Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B ved Claus Thustrup Kreiner Gitte Yding Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen

Introduktion til modelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Yding Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen August 2007 Indholdsfortegnelse. Typer af variable s. 2 2. Typer af relationer.. s. 3 3. Kausalanalyse s. 3 4. Løsning af model ved substitution.. s. 5 5. Totaldifferentiation... s. 6 6. Case: Klassisk model... s. 9 7. Opgaver... s. 0 8. Løsninger... s. 2 9. Litteraturliste... s. 20

. Typer af variable Man skelner mellem eksogene og endogene variable: ) Endogene variable bestemmes af modellens relationer. 2) Eksogene variable, herunder parametre, er de variable, der betragtes som givne. Modellen har altså ingen indflydelse på dem. De kan dog variere over tid på grund af forhold udenfor modellen, og i nogle tilfælde forestiller vi os, at de kan ændres via økonomisk politik. Hvis en eksogen variabel har form af en rate, kvote eller teknisk koefficient, f.eks. den marginale forbrugskvote eller eksponenten i en Cobb-Douglas produktionsfunktion, så kaldes den for en parameter. Betragt følgende makromodel for en lukket økonomi i velkendt notation (fodtegn d står for efterspørgsel og s for udbud): Model () Y d = C + I + G (2) C = a + b (Y d -T) (3) Y s = K c L -c (4) Y s = Y d Eksogene: I, G, T, K, a, b og c, heraf parametre a, b og c. Endogene: Y d, C, Y s og L Relation () angiver den samlede efterspørgsel efter varer og tjenesteydelser i økonomien, (2) er en simpel Keynesiansk forbrugsfunktion (jf Mankiw (2006), kapitel 3), (3) angiver, at det samlede udbud af produktion er givet ved en Cobb-Douglas-funktion af kapital og arbejdskraft, mens (4) siger, at udbud og efterspørgsel af produktion er lige store. De aggregerede private investeringer I, det offentlige forbrug G, skatteprovenuet T og kapitalapparatet K er i denne model eksogene (ofte markeres dette ved at sætte en streg over variablene). Parametrene a, b og c antages at være forholdsvis stabile over tid og kan estimeres ved statistiske metoder: a er en indkomstuafhængig del af forbruget, b er en marginal forbrugstilbøjelighed (andel der forbruges af ekstra indkomst) og c er en teknisk koefficient. Aggregeret efterspørgsel Y d, udbud Y s, forbrug C og arbejdskraft L bestemmes af modellen. Hermed menes, at hver endogen variabel bestemmes som en funktion af udelukkende eksogene variable, herunder parametre. Når dette er tilfældet, siger vi, at modellen er fuldstændig. Som hovedregel er modellen fuldstændig, når der er lige mange ligninger og endogene variable. 2

2. Typer af relationer Man skelner typisk mellem følgende typer af relationer. ) Definitionsligninger Kaldes også identiteter. Definerer blot en variabel som funktion af andre variable. Der ligger ingen antagelser til grund for relationen. 2) Adfærdsrelationer Beskriver agenters adfærd i økonomien, dvs. hvad de gør som funktion af forskellige variable. Til grund for en adfærdsrelation ligger således en specifik adfærdsantagelse. 3) Tekniske relationer Angiver rent tekniske sammenhænge, f.eks. en produktionsfunktion. 4) Ligevægtsbetingelser Udtrykker, at udbud skal være lig efterspørgsel (på et eller andet marked), idet en eller flere variable tilpasser sig, så ligevægt sikres. I et FK-marked vil det være tilpasning af priser, der sikrer lighed mellem udbud og efterspørgsel. I model svarer rækkefølgen af relationer til ovenstående typer. Relation () er en identitet, da den samlede aggregerede efterspørgsel for en lukket økonomi består af de tre komponenter pr. konvention (jf. Nationalregnskabet). Relation (2) er en adfærdsrelation, som antager, at det private forbrug er en lineær funktion af indkomsten/produktionen. Relation (3) er en teknisk relation. Relation (4) er en ligevægtsbetingelse for varemarkedet og udtrykker, at den aggregerede efterspørgsel er lig det aggregerede udbud (som derfor også er lig aggregeret produktion og aggregeret indkomst). 3. Kausalanalyse Model er en meget simpel model, men kan alligevel fejlfortolkes. Betragt følgende udsagn: a) En ændring i den offentlige vareefterspørgsel G påvirker den aggregerede efterspørgsel Y d og derved Y s. b) En ændring i kapitalmængden K påvirker produktionen Y s. Begge udsagn virker plausible ud fra modellen. Alligevel er det ene forkert hvilket? Til at besvare dette er kausalanalysen et nyttigt redskab. En kausalanalyse afslører modellens struktur, dvs. hvordan de endogene variable påvirker hinanden, og i hvilken rækkefølge de bestemmes. Først opskrives et skema med antal kolonner og rækker svarende til antal endogene variable og relationer (se skema.a). De endogene variable opskrives over kolonnerne og relationernes numre skrives til venstre for rækkerne. Man betragter nu hver relation og sætter kryds ud for de endogene variable, der indgår i den pågældende relation. 3

