Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering... 170 9.5.1 Indeksmængder... 170 9.5.2 Allokering af celler... 170 9.5.3 Fonte, rammer ol.l.... 171 9.5.4 Ranges for variable og ligninger... 171
164 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning Dette kapitel giver en introduktion til de principper, løseren i Excel bygger på. Vi skal se på, hvilke typer af problemer man kan løse og hvordan modeller kan konstrueres. Desuden gives nogle praktiske vink, så løseren kan anvendes effektivt, samt nogle typiske applikationer. Løseren i Excel kan anvendes til (i) at løse ligninger og til (ii) at optimere funktioner under bibetingelser. Sidstnævnte er lineær programmering, heltallig lineær programmering samt ikke-lineær programmering. Her skal vi kun beskæftige os med lineære modeller. 9.2 Numerisk løsning af ligninger I en normal what-if operation i et regneark indtastes (eller ændres) input værdier, og regnearket udregner derefter output værdierne. Dette kan typisk være beregning af en formel, hvor output afhænger af input. Løseren kan også udføre en omvendt what-if operation. Hvis output af en formel specificeres, kan løseren bestemme de input værdier, som netop genererer det givne output. Dette kaldes backsolving. Eksempelvis vil i en omvendt what-if operation de ubekendte være inputceller (de redigérbare celler); ligningerne har formen A1 = B1, hvor A1 og B1 indeholder formler som indeholder de ubekendte. 9.3 Optimering under bibetingelser Man kan også anvende løseren til at finde inputværdier, som tilfredsstiller et antal ligninger og uligheder. Når der også indgår uligheder, er der typisk mange sæt af brugbare inputværdier (tænk på mængden af mulige løsninger i et LP problem). Løseren kan anvendes til at finde det bedste sæt af input værdier, d.v.s. værdier, der minimerer eller maximerer en bestemt formel (kriteriefunktionen). Løseren kan derfor også maximere eller minimere en kriteriefunktion uden bibetingelser. Hvis løseren f.eks. anvendes til at finde A1, så at funktionen (A12-1)^2 minimeres, vil den finde input A1 = 2. Funktionsværdien (output) er da lig med 0. Det er åbenbart, at dette er minimum af den givne funktion. I relation til et optimeringsproblem er inputværdierne (som løseren altså skal finde) beslutningsvariablerne; disse repræsenteres i Excel som celler, der indeholder tal. Ligningerne repræsenteres ved (i) en celle, som udregner en formel, (ii) en relation (=, >=, <=) samt (iii) en anden celle, som udregner en formel (kriteriefunktionen).
9.4. Modelformulering 165 9.4. Modelformulering For at formulere en optimeringsmodel i et regneark kan man gå således til værks: (12) Reservér celler til at lagre værdierne af samtlige beslutningsvariable (13) Vælg en celle til at repræsentere kriteriefunktionen (14) Indtast den formel, som udregner kritieriefunktionsværdien (i cellen valgt i pkt. 2) (15) Vælg et antal celler, der skal anvendes til at indtaste de formler, som udregner venstresiderne af bibetingelserne (16) Højresiderne i bibetingelserne indtastes som tal i andre celler (eller direkte i løserens tilføj ligning dialogboks). Der er stor fleksibilitet med hensyn til valg af layout, formatering af celler til at repræsentere variable, ligninger og uligheder, samt hvilke formler og indbyggede funktioner, der skal anvendes. Eksempel 9.1 Produktionsplanlægning med flere outputs I Excel findes et antal eksempelfiler, som vi dette afsnit vil benytte os af. Filerne ligger som regel under.