JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx

MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse med aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Omslag: Lisbeth Neigaard Layout: Lisbeth Neigaard og Anne Marie Kaad Sat med New Century Schoolbook og Interstate Trykt hos Nørhaven Book, Viborg Printed in Denmark 007. udgave, 1. oplag ISBN 87-616-11-8 (ISBN-13: 978-87-616-11-4) Bogens hjemmeside: mat.systime.dk E-bogs ISBN: 978-87-616-130-6 Systime website viser, at der findes materialer til produktet på internettet. Se betingelser på www.systime.dk Skt. Pauls Gade 5 DK-8000 Århus C Tlf. 70 1 11 00 www.systime.dk

INDHOLD Forord................................... 5 1. Tal- og bogstavregning............. 7 De elementære regningsarter......... 9 Brøker............................. 13 Reduktion af bogstavudtryk......... 19 Kvadratsætningerne................ 3 Numerisk værdi.................... 6 Tilføjelser og bemærkninger......... 9 Eksperimenter...................... 30 Kapiteloversigt..................... 44 Mat.systime.dk..................... 45. Ligninger og uligheder............. 47 Ligninger.......................... 49 To ligninger med to ubekendte....... 53 Andengradsligningen................ 56 Intervaller......................... 61 Uligheder.......................... 65 Tilføjelser og bemærkninger......... 69 Eksperimenter...................... 76 Kapiteloversigt..................... 89 Mat.systime.dk..................... 90 3. Rødder og potenser............... 93 Rødder............................ 95 Potens med hel eksponent.......... 100 Potens med ikke-positiv eksponent....................... 101 Potens med brøkeksponent......... 10 Ligninger med potenser og rødder... 110 Eksperimenter..................... 113 Kapiteloversigt.................... 119 Mat.systime.dk.................... 10 4. Trigonometri.................... 13 Ensvinklede trekanter.............. 15 Sinus og cosinus................... 17 Tangens.......................... 19 Den retvinklede trekant............ 131 Sinus- og cosinusrelationerne....... 137 Tilføjelser og bemærkninger........ 146 Eksperimenter..................... 149 Kapiteloversigt.................... 160 Mat.systime.dk.................... 16 5. Linjer og vektorer................ 163 Koordinatsystemet............... 165 Afstandsformlen................... 166 Linjens ligning.................... 169 Vektorer......................... 176 Vektorers koordinater............. 184 Den rette linje.................... 186 Stedvektor, længde............... 193 Eksperimenter.................... 198 Kapiteloversigt................... 04 Mat.systime.dk................... 06 6. Cirkler og vinkler................ 07 Cirklens ligning................... 09 Linjers skæring................... 13 Skalarprodukt for vektorer........ 15 Retningsvinkel................... 17 Vinkel mellem vektorer............ 19 Eksperimenter.................... 5 Kapiteloversigt................... 9 Mat.systime.dk................... 31 7. Linjer og afstande................ 33 Projektion........................ 35 Afstand fra punkt til linje.......... 38 Linje og cirkel.................... 40 Determinant..................... 45 Anvendelser...................... 49 Eksperimenter.................... 51 Kapiteloversigt................... 58 Mat.systime.dk.................... 59 8. Funktioner...................... 61 Funktionsbegrebet................ 63 Monotoni......................... 66 Maksimum og minimum........... 68 Regning med funktioner........... 69 Sammensætning af funktioner..... 70 Omvendt funktion................. 73 Regneforskrift for omvendt funktion........................ 75 Eksistens af omvendt funktion..... 78 Tilføjelser og bemærkninger....... 79 Eksperimenter.................... 80 Kapiteloversigt................... 84 Mat.systime.dk................... 85

9. Vigtige funktioner.............. 87 Lineære funktioner.............. 89 Kvadratrod....................... 96 Reciprokfunktionen............... 97 Potensfunktioner................. 301 Andengradspolynomiet............ 304 Andengradsuligheder............. 313 Polynomier....................... 315 Grafisk løsning................... 316 Største- og mindsteværdi......... 31 Anvendelser...................... 35 Eksperimenter.................... 37 Kapiteloversigt................... 33 Mat.systime.dk................... 334 10. Eksponentialfunktioner.......... 337 Eksponentialfunktion............. 339 Eksponentielle udviklinger......... 34 Anvendelser...................... 349 Kapiteloversigt................... 353 Mat.systime.dk................... 354 Kildeliste.......................... 387 Stikordsregister.................... 389 Perspektiverende rammer Primtal........................... 14 Forskellige typer af tal............. 0 Et par skrivemåder................ 5 Talsystemer med andre grundtal.... 54 Et trick i -talsystemet............ 60 Romertal......................... 63 er irrational.................... 7 Oversigt over ligninger af 1. grad.... 88 Skålvægten....................... 99 CPR-numre...................... 104 Pierre de Fermat................... 106 Fermats store sætning............. 108 Forskellige måder at skrive tal på... 111 Leonhard Euler.................... 134 En matematisk anekdote........... 300 Carl Friedrich Gauß................ 344 A1. Geometri....................... 355 Grundlæggende faciliteter i GeoMeter....................... 357 Målinger på en figur............... 36 Lommeregneren.................. 364 Trekantmåling.................... 365 Leibniz sætning.................. 369 En sætning om romber............ 371 En sætning om ligesidede trekanter..................... 373 Eksperimenter.................. 376 Mat.systime.dk................. 386

Med gymnasiereformen af 005 lægges der op til en række nye muligheder og krav i matematikundervisningen. Kernepensum er reduceret i forhold til tidligere og en del emner, der tidligere var med, optræder nu som supplerende stof. Denne lærebog opfylder de krav, læreplanerne stiller til gymnasiets A-niveau i matematik. Kernepensum behandles i første del af bogen, og i sidste del har vi valgt at bringe emnet geometri, som kan benyttes som supplerende stof. Afsnittet bygger på programmet GeoMeter og inddrager på den måde it i undervisningen. De fire første kapitler i bogen adskiller sig kun på ganske få punkter fra de tilsvarende i MAT B1. Der er derfor gode muligheder for at koordinere undervisningen på B-niveau og A-niveau i grundforløbet. Desuden er kapitlerne 8, 9 og 10 også i det store og hele magen til de tilsvarende i MAT B1. I teksten omtales en del steder cas. Dette dækker både matematikprogrammer, traditionelle grafregnere og symbolske grafregnere. Til orientering findes i teksten en række specialsider, der indeholder historiske aspekter ved matematikken og desuden omtales og uddybes en række matematiske emner. Eleverne kan udforske matematiske emner ved hjælp af de såkaldte Eksperimenter, der findes i slutningen af kapitlerne. Disse giver desuden mulighed for at udføre mindre skriftlige rapporter eller miniprojekter. For at understrege mulighederne og fordelene ved anvendelse af it i undervisningen er der til bogen knyttet en hjemmeside, mat.systime. dk, der med et væld af interaktive muligheder understøtter bogens emner med animationer, øvelser, spørgsmål og svar mv. Desuden er der adgang til en omfattende formelsamling. Til bogen hører en opgavesamling, der er fælles for MAT A1 og MAT B1. Jens Carstensen Jesper Frandsen Jens Studsgaard Juli 007