Eksogene variable og parametre, som indgår i den pågældende relation, skrives i en kolonne til højre for rækkerne. I skema.a er dette gjort for model. Skema a. Uordnet kausalanalyse Nr. Endogene Yd C Ys L Eksogene & parametre () x x I G (2) x x a b T (3) x x K c (4) x x Skema b. Ordnet Kausalanalyse Nr. Endogene Yd C Ys L Eksogene & parametre () x x I G (2) x x a b T Orden 0. (4) x x. (3) x x K c 2. Næste skridt er at ordne skemaet, som det er gjort i skema.b. Først søges efter en række med kun ét kryds. Hvis sådan en (eller flere) eksisterer, placeres den (de) øverst i det ny skema og betegnes 0. orden. For model er der ingen rækker med kun ét kryds. Der søges nu efter en 2- ligningsblok, om hvilken det gælder, at der højst er krydser ud for de samme to endogene variable. For model udgør relation () og (2) en 2-ligningsblok, da der er krydser ud for de to variable Y d og C. Relation (3) og (4) udgør ikke en 2-ligningsblok, da der i alt er krydser ud for tre variable. Den fundne 2-ligningsblok () og (2) placeres øverst i det nye skema og betegnes 0. orden, da blokken ikke afhænger af endogene variable udenfor blokken (Y s og L). Man søger nu efter -ligningsblokke igen, men under hensynstagen til, at Y d og C er bestemte. Betragt relation (3). Den indeholder to endogene variable, Y s og L. Da begge er ukendte kan den ikke blive til en -ligningsblok. Relation (4) indeholder også 2 endogene variable, Y d og Y s, men da Y d allerede er bestemt, bliver den en slags énligningsblok, der bestemmer Y s, og den placeres i det ordnede skema lige neden under blokken af 0. orden. Den ny blok kaldes en -ligningsblok af. orden, da den afhænger af 0. ordensblokken. Relation (3) opskrives til sidst som en -ligningsblok af 2. orden, da den afhænger af Y s, der blev bestemt i. orden. 4

Den kausale struktur kan også vises i et pilediagram, hvor der er cirkler om eksogene variable og firkanter om endogene, og pile har betydningen er med til at bestemme. Når Y d og C er samlet indenfor én firkant med stiplet adskillelse, markerer det, at disse to variable bestemmes indenfor en simultan 2-ligningsblok. Ellers skulle diagrammet gerne være selvforklarende: Figur a. Pilediagram over den kausale struktur I G Y d Y s L a C b K c T Den kausale struktur, hvad enten den illustreres i et pilediagram eller i et ordnet skema, beskriver de årsagsmæssige sammenhængene mellem modellens variable. Generelt gælder: Endogene og eksogene variable har ingen indflydelse på endogene variable af en lavere orden. Endogene og eksogene variable har som hovedregel indflydelse på endogene variable af en højere orden. Endogene variable indenfor en blok har gensidig indflydelse på hinanden. Vi kan nu uden udregning eller reducering af modellen finde ud af, om udsagnene a) og b) er korrekte i henhold til model. En ændring i G påvirker Y d i 0. orden, som påvirker Y s i. orden, altså er udsagn a) korrekt. En ændring i K har kun indflydelse i blokken af 2. orden, hvor den bevirker ændringer i L. Udsagn b) er altså forkert, da K ingen indflydelse har på Y s i denne model. 4. Løsning af model ved substitution Kausalanalysen bidrager til forståelsen af modellen, men giver ikke et eksplicit udtryk for størrelsesordenen af de endogene variable. Lad os antage, at regeringen har spurgt sine økonomiske rådgivere om følgende: (a) Hvor stor er den aggregerede vareefterspørgsel som funktion af investeringerne og det offentlige forbrug? (b) Hvor stor er effekten af en ekspansiv finanspolitik på produktionen? 5

