Vridning, vælving og kipning april 17/LC Vridning vælving og kipning 1
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Indold 1 Hvælvingsinertimoment. 1.1 Teoretisk udledning for et U-profil. 1. Taelværdier 1.3 Eksempel med et H-profil. 1. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning.1 Massive tværsnit. Åne tyndfligede tværsnit..3 Lukkede tyndfligede tværsnit.. Eksempler. 3 Bunden vridning 3.1 Teori 3. Spændinger. 3.3 Deformationer. 3. Kolede systemer. 3.5 Eksempel. Kipning.1 Teori. Åne tyndfligede tværsnit..3 Forskellige metoder 1H l i i ti t
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1. Hvælvingsinertimoment. 1.1 Teoretisk udledning for et U-profil. Hvælvingsinertimoment : For et U - profil kan vælvingsinertimomentet udregnes således: Ved en vridning af profilet omkring en z - akse vinkelret ud af planet, vil strækningen ds få en flytning i xy - planet. Strækningen ds vil også deformere sig i z -aksens retning. Denne deformation kaldes vælving, og vil ave deformationsfifur som deformationen i xy - planet. Stiveden mod denne deformation i z - aksens retning afænger af Hvælvingsinertimomentet, der er defineret således: I w = ω as ω s tds. ω s og ω as defineres på de næste sider. ω s udregnes for flangerne og kroppen ver for sig. m Underflange: Krop: s ω s1 = rds= d = s s ω s = = c d s c c s Overflange: ω s3 = c s d = s c 3
Vridning, vælving og kipning april 17/LC ω s1 defineres som det doelte areal af det skraverede område: ω s1 regnes positiv, da retningen s giver en rotation om O mod urets retning. Størrelsen på arealet liver er: som lige er det alve af værdien af ω s1, i jørnet, der er når s =. ω s kan defineres som det doelte areal af det skraverede område: ω s regnes negativ, da retningen s giver en rotation om O med urets retning. Størrelsen på arealet liver er: c. Ved udregning af ω s skal man starte med den positive værdi, der findes for s = og tillægge den negative værdi for ω s, der afænger af s. En tilsvarende etragtning kan gøres for ω s3, der også vil give et positivt idrag, da retningen af s vil give en rotation om O mod urets retning ω s3 = c. Den gennemsnitlige værdi af ω s. kaldes ω as og udregnes således: = ω as 1 m ω s1 ds ω s ds ω d s3 s = ω as 1 ds c cds c ds = ω as 1 1 1 1 c 3 c ω as = 1 ( c)
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Hvælningsinertimomentet: I w = ω as ω s tds, vor m er ele strækningen s, som er den samlede længde af flanger og krop. m = I w1 d ω as ω s1 t s I w = d ω as ω s t s I w3 = d ω as ω s3 t s I w =I w1 I w I w3 I w1 = 1 d ( c) t t s I w1 = 3 c 3 c 1 = I w 1 ( c) c c tds = I w c 3 t 1 I w3 = 1 d ( c) c t t s I w3 = 3 c 3 c 1 I w3 = 1 1 t 3 1 t c 1 t c I w =I w1 I w I w3 I w = 1 6 t 3 1 t c 1 t c 1 1 3 c Med for et U-profil, ar vi placeringen af forskydningscentrum: c = 3 6 I w = 1 6 t 3 3 t 9 ( 6 ) t 3 ( 6 ) 3 t ( 6 ) = I w 1 1 t 3 ( 3 ) ( 6 ) 5 5
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Nedenfor er angivet forskellige værdier for vridningsinertimomenter og vælvingvinertimomenter taellagt. Vridningsinertimoment kaldes er for J, mens vælvingsinertimoment kaldes for C w. 1. Taelværdier 6
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Hvælvingsinertimomentet findes for et H-profil og et Z-profil som vist nedenfor. Dette kan gøres uden at udføre de elt store eregninger. Værdierne kan findes foroldvis let ved at etragte udledningerne for et U-profil 1.3 Eksempel med et H-profil I w = 1 6 t 3 1 t c 1 t c 1 1 3 c t H-profilet opdeles i U-profifer med c=, =/: = I w 1 6 t 3 1 t 1 t 1 1 3 t = I w 1 t 3 7
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1.3. H-profil. Beregning uden integraler. Det doelte svøte areal: ω s forløer som følger: ω s ω s - ω as ω s for nederste venstre flange: starter med og slutter med positivt idrag. ω s for nederste øjre flange: starter med og slutter med = positivt 1 idrag. ω s for kroppen: starter med og slutter med. ω s for øverste øjre flange: starter med og slutter med = negativt 1 idrag ω s for øverste venstre flange: starter med og slutter med = 1 positivt idrag. Den gennemsnitlige værdi ω as er. ω as ω s varierer fra i venstre side af underflangen til - i øjse side af undersflangen. Omvendt for overflangen. ω as ω s t liver da paraler med værdien t i alle jørnepunkter. 16 Arealet af disse paraler er vælvingsinertimomentet I w = = 16 1 3 1 3 t ω as ω s t 8