1 TAL- OG BOGSTAVREGNING

Vi regner i dag med største selvfølge med de såkaldte arabertal. De 10 cifre 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 har ikke altid haft deres nuværende udseende. På fig. 1 ses cifrene som de tilnærmelsesvis har set ud år 800, 900, 1000 og 1400. Cifrene stammer fra Indien, og araberne førte dem med til Europa, hvor de slog igennem og erstattede romertallene i løbet af 1300- og 1400-tallet. Fig. 1 Vort talsystem er et kulturgode, som næppe kan overvurderes. På trods af, at lommeregnere, grafregnere og cas-programmer (computer algebra system) befrier os fra en mængde kedsommeligt regnearbejde, skal vi i dagligdagen stadig beherske almindelig regning. Et par lidt snedige opgaver er disse: Hvad er og 1 + + 3 +... + 98 + 99 + 100 1 - + 3-4 + 5 -... - 98 + 99-100? Begge opgaver lader sig, kun ved brug af papir og blyant, løse med lidt snilde. Vi skal se på elementære regneregler, brøkregning og bogstavregning. Det er nemlig karakteristisk for matematik, at den udtrykker sig symbolsk, dvs. ved hjælp af tal, bogstaver og tegn. Man kan sige, at symbolregning er selve matematikkens sprog, og uden et solidt greb om bogstavregning (også kaldet algebra) er et dybere udbytte af og indsigt i matematikken umulig. Et par eksempler fra den elementære matematik er 3 + = 5, a + a = a, 3x + x = 5x, 4 5y = 0y, p 3p = 6p. Vi skal se på de såkaldte kvadratsætninger, der handler om størrelserne (a + b), (a - b) og (a - b)(a + b). Desuden omtaler vi begrebet numerisk værdi.

1. Tal- og bogstavregning 9 DE ELEMENTÆRE REGNINGSARTER De fire elementære regningsarter kendes fra tidligere og kan sammenfattes i følgende skema: Regnetegn Navn på operation Resultat af beregning + - : Plus Minus Gange Divideret med Addition Subtraktion Multiplikation Division Sum Differens Produkt Kvotient Her er et par eksempler: Summen af 10 og 4 er 10 + 4 = 14. Differensen mellem 3 og 7 er -4. Differensen mellem 10 og 6 er 10-6 = 4. Produktet af 5 og 7 er 35. Produktet af - og -5 er - (-5) = 10. Kvotienten mellem 1 og 6 er. Kvotienten mellem 5 og 10 er 10 5 = 1. Summen af -5 og 8 er 3. REGNINGSARTERNES HIERARKI Når man skriver regneudtryk med flere regnetegn, må man fastlægge, i hvilken rækkefølge de enkelte regnetegn skal virke. Fx har vi, at 3 4 + = 14, 18: - 1 = 8, 5 + 7 3 = 6, 10-18:3 = 4, og hvis vi taster disse udtryk, får vi de angivne resultater, da rækkefølgen er indbygget i diverse hjælpemidler. Hvis der indgår potenser, har vi 3-5 = 4, 15-3 = 7. Regningsarterne udføres i denne rækkefølge: Først udregnes potenser og rødder, dernæst multiplikationer og divisioner, og til sidst additioner og subtraktioner. Hvis vi ønsker at udføre regningerne i en anden rækkefølge end den fastlagte, må vi bruge parenteser. Hvis vi fx vil lægge sammen eller trække fra, før vi ganger eller dividerer, må vi skrive sådan: 3 (6 + 1) = 1, 4:(3+5) = 3, men 3 6 + 1 = 19, 4:3 + 5 = 13.

1. Tal- og bogstavregning 11 POTENSER Desuden bruges parenteser ved potenser af negative tal. Eksempelvis er mens - 4 = -16, fordi - 4 skal opfattes som -( ), (-) 4 = 16, fordi (-) 4 = (-) (-) (-) (-) = 16. Læg desuden mærke til, som vi bemærkede tidligere, at (3 ) = 36, men 3 = 1. Hvis der optræder bogstaver, har vi tilsvarende 4x = 4 x x, mens (4x) = 4x 4x = 16x, og ab = a b b, mens (ab) = ab ab = 4a b (ab) = ab ab = a b. REGNEREGLER FOR PARENTESER Vi skal se på et par regneregler for parenteser og illustrerer dem ved simpel bogstavregning. Plus- og minusparenteser Parenteser om flere led kan hæves på følgende måde: Plusparenteser kan uden videre hæves: 10 + (5-3 + 4) = 10 + 5-3 + 4 = 16, 8 + (-4 + 3-7) = 8-4 + 3-7 = 0. Minusparenteser: 8 - (3 + 9-1) = 8-3 - 9 + 1 = -3, 1 - (-3 + 7-5) = 1 + 3-7 + 5 = 13. Minusparenteser hæves ved at skifte fortegn for hvert led i parentesen.

1 1. Tal- og bogstavregning Gange ind i parentes Man ganger et tal ind i parentes ved at gange tallet med hvert led, fx 4 (a + b) = 4 a + 4 b, og vi skriver sådan: 4(a + b) = 4a + 4b. Hvis et udtryk indeholder både tal og bogstaver, skrives tallet forrest. Vi skriver altså 4a og ikke a4. EKSEMPEL 1. Her er yderligere et par eksempler på, hvordan man ganger ind i en parentes: (x + 3y) = x + 6y, 3b(4x - y) = 1bx - 6by, -5(p - 3q) = -10p + 15q, a(x + y) = ax + ay, 4a(a - 5b) = 8a - 0ab. Sætte uden for parentes Hvis to eller flere led har en fælles faktor, kan man sætte den uden for parentes. Lad os se på udtrykket 6x + 15y - 1z. De tre led har den fælles faktor 3, så vi kan skrive 6x + 15y - 1z = 3(x + 5y - 7z). EKSEMPEL. Sådan kan man sætte uden for parentes: 10a - 6b = (5a - 3b), 18x - 30y = 6(3x - 5y), -6pa + 9bp + 15pc = 3p(-a + 3b + 5c), 8ax + 1ay = 4a(x + 3y), 4a - 3a = a(4a - 3). Gange parenteser med hinanden To parenteser med flere led i hver ganges med hinanden ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden, fx (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by.

1. Tal- og bogstavregning 13 På fig. er vist med streger, hvordan multiplikationen udføres. Hvis parenteserne indeholder mere end to led, foregår det efter samme system: (a - b + c)(p + q) = ap + aq - bp - bq + cp + cq. Fig. EKSEMPEL 3. Ved anvendelse af reglerne ovenfor fås: (a + b)(x + 3) = ax + 3a + bx + 3b, (4a + 3)(3x + 1) = 1ax + 4a + 9x + 3, (x - 5y)(3y + x) = 6xy + 4x - 15y - 10yx = 4x - 15y - 4xy, (a + b - 3c)(5x - y) = 10ax - 4ay + 5bx - by - 15cx + 6cy. BRØKER I matematik får man tit brug for regning med brøker. Vi skal derfor kort repetere de vigtigste regler inden for brøkregningen. FORKORTNING OG FORLÆNGNING Man forkorter en brøk ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Derved ændres brøkens værdi ikke. Man forlænger en brøk ved at gange tæller og nævner med samme tal. Derved ændres brøkens værdi ikke.