Vi ved fra vores kausalanalyse, at Y d og C i model bestemmes samtidigt i 0. orden. Vi kan da se bort fra resterende relationer, når a) skal besvares. Relation () og (2) er således to ligninger med to ubekendte, som kan løses. For at finde Y d substitueres C i relation (2) ind i (): Yd ab Yd T I G ( b) Yd abt I G a bt I G Yd b Hermed er a) besvaret, Y d er opskrevet udelukkende som funktion af eksogene variable og parametre. Kausalanalysen viser, at Y s bliver bestemt af Y d (svarende til, at producenterne tilpasser udbuddet fuldkommen til efterspørgslen). Vi kan derfor besvare b) ved at indsætte Y s på Y d s plads og differentiere mht. G: Ys a I G b Ys a I G G b G G G Ys 00 G b b Da den marginale forbrugstilbøjelighed b er mellem 0 og, bevirker en stigning i G en endnu kraftigere stigning i produktionen Y s. Antag, at det offentlige ansætter en person til kontorarbejde. Personen bidrager til produktionen via sit arbejde og får løn, hvilket forøger personens privatforbrug (med b gange indkomstforøgelsen). Det øgede privatforbrug øger produktionen. Produktionsforøgelsen betyder øget indkomst i økonomien, øget forbrug og dermed øget produktion osv. Dette er Keynes berømte multiplikatorvirkning. Virkningen dør langsomt ud, da b er mindre end. Den samlede virkning på Y s af en stigning på én i G er derfor /(-b), som udregnet. 5. Totaldifferentiation Ofte kan man ikke eksplicit isolere en endogen variabel som funktion af kun eksogene variable og parametre, dvs. man kan ikke løse modellen ved substitution som beskrevet ovenfor. Man kan derfor ikke svare på spørgsmål af typen (a), dvs. det er ikke muligt at bestemme den endogene variabels niveau. Dette problem kan for eksempel opstå, hvis de indgående funktioner er ikkelineære. 6

Heldigvis bliver økonomer oftest spurgt om spørgsmål af typen (b), dvs. om ændringer, som jo også er mest interessante: Vi ved godt, hvor stor indkomsten/produktionen er; det, vi er interesserede i, er, hvordan vi kan påvirke den ved økonomisk politik. I model var der ikke noget problem med isoleringen af Y d. Antag nu at relation (2) i model udskiftes med den generelle funktion (alt andet er uændret): (2 ) C = C(Y d -T) 0 < C ' (Y d -T) < Når (2 ) substitueres ind i (), bliver modellen reduceret til én relation, men Y d kan ikke isoleres. Vi kan altså ikke svare på spørgsmål a) længere, men ved brug af totaldifferentiering kan vi svare på (b). Totaldifferentiering anvender den matematiske sætning, at hvis y kan skrives y =f(x), så er ændringer i y forårsaget af en ændring i x ud fra et givet punkt (x,y) tilnærmelsesvis: dy f (x) dx, for små dx. Man siger i den forbindelse, at man har lineariseret modellen, for dy afhænger jo lineært af dx. Ved en totaldifferentiering lineariseres alle relationerne ved denne metode. Når der i relation () fx står G, skal den differentieres mht. G og ganges med ændringen, dg. Ligeledes giver lineariseringen af venstresiden i (2 ) dc, mens højresiden giver C ' (Y d -T) dy d. Lad os nu besvare spørgsmål (b). Kausalanalysen ændres ikke ved udskiftningen af (2) og viser altså, at relationerne (), (2 ) og (4) skal anvendes: () dyd dc di dg (2 ) dc C '( Y T ) dy (4) dys dyd Nu kan man løse ved substitution: d dyd C '( Yd T ) dyd di dg dyd di dgdys C'( Yd T) dys dg C '( Y T ) d d Vi har hermed vist - uden angivelse af funktionsform for forbruget og uden isolering af Y d - at produktionen vil stige kraftigere end stigningen i de offentlige udgifter (for små ændringer i de offentlige udgifter). Bemærk, at med kendskab til C'( Yd T), altså til den marginale forbrugstilbøjlighed blot lokalt, kan vi også finde effekten på Y s af en ændring i G. Den tidligere multiplikator, /(-b), er et specialtilfælde af /( C'( Y T) ). d 7

