Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt 1
Inholfortegnelse Introuktion... 2 Problemformulering... 2 Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler... 4 Eksempel... 5 Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe... 7 Eksempel... Fejl! Bogmærke er ikke efineret. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer... 9 Konklusion og viereuvikling... 9 Kileliste... 1 Introuktion 9% af verens varer transporteres me skib. Skibene bruger i alt ca. 2 millioner ton bræntof om året. Dette tal forventes ena at stige til omkring 35 millioner ton om år, i år 22. Bræntoffet er båe yrt for skibsreerierne, og uleer mellem 6 millioner og 8 millioner ton CO 2 om året, et svare til omkring 4% af en globale CO 2 ulening. il sammenligning uleer flybranchen kun et halve, ca. 2% af en globale CO 2 ulening. 1 I ag planlægger fragtskib hoveageligt eres ruter u fra en korteste istance, og nogle skibe planlægger eres ruter for at ungå storme, høje bølger osv. for a gøre rejsen mere sikker og behagelig for pasagere. 2 Før i tien var et et kent princip, hvis man skulle fra USA til Europa, at følge Golfstrømmen langs USA s kyst for at komme hurtigere frem. I ag tager e store fragtskibe næsten ingen hensyn til e kraftige havstrømme. Forskning i planlægning af fragtskibes ruter så e unytter havstrømmene optimalt, er et områe me aktiv forskning. 3 Et af problemerne ve at unytte havstrømmene er, at fine en optimale rute igennem vanet, såan at strømmene hjælper skibet mest i en rigtige retning. Hvis man ser strømmene i havet som et vektorfelt, går min ie u på, at bruge et princip jeg kaler funktionsmænger, til at fine en mest bræntofs besparene rute gennem vektorfeltet. Problemformulering At beskrive princippet om funktionsmænger, og u fra ette princip bevise en metoe til sti-optimering i ikke-konservative vektorfelter. Herefter vil jeg teste enne metoes anvenelses muligheer, til at fine en mest bræntofs besparene rute for fragtskibe igennem et strømfylt farvan, for i site ene at reucere et globale CO 2 ulip. 1 http://www.climatemin.k/ressourcerum/transport/skibe/ 2 http://msi.nga.mil/msisitecontent/staticfiles/nav_pubs/apn/chapt-38.pf 3 Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi 2
Introuktion til funktionsmænger Måen jeg vil løse problemet me at finer en optimale rute for fragtskibene, bygger på en ie, som jeg kaler funktionsmænger. Funktionsmænger går u på at fine en måe, er gør et muligt at beskrive ueneligt mange funktioner, ve brug af kun en funktionsforskrift. Dette er smart, a et gør et muligt at sammenligne e uenelig mange funktioner i funktionsmængen. Hvilket ikke ville være muligt, hvis man så på e ueneligt mange funktioner, som hver eres funktionsforskrift. For at lave en såan funktionsmænge er min ie, at lave en funktion er tager en skalar som input og som output giver en parameterfremstillingen for en tilsvarene funktion i funktionsmængen. Den mest praktiske måe at repræsentere en såan funktion, er ve brug af lineær algebra. I en såan repræsentation består funktionsmængen af en transformationsmatrix, som er en funktion af funktionsmængens inputs parameter. Og en grunfunktion er er en parameterfremstilling, som er en funktion af en parameter som funktionsmængens output funktion er en funktion af. = M(t)g(s) Her er M(t) transformationsmatrixen, og g(s) er grunfunktionen. Det vil sige at hver t giver en ny transformationsmatrix, og funktionsmængens output for hver t bliver altså enne transformationsmatrices matrixprouct me grunfunktionen. Grafisk repræsentation og samlingspunkter Funktionsmænger har en meget brugbar grafisk repræsentation, er hjælper me at give en go forklaring af hva en funktionsmænge er. Man vælger en samling af skalare og finer eres tilsvarene transformationsmatrix. Herefter fines isse transformationsmatricers matrixproukt me grunfunktionen, isse parameterfremstillinger integnes i et koorinatsystem. (Dette svare til at fine hver af e valgte skalares tilsvarene parameterfremstilling i funktionsmængen) Her ses en grafiske repræsentation for funktionsmængen = ( 1 t ) ( s s 2 1 skalare er {t N 8 < x < 8}, tegnet i et kartesisk koorinatsystem. 4 ), hvor samlingen af Når man ser på en grafiske repræsentation, er et tyeligt at er er to punkter er har en særlig egenskab, nemlig e to punkter hvor alle funktionerne i funktionsmængen møes (-1,) og (1,). Denne slags punkter kaler jeg samlingspunkter. 3