14 1. Tal- og bogstavregning PRIMTAL Primtallene er som bekendt de hele positive tal, der netop er delelige med to tal, nemlig 1 og sig selv. Tal, der ikke er primtal, kaldes sammensatte. De første primtal er 3 5 7 11 13 17 19 3 9 31 37 41 I vore dage har man primtalstabeller, der strækker sig langt op i talrækken og tabellernes omfang udvides stadig, da de bruges inden for kryptologi. Tabellerne ligger selvfølgelig på computer, hvor man kan søge i dem. På nettet findes der en stor mængde steder, der beskæftiger sig med primtal, hvor brugerne kan få tal opløst i primfaktorer. Prøv selv med søgeordet primtal og gå på opdagelse! Primtallenes fordeling Primtallene er omgivet af en vis mystik og langt fra alle spørgsmål om dem er besvaret. De optræder tilsyneladende helt tilfældigt i talrækken. Man har ikke nogen formel for, hvor mange primtal der findes under en given grænse, fx under 10 millioner (der findes iøvrigt 664 579). Man kan kun tælle dem op i tabellen. I begyndelsen er der ikke ret langt mellem primtallene. Men afstandene kan hurtigt blive større, fx er der ingen primtal mellem 113 og 17, som begge er primtal. På den anden side ligger der fire primtal i intervallet 99 83-99 839. Der er uendelig mange primtal Allerede i antikkens Grækenland ( Euklid, ca. 300 f. Kr.) kunne man bevise, at der findes uendelig mange primtal i talrækken - primtallene holder altså ikke op med at optræde, når man kommer tilstrækkeligt langt frem i talrækken. Vi viser, at der faktisk er uendelig mange primtal. Bevis for primtallenes uendelighed Vi antager, at vi kun kender primtallene, 3 og 5 og ønsker at finde endnu et primtal. Vi ganger de kendte primtal med hinanden og trækker 1 fra, dvs. vi danner tallet T = 3 5-1 = 9. Hvis T er et primtal (og det er det), har vi fundet et nyt primtal. Hvis T ikke er et primtal, kan hverken, 3 eller 5 gå op i T, fordi de går op i T+1 (her 30). Så må T have en primfaktor, der ikke er et af disse tal. I begge tilfælde har vi fundet et nyt primtal. Derefter ser vi på tallet T = 3 5 9-1 = 869, altså igen produktet af de kendte primtal minus 1. Tallet 869 er sammensat, og hverken, 3, 5 eller 9

1. Tal- og bogstavregning 15 kan gå op i det (fordi de alle går op i 870). Det viser sig, at 11 går op i T, så vores lager af primtal nu er,3,5,11,9. Så danner vi tallet 3 5 11 9-1 = 9569. Enten er dette et primtal, eller det er sammensat. Det viser sig, at 7 går op, så vores primtalsmængde er,3,5,7,11,9. Således kan vi åbenbart fortsætte - hver gang vi ganger og trækker 1 fra, er vi garanteret mindst et nyt primtal. Altså er der uendelig mange. Primtalstvillinger Hvis forskellen mellem to primtal er kaldes de primtalstvillinger. Her er nogle primtalstvillinger: (3,5), (5,7), (41,43), (19469, 19471), (99989, 99991) Man ved, at der er 8 primtalstvillinger under 100, 14 primtalstvillinger under 100 000, 440 31 primtalstvillinger undet 100 000 000. Imidlertid ved man ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger. Goldbachs formodning I 174 fremsatte tyskeren Christian Goldbach i et brev til den berømte matematiker Leonhard Euler (1707-1783) den formodning, at ethvert lige tal større end 4 kan skrives som sum af ulige primtal. Fx er 6 = 3 + 3, 98 = 37 + 61 = 79 + 19, 11 = 3 + 109 = 5 + 107. Man har indtil i dag ikke været i stand til at bevise eller modbevise Goldbachs formodning. Goldbachs formodning spiller en central rolle i romanen Onkel Petros og Goldbachs formodning af Apostolos Doxiades (Gyldendal, 000). Spørgsmål om primtal Prøv på nettet at finde svar på følgende spørgsmål: 1. Hvad er det største primtal under 100 000? Det mindste over 1 million?. Hvor mange primtal findes mellem 1 000 000 og 1 001 000? 3. Opsøg historien bag Goldbachs formodning. 4. Find en række oplysninger om primtalstvillinger (prime twins). 5. Findes der primtalstrillinger, dvs. sæt af tre primtal med en indbyrdes forskel på?

16 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 4. Her er et eksempel på forkortning, hvor vi først opløser tæller og nævner i faktorer: Dernæst ser vi på 4 4 = 6 7 = 7. 6 4 4 9a = 3 3a = 3a. 6b 3 b b Her går 3 op i både 9 og 6, så vi har forkortet med 3. Tilsvarende er 1x 4 y 6x y = 6z 3z, idet vi har forkortet med. Læg mærke til at hvert led i en brøk skal divideres med samme tal. Hvis en brøk indeholder ubehagelige tal, fx decimalbrøker, kan man med fordel forlænge brøken: 06, a 14, b = 6a 14b = 3a 7b 08, c 8c 4c Vi har forlænget med 10 og derefter forkortet med. BRØKSBRØKER Af og til kommer man ud for brøker, der selv indeholder brøker i tæller og/eller nævner. Disse såkaldte brøksbrøker bortskaffer man ved at forlænge med brøkernes fællesnævner. Fx får vi 8 5 4 15 4 = 7 + 15 7 + 3 8 ( 5 ) ( ) = + 3 8 5 15 4 15 = 60 4 = 15 7 15 35 + 30 3 36 65. Vi har forlænget med 15, fordi 15 er fællesnævner for de små brøker 8 5 og 7 3.

1. Tal- og bogstavregning 17 ADDITION OG SUBTRAKTION Man lægger brøker sammen og trækker brøker fra hinanden ved at finde en fællesnævner: + 3 = 8 + 15 = 3, 5 + 3 8 = 5 + 9 16 = = 1 5 4 0 0 0 6 3 6 6 6 6 3. MULTIPLIKATION Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet: 4 7 = 8, 5 7 = 11 11 9 Man ganger to brøker med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner: 35 9 4 7 = 8, 8 = 16. 9 5 45 3 7 1 DIVISION Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk (dvs. den brøk, hvor tæller og nævner er byttet om, så den omvendte brøk til 7 5 er 5 7 ): 1 35 : 3 = 1 7 = 1 7 = 3 4 7 = 4 7 35 3 35 3 5 7 3 5. Læg mærke til, hvordan vi undgår at udregne 1 7 i tælleren og 35 3 i nævneren i stedet skriver vi 1 som 3 4 og 35 som 5 7, fordi vi så lettere kan forkorte brøken. Man dividerer en brøk med et tal ved at gange i nævneren: 13 5 : 3 = 13 = 13 0 5 3 15, 7 : 4 = 0 = 0 = 5 7 4 8 7.

18 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 5. Som vi har set ovenfor, kan det være praktisk at opløse tæller og nævner i en brøk i faktorer for lettere at få den forkortet: 4 60 = 3 7 = 7 = 7, 165 = 5 33 = 33 3 5 5 10 65 5 13 13. Vi kan stille regnereglerne for brøker op i følgende praktiske skema. Regel Symbolsk fremstilling Eksempel Et tal og en brøk ganges med hinanden ved at gange tælleren med tallet. a b a b c = c 7 3 = 7 3 = 5 5 1 5 To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. a c = a c b d b d 7 3 = 7 3 = 1 4 5 4 5 0 En brøk divideres med et tal ved at gange nævneren med tallet. a b : c = a 5 : 4 = 5 = b c 7 7 4 5 8 Et tal eller en brøk divideres med en brøk ved at gange tallet/ brøken med den omvendte brøk. a : b a c c = b a b : c d = a d b c 7 : 5 = 7 8 = 7 8 = 8 5 5 13 5 : 13 3 3 = 5 = 39 10 56 5

1. Tal- og bogstavregning 19 REDUKTION AF BOGSTAVUDTRYK Vi skal i dette afsnit gennemgå en række metoder til at gøre bogstavudtryk simplere, fordi omskrivninger af bogstavudtryk ofte forekommer i beviser. EKSEMPEL 6. Vi viser først, hvordan led af samme type kan trækkes sammen: a + 3b - 5a + b = -3a + 4b, 4x - 5y + 8y - 4x = 3y, (p - 3q) + 4(3q + p) = 4p - 6q + 1q + 8p = 1p + 6q. Udtryk med brøker reduceres ved at skaffe fællesnævner. Vi ser på udtrykket 5 + 3. a 4a Her forlænger vi den første brøk med, så brøkerne får samme nævner: 10 3 13 4a + 4a = 4a. Hvis der er flere brøker, går vi frem på samme måde: 10 5 1 0 15 1 34 17 3x + x 6x = 6x + 6x 6x = 6x = 3x. Her har vi forlænget den første brøk med, den anden med 3 og til sidst forkortet resultatet med.