Model er et eksempel på en simpel keynesiansk model, som vi ikke skal diskutere videre her (vi udskyder diskussionen til gennemgangen af Mankiws lærebog). Det vigtige i denne forbindelse er at forstå brugen af redskaberne : Kausalanalyse, substitution og totaldifferentiering. Sydsæter (2005) omtaler totaldifferentiering i afsnit.9 side 402 i. bind. Det kan også være nyttigt at se på implicit differentiation afsnit 7. s. 239, hvis matematikken bag ligger langt væk. 6. Case: Klassisk model Betragt den klassiske model fra Mankiw (2006), kapitel 3: Model 2 () Y = C + I + G (2) C = C(Y-T) (3) I = I(r) (4) Y = F(K,L) Eksogene: G, T, K og L. Endogene: Y, C, I og r Model 2 ligner model på mange punkter. Relation () og (2) er uforandrede. Ligevægtsbetingelsen fra før Y d = Y s (= Y) er implicit her, idet Y blot er indsat i () og (4). Dette shortcut anvendes tit, da man så får en relation mindre. Den vigtige forskel fra model består i, at beskæftigelsen L nu er eksogen, og at investeringerne I er blevet gjort afhængige af den endogene rente. Dette lyder umiddelbart som uskyldige ændringer, men som den nedenstående kausalanalyse vil afsløre, er der tale om en model med næsten modsatte konklusioner. Skema 2a. Uordnet kausalanalyse Nr. Endogene Y C I r Eksogene & parametre () x x x G (2) x x T (3) x x (4) x K L 8

Skema 2b. Ordnet kausalanalyse Nr. Endogene Eksogene & parametre Y C I r Orden (4) x K L 0. (2) x x T. () x x x G 2. (3) x x 3. Figur 2a. Pilediagram for kausalanalysen K T C G L Y I r Som man kan se af skema 2b og figur 2a, kan ekspansiv finanspolitik G ikke påvirke produktionen Y i denne model, da G befinder sig i 2. orden og Y bestemmes i 0. orden. Produktionen er bestemt af beholdningerne af kapital K og arbejdskraft L (samt teknologi) og kan således kun ændres ved ændringer i disse variable. Konsekvensen af ændret K eller L kan udregnes ved totaldifferentiering: (4) dy F ( K, L) dk F ( K, L) dl K dy dy FK( K, L), FL( K, L) dk dl L Modsat model påvirker ændringer i K produktionen Y. Ekspansive finanspolitik påvirker investeringerne I i 2. orden. Effekten findes ved at totaldifferentiere () og sætte dy og dc lig 0, da de er bestemt i en lavere orden: () dy dc di dg di dg Heraf kan vi se, at der ved en øget ekspansiv finanspolitik blot sker en tilsvarende nedgang i de private investeringer (igen modsat model, hvor investeringerne var eksogene). At øget G bevirker faldende I kaldes fortrængning eller crowding-out. I vores model er der fuldkommen crowding-out (effekten er én til én), hvilket er et typisk klassisk resultat. 9

Stigningen i de offentlige udgifter mindsker den offentlige opsparing og derved den totale opsparing, S = Y - C -G (jf. Mankiw (2006), kapitel 3). Ligevægtsbetingelsen Y = C + I + G kan skrives: Y - C G = I, eller S = I, og kan fortolkes som en betingelse for clearing på de finansielle markeder, at den totale opsparing skal svare til de totale investeringer i ligevægt. Når opsparingen falder, må investeringerne altså også falde. Faldet i investeringerne påvirker renten r i 3. orden: (3) di dr di dr dg I '( r) dr I '( r) I '( r) Da I (r) er negativ (jf. kapitel 3 i Mankiw (2006)), bliver resultatet en rentestigning. Når renten stiger, falder investeringerne og nærmer sig den nye opsparing. Renten stiger, indtil investeringerne I svarer til opsparingen S. Vi får igen et typisk klassisk resultat: Det er renten, som skaber ligevægt på varemarkedet. I model 2 er opsparingen S uafhængig af renten r, men en udbygning af modellen på dette punkt giver kun små ændringer i resultaterne (jf opgave 8 nedenfor samt Mankiw, kapitel 3, s. 70-7), som stadig vil være klassiske. 7. Opgaver. I følgende model er Y, Y disp og C endogene. Y disp er disponibel indkomst, og T er eksogene skatter. Det antages, at udbuddet tilpasser sig den aggregerede efterspørgsel. () Y = C + I + G (2) Y disp = Y T (3) C = a + by disp.a Hvilken type relation er (2)?.b Udfør en kausalanalyse. Hvad viser den?.c Udregn ved substitution Y som function af eksogene variable og parametre..d Hvordan vil en stigning i I påvirke Y, Y disp og C? 2. Udskift relation (2) i ovenstående med: (2 ) Y disp = (-t)y, t er en parameter mellem 0 og. 2.a Beskriv forskellen mellem (2) og (2 ). 2.b Ændres modellens kausale struktur? 2.c Udregn Y. 2.d Vil en stigning i I have samme virkning på Y som før? 0

