Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Transkript

1 Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee Test grafisk afleee Højere partielle afleee Differentiationsorenen er ligegylig Partielle ifferentialligninger Test Laplaces ligning Calculus Uge Tangenthælning [S] 2.7 Derivatives 2 3 Definition Den afleee af f() i tallet a er f (a) = f f(a + h) f(a) (a) = lim h 0 h y (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) f() Calculus Uge

2 Botanik for aflete [S] 3.1, 3.4 Derivatives... (n ) = n n 1 (e ) = e (ln()) = 1 (a ) = ln(a)a Calculus Uge Botanik for aflete [S] 3.1, 3.4 Derivatives... (sin()) = cos() (cos()) = sin() (tan()) = 1 + tan2 () 1 (sin 1 ()) = 1 2 (tan 1 ()) = Calculus Uge

3 Vælg og afle Eksempel 1 Givet funktionen f(, y) = y 3 2y 2 Hol y fast Hol fast f(, y) = y 3 y f(, y) = 32 y 2 4y Calculus Uge Partielt aflet 4 Definition Den partielle afleee af f(, y) me hensyn til i punktet (a, b) er f f(a + h, b) f(a, b) (a, b) = lim h 0 h Den partielle afleee af f(, y) me hensyn til y i punktet (a, b) er f f(a, b + h) f(a, b) (a, b) = lim y h 0 h Calculus Uge

4 Skrives forskelligt Notation Ses også f (, y) = f (, y) f y (, y) = f y(, y) f (, y) = f 1 (, y) f y (, y) = f 2 (, y) Calculus Uge Nemt at aflee Eksempel 1 Funktionen har partielle afleee f(, y) = y 3 2y 2 f (, y) = y 3 f y (, y) = 3 2 y 2 4y Calculus Uge

5 Graf uen kanter Figur - Eksempel 1 z 0 y f(, y) = y 3 2y 2 Calculus Uge Nyttige regler Morale for Partielle afleee 1. f beregnes ve at hole y fast og ifferentiere me hensyn til. 2. f y beregnes ve at hole fast og ifferentiere me hensyn til y. 3. Alle regneregler for ifferentiation i en variabel, +,,, /, sammensatfunktion, inversfunktion kan benyttes. Calculus Uge

6 Uregning af partielle afleee Eksempel 3 har partielle afleee f (, y) = sin ( 1 + y ) f y (, y) = sin ( 1 + y ) y f(, y) = sin( 1 + y ) ( ) 1 + y ( ) 1 + y = cos( 1 + y ) y = cos( 1 + y ) (1 + y) 2 Calculus Uge Uregning af partielle afleee Eksempel 1 f(, y) = ln( y ) 2 har partielle afleee ( ) f (, y) = ln 1 ( y ) y 2 = ( y 2 2 ) ( y 2 ) 2 og tilsvarene = f y (, y) = 2 ( y 2 ) 2y ( y 2 ) Calculus Uge

7 Test partielle afleee Test Betragt funktionen f(, y) = 3 y 2 + y. (a) f = 3 2 y 2 + y. (b) f = 3 3 y 2 + y. (c) f = y. () f = 3 2 2y 2 + y. Løsning For y fastholt Afkrys en rigtige påstan: f (, y) = (3 y 2 + y) = y (a) (b) (c) () Calculus Uge Partielt aflet, grafisk Grafisk bestemmelse y h f(,y)= Niveaukurver omkring ( 0, y 0 ) = (2, 2). Sæt g(h) = f( 0 + h, y 0 ) og aflæs støttepunkter: h g(h) Calculus Uge

8 Partielt aflet, grafisk Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter giver grafen h g(h) z Heraf f.eks. 1 h f ( 0, y 0 ) = g (0) 0.5( ) 0.85 Calculus Uge Test grafisk afleee Test Betragt niveaukurverne for en funktion f(, y), f(1, 1) = 0 og beøm: y 1 1 f=0 f= 1 f=5 (a) f (1, 1) > 0. (b) f (1, 1) < 0. (c) f y (1, 1) < 0. () f (1, 1) > 0. Afkrys to sane: Løsning f(, 1) er voksene me voksene aflet. (a) (b) (c) () Calculus Uge