0 1. Tal- og bogstavregning FORSKELLIGE TYPER AF TAL De tal, som vi bruger i matematikken, kaldes mængden af reelle tal. De består af alle tal på tallinjen. En mængde er en samling objekter, som kaldes mængdens elementer. Der findes forskellige typer af tal, og det er praktisk at kende til deres betegnelser og deres benævnelser. Naturlige tal N Mængden af de naturlige tal betegner vi med N. Den består af alle hele positive tal, og vi skriver sådan: N = {1,,3,... }. En mængde af tal (hvis der ikke er for mange ) skriver vi som et sæt krøllede parenteser: { }, hvori man noterer tallene med komma imellem evt. med prikker. Hele tal Z Mængden af hele tal betegnes Z, og består af de naturlige tal, tallet 0 samt de negative hele tal. Vi kan skrive mængden af hele tal sådan: Z = {... -3,-,-1,0,1,,3,4,... } eller Z = {0,1,-1,,-,3,-3,... }. Rationale tal Q Mængden af de rationale tal består af de tal, der kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. Mængden af rationale tal betegnes med bogstavet Q (eng. quotients, dvs. kvotienter, resultatet af divisioner). Fx er følgende tal rationale: 7 er rational, fordi 7 kan skrives som en brøk: 7 = 14 = 1 = 735 =. 3 105-4,5 er rational, fordi -4,5 kan skrives som en brøk: -4,5 = 9. 13,64 og 0,655 er rationale tal, fordi 13,64 = 1364 100 og 0,655 = 655 = 131. 1000 00 Alle endelige decimalbrøker er derfor rationale tal de kan jo skrives som brøker. De hele tal er også rationale.

1. Tal- og bogstavregning 1 Ikke alle tal kan skrives som brøker. De fleste kvadratrødder er ikke brøker. Tallene og 14 er ikke brøker og derfor ikke rationale tal. Sådanne tal kaldes irrationale. Desuden er tallet π irrationalt. π er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter (omkreds : diameter), dvs. det tal, man skal gange diameteren med for at få omkredsen. Med tilnærmelse er π = 3,1415965. Cirklens omkreds er altså lidt over 3 gange diameteren. En tilnærmelse til π med en brøk er den velkendte π 7 en tilnærmelse, fordi vi har, at π 3,1415965, men 7 bedre tilnærmelse er 355 113 3,141599.. Dette er netop kun 3,1485714. En endnu Reelle tal R De reelle tal består af alle tal på tallinjen, dvs. hele tal, brøker og irrationale tal. Vi kan anskueliggøre de forskellige typer af tal som vist på fig. 3. De naturlige tal N er den mindste talmængde, den udvides til mængden Z af hele tal og denne udvides videre, først til de rationale tal Q og siden til de reelle tal R. Fig. 3

1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 7. Vi ser på udtrykket 6 x 3 y 7 y + + x. 4 6 Fællesnævneren er 1, så den første brøk forlænges med 3, den anden med : 18x 9 y 14 y+ 4x 18x 9 y+ 14 y+ 4x x+ 5y + = =. 1 1 1 1 Læg mærke til at alle led i brøkerne (der er to led i tælleren og ét i nævneren i de to givne brøker) ganges med 3 henholdsvis! EKSEMPEL 8. Vi viser endnu et par eksempler på addition af brøker, idet vi først bestemmer fællesnævner: 7 9a + 3 = 7 b + 3 3a = 14b+ 9a 6b 9a b 6b 3a 18ab 5 + 3 7 = 5 4b + 3 a 7 = a 8b 4ab a 4b 8b a 4ab 0b + 3a 14. 8ab EKSEMPEL 9. Vi vil reducere udtrykket 6 a 5 b 3 4 a b a b 6 3 8. Fællesnævneren er 4, så brøkerne skal forlænges med henholdsvis 4, 8 og 3: 4 a 0 b 16 a 4 b 1 a 3 b 4 4 4. Nu sætter vi på fælles brøkstreg. Her er det vigtigt at huske parenteser i tælleren! En brøkstreg virker nemlig som en parentes: ( 4a 0b) ( 16a 4b) ( 1a 3b) 4 = 4a 0b 16a+ 4b 1a+ 3b 4a+ 7b =. 4 4

1. Tal- og bogstavregning 3 EKSEMPEL 10. Her kommer yderligere et par eksempler på regning med brøker, der indeholder bogstaver: 3 a 4 b = 6a 1b, a x+ 3b = ax + 3ab, 7 7 5k 5k 3a 4x = 1ax b 7y 14by, 7 8a = 56a 5 x+ 3y 10x+ 15y, 3a : 5b = 3a 8x = 4ax = 1ax = 1a. x 8 x x 5b 10bx 5bx 5b EKSEMPEL 11. Vi anfører et par eksempler på forkortning af brøker. Hvis tæller og nævner består af flere led, er metoden at dividere med samme tal i alle led eller sætte fælles faktorer uden for parentes, inden der forkortes: 6ab 4ac a( 3b c) 3 = = b c 10a a 5a 5a, 9x y+ 15xy 1xy 18x y = 3xy( 3x + 5y) 6xy( y 3x) = 3x+ 5y ( y 3x), 8ax 1ay 4a( x 3y) ( x 3y) = = 18ax + 1ay 6a( 3x+ y) 33 ( x+ y), 3 6pq 1pq 3 6q + 8pq 6pqp ( q) 3 p ( p q) = =. q ( 3q+ 4p) q( 3q+ 4p) KVADRATSÆTNINGERNE Ved reduktion af visse bogstavudtryk får vi ofte brug for kvadratsætningerne. 1. kvadratsætning Vi skal udregne kvadratet (dvs.. potens) af en parentes, der indeholder to led: (a + b). Parentesen ganges med sig selv ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden: (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a + ab + ba + b = a + ab + b.

4 1. Tal- og bogstavregning Vi har her brugt at a a = a, og at ab + ba = ab. Da a er det første led i parentesen (a+b), og b er det andet led, er a b kvadratet på første led. kvadratet på andet led. ab produktet af a og b (hvor produkt er resultatet af en multiplikation). ab det dobbelte produkt. Fig. 4 På fig. 4 er vist, hvordan multiplikationen er foretaget. Vi har således: (a + 4) = a + a 4 + 4 = a + 8a + 16.. kvadratsætning På samme måde kan vi udregne (a - b) (se fig. 5): (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + (-b) (-b) = a - ab - ba + b = a - ab + b. Fig. 5 Således er (b - 5) = b - b 5 + 5 = b - 10b + 5. 3. kvadratsætning Hvis den ene parentes er en sum, den anden en differens mellem de samme to tal, får vi (se fig. 6): (a + b) (a - b) = a a - a b + b a + b (-b) = a - ab + ab - b = a - b.