3. I følgende model er Y, C og I endogene. Det antages, at udbuddet tilpasser sig den aggregerede efterspørgsel. () Y = C + I + G (2) C = C(Y) (3) I = I(r) 3.a Beskriv relationerne. 3.b Udfør en kausalanalyse. Hvad viser den? 3.c Hvilke eksogene variable kan påvirkey? 3.d Kan Y isoleres i denne model? 3.e Totaldifferentier modellen og udregn Y Gog Y r. 4. Betragt følgende mikro-model: () S træ = S(V) (2) D træ = D(P træ, P lys ) (3) D træ = S træ () angiver aggregeret udbud af juletræer d. 24. december. Udbuddet er uafhængigt af prisen, da juletræerne formentlig ikke er meget værd dagen efter. V er en vejrfaktor. Det antages, at der udbydes færre juletræer, når V stiger (enten fordi juletræerne ikke kan komme frem til nogle sælgere, eller fordi nogle sælgere ikke gider stå og sælge dem i dårligt vejr). (2) er efterspørgslen efter juletræer, som afhænger af prisen på juletræer og prisen på lys til træet. Vi vil antage, at efterspørgslen efter juletræer falder, når P lys stiger. Lad os ikke filosofere mere over problemstillingen, men blot sige, at S træ, D træ og P træ er de endogene variable. 4.a Hvilken type relation er (3)? 4.b Udfør en kausalanalyse. Hvad viser den? 4.c Hvilke(n) eksogen(e) variable har indflydelse på D træ? 4.d Totaldifferentier modellen og beregn effekten på P træ af en stigning i henholdsvis V og P lys. 5. Vi betragter nu markedet for juletræer d. 8. december og antager derfor, at udbuddet af juletræer afhænger af prisen på juletræer P træ. Derudover er modellen uændret fra 4. 5.a Opstil en ny relation (). 5.b Ændres kausalanalysen? 5.c Hvilke(n) eksogen(e) variable har nu indflydelse på D træ? 5.d Totaldifferentier modellen og beregn effekten på P træ af en stigning i henholdsvis V og P lys. 6. I model blev Y G udregnet, og kausalanalysen viste, at ændringer i K ikke havde effekt på Y. Betragt igen model. 6.a Udregn L i model som funktion af kun eksogene variable og parametre. 6.b Udregn L G og L K.

7. Betragt model 2 igen. 7.a Hvilke endogene variable kan T påvirke? 7.b Beregn de endogene variables følsomhed overfor T. 7.c Beregn C K, I K, r K. 8. I Figure 3-2 i Mankiw (2006) er opsparingen S gjort afhængig af renten r. Mankiw opstiller ikke en revideret model, men man kunne udtrykke denne sammenhæng ved at ændre relation (2) i model 2 til: (2 ) C = C(Y - T, r), C Y-T > 0, C r < 0 8.a Fortolk (2 ). 8.b Udfør en kausalanalyse. Sammenlign med skema 2.b s. 0 i denne note. 8.c Er der stadig fuldkommen crowding out ved en stigning i G? 8.d Beregn de endogene variables følsomhed overfor T. Sammenlign med spørgsmål. 7.b. 8. Løsninger.a Definitionsligning. Definerer den disponible indkomst Y disp som indkomst Y minus skatter T..b Resultat af kausalanalyse: Nr. Endogene Eksogene & parametre Y Y disp C Orden () x x I G (2) x x T 0. (3) x x a b Kausalanalysen viser, at alle relationer udgør én stor blok (derfor af 0. orden). Det vil sige, at alle endogene variable har gensidig indflydelse på hinanden og bestemmes simultant (der er ingen variabel, der bestemmes før de andre). Resultatet betyder, at alle eksogene variable har indflydelse på alle endogene variable. En ændring i fx T påvirker således alle endogene variable Y, Y disp og C..c Den endogene variabel Y skal isoleres som funktion af kun eksogene variable og parametre. Dette gøres ved en substitution, og det er ligegyldigt, om man starter med at substituere C ud i () eller Y disp ud i (3). Her indsætter vi relation (2) i (3) og efterfølgende (3) i (): 2