\samples kataloget i Microsoft Office hovedkataloget. Til illustration vil filen SOLVAMP.XLS indeholde bl.a. et produktionsplanlægningsproblem med flere outputs. Her betragter vi en virksomhed, som producerer TV-apparater, stereoanlæg og højttalersystemer ved samling af enkeltkomponenter, der leveres af underleverandører. Virksomheden ønsker at bestemme, hvor mange enheder af hver færdigvare, der skal fremstilles i planlægningsperioden. Antag, at til et TV skal der anvendes et kabinet, et billedrør, to højttalere, en strømforsyning og to elektroniske komponenter. Til et stereoanlæg skal der anvendes et kabinet, to højttalere, en strømforsyning og en elektronisk komponent. Til en højttaler skal der anvendes en højttaler og en elektronisk komponent. Dækningsbidraget pr. TV-apparat er på 75 Euro pr. enhed, 50 Euro pr. stereoanlæg og 35 Euro pr. højttaler. På lageret ligger 450 kabinetter, 250 billedrør, 800 højttalerenheder, 450 strømforsyninger og 600 elektroniske komponenter. Før data indtastes i regnearket, bør den matematiske formulering af problemet være på plads. Dette kan synes overflødigt, hvis man mener at have de nødvendige data og har besluttet sig for at anvende en bestemt at de modeller, der er til rådighed i Excel. Men dette er en hasarderet fremgangsmåde. Uanset om man selv løser problemet, eller sætter Excel s løser til at gøre det, er det vigtigt at man på forhånd har arbejdet med modelformuleringen. Kun på denne måde kan man være rimeligt sikker på, at modellen er en fornuftig repræsentation af det bagvedliggende
166 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 beslutningsproblem. Alt for mange ulykker sker ved, at datamaterialer ukritisk kastes ind i et edb-program. Det er her svært at vide, om det er det faktiske problem, man løser og det er vanskeligt eller umuligt at fortolkne løsningens egenskaber. (Tilsvarende ulykker sker også når data ukritisk køres igennem kommercielle softwarepakker med statistiske metoder). Vi går derfor frem på samme måde som i de foregående kapitler og definerer beslutningsvariable ved at lade x 1 være antal TV-apparater, x 2 antal stereoanlæg og x 3 antal højtalere, der produceres i planlægningsperioden. Problemet kan formuleres som følgende LP problem: (9.1) max Z 75x 1 50x 2 35x 3! under hensyn til x 1 x 2 450 x 1 250 2x 1 2x 2 x 3 800 x 1 x 2 450 2x 1 x 2 x 3 600 x 1,x 2,x 3 0. I Excel vil problemet se således ud:
9.4. Modelformulering 167 I regnearket er cellerne D9, E9 og F9 reserveret til beslutningsvariablerne x 1, x 2 og x 3. Cellerne D17, E17 og F17 viser dækningsbidragene for de tre produkter. Med disse informationer kan kriteriefunktionsværdien, celle D18, udregnes som: SUMPRODUKT(D17: F17; D9: F9) 26 I tableauet D11:F15 indtastes koefficientmatricen, d.v.s. koefficienterne til de tre beslutningsvariable på venstresiderne af de fem første bibetingelser i (9.1). For eksempel betyder tallet 2 i celle D13, at der skal anvendes 2 højttalerenheder i et TV. Hermed kan bibetingelserne formuleres. Eksempelvis vil den første bibetingelse i celle C11 se således ud: SUMPRODUKT(D11: F11; $D$9: $F$9), hvor $-tegnene angiver, at cellereferencen er fast. Derved muliggøres kopiering af formlen til de fire nedenstående celler, C12: C15. I cellerne B15: F15 indtastes højresiderne af de fem første bibetingelser, altså de mængder af materialer, der er på lager. Nu kan vi specificere de fem første bibetingelser i (9.1) som følger: (9.2) C11: C15 <= B11: B15, som er en forkortelse af C11 <= B11, C12 <= B12,..., C15 <= B15. Udtrykket i (9.2) kan indtastes direkte i løserens dialogboks, hvori vi også indtaster D9: F9 >= 0 for at sikre, at de tre beslutningsvariable er ikke-negative. Nu skal løseren have at vide, hvilke celler i regnearket, der repræsenterer beslutningsvariable, bibetingelser og kriteriefunktion. Til dette formål vælges funktioner, problemløser i Excel, hvilket vil vise løserens dialogboks. I angiv målcelle boksen skal kriteriefunktionen (celle D18) indtastes. I redigering af cellerne boksen skal cellerne D9: F9 indtastes. For at tilføje bibetingelserne vælges tilføj og der indtastes i cellereference boksen C11: C15. Der indtastes B11: B15 i betingelse boksen. Default relationen <= er i orden. Dernæst vælges tilføj igen for at definere ikke-negativitetsbetingelserne for beslutningsvariablerne. Alle informationer til løseren er nu tilstede, og problemløserparametre boksen kan ses i Tabel 9.2. For at finde den optimale løsning, trykkes på løs knappen. Løseren returnerer med den optimale løsning: 200 i celle D9 og E9; 0 i celle F9. Dette betyder, 26 SUMPRODUCT(...) i den engelske version.
