Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion. Indtastning af matematiske udtryk i matematikmode Når man indtaster et udtryk i matematikmode skal man altid skrive alle gangetegn. 21 Jeg fik maple til selv at regne ud ved at taste ALT+ENTER. Man kan skrive kvadratrod ved at taste sqrt og så trykke escape 3 Hvis man ikke kan huske, hvad et symbol eller et udtryk hedder (sqrt), kan man i stedet vælge udtrykket under menuen Expression til venstre eller under menuen common Symbols til venstre. Hvis man gerne vil have Maple til at regne tallet ud kan man sætte et punktum efter 27 3.000000000 Man kan afrunde resultatet ved at højreklikke på det og vælge numeric formatting. 3. Lektion. Reducering Man kan reducere et udtryk i Maple på følgende måde (jeg trykker ALT+ENTER) Man kan få Maple til at gange parenteser ud ved at højreklikke og vælge expand expand 4. Lektion Løsning af ligninger Man løse ligninger vha. Maple på følgende måde 2 5. Lektion. At gemme sine resultater (vigtigt. Alle resultater skal gemmes, så undgår vi afrundingsfejl) Man kan gemme et tal bare ved at bruge. Det svarer til at gemme tallet på lommeregneren 7 Her har jeg trykket ALT+ENTER. Resultatet er først gemt, når det blå 7-tal er kommet frem!
Nu kan jeg bruge tallet a i alle mulige matematiske udtryk 21 Man kan også gemme løsningen på en ligning 0.6666666667 I det sidste tilfælde kan jeg få løsningerne frem ved at bruge klamme parenteser 2 og 1 6. Lektion. Indtastning af funktioner Man kan indtaste en funktion ved at skrive Bemærk, at man også her bruger, hvilket svarer til, at man gemmer funktionsforskriften i f Nu kan funktionen let bruges. 20 1.666666667 7. Lektion. Tegning af grafer Man tegner grafen vha. rutinen plot
8. lektion. Bestemmelse af forskrift for en ret linje gennem to punkter Lad to punter og være givet. Vi finder ligningen for den rette linje gennem de to punkter ved først at beregne a-værdien 3 2 eller hvis man foretrækker det: 3 2 Dernæst bestemmes linjens ligning vha. Etpunktsformlen: evaluate procedure Eller hvis man foretrækker selv at sætte tal ind: evaluate procedure 9. Lektion. Lineær regression Tallene herunder viser maksimalpulsen (målt i slag pr minut) som funktion af alderen (år). Vi tegner en graf for pulsen som funktion af alderen
(Husk at ændre på titel og labels så de passer til opgavens formulering). Vi ser, at punkterne tilnærmelsesvist danner en ret linje i et almindeligt koordinatsystem. Defor afhænger pulsen lineært af alderen. Vi bestemmer regneforskriften for pulsen som funktion af alderen. evaluate procedure Vi aflæser a-værdien og b-værdien 219.639344262295 At betyder, at maksimalpulsen for et menneske. falder med ca 1 slag pr minut om året. At 219.639344262295 betyder at maksimalpulsen for en baby (0 år) er ca. 220 slag pr minut. (fordi 219.639344262295) Maksimalpulsen for en 75-årig findes Dvs. maksimalpulsen for en 75-årig er ca. 145 slag pr minut. Vi finder alderen af en person med maksimalpuls på 175 slag pr minut ved at løse ligningen. Dvs. alderen af en person med maksimalpuls 175 slag pr minut er ca. 45år.