9 Uvi til mange variable Eksempel 5 Omtalen af partielle afleee uvies umielbart til flere en to variable. f(, y, z) = e y ln(z) har tre partielle afleee f = ye y ln(z) f y = e y ln(z) f z = e y 1 z Calculus Uge Afle flere gange Notation for højere afleee 2 f 2 (, y) = f (, y) 2 f y 2 (, y) = f yy(, y) 2 f y (, y) = f y(, y) 2 f y (, y) = f y(, y) Calculus Uge

10 Mere aflening Eksempel 1, 6 Afleee og højere afleee f = y 3 2y 2 f = y 3, f y = 3 2 y 2 4y f = 6 + 2y 3, f yy = 6 2 y 4 f y = 6y 2, f y = 6y 2 Calculus Uge Ennu en aflening Eksempel 3 f(, y) = sin( 1 + y ) Afleee og højere afleee f = cos( 1 + y ) y f = sin( 1 + y ) 1 (1 + y) 2 f y = sin( 1 + y ) (1 + y) + cos( y ) 1 (1 + y) 2 Calculus Uge

11 Ennu en aflening Eksempel 3 - fortsat f(, y) = sin( 1 + y ) Afleee og højere afleee f y = cos( 1 + y ) (1 + y) 2 f yy = sin( 1 + y ) 2 (1 + y) + cos( y ) 2 (1 + y) 3 f y = sin( 1 + y ) (1 + y) + cos( y ) 1 (1 + y) 2 Calculus Uge Der er kun et halve arbeje Sætning (Clairaut) Antag at f er efineret på en (lille) cirkelskive me centrum i (a, b). Hvis f y, f y er kontinuerte på cirkelskiven, så gœler f y (a, b) = f y (a, b) "Højere partielle afleee afhænger ikke af ifferentiations rækkefølgen." Calculus Uge

12 Overbevis [S] Appeni E A few proofs Bevis (Clairaut) (h) = (f(a + h, b + h) f(a + h, b)) (f(a, b + h) f(a, b)) Omskrives ve mielværisætningen (h) = (f (c, b + h) f (c, b))h = f y (c, )h 2 Ve ombytning af, y f y (c, )h 2 = f y (c, )h 2 for (c, ), (c, ) tæt ve (a, b). Konklusion ve kontinuitet af e obbelte afleee. Calculus Uge Opgaver er sunt Øvelse Fin f og f y. f(, y) = 2 y y f = 2y y f = 2y y f = 48y f y = f y = 48 Calculus Uge

13 Mange opgaver er meget sunt Øvelse Fin f yz. f(, y, z) = y 4 z 3 + yz 2 f y = 4 4 y 3 z 3 + z 2 f y = 16 3 y 3 z 3 f yz = f yz = 48 3 y 3 z 2 Calculus Uge Siste opgave Øvelse 81 f(, y) = ( 2 + y 2 ) 3/2 e sin(2 y) Fin f (1, 0). f(1, 0) = 1( ) 3/2 e 0 = 1 f (1, 0) = lim 1 ( ) 3/2 e f (1, 0) = lim Calculus Uge

14 Siste opgave Øvelse 81 - fortsat f (1, 0) = lim f (1, 0) = lim ( 1) f (1, 0) = lim = 2 Calculus Uge Partielle ifferentialligninger Definition En partiel ifferentialligning er et utryk i e partielle afleee. Ligningen 2 u + 2 u 2 y = 0 2 kales Laplaces ligning. Ligningen kales bølgeligningen. 2 u t 2 = a2 2 u 2 Calculus Uge

15 Laplaces ligning Eksempel 8 Funktionen u(, y) = e sin y er løsning til Laplaces ligning u + u yy = 0 Løsning giver u = e sin y, u = e sin y u y = e cos y, u yy = e sin y u + u yy = 0 Calculus Uge Bølgeligningen Eksempel 9 Funktionen u(t, ) = sin( at) er løsning til bølgeligningen Løsning u tt = a 2 u u t = a cos( at), u tt = a 2 sin( at) giver u = cos( at), u = sin( at) u tt = a 2 u Calculus Uge

16 Test Laplaces ligning Test Funktionen f(, y) = 3 + 5y + 10 er en løsning til Laplace s ligning 2 f/ f/ y 2 = 0. Løsning Uregningen giver f = 3, f = 0, f y = 5, f yy = 0 f + f yy = 0 Afkrys: ja nej Calculus Uge