(2) (3) (3'): C ab( Y T) (3') () (') : Y ab( Y T) I G Y by abt I G Y( b) abt I G Y abt I G b Y.d Stigning i I: I b En stigning i I øger produktionen. Dette øger den disponible indkomst, hvilket øger det private forbrug. Stigningen i det private forbrug øger produktionen, som øger indkomsten, som øger produktionen osv. Virkningen dør ud, da vi antager, at 0 < b <. Den totale virkning bliver som udregnet /(-b). Bemærk i øvrigt at Y G i modellen er identisk med Y I(hvorfor?). Ydisp Y T Y 0 I I I I b C Ydisp b b I I b 2.a I (2) er skatterne eksogene. I (2 ) er skatterne blevet gjort endogene, idet det offentlige opkræver skatter proportionalt med, hvad befolkningen tjener: ty. Relation (2 ) kan skrives som Y disp = Y T, som er en definitionsligning, og T = ty, som gælder i kraft af lovgivningen, og derfor kaldes en institutionel (adfærds)relation. 2.b Modellens kausale struktur ændres ikke, da (2 ) indeholder de samme to endogene variable. 2.c Samme princip som før. Resultatet er: Y bbt ai G 2.d Y Iudregnes og sammenlignes med.d. Resultat er: Y, Y Y I bbt I sp.2.d I sp..d Det nye er bt i nævneren, som i forhold til før mindsker effekten af investeringerne I på produktionen/indkomsten Y. Når investeringerne stiger, stiger produktionen/indkomsten, men den disponible indkomst stiger ikke så meget som før, da skattebetalingen til staten øges. Den mindre stigning i Y disp bevirker også mindre stigning i C osv. Ved et evt. fald i I dæmper proportionalitetsskatterne det afledte fald i Y. Vi kan altså konkludere, at udsving i I 3

bevirker mindre udsving i Y, jo højere t er. Proportionalitetsskatter virker altså som en automatisk stabilisator på Y. 3.a Ligning () definerer den samlede efterspørgsel som bestående af aggregeret forbrug C, investeringer I og offentligt forbrug G. Modellen illustrerer en lukket økonomi, da nettoeksporten ikke indgår. Ligning (2) er en adfærdsrelation for det private forbrug, hvor det antages, at kun ændringer i den endogene indkomst/produktion Y påvirker forbruget C. Ligning (3) er en adfærdsrelation for de private investeringer, hvor det antages, at kun ændringer i den eksogene rente påvirker de privates investeringsbeslutninger. 3.b Kausalanalyse udføres. Resultatet er: Nr. Endogene I Y C Eksogene & parametre Orden (3) x r 0. () x x x G (2) x x. Investeringerne bestemmes først i 0. orden, herefter bestemmes Y og C i. orden. 3.c Begge de eksogene variable r og G kan påvirke Y ( men G kan fx ikke påvirke I). 3.d Nej, Y kan ikke isoleres. Indsættes (2) i (), får man Y = C(Y) + I + G. Her kan Y ikke isoleres, da vi ikke kender den præcise funktionsform for C(Y). 3.e () dy = dc + di + dg (2) dc = C (Y) dy (3) di = I (r) dr Kausalanalysen viser, at kun () og (2) skal anvendes i udregningen af dy/dg: dy = C'(Y) dy + di + dg dy = di+dg -C'(Y) dy di =, (idet 0) dg -C'(Y) dg Kausalanalysen viser, at alle relationer skal anvendes til udregning af dy/dr: dy = I'(r)dr+dG -C'(Y) dy I'(r) = dr -C'(Y) 4