168 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 at der skal fremstilles 200 TV, 200 stereoanlæg, men ingen højttalere. Dette giver et samlet dækningsbidrag på 25.000 Euro (celle D18). Ligeledes springer problemløserresultater boksen op (Tabel 9.3). Hvis der klikkes på svar i rapporter boksen, bliver der genereret en svarrapport. Rapporten er gengivet i Tabel 9.4, som den optimale værdi for kriteriefunktionen, de optimale værdier af de tre beslutningsvariable samt status for hver bibetingelse i den optimale løsning. Tabel 9.2: Problemløserparametre Tabel 9.3: Problemløserresultater Vi bemærker, at bibetingelserne for højttalere og elektroniske komponenter er bindende og derfor har en slack værdi (= overskydende) på 0. Begge lagre af disse materialer anvendes fuldtud, hvorimod der stadig er varer på lager for de tre andre
9.4. Modelformulering 169 materialer. Der kunne altså fremstilles flere færdigvarer, og derved genereres yderligere dækningsbidrag, hvis man fik flere højttalere og elektroniske komponenter. Hvis man vil vide, hvor meget man i givet fald skulle betale herfor, kan vi se på rapporten fra følsomhedsanalyserne. (Modellen skal løses igen, hvis man ikke valgte at generere denne rapport). Rapporten ser i hvert fald således ud: Tabel 9.4: Svarrapport Det ses i afsnittet for (bi)betingelserne at skyggepriserne for højttalere og elektronik er positive. Det overrasker os ikke, fordi deres værdier angiver (groft sagt), hvor meget man er villig til at betale for en ekstra enhed af hvert af disse komponenter. For eksempel ville man give 13 Euro for en ekstra højttaler. I rapporten angives endvidere, hvor stor det tilladelige fald (og hvor stor den tilladelige forøgelse) kan være for hver højreside, og for hvert af de tre dækningsbidrag i kriteriefunktionen, uden at den optimale løsning ændres. (Se afsnit 7.2.3 vedrørende følsomhedsanalyse af kriteriekoefficienter samt højresider). Hvis du er kommet frem til de samme resultater som de ovenfor anførte, ved du nu, hvordan man løser et LP problem ved hjælp af Excel. Til lykke med det!
170 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.5. Gode råd om modellering Det er nyttigt at have nogle værktøjer, som kan lette opstillingen af optimeringsmodeller i Excel. Det ser vi på nu. Mange af de problemer, der opstår når en model skal løses i Excel, skyldes en uheldig struktur. Vi tager udgangspunkt i produktionsplanlægningsproblemet og skal give nogle råd om, hvordan man undgår en spaghetti model. Til dette formål anvender vi eksemplet fra før. 9.5.1 Indeksmængder En indeksmængde er et generelt begreb. Det anvendes i algebraiske modelleringssprog (såsom GAMS og AMPL), men er også i anvendeligt i et regneark. Grunden er, at når man har defineret sine indeksmængder på en hensigtsmæssig måde, bliver det nemmere at bestemme - og holde styr på - antallet af beslutningsvariable og antallet af ligninger. I eksemplet er der to indeksmængder, nemlig og produkter = {TV apparater, stereoanlæg, højttalere}, materialer = {kabinetter, billedrør, højttalerenheder, strømforsyninger, elektronik}. Som illustreret i eksemplet er det med to indeksmængder en god idé at vælge et layout, hvor de to mængder besætter rækker, henholdsvis søjler. Normalt skrives elementerne i den ene indeksmængde som labels over hver søjle og elementerne i den anden til venstre for hver række. Hvis der er tre eller flere indeksmængder, kan man konstruere to-dimensionale tabeller og enten kopiere disse gennem workbook en (d.v.s. oprette et nyt regneark for hver yderligere medlem af den tredie (eller højere) dimension) eller kopiere tabellen for hvert yderligere medlem ned under hinanden i samme regneark. 9.5.2 Allokering af celler Der skal allokeres celler (i rækker og søjler) til at holde værdierne af beslutningsvariablerne samt venstre- og højresider i bibetingelserne. Når det er muligt, placeres disse celler ved de labels, som repræsenterer elementerne i indeksmængderne. I eksemplet blev beslutningsvariable allokeret til cellerne D9:F9 under produkt-labels. Bibetingelsernes højresider var i cellerne B11:B15 og bibetingelsernes venstresider i cellerne C11:C15. Med dette layout er det let at modificere modellen. Eksempelvis