1. Tal- og bogstavregning 5 Fig. 6 Fx er (x - 3)(x + 3) = x - 9 og (6 + a)(6 - a) = 36 - a. Ved hjælp af 3. kvadratsætning kan vi foretage de tilsyneladende vanskelige multiplikationer 103 97 og 5 48 sådan 103 97 = (100 + 3)(100-3) = 100-3 = 10000-9 = 9991 5 48 = (50 + )(50 - ) = 50 - = 500-4 = 496. Vi sammenfatter kvadratsætningerne i følgende skema: Kvadratsætningerne ( a+ b) = a + b + ab ( a b) = a + b ab ( a+ b)( a b) = a b Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus/minus det dobbelte produkt. To tals sum gange de samme to tals differens er kvadratet på det første minus kvadratet på det andet. EKSEMPEL 1. Vi viser med et par udtryk, hvordan kvadratsætningerne bruges.: (a + 3b) = a + a 3b + (3b) = a + 6ab + 9b, (x - 3y) = (x) - x 3y + (3y) = 4x - 1xy + 9y, (5p - q)(5p + q) = (5p) - (q) = 5p - 4q, (4-1 x) = 4-4 1 x + ( 1 x) = 16-4x + 1 4 x, (1 - y) = 1 - y + y, (y - 1) = 1 - y + y.

6 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 13. Af og til er det nyttigt at bruge kvadratsætningerne den modsatte vej. Vi ser på brøken x + 6x+ 9, x 9 som vi ønsker at forkorte. I tælleren er x og 9 kvadrater på x og 3, og 6x er det dobbelte produkt af 3 og x, så vi har, at x + 6x + 9 = (x + 3). I nævneren optræder en differens mellem to kvadrater: x - 3, så vi har efter 3. kvadratsætning: Altså kan vi skrive x x - 9 = (x + 3)(x - 3). + 6x+ 9 ( x + 3) ( x+ 3)( x+ 3) = = = x + 3 x 9 ( x+ 3)( x 3) ( x + 3)( x 3) x 3, x ± 3 Her har vi ved det sidste lighedstegn forkortet brøken med x + 3, som er fælles faktor i tæller og nævner. NUMERISK VÆRDI Vi har i visse sammenhænge brug for at fjerne et negativt fortegn fra et tal fx ved beregning af afstande, som skal være positive. DEFINITION AF NUMERISK VÆRDI Den skrivemåde, vi benytter til at fjerne minustegn, er to lodrette streger. Vi skriver fx og læser dette sådan: 3 = 3, 7 = 7, 0 = 0, 8 = 8, den numeriske værdi af -3 er 3, den numeriske værdi af 7 er 7, den numeriske værdi af 0 er 0 osv.

8 1. Tal- og bogstavregning Derfor kan vi sige, at den numeriske værdi af et tal a er afstanden fra 0 til a. Den numeriske værdi benyttes i forbindelse med differenser (forskelle). På tallinjen er afstanden mellem to tal a og b den numeriske forskel mellem a og b, fordi a b = b a. Fig. 7 viser et par eksempler på dette. Fig. 7

1. Tal- og bogstavregning 9 TILFØJELSER OG BEMÆRKNINGER Multiplikation af parenteser Vi har anskueliggjort mekanismen med at gange to parenteser med to led med hinanden på fig. 8. Fire rektangler med sidelængder a, b, x og y sættes sammen til et større rektangel med siderne a + b og x + y. Det store rektangels areal er (a + b)(x + y). Fig. 8 1. Skriv de små rektanglers samlede areal op.. Skriv op at det store rektangels areal er lig med summen af de små rektanglers arealer. 3. Hvilken regel får vi dermed? Henvis til det sted i bogen, hvor den står. 4. For hvilke tal a, b, x og y gælder illustrationerne? Division af brøker Det er måske ikke så kendt af de fleste, men division af en brøk med en anden brøk kan faktisk foregå efter samme regel som ved multiplikation: Dividér tæller med tæller og nævner med nævner. Fx får vi ved hjælp af samme eksempel som i teksten, at 1 35 : 3 7 = 1 : 3 = 35 : 7 4 5.

30 1. Tal- og bogstavregning Denne metode har den ulempe, at man sjældent er ude for, at divisionerne i tæller og nævner går op så nydeligt som her. Så kan man dog klare sig ved at forlænge den første brøk med passende tal, fx produktet af tæller og nævner: 14 3 : = 14 5 : = 14 5 : = 14 5 = 7 5 = 5 3 5 5 3 5: 5 3 3 35 3. Her får vi netop som (mellem)resultat brøken 14 5, der er fremkommet 3 ved at bytte om på tæller og nævner i den sidste brøk 5. EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Potenser af toleddede størrelser for positive tal. Vi kan illustrere formlen (a + b) = a + ab + b ved hjælp af fig. 9. Fig. 9 Et kvadrat har sidelængden a + b, så arealet er (a + b). Det kan deles op i to kvadrater og to rektangler med arealerne a og b samt ab og ab. 1. Forklar, hvordan fig. 10 ved hjælp af arealer kan bruges til at illustrere formlen a - b = (a + b)(a - b), a > b > 0.

1. Tal- og bogstavregning 31 Fig. 10. Vi så ovenfor på kvadratsætningen (a + b) = a + ab + b, som vi tidligere udregnede som (a + b)(a + b). Find nu en formel, der minder om denne for udtrykket (a + b + c). Tegn også en figur med et passende kvadrat, som deles op i mindre rektangler, og forklar formlen ved hjælp af figuren. 3. Udregn (a + b) 3 som ( a+ b) ( a+ b), og reducér til du får (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. Vis dernæst ved udregning, at følgende to formler er sande: a 3 - b 3 = (a - b)(a + ab + b ) a 4 - b 4 = (a - b)(a 3 + a b + ab + b 3 ). Afprøv formlerne for a = 3 og b =. Opstil en tilsvarende formel for a 5 - b 5. 4. Du skal skrive en forklaring på, hvordan fig. 11 og 1 kan illustrere formlen 3 3 a b = ( a b) a + ( a b) ab+ ( a b) b.

3 1. Tal- og bogstavregning Fig. 11 Fig. 1 Du kan navngive hjørnerne i de forskellige klodser for lettere at kunne henvise til dem i teksten. Skriv rumfanget op for hver af de tre klodser, som den store klods er sammensat af. 5. Sæt a - b uden for parentes i udtrykket på højre side af lighedstegnet ovenfor og skriv den formel, man får: a 3 3 + b = 6. Skriv ved hjælp af formlen i punkt 5 tallet 48 3-37 3 som produkt af to tal. Samme spørgsmål for tallet 85 3-79 3. 7. Skriv 6 3-16 3 og 45 3-5 3 som produkter (se punkt 6). Hvorfor er en differens mellem to kubiktal, der ender på samme ciffer, altid delelig med 10?

1. Tal- og bogstavregning 33 EKSPERIMENT Tankelæsertricks. Simpel bogstavregning kan bruges til at afsløre mange gængse tankelæserkneb. 1. Du får følgende besked: Tænk på et tal. Læg 5 til. Udregn det dobbelte af resultatet. Træk 4 fra. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænke på. Så er resultatet 3. Gennemgå denne linje og forklar, hvorfor den passer til ordrerne: x x + 5 (x + 5) = x + 10 x + 10-4 = x + 6 x + 3 x + 3 - x = 3. En anden linje kunne se sådan ud: a a + 5a + 10 5a + 5 a + 1. A udsætter B for dette kneb. B meddeler, at han har fået resultatet 7. Hvilket tal kan A så oplyse, at B har tænkt på? Skriv en række ordrer, der frembringer denne talrække og forklar tankelæserknebet.. Skriv følgende tricks med bogstaver på samme måde som ovenfor, og afgør i hvert tilfælde hvilket resultat, man får: 1. Vælg et tal. Læg 3 til. Tag det dobbelte. Læg 4 til. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænke på. Hvad er resultatet?. Vælg et helt tal. Læg det tal, der er 1 større, til. Læg 7 til. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænkte på. Hvad er resultatet? 3. Vælg et tal og gang det med 3. Læg det tal, der er 1 større end det valgte tal til. Læg 11 til. Dividér resultatet med 4. Træk 3 fra. Hvad er resultatet?