Fortolkningen af dy/dg er næsten identisk med.d, idet C (Y) er den marginale forbrugstilbøjelighed, som i sp. var lig b. dy/dr angiver, hvordan en eksogen stigning i renten påvirker produktionen. Når renten stiger, falder investeringerne, hvilket bevirker faldende produktion. Faldet i produktionen forstærkes ved multiplikatorprocessen over forbruget. Hvor stor effekten bliver, afhænger af investeringernes følsomhed overfor renten udtrykt ved I (r) samt forbrugets følsomhed overfor ændringer i indkomsten, udtrykt ved den marginale forbrugstilbøjelighed C (Y). 4.a Relation (3) er en ligevægtsbetingelse. Vi antager, at der er clearing mellem udbud af og efterspørgsel efter juletræer den 24. december. Det betyder, at sælgerne ikke står tilbage med nogle juletræer den 25. december (i praksis vil man dog se, at sælgerne stadig har træer den 25. pga. ufuldkommen information). 4.b Kausalanalysen udføres. Resultatet er: Endogene Eksogene & S træ D træ P træ Orden Nr. parametre () x V 0. (3) x x. (2) x x P lys 2. I modellen bestemmes S træ først af udbudsrelationen (). Herefter bestemmes efterspørgslen D træ af ligevægtsbetingelsen (3), og endelig bestemmes prisen P træ af efterspørgselsrelationen (2). 4.c Kun V har indflydelse på D træ, og P lys kan ikke påvirke D træ, da D træ befinder sig i en lavere orden. Det skyldes, at D træ pga. ligevægtsbetingelsen er lig S træ, som er bestemt af udbudsfunktionen. 4.d Totaldifferentiering giver: () ds træ = S (V) dv (2) dd træ = D (P træ, P lys ) dp træ + D 2 (P træ, P lys ) dp lys (3) dd træ = ds træ Kausalanalysen viser, at kun relation (2) skal anvendes til udregning af dp træ /dp lys. 0 = dd træ = D dp træ + D 2 dp lys (da dd træ er bestemt i en lavere orden) dp træ /dp lys = - D 2 / D (da både D og D 2 er negative jf. opgaveteksten) 5

P lys stiger S P træ D P træ 2 D 2 Øges prisen på lys til juletræet, sænkes efterspørgslen efter juletræer. Sælgerne af juletræer sænker herefter prisen (for at få træerne solgt) indtil udbud igen er lig efterspørgsel. Kausalanalysen viser, at alle relationer skal anvendes til udregning af dp træ /dv: S'(V) dv = D' dp + D' dp dp 0 dp dv træ træ 2 lys lys S'(V) = 0 Hvordan vil du fortolke dette resultat? D' 5.a () S træ= S (V, P træ ) 5.b Ja, da relationen nu indeholder en ekstra endogen variable: Nr. Endogene S træ D træ P træ Eksogene parametre () x x V (2) x x P lys Orden 0. (3) x x Den kausale struktur er ændret væsentligt. Før blev de enkelte variable bestemt i rækkefølge, nu bestemmes de endogene variable simultant (de har gensidig indflydelse på hinanden). 5.c Både V og P lys har nu indflydelse på D træ. 6

5.d Totaldifferentiering giver: () ds træ = S dv + S 2 dp træ (2) dd træ = D dp træ + D 2 dp lys (3) dd træ = ds træ Kausalanalysen viser, at alle relationer skal anvendes til udregningen af dp træ/dv og dp træ/dp lys : S dv + S 2 dp træ = D dp træ + D 2 dp lys dp træ (S 2 - D ) = D 2 dp lys - S dv dptræ S' dptræ D' 2 dp træ /dv = - 0 0 dv S ' D ' dp S ' D ' 2 lys 2 Resultatet tolkes lettest ved at tegne (og flytte) udbuds- og efterspørgselskurverne: V stiger P lys stiger S 2 S S P træ P træ 2 D P træ D P træ 2 D 2 6.a Kausalanalysen s. 3 viser, at samtlige relationer skal anvendes. Y indsættes i (3): c c KL a I G bt L c b ai GbT c b K c c L ai GbT b K c c 7