9.5 Gode råd om modellering 171 skal vi blot indsætte en ekstra søjle, hvis man ønsker at udvide sortimentet med en ny vare, eller indsætte en ny række, hvis der kommer et ekstra materiale, der skal anvendes i produktionen af de tre færdigvarer. I et LP problem med n beslutningsvariable er kriteriefunktionen og venstresiden af en bestemt bibetingelse begge en lineær funktion af n variable:. 1 x 1. 2 x 2.... n x n. I stedet for at skrive hele formlen explicit i en celle, er det tilrådeligt at placere koefficienterne i deres egne celler og derefter anvende SUMPRODUKT funktionen til at udregne den aktuelle værdi af formlen. I eksemplet var formlen for celle D18 (kriteriefunktionen) SUMPRODUKT(D17: F17; D9: F9) og for venstresiderne SUMPRODUKT(D11: F11; $D$9: $F$9) i celle C11. Sidstnævnte formel blev så kopieret til de efterfølgende fire celler (C12: C15). 9.5.3 Fonte, rammer, o.l. Det er rart at have en læsevenlig model. I eksemplet anvendte vi rammer til at angive beslutningsvariable, venstresider, højresider og kriteriefunktionskoefficienter. Kursiveret tekst anvendes til at angive labels for elementerne i indeksmængderne, så at disse labels afviger fra almindelig tekst og eventuelle andre labels. Ved at anvende skyggeeffekter kan man fremhæve de dele af modellen, man mener er særligt interessante. Her er det kun fantasien, der sætter grænserne! 9.5.4 Ranges for variable og ligninger En smart egenskab ved de fleste regneark er muligheden for at navngive såkaldte ranges. Det er en sekvens af celler, som beskriver et eller andet. Et godt eksempel er en vektor eller en matrix. I eksemplet er range D9:F9 lig med produkterne. Så hvorfor ikke kalde dette range for produkter? Måden, hvorpå det gøres i Excel er at markere ranget D9:F9, vælge indsæt - navn og dernæst vælge definér. Herefter fås dialogboksen som ses i Tabel 9.5.
172 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Indtast produkter og tryk OK (vælg tilføj, hvis der er flere). Navnet produkter refererer herefter til ranget $D$9:$F$9 i arket varesammensætning. Definer nu alle øvrige ranges på tilsvarende måde, d.v.s. DeleAnvendt = C11: C15, LagerBeh = B11: B15, Profit = D17: F17 og TotalProfit = D18. Så får definer navn dialogboksen, som ses i Tabel 9.6. Tabel 9.5: Definer navn Tabel 9.6: Definer navn/alle navne
9.5 Gode råd om modellering 173 Ranges kan nu anvendes med regnearkets GoTo funktion, hvilket gør det lettere at indentificere og manipulere elementerne i modellen. En fordel ved at navngive ranges er, at vi i løsningen af modellen ikke behøver at huske på cellernes placering og derfor blot kan skrive SUMPRODUKT(Profit; Produkter) som en formel for udregning af kriteriefunktionen. Også i problemløserparameter dialogboksen kan det anvendes. En model udelukkende formuleret ved brug af ranges vil have følgende, mere overskuelige, form: Tabel 9.7: Problemløserparametre Hvis man definerer (eksempelvis) hele blokken med koefficienterne på venstresiderne som Koefficienter = D11: F15, kan man skrive en formel som: {=MMULT(Koefficienter, TRANSPOSE(Produkter))} [{=MPRODUKT(Koefficienter;TRANSPONER(Produkter))} i den danske version]. Denne formel vil udregne alle venstresiderne (cellerne C11:C15). Det er da smart! Man kan oprette matrixformler på samme måde som andre formler, med den undtagelse, at man skal trykke CTRL + SKIFT + ENTER for at indsætte formlen. Definitionen af ranges vil også gøre det nemmere at udvide en model. I eksemplet kan nye produkter og/eller nye materialer indføres i modellen, uden at man skal redefinere navne og uden at respecificere problemløserparametre.
174 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Det skal afslutnigsvis nævnes, at ranges er uundværlige, hvis man ønsker at styre løseren ved hjælp af VBA. Enhver af løserens operationer kan styres ved programmering: man kan vise eller skjule dialogbokse, oprette eller ændre valget af kriteriefunktion, beslutningsvariable og bibetingelser, checke om den optimale løsning faktisk blev fundet og generere rapporter. Alt dette kan gøres ved simple kald til problemløser-specifikke funktioner fra et VBA program (som kan programmeres direkte under Excel).