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1. Eksempel med et Z-profil. Løsning uden intergraler = ω as 1 = ω as ( ) ( ) 9
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Løsning med integraler s Underflange: ω = s1 rds= d =. s s s Krop: ω s = = =, da c =. c d s c c Overflange: ω s3 = d =. s Gennemsnit: = ω as 1 m s ω s1 ds ω s ds ω d s3 s = ω as 1 ds ds ds = ω as 1 ( ) ( ) I w =I w1 I w I w3 I w = ω as ω s1 tds ω as ω s tds d ω as ω s3 t s I w1 = 1 d = ( ) t s 1 ( ) 1 t 3 ( ) = I w 1 ( ) ( ) 3 tds= 1 t ( ) I w3 = 1 d = ( ) t s 1 ( ) 1 t 3 ( ) I w = 1 1 t 3 1 ( ) t 3 1 ( ) 1 t 3 ( ) = I w 1 1 t 3 ( ) ( ) 1
Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Fri vridning..1 Massive tværsnit. Rektangel > I vr = 1 3 1.6 3 = τ max 3 T 1.6 Cirkel = I vc π r = τ max T π r 3 Ligesidet trekant = I vt 6. = τ max T 3. Åne tyndfligede tværsnit. T= G I v ϕ L I v = 1 n 3 k 3 l i t i τ i = T t i i= 1 I v = I v T t i τ i Såfremt der antages konstant forskydningsspænding i de yderste % af flangerne, kan vridningsinertimomentet udledes til at være som angivet nedenfor. Dette giver et resultat meget tæt på den generelle formel. 11
Vridning, vælving og kipning april 17/LC.3 Lukkede tyndvæggede tværsnit. F1=τ 1 Δ t 1 F=τ Δ t τ 1 t 1 =τ t q=τ t=konstant Et lukket tværsnit etragtes. Tykkelsen enævnes t. Omkredsen målt langs centerlinien af godstykkelse enævnes l. Der vælges et vilkårligt punkt P inde i tværsnittet, som der tages moment om. Dette moment T er vridningsmomentet. da= t ds F= τ da dm=a ( τ da) =a τ t ds T= 1 d M T= a τ tds l T= q a d s a ds=  l  er således det areal, der dannes af tværsnitsvæggenes centerlinie. l T= T q Â= τ t  τ = t  = τ max T t min  Deformationen af tværsnittet som følge af vridningen etragtes ud fra arejdsligningen. Arejdsligningen 1 ϕ= τ1 τ G dv ϕ = τ G 1
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Med T=1 får man τ1 = 1 t  dv= L t ds τ1 = 1 t  τ = T t  Disse 3 ligninger indsættes i 1 ϕ= τ1 τ G dv l 1 t  T l t  ϕ= dv ϕ= T L 1 ds = T L G G  t G I v I v er vridningsinertimomentet. = I v  l 1 ds t = I v  1 t l ds 1..1 Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel 1. For et cirkulært rør med radius r giver formlen: = I v 1 π r π r t = I v π r 3 t Eksempel: r 5 mm t 8 mm π r 3 t I v = 6.83 1 6 mm I v 13
Vridning, vælving og kipning april 17/LC.. Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel. For en regulær 6 kant med middelradius r og godstykkelse t giver formlen: = I v 3 3 r Eksempel: 1 6 r t R 5 mm t 8 mm I v 3 3 r 6 r 1 t I v =.5 1 6 mm Foroldet mellem vridningsinertimomenterne for et åent tyndfliget tværsnit og et lukket tyndfliget tværsnit. 1
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3. Bunden vridning. Bjælken B1 er fast indspændt i den store HEM søjle i venstre side. B1 er simpelt understøttet i øjre side med en pendulsøjle. Belastningen P påføres på jælke B. Bjælken understøttes alle steder uden dette giver ekstra exentriciteter. Alle eregninger udføres med symoler indtil eksemplet. Bjælken B1: I formet profil med lige store flanger. Bredde af flanger f. Tykkelse af flanger t f. Højde mellem flangernes centerlinier. t 1) Teorien elyses gennem det viste eksempel med en vridningspåvirket udkraget indspændt jælke. ) Der findes et udtryk for normalspændingen i flagerne. 3) Vinkeldrejninger findes på grundlag af arejdslinien. ) Eksempel med talværdier. 5) Vinkeldrejninger og spændinger vis jælken etragtes som påvirket af fri vridning.. 6) Kolede systemer. 15