Grunen til at samlingspunkter er interessante, er at hvis et fragtskib skal fra A til B kan man fine en funktionsmænge er har et samlingspunkt i båe A og i B, og på en måe fine funktionsmængen er beskriver alle ruter fra A til B. En mere formel efinition på samlingspunkter er, at et er punkter er ikke ænre sig når transformationsmatrixens inputs parameter ænre sig. Hvis man laer et samlingspunkt være et ornee par (x s, y s ) og laer s s være en væri af s, såan så M(t)g(s s ) = ( x s y s ), vil efinitionen på et samlingspunkt me mængenotation være følgene {(x s, y s ) R, t R t M(t)g(s s) = } Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler La V (x, y) være et ikke konservativt vektorfæl, og være en funktionsmænge me samlingspunkter i A og B. Forstil ig at u er placeret i punktet A og skal til B, alt efter hvilken vej u vælger vil vektorfælet påvirke ig på forskellige måer. Den samlee inflyelse vektorfælet har på ig, kan beskrives ve brug af et kurveintegral. Værien af s som funktionsmængen forbiner me A og B er henholvis S A og S B. (Disse er ikke afhængige af t a e er samlingspunkter) A(x, y) r C Hvor A er vektorfeltet, er et prikproukt, og r er stien man følger. Hvis kurveintegralet laves langs ens funktionsmænge i steet for stien man følger, vil man få en funktion er tager transformationsmatrixen fra funktionsmængens input som input. Som output giver en nye funktion en samlee inflyelse, vektorfeltet ville have på en tilsvarene sti til en parameter i funktionsmængen. S B V () S A U fra enne funktion er et muligt at fine en mest optimale sti, ve at fine funktionens ifferentiale i forhol til t og lae tangentens hælning være lig. Det giver S B t V () = S A Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er maksima, og at et ikke et lokalt minimum eller venetangent man har funet. 4
Eksempel La vektorfeltet V (x, y) repræsentere en kræft en havstrøm påvirker skibet me, som en funktion af skibets placering, og la forskriften for V (x, y) = ( y(4 (x2 + y 2 )) x(4 (x 2 + y 2 )) ). Et skib befiner sig i punktet (-1,-1), og skal til punktet (1,1). Skibet følger en af ruterne i funktionsmængen = ( 1 1 t ) ( s s 2 ), hvor 3 < x < 4. Funktionen har samlingspunkter i 1 punktere (-1,-1) og (1,1), og eres værier i parameterfremstillingen er henholvis s = 1 og s = 1. Hvilken af ruterne i funktionsmængen skal skibet følge for at unytte havstrømmen mest muligt? Dette kan som før vist fines ve brug af integralet 1 t V () = 1 Ve brug af oplysningerne omkring vektorfeltet, og funktionsmængen for e ruter skibet kan følge, kan vi begyne at løse formlen. Først kan eles op i parameterfremstillinger U fra ette kan man se at = ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = ( s s 2 t + s t ) x = s og y = ts2 t + s V () = ( (s2 t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) )) Ve at erstatte x og y me henholvis s og ts 2 t + s. Det næste er at fine ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til s. Dette kan gøres ve at fine ifferentialet af grunfunktionen me hensyn til s ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = (1 1 t ) ( 1 2s ) ve at gange matricerne u, kan man bevise, at ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til grunfunktionens parameter, er lig me transformationsmatrixens proukt me ifferentialet af grunfunktionen. (grunfunktionen er en parameterfremstilling, så er er som at tage ifferentialet af en normal parameterfremstilling.) hvis man sætter ette i integralet får man 1 t t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) ((s2 s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) ( 1 )) 1 t ) ( 1 2s ) = 1 Herefter ganges parenteserne og matricerne u, et giver 1 t t 3 + 3s 4 t 3 3s 2 t 3 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 3st 2 4s 4 t + 8s 2 t 4t 2s 3 + 4s 1 ( s6 s 3 t st + s 3 + s 2 ) ( 4s 2st + 1 ) = 1 Nu tages prikprouktet mellem e to vektor funktioner, og integralet uvies. Det resultere i 5
