m M Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.3 Overføringsfunktion for det samlede system................... 4.3.1 Rodkurveundersøgelse.......................... 5.4 Valg af samplefrekvens.............................. 11.5 Digital implementering af PI-regulator..................... 11.5.1 Diverse plots............................... 12 Der skal designes en regulator, der kan regulere DC-motoren til at køre med en konstant vinkelhastighed ud fra input fra omdrejningsmåleren i såvel generator- som motordrift.(der skal argumenteres for dette - henvisning til analyse/problemformulering/kravspec./afgrænsning) Regulatoren indgår som en del af et lukket kredsløb, se gur 1. Regulatoren reagerer på fejlen e(s), der er dierensen mellem referencesignalet r(s) og det tilbagekoblede signal. Styresignalet, u(s), justeres så fejlen bliver mindre, og når der ikke er nogen fejl kører processen stationært. r( s ) + e( s ) u( s ) E f f ek t- v ( s ) otor ( s ) Regulator f ors tæ rk er ed gear - G r ( s ) G e ( s ) G m ( s ) H ( s ) S en s or Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip En regulator kan opbygges af et eller ere led, afhængig af de krav, der stilles til reguleringen. De enkelte led vil blive beskrevet, derefter opstilles der krav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der kan opfylde kravene [?, side 216-22]. 1
INDHOLD.1 Beskrivelse af regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfaktoren, k P : Ved Laplace-transformation fås: u = k P e U(s) E(s) = k P En P-regulator kan reducere stigetiden og stationærfejlen, men kan forøge oversvinget. For at opfylde de stillede krav kan det være nødvendigt at give P-regulatoren en stor k P -værdi. Dette kan dog medføre, at systemet bliver ustabilt, og der kan stadig forekomme en vis stationær fejl. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integratorled, der integrerer over fejlsignalet så regulatoren bliver en PI-regulator. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: t u(t) = k P e + k I e(τ)dτ U(s) E(s) = k P + k I s = k P τis + 1 τ i s hvor τ i er integraltiden, τ i = kp /k I. Regulatoren har et nulpunkt i s = 1 /τ i og har en pol i origo. PI-regulatoren kan reducere stigetiden, forøge oversvinget og indsvingningstiden, og eliminerer stationærfejlen. For at kompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har, kan der indsættes et dientialled, så regulatoren kaldes en PID-regulator. Dientialleddet medfører, at regulatoren kan reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren får en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: u(t) = k P e + k I t e(τ)dτ + k D de(t) dt U(s) E(s) = k P + k I s + k Ds Afhængig af de krav, der stilles til regulering af systemet kan regulatoren kombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator..2 Krav til regulator Kravene til regulatoren baseres på nogle tidskrav, der har indydelse på systemets dynamik, nogle krav til systemets stabilitet og et krav til systemets stationære tilstand. 2
.2. KRAV TIL REGULATOR Stigetiden, t r, er den tid, det tager for systemet at nå fra 1% til 9% af den ønskede sluttilstand. Indsvingningstiden, t s, er den tid, det tager systemets transienter at ligge indenfor et bånd omkring den ønskede sluttilstand. Den margin, som systemet må svinge omkring, vælges typisk til enten 1 %, 2 % eller 5 %. Oversvinget, M p, er den maksimale værdi, som systemet overstiger den ønskede sluttilstand. Stationærfejlen, e s s, angiver, hvor meget systemet må afvige fra den ønskede sluttilstand. Kravene til dynamik og stabilitet fremgår af gur 2 1.4 1.2 1 Mp +/ 2 % Amplitude.8.6 ts.4.2 tr 5 1 15 2 25 3 35 Tid [s] Figur 2: Denition af t r, t s og M p Tidskravene til t r og t s fastsættes på baggrund af den motorens tidskonstant, τ motor, der i kapitel?? på side?? blev beregnet til 1, 28 s. t r vælges til godt 3 gange denne værdi, og t s til godt 8 gange denne værdi. Der kan opstilles følgende krav til regulatoren: Stigetid, t r 4 s Indsvingningstid, t s 1 s ved ±2 % Oversving, M p 1 % Stationær fejl, e ss 1 % Til regulering af motoren vælges en PI-regulator, D-reguleringen fravælges, da det mekaniske system er meget langsommere end det elektriske system. Derfor er der ikke et behov for en så hurtig stigetid og regulering på små udsving, som D-reguleringen kan give. 3
INDHOLD.3 Overføringsfunktion for det samlede system I dette afsnit opstilles overføringsfunktionerne for systemet, og med udgangspunkt i disse bestemmes parametrene til PI-regulatoren, der kan overholde de i afsnit.2 på side 2 opstillede krav. Nedenstående overføringsfunktioner indgår i lukketsløjfesystemet på gur 1 på side 1: G r (s) = k P τis + 1 τ i s G e (s) = 14 19, 47 G m (s) = 1, 279s + 1 H(s) = 1 Der kan opstilles nedenstående overføringsfunktioner for det samlede system i gur 1 på side 1: Åbensløjfe overføringsfunktionen, der deneres som produktet af alle overføringsfunktioner rundt i sløjfen: G ol (s) = G r G e G m H (1) Lukketsløjfe overføringsfunktionen, der er overføringsfunktionen af det samlede lukketsløjfe system fra input, r(s) til output, ω(s): G cl (s) = = = G r G e G m 1 + G r G e G m H T G r T Ge T Gm N Gr N Ge N Gm 1 + T Gr TGe TGm T H N Gr N Ge N Gm N H T Gr T Ge T Gm N H (2) N Gr N Ge N Gm N H + T Gr T Ge T Gm T H Ved indsættelse i formel 1 og 2 fås overføringsfunktionerne, hvori der indgår de ubekendte parametre til PI-regulatoren: G ol (s) = k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s (1, 279s + 1) (τ i s + 1) = 272, 58k P s(1, 279s + 1) (3) G cl (s) = k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s 1 (1, 279s + 1) 1 + k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s + 1 = 213, 12 k P τ 1 s 2 + (, 782 + 213, 12k P )s + 213, 12 k P τi For at beregne k P og τ i gennemføres en rodkurveundersøgelse. (4) 4
.3.1 Rodkurveundersøgelse.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM I dette afsnit laves en rodkurveundersøgelse for at kunne fastlægge systemets overføringsfunktion ud fra de opstillede krav, samt de målte og beregnede værdier.i en rodkurveundersøgelse ses der på systemets åbensløjfeoverføringsfunktion, hvor systemets kendte poler indtegnes. Derefter vælges en placering for PI-regulatorens nulpunkt, og der undersøges for hvilke værdier af k P at lukketsløjfens poler overholder de opstillede krav. Nedenstående formler anvendes kun som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de kun er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunkter. Først beregnes de begrænsninger, som de opstillede krav giver til lukketsløjfepolernes placering. Dæmpningsfaktoren, ξ, ndes ved hjælp af formel 5 ud fra kravet om M p 1 % [?, side 147]: M p = e ( πξ/ 1 ξ 2), ξ 1. (5) Ved indsættelse ndes, at ξ skal være, 6. I det komplekse plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinklen φ ξ = sin 1 ξ med imaginæraksen, se gur 3 på næste side. For ξ =, 6 er φ ξ 37. Overføringsfunktionens poler skal ligge mellem linerne med hældningskoecienten, α = ± cos(37 ) = ± 1, 33. sin(37 ) Indsvingningstiden, t s, skal være 1 s ved ±2 %. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ = ξω n. σ ndes ved hjælp af formel 6:, 2 = e ξω nt s (6) σ = 3, 912 t s Indsættes t s, ndes σ, 39 s. Dette krav indtegnes som en lodret linie på gur 3 på næste side, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra kravet til stigetid, t r 4 s ndes kravet til den naturlige egenfrekvens, ω n ud fra følgende formel [?, side 145]: ω n = 1, 8 t r (7) Kravet til ω n beregnes som ω n, 45 rad s. ω n indtegnes som en halvcirkel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius =, 45, se gur 3 på den følgende side. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirkel. Området for lukketsløjfens polplacering er nu fastlagt, og herefter kan k P og τ i bestemmes. Åbensløjfens overføringsfunktion er givet ved formel 3 på forrige side. Integratoren giver en pol i origo, og motoren giver en pol i, 7821 [rad/s]. Det vælges at placere nulpunktet i ω i = 8 [rad/s], hvilket er en dekade højere end pole motorens pol, se gur 4 på den følgende side. For forskellige værdier af k P vil polerne bevæge sig rundt på halvcirklerne, se gur 5 på side 7. Ved en forstærkning større end cirka, 1 bevæger polerne sig væk fra real-aksen og bliver imaginære. 5
INDHOLD Im n =, 4 5 O m r å d e f o r p o l p l a c e r ing R e sin -1 Figur 3: Område for polplacering Im R e 8, 7 82 Figur 4: Åbensløjfens poler og nulpunkter for ω i = 8 rad /s Nulpunktets placering giver en integrationstid, τ i = 1 ω i =, 125 s. Ved indsættelse i formel 3 på side 4 fås følgende udtryk for G ol (s): G ol (s) = k P (, 125s + 1) 218, 64 s(1, 279s + 1) (8) Derefter beregnes for, hvilken værdi af k P at formel 8 har en forstærkning på 1, og der laves et bodeplot af G ol (s) for at se, om der er en fasemargin på mindst 45 ved denne forstærkning. Forstærkningen beregnes til k P =, 469, og som det fremgår af gur 6 på side 8 er der 6
.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM 8 6 4 2 Imag Axis 2 4 6 8 2 15 1 5 Real Axis Figur 5: Rodkurve for polplacering ved forskellige værdier af k P en fasemargin på cirka 52 %, hvilket betyder at systemet er stabilt. Derefter skal lukketsløjfens poler beregnes, og det skal kontrolleres, om de ligger i det gyldige område. Ved indsættelse af k P og τ i i formel 4 på side 4 ndes polerne som: s =, 44 ± j, 78 Som det fremgår af gur 7 på den følgende side ligger polerne udenfor det gyldige område. Det er kravet til en dæmpningsfaktor større end, 6, der ikke er overholdt. Det betyder, at der kommer et for stort oversving, hvilket kan se på gur 8 på side 9, hvoraf det fremgår at stepresponset har et oversvinget på cirka 18 %. Det betyder, at der skal ndes en anden værdi af k P, der kan opfylde alle de stillede krav. På gur 6 på den følgende side ses det, at der kan opnås en fasemargin på mindst 45 både ved at øge forstærkningen, og ved at sænke forstærkningen. Øges forstærkningen, bliver knækfrekvensen, ω c, også større, hvilket stiller større krav til samplingsfrekvensen ved implementering af PI-regulatoren i C167, se afsnit.4 på side 11. Det vil ikke være muligt at opnå så høj en samplingsfrekvens, som en forøgelse af k P ville kræve, så derfor vælges det at nde en mindre værdi for k P. Da M p er cirka dobbelt så stor som krævet, prøves med k P =, 26. Herved opnås en fasemargin på cirka 62 ved en krækfrekvens på ω c =, 4832 rad /s, se gur 9 på side 9. Lukketsløjfens poler ligger i: s =, 42 ± j, 52 Denne placering ligger i det gyldige område, se gur 1 på side 1. 7
INDHOLD Bode Diagrams 4 Gm = Inf, Pm=51.74 deg. (at.7449 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) 2 4 6 1 12 14 16 18 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Figur 6: Bodeplot for åbensløjfe med k P =, 469 Im -,4 4 + j,7 8,5 R e,5 Figur 7: Polplacering for lukketsløjfe med k P =, 469. Der er kun vist den ene pol. Som det fremgår af gur 11 på side 1 er oversvinget nu på cirka 9 % og kravene til t r og t s 8
