Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I 1 H dl = J ˆ n da=. C S Forskydningsstrømme Amperes lov gælder således ikke i dette tilfælde fordi der finder en ladningsophobning sted og der således ikke er tale om jævnstrøm jf. bemærkningen EM9 s. 3n. I C S 1 S At Amperes lov kun gælder for jævnstrøm følger også af udtryk (1.9): H = J J = H = ( ) (1 1 ) hvilket ifølge udtryk (7.11) netop er betingelsen for jævnstrøm: 1 ρ = = indl J. (13.1) 1 Det er de indlejrede ladninger der giver anledning til de e strømme idet de bundne polarisationsladninger ikke bidrager til en ladningstransport. Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side af 8 En generalisering af Amperes lov indebærer således en tilføjelse H = J +? der er nul for jævnstrømme og ifølge kontinuitetsligningen i udtryk (7.1) opfylder ρ indl = H = ( J +?) = J +? = +? ρindl D? = = ( D) =. Så Amperes lov generaliseret til vilkårlige strømme er således D H = J + t (13.) D H dl = J ˆ + n da C S t hvor forskydningsstrømmen D ses at være nul for de statiske felter der frembringes af jævnstrømme. I øvrigt er D J i ledere hvor de e strømme er dominerende. Den til vilkårlige strømme generaliserede udgave af Amperes lov er således i korrespondens med den udgave der kun gælder for jævnstrømme. Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 3 af 8 I 1873 opsamlede amerikaneren Maxwell de opdagelser 3 som bla. Ampere Faraday og Gauss havde gjort sig og formulerede flg. fire Maxwellligninger: D H = J + t (13.3) B E = t (13.4) D = ρ indl (13.5) B = (13.6) som er hhv. Amperes lov (181) fra udtryk (13.) Faradays lov (1831) fra udtryk (11.7) Gauss (Coulombs 4 ) lov fra udtryk (4.6) samt udtryk (9.9). De fire Maxwellligninger udtrykker den fundamentale sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter H D E B og de ladninger ρ indl og strømme J D der giver anledning til disse felter og udgør dermed elektromagnetismens fundament. D E J E Materialeegenskaberne indgår via de konstitutive ligninger H ( B) som i de lineære tilfælde er givet ved hhv. udtryk (1.15) (4.9) og (7.1). ( ) ( ) H D J og ρ indl er makroskopiske størrelser der er fremkommet ved at midle over et stort antal atomer 5. I en mikroskopisk beskrivelse af eks. en elektron et atom eller et nanosystem bestående af få molekyler er det således nødvendigt at generalisere de makroskopiske 3 Da således er baseret på empiriske love kan de ikke formelt bevises og har dermed lidt samme status som bevarelsessætningerne for f.eks. energi og ladning. 4 Som det fremgik af udledningen hviler Gauss lov på Coulombs lov. 5 I H og D indgår hhv. M og P der pr. definition er makroskopiske størrelser J er baseret på det makroskopiske begreb ladningstransport og ρ er baseret på det makroskopiske begreb polarisationsladning. indl Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 4 af 8 Maxwellligninger i udtryk (13.3) og (13.5) ved at erstatte de makroskopiske størrelser med de generelle (mikroskopiske) størrelser B E J (tot) og ρ (tot). Dette gøres ved at indsætte definitionerne på H og D fra hhv. udtryk (1.8) og (4.4): D H = J + : t eftersom P 1 B M = J + ( εe+ P μ ) 1 E P B M = J + ε + μ P E B= μ M + J + + μ ε t P E = μ Jm + J + + μ ε t E = μjtot + με også indebærer ladninger i bevægelse og dermed en strøm. Ovenstående er således den generaliserede udgave af Amperes lov for B-feltet. D = ρ indl : ( εe+ P) = ε E+ P= ρindl 1 1 1 E= ( ρindl P) = ( ρindl + ρp ) = ρ ε ε ε svarende til Gauss lov for E-feltet. tot Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 5 af 8 De generelle mikroskopiske Maxwellligninger bliver således: E B μjtot με = + (13.7) B E = t (13.8) 1 E = ρtot ε (13.9) B =. (13.1) Forskellen mellem de makroskopiske og de mikroskopiske Maxwellligninger ligger således i den måde hvorpå materialeegenskaberne er beskrevet. 