1 t 1 s 6 t 3 + 3s 4 t 3 + s 4 t 2 3s 2 t 3 2s 2 t 2 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 + 3s 3 t 3st 2 6s 4 t st 4t s 3 + s 2 = t [ s7 t 3 7 + 3s5 t 3 5 Det giver + s5 t 2 5 s3 t 3 2s3 t 2 + st 3 s6 t 2 3 2 + 3s4 t 2 2 + 3s4 t 4 3s2 t 2 6s5 t 2 5 s2 t 2 t3 ( t 7 + 3t3 5 + t2 5 t3 2t2 3 + t3 t2 2 + 3t2 2 + 3t 4 3t2 2 6t 5 t 2 4t 1 4 + 1 3 Dette kan reuceres yerligere til ( t3 7 3t3 5 t 2 5 + t3 + t 2 3 t3 t 2 2 + 3t 2 2 + 3t 4 3t 2 2 + 6t t (32t3 35 14t2 15 52t 5 + 2 3 ) = Hvis man nu ifferentiere ette trejegrapolynomium får man 96t 2 35 28t 15 52 5 = 72t2 49t 273 = Vi kan nu isolere t, ve brug af løsningsformlen for anengraligningen t = 49 ± 8125 144 t 2,32 eller t 1,64 4st s4 4 + s3 3 ] 1 1 = 5 t 2 + 4t 1 4 1 3 )) = For at fine u af om et er to maksima, minima eller venetangenter vi har funet, ifferentiere vi 72t 2 49t 273 = ennu en gang me hensyn til t. Det giver Man kan nu starte me at lae t = 2,32 144t 49 = 144 2,32 49 = 285,8 > t = 2,32 er altså et minimum, a et 2. ifferentiale er positivt. Hvis man i steet laer t = 1,64 får man 144 ( 1,64) 49 = 285.16 < t = 1,64 er altså et maksimum og en bete sti i funktionsmængen for at komme fra et ene samlingspunkt til et anet hvor 3 < x < 4. Det vil altså sige at en optimale rute gennem vektorfeltet s er en me parameterfremstillingen f(s) = ( 1.64s 2 + s + 1,64 ). 6
Illustrationen viser en grafiske repræsentation for funktionsmængen i problemet, me vektorfeltet i baggrunen i rø, og en optimale rute repræsenteret i orange. Problemet ve at fine en optimale sti på enne måe, er at er at en ikke tager hensyn til stiens længe. Den viser kun at et er en rute, hvor kræfterne hjælper skibet mest i en rigtige retning. Dette kan være fint i nogle sammenhænge hvor stiens længe er ligegylig, men hvis man skal beregne en optimale rute for et fragtskib, er et et problem. Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe Hvis man ønsker at fine en optimale rute for et fragtskib, er ovenståene integral ikke så anveneligt, a et som før nævnt ikke tager hensyn til rutens længe. (𝑥, 𝑦) være vanets hastighe repræsenteret som et vektorfelt, 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 er hastigheen skibet ville La 𝑉 bevæge sig me, hvis et kun var motoren er rev et frem, 𝐷 er længen af ruten, 𝑇 er tien skibet har til at færiggøre sin rejse, og 𝑓(𝑠, 𝑡) er funktionsmængen for e ruter skibet kan følge (s er tien og t er parameteren for funktionsmængens transformationsmatrixen). 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟. Hvis vi antager at skibets hastighe over grunen, er hastigheen af strømmen plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) + 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet For at skibet kan nå frem til sit mål til tien, skal integralet af en el af 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟, integreret fra til være lig rutens længe. frem langs ruten plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet i rutens retning, er som En måe man kan beregne en el af 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)). prikprouktet af funktionens enhe tangentvektor me 𝑉 𝑑 𝑓(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 (𝑓(𝑠, 𝑡)) 𝑉 𝑑 𝑑𝑠 𝑓(𝑠, 𝑡) * er prikprouktet. 7