Vi kan tegne residualplottet for den lineære udvikling Vi ser, at der ikke er nogen systematik i residualerne (ingen parabelformet kurve). Hvis vi kigger på plottet og grafen kan vi derfor konkludere, at der med god tilnærmelse er en lineær sammenhæng mellem et menneskes alder og dets maksimalpuls. Lektion 10. Eksponentielle udviklinger. a) Bestemmelse af regneforskrift ud fra to punkter En eksponentiel udvikling går gennem punkterne A(2,7) og B(11,19). a-værdien bestemmes: 1.117336410 b-værdien bestemmes: 5.606994600 Dvs. regneforskriften er evaluate procedure
Vi ser, at der er altså tale om en voksende eksponentiel udvikling med fordoblingskonstant 6.247515799 y-værdien vokser med 11.7336410 procent, når x øges med 1. y-værdien voksner med 203.2770249 procent når x øges med 10 Vi kan beregne y-værdien når x-værdien er 7: 12.19039549 Vi kan beregne x-værdien, når y-værdien er 15: 8.869366489 b) Bestemmelse af regneforskrift ud fra fordoblingskonstant og et punkt En eksponentiel udvikling går gennem punktet A(3,4.5) og har fordoblingskonstanten 5 a-værdien bestemmes vha. formlen for fordoblingskonstant 1.148698355 b-værdien findes 2.968892799 Nu er regneforskriften evaluate procedure c) Bestemmelse af forskrift ud fra mange punkter
Vi kan se, at punkter danner en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Derfor afhænger antallet af blade eksponentielt af tiden. Vi kan finde regneforskriften for udviklingen: evaluate procedure At betyder, at antallet af blade vokser med % om dagen. At betyder, at der i begyndelsen (efter 0 dage) var ca. 117 blade. Lektion 11. Potensudviklinger a) Bestemmelse af regneforskrift gennem to punkter Lad punkterne A(3,5) og B(7,11) være givet. a-værdien bestemmes: 0.9305551181
b-værdien bestemmes: 1.798797928 Dvs. regneforskriften er evaluate procedure b) anvendelse af regneforskriten Hvis x-værdien er 17, så er y værdien Vi kan bestemme x-værdien hvis y-værdien er 23 Hvis x-værdien vokser med 17 svarende til en fremskrivningsfaktor på Så vokser y-værdien med c) Den bedste potensudvikling gennem mange punkter Krager flyver op med nøder og lader dem falde. De gentager proceduren indtil nødderne knækker. Vi tegner grafen
Vi ser, at punkterne med god tilnærmelse danner en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Derfor er der tale om en potensudvikling. Vi finder regneforskriften evaluate procedure Vi ser, at LÆG MÆRKE TIL, AT HVIS MAPLE ANGIVER FORSKRIFTEN SOM EN BRØK I POTENSREGRESSION, SÅ ER a-værdien NEGATIV! Lektion 12. Retvinklede trekanter a) bestemmelse af side I trekant PQR er 4, 67 og vinkel 90 Vi tegner en skitse af trekanten.
Vi finder vinkel P vha. vinkelsummen i en trekant: 23 23 Vi finder siden r vha. af cosinus b) bestemmelse af vinkel I trekant RST er 4, 7 og 90 Vi tegner en skitse af trekanten Vi bestemmer vinkel S vha. sinus c) brug af pythagoras sætning
I trekant QRS oplyses, at 3, 5 og at vinkel S er ret. Nu bestemmes siden r vha. Pythagoras' sætning 4 Lektion 13. Vilkårlige trekanter a) Bestemmelse af side vha. sinusrelationerne (Skitsen er overladt til læseren) 30, 40 og 7 Vi finder siden vha. sinusrelationerne: b) Bestemmelse af vinkel vha. sinusrelationer 30, 5 og 9 Vi finder vinklen vha. sinusrelationerne: Dvs. der er to løsninger til opgaven: c) Bestemmelse af en side vha. cosinusrelationerne 24, 7, 5 Vi bestemmer siden vha. cosinusrelationerne d) Bestemmelse af en vinkel vha. cosinusrelationerne 5, 6 og 4 Lektion 15. Deskriptiv statistik. Ikke grupperede observationssæt a) Indtastning af data Der er to måder at indtaste data på. eller (anbefales):
b) Boksplot ud fra et observationssæt Ved brug af gym-pakken fås ud fra to observationssæt ud fra kvartilsættet Hvis kvartilsættet og hhv. mindste- og største værdi er kendt: Kvartilsæt (5,8,11). Mindste værdi 3. Størsteværdi 14 Vi gentager blot nedre og øvre kvartil, når vi opstiller datasættet:
c) Frekvenser Frekvenser og kumulerede frekvenser findes og d) Frekvenstabel Man kan lave en tabel i en arbejdsgang observation hyppighed frekvens kumuleret 8 2 10 10 9 3 15 25 10 5 25 50 11 5 25 75 12 2 10 85 13 3 15 100 (Her trykkes Enter i stedet for ALT+Enter) e) Pindediagram
f) Trappekurve g) Kvartilsæt h) Varians og spredning Lektion 16. Deskriptiv statistik. Grupperede observationer a. Indtastning af data Data indtastes ved hjælp af Matrix i menuen til venstre. Data skal placeres i to kolonner, som vist nedenfor.