6 I den mikroskopiske beskrivelse skal de beskrives helt fra bunden hvorimod de i den makroskopiske er indeholdt i de konstitutive ligninger. 7 I vakuum er de makro- og de mikroskopiske Maxwellligninger således identiske. 6 Fundamentalt set er der således kun ét elektrisk felt E og ét magnetisk felt B idet D og H er indført for at tage højde for materialeresponsen i form af hhv. P og M. 7 Sidstnævnte fremgangsmåde er således at foretrække hvis de konstitutive ligninger er kendte hvilket jo netop er eksemplificeret i de opgaver hvor beskrivelsen med fordel tog udgangspunkt i D frem for E og H frem for B. Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 6 af 8 Elektromagnetisk energi Ifølge (1-1-8) samt udtryk (13.3) og (13.4) haves B D ( E H) = H ( E) E ( H) = H E J E. I et lineært 8 materiale er sådan at B H μ H = μh = H H = B H D 1 E = ( E D) 1 ( ) ( ) 1 ( E H) dv = ( E D+ B H) dv E JdV (13.11) V V V svarende til d 1 E J dv = ( E D+ B H) dv+ ( E H) dv dt. (13.1) V V V 1 3 8 Et lineært materiale er underforstået såvel ohmsk som elektrisk og magnetisk lineært. Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 7 af 8 Leddene i udtryk (13.1) har flg. fortolkning: 1. Ifølge udtryk (6.4) og (1.17) er led 1 tilvæksten (over tid) i den elektromagnetiske energi indeholdt i rumfanget V.. Ifølge udtryk (7.6) og (7.1) er E J dv = E qρ v dv = dnqe v V V i Ni i V i i i i i = P C hvor summen løber over forskellige typer af ladningsbærere. Led er således minus effekten hvormed E-feltet udfører arbejde på de e ladninger i V eller sagt med andre ord effekten hvormed energi tilføres det elektromagnetiske felt 9 i V i kraft af de e ladningers bevægelse. 3. Da led således er energitilførslen til det elektromagnetiske felt i V og da led 1 er tilvæksten i elektromagnetisk energi i V må led 3 af hensyn til energibevarelsen være effekten hvormed elektromagnetisk energi transporteres ud af V. Indføres Poyntingvektoren W S E H S = m og energitætheden i det elektromagnetiske felt 1 J u E D+ B H u = m ( ) 3 (13.13) (13.14) kan udtryk (13.1) skrives på flg. differentialform: u S+ = E J. (13.15) 9 Ifølge EM8 s. udfører den magnetiske kraft ikke noget arbejde så Coulombkraftens arbejde er det samme som den elektromagnetiske krafts arbejde. Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7
Elektromagnetisme 13 Side 8 af 8 Bemærk at udtryk (13.15) for E J = har samme form som kontinuitetsligningen i udtryk (7.1) der jo udtrykker ladningens bevarelse. S kan således i mange sammenhænge 1 fortolkes som en energistrømtæthedsvektor der angiver strømmen af elektromagnetisk energi på samme måde som strømtæthedsvektoren J angiver strømmen af elektrisk ladning 11. Energitætheden u relaterer sig på tilsvarende vis til ladningstætheden ρ. Energi er ligesom ladning en bevaret størrelse men i modsætning til ladning kan elektromagnetisk energi godt omdannes til (eller fra) andre energiformer såsom mekanisk energi. Derfor er den elektromagnetiske energi ikke bevaret for E J. 1 Men ikke i alle jf. opg. 16-4 og 16-5. W S m J s 11 Bemærk i den forbindelse at [ ] = = og [ J ] m A C s = =. m m Thomas B. Lynge Institut for Fysik og Nanoteknologi AAU 9/11/7