34 1. Tal- og bogstavregning EKSPERIMENT 3 Dominobrikken og det mystiske tændstiktrick. Både et dominospil og en æske tændstikker indeholder muligheder for matematiske tricks 1. Domino spilles med flade, rektangulære brikker, der hver er inddelt i to kvadrater med et antal øjne på hver halvdel. Øjentallet på hver halvdel varierer fra 0 til 9. Fig. 13 viser nogle dominobrikker. Fig. 13 Af et dominospil udvælger Yrsa en brik uden at vise den til tankelæseren. Hun får nu følgende besked: Du skal gange antallet af øjne i det første felt (fx det venstre) med og lægge 7 til resultatet. Det tal, du får, skal du gange med 5 og lægge antallet af øjne i det andet felt (det højre) til. Sig mig resultatet, så vil jeg kunne fortælle dig, hvilken dominobrik, du har i hånden. Hvis Yrsa har brikken med øjentallene fx (3,6) i hånden, regner hun sådan: 3 = 6 6 + 7 = 13 13 5 = 65 65 + 6 = 71. Yrsa fortæller resultatet 71 og tankelæseren meddeler straks at hun har brikken (3,6) i hånden. Forklar, hvordan dette trick virker.. Der ligger en bunke med 0 tændstikker på bordet. Foretag nu følgende: Fjern 1,,..., 8 eller 9 tændstikker fra bunken.

36 1. Tal- og bogstavregning Findes der mon to brøker med ét ciffer i tæller og nævner, alle fire forskellige, så summen eller differensen også bliver en brøk med cifre, der er forskellige fra de allerede brugte cifre? Her er et par forsøg: 6 5 8 4 + 7 59 4 = 0 : Cifferet 5 optræder gange 3 11 7 = 7 : Cifferet 7 optræder gange 8 3 50 7 = 1 : Cifferet optræder gange Der skal altså i regnestykket optræde lutter forskellige cifre. Måske kan opgaven slet ikke løses. Et svar kendes ikke i øjeblikket. Prøv at eksperimentere! EKSPERIMENT 5 De fire 4-taller. Man møder med mellemrum den vandreopgave, at man skal skrive så mange naturlige tal som muligt ved hjælp af præcis fire 4-taller og de sædvanlige regneoperationer +, -, og : sammen med kvadratrodstegn og potensopløftning. Desuden kan man bruge udråbstegn!, idet! efter et tal betyder, at alle de hele, positive tal til og med tallet skal ganges med hinanden. Fx er 4! = 1 3 4 = 4, 3! = 1 3 = 6, 6! = 1 3 4 5 6 = 70. Vi kan så skrive 7 = 4 + 4 - (4:4), 15 = 4 4-4:4, 6 = (4 4-4): 4, 1 = 4! + 4:4 4. Altså kan tallene 6, 7, 15 og 1 fremstilles ved hjælp af præcis fire 4-taller. Hvem kan skrive flest? En særlig sport er kun at bruge de fire elementære regningsarter, enten med fire 4-taller eller med fem 5-taller. Fx er 6 = 4 + (4 + 4):4, 9 = 4 + 4 + 4:4, = (5+5):5+5-5, 11 = (5 5 + 5):5 + 5. Det er muligt på denne måde at skrive tallene fra 0 til 9 med fire 4-taller og tallene fra 0 til 1 med fem 5-taller. Prøv!

1. Tal- og bogstavregning 37 EKSPERIMENT 6 Frembringelse af kvadrattal. Vælg to hele, positive tal med en forskel på, fx 5 og 7. Gang dem med hinanden og læg 1 til: 5 7 + 1 = 36. Her er resultatet 36 = 6 et kvadrattal. Prøv igen: 7 9 + 1 = 64 = 8, 9 11 + 1 = 100 = 10, 6 4 + 1 = 5 = 5. Er dette altid tilfældet? 1. Kald det mindste af de to tal n. Hvordan kan så det største af de to tal skrives?. Udfør en regning som ovenstående med bogstaver. Hvilket resultat får man? (Vink: Brug evt. en af kvadratsætningerne). 3. Skriv med ord hvilken regel der i almindelighed gælder om naturlige tal. Vælg et kvadrattal. Læg 1 til og træk 1 fra og gang de to tal med hinanden. Læg 1 til resultatet. Fx er 9 og 16 kvadrattal: med 9 fås: 8 10 + 1 = 81, med 16 fås: 15 17 + 1 = 56. Nu er 81 = 3 4 og 56 = 4 4. 4. Prøv at udtrykke dette med bogstaver, når det valgte kvadrattal er n. Skriv en forklarende tekst, så en person der ikke kender problemet, kan følge med. 5. Er der en forbindelse mellem de to tilfælde? EKSPERIMENT 7 Kubiktallene. Kubiktallene er tredjepotenser af naturlige tal, dvs. de er 1 3 = 1, 3 = 8, 3 3 = 7, 4 3 = 64, 5 3 = 15, 6 3 = 16,... De kan komme frem på en overraskende måde. 1. Gang tre naturlige nabotal i talrækken med hinanden og læg det midterste til, fx

38 1. Tal- og bogstavregning 3 4 5 + 4 = 64, 7 8 9 + 8 = 51, 4 5 6 + 5 = 15. Her opdager du (måske), at 64 = 4 3, 51 = 8 3, 15 = 5 3, dvs. vi har fået tredjepotenserne (kubiktallene) frem. Gælder denne lovmæssighed altid?. Kald det midterste tal n og skriv multiplikationen og additionen op med bogstaver. Hvad bliver resultatet? 3. Skriv et stykke sammenhængende tekst om problemet og formulér en formel, der gælder. EKSPERIMENT 8 Reduktion af bogstavudtryk. I bogen Opgaver i Regning, Aritmetik og Geometri for., 3. og 4. Mellem af V. Hylling Christensen og Petrus Larsen fra 1947 findes et væld af opgaver i reduktioner af bogstavudtryk som skulle udføres af elever i 7.-9. klasse. Nedenfor er anført nogle stykker, og de er ikke for tøsedrenge!

1. Tal- og bogstavregning 39 En reduktion af nr. 801 kan udføres sådan: + n + 3n n+ 1 + 3 3 + n = n 9 n 3 n ( + n)( 3 n) ( + 3n n+ 1 n + 3)( 3 + n) = ( 3 + n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) ( 3 n)( 3 + n) 6 n+ 3n n + 3n n+ 1 n + 6n + 9 ( 3+ n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) 6+ n n + 3n n+ 1 n 6n 9 = ( 3+ n)( 3 n) n 6n+ 9 = ( 3+ n)( 3 n) ( n 3) = ( 3+ n)( n 3) n 3 = n 3. ( 3 + n) n 3 = Skriv for hvert lighedstegn en forklaring i ord på, hvordan regningen er foretaget.