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3. Bunden vridning. 3.1 Bunden vridning Teori. Hvælvingskonstatens værdi ω as ω s er f t i det yderste jørne af ω s ω s - ω as Der defineres en størrelse kaldet et imoment B. Såfremt det vridende moment opløses i vandrette modsat rettede kræfter på over- og underflange som vist, vil momentet i flangerne for en udkraget jælke stige fra i den frie ende til F L ved indspændingen. Det vridende moment afstanden tilindspændingen kaldes imomentet. I det viste eksempel er imomentet B=P L1 L t.. [kn m ] t 3. Normalspændinger. Normalspændingen i flangerne kan så estemmes efter Naviers formel σ = M z. I I dette tilfælde er momentet M = B, z = f og I= 1. t 1 t 3 f f B f t 6 B σ = der kan reduceres til. Der ganges med i tæller og nævner 1 σ = f t 1 t 3 f f t t f f og man får σ = σ = B f t som kan skrives som 1 t 3 f f t P L1 L f t 1 t 3 f f t σ = σ = 6 L1 L P t. f t t f B ω s. I eksemplet giver dette: I w 33 Vi k ld j i 16
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3.3 Vinkeldrejning. På arejdskurven for stål vil arealet under kurven repræsentarer det indre arejde mens arealet over kurven repræsenterer det ydre arejde. σ A i = ε σ A i = 1 Vi indsætter nu udtrykket for normalspændinge i det indre E arejde. L m A i = s d d. t indgår, da spændingen skal integreres op over ele I w E s x tværsnittet. Vi enytter nu definitionen for vælvingsinertimoment: skrives som: = A i L m B (x) ω s I w = I w m ω s tds. Det indre arejde kan nu t d d = =. I eksemplet er E s x B (x) I w d I w E x B (x) dx E I w L imomentet som funktion af x: B (x) =T x. Dette indføres nu i det indre arejde og integralet løses: A i = 1 ( T x). dx A i = E I w T L E I x dx A i = L3 T w 6 E I w L På arejdskurven for stål for vridning viser arejdskurven sammenængen mellem vinkeldrejningen φ og forskydningsspændingen. Forskydningsspændingen τ = T t ganges nu med I v og divideres med tykkelsen t. Hermed får man det vridende moment T. Arejdskurven viser nu sammenængen mellem vinkeldrejningen φ og det vridende moment. Arealet over kurven er således det ydre arejde: A y = 1. T φ A y =A i 1 =. T φ w L3 T φ w = L3 T 6 E I w 3 E I w L I v 17
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Eksempel 3. Talværdier i det vise eksempel. L1 f m L 1.5 m P 3 kn 581 mm mm 19 mm t f t σ 6 L1 L P t σ =.138 MPa T P L f t t f E 1 MPa I w 1 t 3 f f t φ w L13 T φ w =.161 φ w = 9.5 deg 3 E I w Bjælkens stived overfor vridning: k w = T k w 3 E I w φ w L1 3 3.5 Bjælken eregnet som fri vridning. G E ( 1.3) t w 1 mm I v 1.15 3 3 f t f 1 3 t t 3 w I v = 1.5 1 6 mm φ v T L1 = G I v φ v.15 = 8.8 deg φ v τ f T t f τ f = 55.57 MPa (forskydningsspænding i flagen) I v k v T φ v 3.6 Kolet system φ T φ =.76 k w k v T v k v φ T v =. kn m τ v τ f T v T τ v = 9. MPa T w k w φ T w =.1 kn m σ w T w σ T σ w = 95.7 MPa σ eff σ w 3 τ v σ eff = 18 MPa Ki i 18
Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Kipning..1 Kipning, teoretisk grundlag. Kipning. Teoretisk grundlag Betegnelser: x-aksen er placeret i jælkens længderetning. y-aksen går vandret gennem tværsnittets tyndepunkt. z-aksen går lodret gennem tværsnittets tyngdepunkt. Vinkeldrejning kaldes f A er tværsnitsarealet E-modulet G er forskydningsmodulet. I y er inertimomentet om den stærke akse. I z er inertimomentet om den svage akse. I v er vridningsinertimomentet. er vælvingsinertimomentet. I w M cr er det kritiske moment for kipning om den stærke akse. 19
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Figur k3 Som det ses af ovenstående figur k3, vil en fri kipning påvirke profilet til øjning om den svage akse på grund af udøjningen u. Profilet vil også live påvirket af et vridende moment. Placeringen af elastningen P vil ave en indflydelse på størrelsen af det vridende moment. I udledningen af den generelle kipningsformel antages det, at elastningen P angrier i forskydningscentrum, som er sammenfaldende med tyngdepunktet i et doeltsymmetrisk profil. Sel om profilet profilet vil evæge sig lodret nedaf med størrelsen v, vil deformationen ikke give noget moment om den stærke akse. Deformationerne vist på figur k3 findes mellem understøtningerne og er størst på midten af det viste profil. Ved understøtningerne skal konstruktionen være gaffellejret, vilket etyder, at over- og underflange fastoldes mod vandrette flytninge på tværs af profilet.