Alt i alt får man V () + V Motor = D Længen af ruten skibet følger, er selvfølgelig afhængig af hvilken funktion i funktionsmængen man vælger at følge. Derfor kan D også skrives ve brug af formlen for længen af en graf D = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvor x og y er henholvis x- og y komponenten, af funktionsmængens output parameterfremstilling ( x y ) =. Dette kan nu sættes sammen til V () + V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvis vi antager at V Motor er konstant uner hele turen, kan venstre sie omskrives til Det hele kan nu omskrives til V () V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 + V Motor V () V Motor kan nu isoleres, og integralerne på højre sie kan lægges sammen V Motor = 1 ( x 2 ) + ( y 2 ) V () Man har altså nu en funktion, er viser hvor stor en hastighe vi skal skubbe skibet frem me, for at nå vores estination til tien. For at fine u af hvilken af funktionerne i funktionsmængen er er en optimale, skal vi fine en rute hvor V Motor er mint. Vi skal altså fine funktionens minimum. Dette kan gøres ve at ifferentiere utrykket me hensyn til transformationsmatrixens parameter t. Det give 1 t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = 8
Ve at gange begge sier me, kan ette simplificeres til t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er minima, og at et ikke et lokalt maksimum eller venetangent man har funet. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer Unervejs mens jeg har arbejet me funktionsmænger og sti-optimering, har jeg funet u af, at stioptimering og planlægning af fragtskibes ruter, langt fra er e eneste anvenelses muligheer for funktionsmænger. Funktionsmænger er brugbart e fleste steer hvor man ønsker at sammenligne en stor samling af funktioner. Funktionerne behøver ikke at være to imensionale, for eksempel ville et også være muligt at lave en funktionsmænge for et vektorfelt, eller en multivariabel funktion. Et par af e områer hvor jeg har funet u af at funktionsmænger måske kunne anvenes er: Væskeynamik Klassisk ynamik Beskrivelse af bakterie vækst Der u over har funktionsmænger en interessant matematisk generalisering, som jeg arbejer på. Generaliseringen af funktionsmænger gør et muligt at have funktionsmænger for funktioner i flere imensioner samt flere slags funktioner, skalarfelter, vektorfelter og multivariable funktioner. Konklusion og viereuvikling Funktionsmænger har helt klart et potentiale til at løse problemer er hanler om sti optimering. Der er og et par problemer. Det første problem er, at et ikke er lykkees mig at lave funktionsmænger, er ineholer funktioner af forskellige typer som polynomier, eksponentielle funktioner, sinus bølger, osv. Dette er vigtigt, fori hvis man skal lave mere præcise beregninger, skal man bruge en funktionsmænge er ineholer alle mulige ruter mellem to punkter. Dette kan ikke lae sig gøre hvis man ikke kan få funktionsmængerne til at inehole funktioner af forskellige typer. Princippet om funktionsmænger til sti optimering ville staig kunne lae sig gøre, et ville bare blive mere upræcist. Jeg tror løsningen til ette problem er aylor approksimation, a et gør et muligt at approksimere funktioner af alle typer, me et polynomium. Dette gør, at man ikke behøver at lave en funktionsmænge er ineholer funktioner af forskellige typer. Det site problem er, at for at sti optimere fragtskibes ruter, er man nø til at fine funktionsforskriften for et vektorfelt er beskriver en tilnærmelse af havstrømmene som et vektorfelt. Havstrømmene er kortlagt, men problemet er at et kræver en el computer kræft, at fine en tilnærmet funktionsforskrift for em. Jeg er i gang me at uvikle en mere præcis moel, for sti optimering, er også tager hensyn til en kræft skibet skal bruge for at hole sig på ruten. Min ie for at gøre ette er ve brug af formlen for funktionens enhe normal vektor, til at fine en sit komponent af vektoren er repræsentere skibet hastighe. 9
Når jeg er færig me enne moel, kunne et være sjovt at prøve at få fat på informationen, er skal bruges for at uføre beregningerne på et rigtigt fragtskib. Kileliste http://www.climatemin.k/ressourcerum/transport/skibe/, besøgt en 19. januar http://msi.nga.mil/msisitecontent/staticfiles/nav_pubs/apn/chapt-38.pf, besøgt en 19. januar Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi, university of virgin islan Nynne Afzelius, can.scient. i fysik og matematik, talent chef science talenter 1