40 1. Tal- og bogstavregning Foretag en lignende reduktion af et af de øvrige udtryk. Nogle facits kommer her: 800. 1 80. b+ a a b 803. 1 4( a b) 804. -1 805. a b ab( a + b) 807. 8a ( 4a 1) ( 4a+ 1) 808. 5+ 3a ( 3a+ 1)( 3a 1) 809. a ( a b) 810. a + 4 a+ 33 3( a 7) 811. x 13 ( x + 1) 81. 17y 11x 6( x y) 813. b a ab EKSPERIMENT 9 Brøk og decimalbrøk. Brøker kan repræsenteres som rigtige brøker eller som decimalbrøker. Som bekendt har vi, at 1 7 = 05,, = 04,, = 035,. 5 0 Du skal nedenfor undersøge den nærmere sammenhæng mellem brøker og udseendet af deres tilsvarende decimalbrøker. Vi skelner mellem 3 slags decimalbrøker: endelige, uendelige periodiske, uendelige ikke-periodiske. Ovenfor gav vi et par eksempler på endelige decimalbrøker - dvs. de indeholder et endeligt antal cifre efter kommaet. Et eksempel på den anden type er tallet a =,7541414141 som vi også skriver a = 7541,. Denne decimalbrøk er periodisk, og perioden er cifrene 41. Man siger, at periodelængden er, fordi perioden består af cifre. Vi kan nævne de velkendte periodiske decimalbrøker = 0, 6666... = 0, 6 og 7 = 0, 7777... = 0, 7. 3 9 Den tredje type er de ikke-periodiske decimalbrøker. I sådanne gentager cifrene sig ikke med noget periodisk mønster. Sådanne er fx 7,1345678910111... og π = 3,14159653589793...,

1. Tal- og bogstavregning 41 og til denne type hører også mange kvadratrødder: 7 =,645751311... 1. Skriv ved hjælp af cas følgende brøker om til decimalbrøk: a= 31, b= 17, c= 67, d= 787. 5 40 15 150 Hvilken af de tre typer tilhører de? Samme spørgsmål for brøkerne e= 7 f = 9 g= h= 15, 47 69 14, 99, 37. Et tal kan altid skrives som produkt af primfaktorer, fx 18 = 3, 60 = 3 5, 1617 = 3 7 11. Cas giver mulighed for en sådan opløsning af tal i primfaktorer.. Se på nævnerne i brøkerne under punkt 1. Skriv hver nævner som produkt af primtal på denne måde. Kan du herefter opstille en formodning om, hvilke brøker, der svarer til endelige decimalbrøker, og hvilke der ikke gør? 3. Udfyld felterne i denne multiplikationstabel: 1 5 5 15 65 1 4 0 8 16 3 4000 Lav endnu en kopi af tabellen, og skriv i hvert felt tallets primfaktoropløsning i stedet for tallet selv - også første række og første søjle i tabellen. Fx skriver du 5 i stedet for 0. Hvad er

4 1. Tal- og bogstavregning karakteristisk for primfaktoropløsningerne af tallene i tabellen, såvel i randen som i dens indre? Vend nu tilbage til brøkerne under punkt 1 og sammenlign med tabellen. Opstil derefter en regel for, hvilke brøker, der kan skrives som endelige decimalbrøker. 4. Vi ser nu på periodiske decimalbrøker. Hvor lang en periode kan mon en sådan have? Vi har (kontrollér!), at 4 = 0, 5714857148... = 0, 57148. 7 Her er perioden 57148 af længde 6. Du foretager en division i hånden: 4,000000 : 7 = 0,5 7 1 0 40 rest 4 35 50 rest 5 49 10 rest 1 Fortsæt divisionen et godt stykke endnu. Hvor længe er det nødvendigt at blive ved? Hvilke rester kan der fremkomme ved division med 7? Hvor mange forskellige rester kan der blive tale om? 5. Foretag samme slags hånddivision for brøken 13 9. Angiv dens periode og dens periodelængde. Du har set, at en brøk kan forvandles til en periodisk decimalbrøk ved division af tæller med nævner. Nu skal vi se på omvendte problem: Hvordan finder man den brøk, som en given decimalbrøk svarer til? Hvilken brøk svarer fx til 1, 864864864... = 1, 864? (se punkt 1). Du skal se en metode til afgørelse af dette.

1. Internet 45 MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du til dette kapitel arbejde videre med brøkregning, regningsarter og kvadratsætninger. Du vil finde mange øvelser til forskellige emner som herover i regningsarternes hierarki. Ved forkert svar får du vink om, hvordan opgaven skulle have været løst. Regneoperationer kan følges trin for trin som herover ved kvadrat på en toleddet størrelse.

46 1. Internet Ved brøkregning er der adgang til et væld af opgaver inden for alle regningsarter. Trinvist kan du blive ført igennem de enkelte regneoperationer.

LIGNINGER OG ULIGHEDER

Løsning af ligninger har man kendt til næsten lige så længe matematikken har eksisteret. Fra babylonerne (fra Babylon i det nuværende Irak) er der fundet matematiske tekster på små lertavler. De stammer fra ca. 1800 f. Kr. Her finder man ligninger og ligningssystemer, fx x - x = 870, x y 1300. x y50 Vi nævner desuden Papyrus Rhind (fundet 1858 af A. Rhind, opbevares på British Museum), en ægyptisk papyrus med matematisk tekst, der stammer fra ca. 1600 f. Kr. og indeholder en del regneopgaver. Man kan bl. a. finde følgende opgave: Du skal dele 7 brød mellem 10 mænd. Ægypterne angav resultatet: Hver mand får brød. Er dette 3 korrekt? Det er dog først med den moderne algebras udvikling i løbet af 1600- og 1700-tallet, at vi nærmer os de strømlinjede og praktiske metoder, vi kender i dag. Ligninger af højere grad end 1 møder man i visse sammenhænge, fx følgende: En grund har form som et rektangel og omkredsen er 00 m. Grundens areal er 75 m. Hvor lange er grundstykkets sider? Vi gennemgår almindelige ligninger af første grad og de regneregler, der benyttes for at løse dem. Desuden ser vi på ligningssystemer bestående af to ligninger af første grad med to ubekendte. Andengradsligningen behandles, og endelig indfører vi en skrivemåde for intervaller (dvs. afsnit af tallinjen) samt løser et par simple uligheder. 1 30

. Ligninger og uligheder 49 LIGNINGER En ligning er et udtryk, der indeholder et lighedstegn som fx: 5 + 7 = 1, a + b = b + a, x - 3y = 7, 3x - 4 = 11 En ligning indeholder i reglen en eller flere ubekendte størrelser. At løse en ligning vil sige at bestemme den eller de værdier, der passer i ligningen, dvs. gør den sand, når de indsættes. Ligningen 3x - 4 = 11 har x = 5 som løsning, fordi 5 passer i ligningen: 3 5-4 = 11. På samme måde er (x,y) = (5,1) og (x,y) = (8,3) løsninger til ligningen x - 3y = 7, fordi x = 5, y = 1 passer og x = 8, y = 3 passer: 5-3 1 = 7 og 8-3 3 = 7. Vi har hermed ikke udtalt os om, hvorvidt der findes flere løsninger til ligningen end disse to. De tal, der står foran x og/eller y i ligningen, kaldes ligningens koef ficienter. Således er og -3 koefficienter til x og y i ligningen x - 3y = 7. Fig. 3. Berlingske Tidende 8.09.04

50. Ligninger og uligheder ENSBETYDENDE LIGNINGER Hvis man foretager en række omformninger af en ligning for at finde en løsning, bruger man symbolet, en dobbeltpil (eller en biimplikation), mellem ligninger, der har de samme løsninger. Fx har vi (3x - 1) = x - 4( - x) 6x - = x - 8 + 4x 6x - = 5x - 8 x = -6. Hver af de fire ligninger har den samme løsning. Man siger, at sådanne ligninger er ensbetydende. Man kan også sige, at ensbetydende ligninger fremgår af hinanden ved lovlige omformninger. Nedenfor kommer vi ind på, hvad dette betyder. Vi anfører de vigtigste regler for løsning af ligninger. Man må lægge det samme tal til, trække det samme tal fra, gange med det samme tal og dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (i de sidste to tilfælde dog ikke med 0). Nulreglen. Et produkt er 0, netop hvis mindst en af faktorerne er 0. Gange over kors. Man kan gange over kors, dvs. hvis højre og venstre side af lighedstegnet er brøker, kan vi skrive a b = c ad = bc. d Vi ser på reglen med at gange over kors, og viser, at den faktisk er korrekt. I ligningen a = c b d ganger vi med tallet bd på begge sider, så vi får a b = c bd a = bd c bda = bdc ad = bc. d b d b d Altså er reglen eftervist, fordi vi er kommet frem til, at den første og den sidste ligning er ensbetydende.

