Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35
$ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede sinusoidale signaler kan konstrueres som en sum af sinusoider af formen )( # $&% ' $ $ $ # $&% ' hvor er en reel konstant, og er den komplekse amplitude (fasor) for den komplekse eksponentialfunktion med frekvensen.! ( p.2/35
$ $ ' ' Alternativ repræsentation Med Eulers inverse formel fås følgende alternative fremstilling: # $&% ' ( ( (1) Dette signals tosidige spektrum er mængden af de fasorer og de frekvenser, som definerer signalet i repræsentationen (1). Signalets spektrum er helt defineret ved talparrene: komplekse ' ' (2) p.3/35
% Grafisk fremstilling af et spektrum Et spektrum er en frekvensdomæne repræsentation af signalet. Al information til signalsyntese er her. Eksempel: (3) ' ' Ved hjælp af invers Euler findes spektret (4) ' ' ' p.4/35
Stødtoner (Beat Notes) Et multiplum af sinusoider med forskellig frekvens (f.eks. 10 Hz og 1 khz). Relevant ved stemning af musikinstrumenter og ved AM. F.eks. p.5/35
p.6/35 Stødtone-kurveform Spektrum:
Stødtoner (fortsat) p.7/35
Stødtone: eksempel Hz Hz p.8/35
Stødtoner (fortsat) Hvis sættes ned til 9 Hz varierer indhyllingskurven langsommere: 209 og 191 Hz komponenter. Stemning af musikinstrumenter. p.9/35
Amplitudemodulation (AM radio, f.eks. Kalundborg langbølge): : tale- eller musiksignal : bærebølge (carrier signal) : bærefrekvens (carrier frequency) p.10/35
Amplitudemodulation: eksempel Hz 20 Hz modulerer (ændrer) de 200 Hz. p.11/35
Amplitudemodulation (fortsat) Spektrum: Plot af signalets spektrum: p.12/35
Periodiske signaler Harmoniske frekvenser (heltals multiplum af en grundfrekvens : heltal): er en sum af heltal (harmoniske frekvenser). cosinusfunktioner, hvor p.13/35
Periodiske signaler (fortsat) Med fasorfremstilling: hvor og. for alle hvis, d.v.s. er grundperioden (fundamental period). p.14/35
Talesyntese Lyden aah udtalt af en mand. Tosidet spektrum: Frekvenskomponenter (komplekse amplituder) p.15/35
Successiv opbygning af talesignalet +200 Hz, + 400 Hz: grundperiode ms. +500 Hz, + 1600 Hz: grundperiode ms. Kapitel 3 c Jens D. Andersen p.16/35
Successiv opbygning af talesignalet Resulterende talesignal ( ah ) (alle komponenter). Lyt til signalet. Hvordan kunne dette signal komprimeres? Hvor meget vinder man herved? p.17/35
Periodiske signaler og Fourierrækker Ethvert periodisk signal kan tilnærmes med en sum af harmoniske sinusoider: (synteseformlen). er multipla af (grundfrekvensen). Vi kan tilnærme firkant- og trekantsignaler. Men hvordan finder vi erne? p.18/35
Fourieranalyse (ingen udledning, kun formlen) ( grundperioden). DC-komponenten: = middelværdi over en periode Hvis der findes en formel for kan man udregne integralet. Ellers bruges numeriske metoder. p.19/35
Eksempel: firkantsignal p.20/35
p.21/35 Eksempel: firkantsignal
Spektrum for firkantsignal: p.22/35
Syntese af firkantsignal Konstruktion af firkantbølge ved summation af harmoniske (prøv det ved hjælp af MATLAB! p.23/35
Syntese af trekantsignal for for et ulige heltal et lige heltal For Hz og og fås: p.24/35
Ikke periodiske signaler p.25/35
Ikke periodiske signaler (fortsat) p.26/35
Forklaring p.27/35
$ $ $ Tids-frekvens spektrum Stationært signal: $ $ $ # $&% ' og er konstante over tiden. Musik, tale og lyde er i almindelighed ikke-stationære. Derfor er tids-frekvens spektrum nødvendigt. Et nodeeksempel er et slags tids-frekvens diagram: p.28/35
Klaverets skala Hvis er frekvensforholdet mellem nabotangenter (sorte og hvide), så er, d.v.s.. Frekvensen for tonen C bliver så Hz. Kapitel 3 c Jens D. Andersen p.29/35
Syntese af tonetrin Syntese af tonetrin, hvert holdt i 200 ms: p.30/35
Spektrogramanalyse Musikanalyse er et avanceret emne. Det er ikke muligt at opskrive en simpel formel for analyse. Numerisk beregning er mulig ved hjælp af MATLAB s specgram funktion ( spectgr i DSP First). p.31/35
Chirp Chirp = lineært ændret frekvens (Chirp = pip). Signal med lineær ændring af frekvensen over tiden fra 220 Hz til 2320 Hz. Frekvensændring i småtrin: Duer ikke p.g.a. diskontinuerte (ikke-differentiable) overgange. p.32/35
Chirp-signal (fortsat) Bedre er: er faseforskydningen. er signalets fase. konstant p.33/35
Chirp-signal (fortsat) Ved ønsket lineært frekvenssweep vendes processen om: Syntese af frekvenssweep fra Hz til Hz fra til sekunder: ( kan være vilkårlig) p.34/35
Chirp-signal (fortsat) Hvorfor er den afledede af fasen lig med den øjeblikkelige frekvens? Hz, Hz, s. Plot af det syntetiserede signal: p.35/35