b) Frekvenser Frekvenser og kumulerede frekvenser findes og c) Opstilling af frekvenstabel Vi kan opstille en frekvenstabel (Her trykkes enter i stedet for ALT+ENTER) observation hyppighed frekvens kumuleret 0.. 5 2 4 4 5.. 10 5 10 14 10.. 15 20 40 54 15.. 20 13 26 80 20.. 25 9 18 98 25.. 30 1 2 100 d) Histogram og sumkurve Vi kan tegne et histogram:
Husk at forsyne figurerne med ordentlige overskrifter! e) Statistiske deskriptorer Vi kan også finde midelværdi, spredning, varians, typeinterval, en bestemt fraktil eller kvartilsættet: f) Aflæsning på sumkurven Hvor mange procent har fået 22 og derunder?
0.872000000000000 Hvor mange procent har fået over 22 0.128000000000000 Lektion 16. Chi^2-test - Goodness of fit En restaurant med 5 forskellige faste menuer plejer at have følgende ordrefordeling Restaurantens ejer har mistanke om, at fordelingen har ændret sig og foretager en stikprøve på 543 gæster. Deres ordrefordelingen var Den forventede fordeling var: Vi opstiller nulhypotesen og den alternative hypotese: Ho:,,, og H1: Mindst en af sandsynlighederne er ikke som forventet. Chi^2-test. Goodness of fit. Kort version
Vi ser, at p-værdien er meget mindre end 5%. 0.000123026351204203 Eller: Vi ser, at teststørrelsen er større end den kritiske værdi Derfor kan nulhypotesen forkastes på signifikansniveau 5%. Vi vil altså tillade os at arbejde ud fra, at ordrefordelingen har ændret sig. Kundernes smag er fornyet :-) Chi^2-test. Goodness of fit. Lang version Antallet af frihedsgrader er 4, fordi summen af sandsynlighederne skal give 1, eller fordi at summen af observationerne skal være 543. Vi foretager nu en Goodnes-of-Fit-Chi^2 test Teststørrelsen kan beregnes: De enkelte bidrag til teststørrelsen kan beregnes: Den kritiske værdi kan beregnes p-værdien kan beregnes: 0.000123026351204203 Lektion 17 Chi^2-test - spørgsmål om uafhængighed. Kort version
Chi^2. test - spørgsmål om uafhængighed. Lang version I en undersøgelse blev 234 kvinder og 257 mænd spurgt, om de var tilfredse med deres udseende. og Første tal viser antallet af tilfredse og andet antallet af utilfredse. Vort observationssæt er altså Vi vil på signifikansniveau af kønnet og opstiller hypoteserne 0.05 undersøge, om holdningen til udseeenet er uafhængigt Nulhypotese, Ho: Holdningen til udseendet er uafhængig af kønnet. Alternativ hypotese: Holdningen til udseendet afhænger af kønnet. Vi aflæser antallet af rækker og søjler Antal rækker er 2 Antal søjler er 2 Nu ser vi, at antallet af frihedsgrader er 1 De marginale summer udregnes De forventede værdier (hvis Ho er sand) kan udregnes
De enkelte bidrag til Chi^2 teststørrelsen Q kan beregnes: I TS kan teststørrelsen aflæses: 6.739442808 Den kritiske værdi kan beregnes 3.84145606580278 3.84145606580278 p-værdien er sandsynligheden for at hændelsen svarende til vort observationssæt indtræffer, forudsat at Ho er sand. 0.00943040394623873 Konklussion ud fra kritisk værdi og teststørrelse: Da teststørrelsen 6.739442808 er større end den krittiske værdi 3.84145606580278 kan vi forkaste Ho og altså arbejde ud fra den alternative hypotese. Dvs. vi vil tillade os at arbejde ud fra, at holdningen til spørgsmålet om udseendet er afhængigt af kønnet. Konklussion ud fra p-værdi Da p-værdien 0.943040394623873 er mindre end signifikansniveauet 5.00 kan vi forkaste Ho og altså arbejde ud fra den alternative hypotese. Dvs. vi vil tillade os at arbejde ud fra, at holdningen til spørgsmålet om udseendet er afhængigt af kønnet. Resultatet vist grafisk
