøg. Samlet kan man konkludere, at forsøget som udgangspunkt er anvendeligt til at undersøge sammenhængen mellem temperaturen og tiden, såfremt man er opmærksom på fejlkilderne i forsøget. 14 af 22

16 Kilder - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B1. 1. udg. Gyldendal, (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B2. 1. udg. Gyldendal, (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1. 1. udg. Gyldendal, (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2. - Fordoblings og halveringskonstant. Udgivet af Matematik center. Sidst opdateret: u.å., Internetadresse: - Besøgt d (Internet) - I-Fysik C: Specifik varmekapacitet. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse: Fysik%20C/Materialekonstanter/SPECIFIK%20VARMEKAPACITET.aspx - Besøgt d (Internet) - Matematik C: Eksponentialfunktioner. Sidst opdateret: Internetadresse: - Besøgt d (Internet) - Matematik center: Definitions- og værdimængde, Internetadresse: - Besøgt d (Internet) - Matlet.dk: Potensregneregler. Udgivet af u.f. Internetadresse: - Besøgt d (Internet) - Nielsen, Erik Knud og Fogh, Esper: Vejen til Fysik AB1. 1. udg. HAX, (Bog) - Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vejen til Fysik B2. Side udg. HAX, (Bog) - Nielsen, K.E., m.fl. (2006). Vejen til Fysik B2. Silkeborg: Forlag Hax. 15 af 22

17 Bilag Bilag 1: Materialer Kop Termometer Elkedel Tang Loggerpro Vand Mælk Figur 12: Materialeliste til forsøg med opvarmning og nedkøling af væsker. Bilag 2: Lineær regression ved opvarmning af vand Figur 13: Graf for lineær regression til forsøg med opvarmning af vand. 16 af 22

18 Bilag 3: Figur 14: Data til lineær regression ved opvarmning af vand. Bilag 4: Figur 15: Graf for eksponentiel regression ved opvarmning af mælk. 17 af 22

19 Bilag 5: Figur 16: Lineær regression ved opvarmning af mælk. Bilag 6: Figur 17: Lineær regression ved afkøling af vand. Bilag 7: 18 af 22

20 Figur 18: Data ved lineær regression ved nedkøling af vand. Bilag 8: Figur 19: Graf for lineær regression ved afkøling af mælk. Bilag 9: Figur 20: Data ved lineær regression ved afkøling af mælk. 19 af 22

21 Bilag 10 Tabel 1: Data ved forsøg med opvarmning af vand. 0 26, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,84177 Bilag 11 Tabel 2: Data til forsøg med opvarmning af mælk. 0 17, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , af 22

22 Bilag 12 Tabel 3: Data ved forsøg med afkøling af vand. 0 39, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , af 22

23 Bilag 13 Tabel 4: Data ved forsøg med afkøling af mælk. 0 35, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , af 22