.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM 1.4 Mp = 18 % 1.2 1 Amplitude.8.6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Tid [s] Figur 8: Steprespons på lukketsløjfe med k P =, 469 Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=61.748 deg. (at.48318 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) 2 4 6 1 12 14 16 18 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Figur 9: Bodeplot for åbensløjfe med k P =, 26 er ligeledes overholdt. 9
INDHOLD Im -,4 2 + j,52,5 R e,5 Figur 1: Polplacering for lukketsløjfe med k P =, 26. Der er kun vist den ene pol. 1.4 1.2 Mp = 9 % 1 Amplitude.8.6 ts = 9,3 s.4.2 tr = 2,7 s 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Tid [s] Figur 11: Steprespons på lukketsløjfe med k P =, 26 Herefter kan de faktiske værdier af t r, t s, ξ, σ og ω n beregnes. Systemet poler er ligger i: s = σ ± 1 ξ 2. Polernes realdel er udtryk ved σ, som er, 42 for den valgte τ i og beregnede k P. Ved 1
.4. VALG AF SAMPLEFREKVENS indsættelse i formel 6 på side 5 fås t s = 9, 3 s. Dæmpningsfaktoren beregnes som ξ =, 61 for M p = 9 % ved indsættelse i formel 5 på side 5. Polernes imaginærdel er givet ved ± ω n 1 ξ2. ω n beregnes til, 65 rad /s, og stigetiden beregnes til t r = 2, 7 s ved indsættelse i formel 7 på side 5. Den stationære fejl, e ss, ndes som: 1 e ss = lim s sg aa (s) (Denne formel skal lige vericeres og der skal skrives noget mere!)..4 Valg af samplefrekvens Der skal vælges en samplefrekvens, f sample, til PI-regulatoren, der er så høj, at den digitaliserede regulator ikke bliver for upræcis i forhold til en analog implementation af regulatoren. Derfor sættes samplefrekvensen ofte til tyve til fyrre gange lukketsløjfe 3dB båndbredden, ω BW [?, side 689]. ω BW ndes som: (9) ω BW 2 ω c (1) ω c ndes ved hjælp af et Bodeplot til ω c =, 4832 rad /s, se gur 9 på side 9. Der vælges en samplefrekvens på 4 gange ω BW. Derved bliver f sample = 6, 2 Hz, og den vælges til 6 Hz..5 Digital implementering af PI-regulator PI-regulatoren skal implementeres i C167. Derfor skal dens overføringsfunktion omskrives til en rekursiv dierensligning ved hjælp af bilinear z-transformastion [?, side 245-25 og 648-662]. PI-regulatorens overføringsfunktion er: G r (s) = U(s) E(s) =, 325s +, 26, 125s (11) For at nde den diskrete ækvivalente overføringsfunktion anvendes Tustin's sætning til at bringe overføringsfunktionen over i z-domænet [?, side 245-251]. Hertil anvendes den diskrete operator 2 z 1 T s z + 1 der sættes ind på s plads. t s er sampleperioden, og for en f sample på 6 Hz er den, 167 s. Den diskrete operator ndes: 2 z 1, 167 z + 1 = 12 (z 1) (z + 1) 11
INDHOLD Den diskrete overføringsfunktion ndes: D d (z) = U(z) E(z) D d (z) = = G r (s) s= 12 (z 1) z+1) D d (z) =, 325 12 (z 1) (z+1) +, 26, 1 12 (z 1) (z+1), 433, 87z 1 1 z 1 Den diskrete overføringsfunktion konverteres til en diskret dierensligning: (1 z 1 )U(z) = (, 433, 87z 1 )E(z) u(k) u(k 1) =, 433e(k), 87e(k 1) u(k) = u(k 1) +, 433e(k), 87e(k 1) Dermed er PI-regulatorens overføringsfunktion blevet omskrevet til en dierensligning, der kan implementeres i software i C167, se kapitel?? på side??..5.1 Diverse plots (Disse plots er bare midlertidig sat ind] Konklusion: Ikke ret god overensstemmelse mellem digital og analog simulering. Den digitale simulering er MEGET langsommere til at regulere ind til 7 rad /s. 12
.5. DIGITAL IMPLEMENTERING AF PI-REGULATOR 7 skop 6 5 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time offset: Figur 12: Digital simulering 13
INDHOLD 8 skop 7 6 5 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time offset: Figur 13: Analog simulering 14