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Ved understøtningerne vil overflangen dreje mere end underflangen som det ses på figur k5. Denne deformation kaldes vælving, og størrelsen afænger l.a. af profilets vælvingsinertimoment I w. figur k5 Momentet M kan opløses i komposanter M y og T. T=M sin(θ) =M d u dx = M y M cos(θ) I det følgende sættes M y =M ligesom sin (θ) =θ. Dette kan gøres, da der er tale om små størrelser for θ. T=M sin(θ) =M θ=m d u dx 1
Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1) T= M du dx dt =M d dx dx u Differentialligning ved øjning om stærke akse: ) M= E I y d v dx Differentialligning ved øjning om svage akse: 3) M z = E I z d = dx u M ϕ 3a) = d = dx u M z M ϕ E I z E I z Differentialligning ved vridning: ) T= G I v d dx ϕ E I w d dx ϕ 3 3 ) differentieres med ensyn til x: dt =G I v d dx dx ϕ E I w d dx ϕ 5) M M ϕ =G I v d E I z dx ϕ E I w d dx ϕ M cr 3a) indsættes i 5), og der rokeres lidt om: E I w d ϕ G I = dx v d ϕ dx ϕ E I z Den karakteristiske ligning for denne. ordens differentialligning: M cr E I w m G I v m = E I z Vi får løsninger til denne ligning. Heraf er de løsninger reelle nemlig m og -m. løsninger er komplekse nemlig i n og -i n. Den generelle løsning til denne differentialligning er: ϕ =A sin( m x) B cos( m x) x C e n x D e e n x
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Randetingelserne for ligningen er: Bjælken kan ikke rotere om x-aksen ved understøtningerne på grund af gaffellejringen, vilket giver ϕ= for x= og x=l. Normalspændingen i jælkens længderetning er ved understøtningerne, vilket giver = d ϕ for x= og x=l. dx Vi vil vise, at en løsning til differentialligningen er: φ=φ sin x. L π Løsningen indsættes i den oprindelige differentialligning: E I w d φ sin x =. dx L π G I v d φ sin x M dx L π cr φ sin x L π E I z Dette giver: φ sin π x π I w I z E π G I v I z E L L M cr L = E I z L Vi forudsætter, at φ sin π x ikke er nul, vilket vil sige, at x skal ligge mellem og L. L π I w I z E π G I v I z E L L M cr =. Denne ligning løses med ensyn til E I z L M, som vi så kalderdet kritiske moment : M cr = π I z π E I w I z E G I v L L Den største udfordring ved en kipningseregning er at fastlægge det kritiske moment. Ud fra det kritiske moment dimensioneres jælken ud fra reglerne i DS/EN 1993-1-1. 3
Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Forskellige metoder Såfremt påvirkningen ikke er et konstant moment, eller understøtningsforoldene er anderledes, kan det generelle udtryk korrigeres med følgende faktorer m, se nedenfor, der skal divideres op i det generelle udtryk, således at for en ensformig fordelt last, vil det generelle udtryk live π M cr = I z π E I w.88 L L I z E G I v :
Vridning, vælving og kipning april 17/LC I teknisk Ståi anvendes en metode, der ygger på den samme metode som eskrevet ovenfor. Her er der dog muliged for at tage i regning, vor lasten angrier i tværsnittet. Der mangler dog muliged for at eandle eksempelvist en udkraget jælke. Der findes taeller m9-m1 tilsvarende m1-m8 i Teknisk Ståi. Disse er dog ikke anerkendte som værende gyldige. Med foreold vises en af taellerne nedenfor. Såfremt man gerne vil kunne justere på vælvingsindspænding eller mellemunderstøtninger er man envist til andre metoder. Der findes et program LTBeam, som er anerkendt til at åndtere dette. I andre tilfælde kan der altid opygges en flademodel i et FEM software, som vil kunne åndtere varierende tværsnit, uller varierende understøætninger mm. Denne proces er dog mere tidskrævende. Udkragede jælker 5
Vridning, vælving og kipning april 17/LC Kipning er ofte dimensionsgivende for jælker. Det er imidlertid ofte åde illigt og let at afstive mod kipning. I DS/EN 1993-1-1 findes en anvisning for dimendionering af en sådan afstivning. Se skitse nedenfor. 6