. Ligninger og uligheder 51 EKSEMPEL 1 (Nulreglen). Vi illustrerer nulreglen ved at løse ligningen x - 6x = 0. Vi sætter x uden for parentes og får: x - 6x = 0 x(x - 3) = 0. I den sidste ligning er produktet af tallene x og x - 3 lig med 0, og derfor må mindst en af faktorerne være 0, dvs. x = 0 eller x - 3 = 0, og de x-værdier, der er løsninger, er altså x = 0 eller x = 3. Vi plejer lidt kortere at skrive sådan: x - 6x = 0 x(x - 3) = 0 x = 0 x = 3. Tegnet læses eller. Det betyder, at hvis x har værdien 0 eller værdien 3, så passer x i ligningen og omvendt: Hvis x passer i ligningen har x værdien 0 eller værdien 3. Dermed har vi fundet samtlige løsninger. På samme måde er (4x - 8)(x + 7) = 0 x = x = -3 1. og 3x(x - 7) = 0 x = 0 x = 7. EKSEMPEL (Gang over kors). Vi ser på ligningen 4 = 0 13 3x x + 1. Ved at gange over kors fås 4(x + 1) = 0(13-3x) 4x + 4 = 60-60x 64x = 56 x = 56 64 = 4. Dermed er ligningen løst, og på grund af dobbeltpilene er x = 4 den eneste løsning. Vi må i disse regninger forudsætte, at nævnerne ikke er 0, dvs. at x -1 og x 13 3.

. Ligninger og uligheder 53 FØRSTEGRADSLIGNING MED ÉN UBEKENDT En ligning er af første grad, hvis den er af typen ax + b = 0, eller umiddelbart kan omskrives til en sådan ligning. Her er et par eksempler: 3x - 4 = 8 + x, 5(x - 4) + x = 6x - (3-4x). Vi går ud fra, at metoderne til løsning at sådanne ligninger er kendte. Det er hovedsagelig metoderne indeholdt i den første regel ovenfor, vi benytter. EKSEMPEL 3. Hvis en ligning indeholder brøker, er det en god idé at gange med fællesnævneren på begge sider. Vi vil løse ligningen x+ 4= 30 4 x. 5 3 Fællesnævneren for brøkerne er 15, så vi ganger alle led med 15: x+ 4 = 30 4 x 15 x+ 15 4 = 15 30 15 4 x 5 3 5 3 6x + 60= 450 0x 6x= 390 x = 15. Det gjorde udregningerne lettere, at vi skaffede os af med brøkerne. TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE Af og til er der forelagt to ligninger med to ubekendte, og man er interesseret i at finde de værdier af de ubekendte størrelser, der passer i ligningerne. Vi viser, hvordan problemer af denne type kan løses. EKSEMPEL 4. Lille Emil har to slags klodser i sin legekasse: trekantede og kvadratiske. Efter en lidt tilfældig vejning får vi oplyst, at 7 trekantede og 4 kvadratiske klodser vejer tilsammen 480 g, 3 trekantede og 9 kvadratiske klodser vejer tilsammen 570 g. Hvad vejer en trekantet klods og en kvadratisk klods hver for sig?

54. Ligninger og uligheder TALSYSTEMER MED ANDRE GRUNDTAL Babylonerne havde fra ca. 1800 f. Kr. et talsystem, hvor ikke alene det enkelte talsymbol havde en betydning, men også dets placering i forhold til andre symboler var afgørende. I vort 10-talssystem betyder fx 34 og 34 jo ikke det samme, selvom de samme cifre indgår i de to tal - cifrenes rækkefølge er afgørende. Således er 34 = 10 + 3 10 + 4, mens 34 = 3 10 + 4 10 +. Babylon Babylon lå i det nuværende Irak. Babylonernes talsystem var opbygget på samme måde som vores 10-talssystem. Sådanne talsystemer kaldes positionssystemer. Babylonerne benyttede 60-talssystemet, hvilket vi i dag ser rester af i vores tidsmåling: 1 time à 60 minutter à 60 sekunder. I det babylonske system svarer tallet 34 (der var skrevet med andre symboler) til 60 + 3 60 + 4 = 7384. For at vise hvilket system der er tale om, skriver vi (34) 60 = (7384) 10. Det binære talsystem I vore dage har det positionssystem, der har grundtallet en speciel interesse, fordi det anvendes i computeres interne talrepræsentation. Svarende til, at vi i 10-talssystemet har cifrene 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 har man i -talssystemet (også kaldes det binære talsystem) cifrene 0 og 1. Her udtrykkes et tal ved summer af potenser af, og vi benytter, at 0 = 1. Fx er = 4 + + 1 = 16 + 4 + og 107 = 6 + 5 + 3 + 1 + 0 = 64 + 3 + 8 + + 1. I 10-talssystemet skal alle potenser af 10 med. Tallet 0047 kan vi skrive sådan: eller 10 4 10 3 10 10 1 10 0 0 0 4 7 0047 = 10 4 + 0 10 3 + 0 10 + 4 10 + 7 10 0, I -talssystemet må vi tilsvarende have alle potenser af med. Ser vi på tallet 107, kan vi skrive sådan: Altså skriver vi : (107) 10 = (1101011). Kontrollér, at (005) 10 = (11111010101). 6 5 4 3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 Tallet 107 er 7-cifret i -talssystemet. Hvad er det første 7-cifrede tal?

. Ligninger og uligheder 55 Vi kan skrive, at 7x + 4y = 480 3x + 9y = 570 Her er x vægten af en trekantet klods og y vægten af en kvadratisk klods. Tricket er, at vi ganger hver af de to ligninger med et tal, så koefficienten til x eller til y i ligningerne bliver den samme. Fx kan vi gange den øverste ligning med 3 og den nederste med 7 på begge sider, så ligningssystemet er ensbetydende med 1x + 1y = 1440 1x + 63y = 3990. Nu trækker vi den ene ligning fra den anden, fx den nederste fra den øverste, dvs. højre side fra højre side og venstre fra venstre: 1x + 1y - (1x + 63y) = 1440 3990 1x + 1y - 1x - 63y = -550-51y = -550 y = 550 = 50. 51 Altså vejer en kvadratisk klods 50 g. Nu indsætter vi y = 50 i en af de oprindelige ligninger, fx den første: 7x + 4 50 = 480 7x + 00 = 480 7x = 480-00 = 80 x = 80 = 40, 7 så en trekantet klods vejer 40 g. Vi siger, at vi har fundet løsningen (x,y) = (40,50) til ligningssystemet med de to ubekendte. Det er desuden den eneste løsning. Metoden kaldes de lige store koefficienters metode. EKSEMPEL 5. Vi viser endnu et eksempel på løsning af et ligningssystem med to ubekendte. Læg mærke til, hvordan regningerne praktisk stilles op: 8x 4y= 68 3x+ 5y= 0 4x 1y= 04. 4x+ 40 y= 160