6.b L G og L K findes ved differentiering: c c L c c a I G b K G c c L c c c a I G b K K c c 7.a T kan påvirke C, I og r (jf. kausalanalysen). 0 0 7.b Relation (2), () og (3) skal anvendes: dc /dt findes ud fra (2): (2 ) dc = C (Y - T) dy - C (Y - T) dt = - C (Y - T) dt (da Y er i 0. orden) dc /dt = -C (Y-T) < 0 di /dt findes ud fra ovenstående resultat og (): ( ) 0 = dc + di + dg di /dt = -dc /dt dg /dt = - dc /dt = C (Y-T) < 0 dr /dt findes ud fra ovenstående resultat og (3): (3 ) di = I (r) dr dr =di /I (r) '( ) dr dt di di '( ) C Y I r T I '( r) dt dt I'( r) Stigningen i skatterne sænker den disponible indkomst. Dette sænker forbruget (med den marginale forbrugstilbøjelighed gange skatteændringen), men investeringerne stiger tilsvarende (så der igen er ligevægt på varemarkedet) pga. den øgede opsparing. Endelig er renten faldet for at for at skabe ligevægt på de finansielle markeder mellem opsparing og investeringer. 7.c Totaldifferentiering giver: (4 ) dy = F dk + F 2 dl (2 ) dc = C (Y-T) dy - C (Y-T) dt ( ) dy = dc + di + dg (3 ) di = I (r) dr Det fremgår af kausalanalysen, at kun (2 ) og (4 ) skal anvendes i udregningen af dc/dk: dy/dk = F dc/dk = C (Y-T) dy/dk = C (Y-T) F > 0 8

( ) benyttes til udregning af di/dk: dy/dk = dc/dk + di/dk F =C (Y-T) F + di/dk di/dk = F [ - C (Y-T) ] > 0 Endelig inddrages (3 ) til at bestemme dr/dk: F '[ - C'(Y-T) ] di/dk = I (r) dr/dk dr/dk = < 0 I'(r) Stigningen i kapitalapparatet øger produktiviteten og dermed indkomsten. Dette øger forbruget, men ikke med så meget som indkomststigningen (da C <), hvorfor også opsparingen er steget. Clearing på de finansielle markeder gør, at investeringerne stiger, og renten falder for at skabe ligevægt. 8.a Renten indgår nu i forbrugsfunktionen. Det er antaget, at det private forbrug falder, når renten stiger. Da indkomst kun kan gå til enten forbrug eller opsparing, betyder det implicit, at den private opsparing stiger, når renten stiger (se Mankiw figur 3-2). 8.b Resultatet af kausalanalysen: Nr. Endogene Y C I r Eksogene parametre (4) x K L 0. (2) x x x T Orden () x x x G. (3) x x Y bestemmes stadig først, men C, I og r bestemmes nu simultant. 8.c Der er stadig fuldkommen crowding out, forstået på den måde, at en stigning i G ingen effekt har på produktionen Y, men crowding out-effekten sker kun delvist ved et investeringsfald, idet det private forbrug også falder. Faldet i C og I bliver til sammen lige så stort som stigningen i G. 8.d T påvirker stadig kun C, I og r. Udregning af dc/dt kræver brug af (2), () og (3): (2 ) dc = C Y-T dy - C Y-T dt + C r dr ( ) dy = dc + di + dg (3 ) di = I (r) dr dc = - C Y-T dt + C r dr (da dy/dt = 0) dc = -di (da dg/dt = 0 og dy/dt = 0) dr = - dc/i (r) dc = - C Y-T dt - C r dc/i (r) 9

dc [ + C r /I (r) ] = - C Y-T dt C' Y-T dc/dt = - 0 [ + C'r/I'(r) ] dc/dt = - di/dt C' Y-T di/dt = 0 [ + C'r/I'(r) ] dr/dt = I (r) dr/dt C ' Y-T di/dt = 0 [ + C'r/I'(r) ] I'(r) Fortegnene er de samme som i 7.2, men størrelsesordenen er ændret. Leddet C r /I (r) er positivt og lægger en dæmper på effekterne. Når skatterne stiger, falder forbruget som i spm. 7.2. I denne model er der dog en ekstra effekt: Forbrugsfaldet betyder r. definition stigende opsparing og derved en faldende rente, som alt anet lige bevirker mindre incitament til opsparing og derfor en forbrugsstigning (der er altså en afledt virkning, som lægger en dæmper på de oprindelige effekter). 9. Litteraturliste N. Gregory Mankiw, Macroeconomics, Worth Publishers, 6. udgave, 2006 Knut Sydsæter, Matematisk analyse Bind, Gyldendal Akademisk, 7. udgave, 3. oplag, 2005 20