Lektion 17. Differentialregning a) At differentiere en funktion Vi differentierer funktionen ved blot at skrive b) Bestemmelse af ligningen for en tangent Vi finder ligningen for tangenten til grafen for funktionen i punktet ved først at finde stigningstallet 1 og dernæst indsætte i etpunktsformlen evaluate procedure Alternativt kan man få Maple til at indsætte værdierne: evaluate procedure Som kontrol bør grafen for f tegnes sammen med dens tangent i punktet P
c) Monotoniforhold Vi ønsker at undersøge monotoniforholdene for funktionen Vi lægger mærke til at monotoniforholdene. Nu løses ligningen og får altså herfra ingen vigtige værdier til bestemmelse af for at finde steder med vandret tangent. Dvs. der er andret tangent i og i Fortegnene for f'(x) undersøges: 15 i voksende i i aftagende i 15 i voksende i Resultatet for undersøgelsen vises på en tallinje: Dvs. f har lokalt maksimum i og lokalt minimum i Vi tegner grafen for funktionen hermed: og ser, at undersøgelsen af monotoniforholdene stemmer overens
Lektion 18. Integralregning a) Bestemmelse af en stamfunktion En stamfunktion til en given funktion findes evaluate procedure b) Bestemmelse af en bestemt stamfunktion Den stamfunktion til, hvis graf indeholder punktet findes Bemærk, hvis denne kommando ikke fungerer, så kan man ofte klare problemet ved at "restarte" først. c) Bestemmelse arealet under en kurve. Vi ønsker at finde arealet under grafen for en funktion i intervallet og tegner først grafen for
Det ønskede areal findes 103.5000000 d) Bestemmelse af arealet mellem x-aksen og en kurve. (Hvis funktionen er positiv gøres som vist ovenfor). Lad. Vi ønsker at bestemme arealet mellem grafen for og x-aksen i intervallet og tegner derfor først grafen:
Vi finder de tre skæringspunkter med x-aksen i dette interval: Nu fås (idet integralet er negativt, når punktmængden er under x-aksen) e) Bestemmelse af arealet mellem grafen for to funktioner Arealet mellem grafen for funktionerne og findes. Vi tegner først grafen for de to funktioner i samme koordinatsystem.
Dernæst findes x-koordinaterne til de to skæringspunkter mellem f og g (grænserne kan også være givet i opgaven). Nu er arealet mellem graferne for f og g i [0;1] givet ved 1 6 Bemærk: I integralet skal man skrive (øverste funktion minus nederste funktion). f) Bestemmelse af rumfang af omdrejningslegemer Hvis arealet under grafen for i intervallet [1;4] drejes 360 grader omkring x-aksen, så bliver rumfanget af det fremkomne legeme Hvis det samme areal drejes 360 grader omkring y-aksen, så bliver rumfanget af det fremkomne legeme Lektion 19. Differentialligninger Vi finder den generelle løsning til differentialligningen vha. kommandoen dsolve Vi finder den specielle løsning til differential ligningen, som opfylder assign as function f
Bemærk. 1. Hvis man højreklikker på det blå resultat og vælger assign as funktion, som vist ovenfor, så er regneforskriften gemt som en funktion og kan herefter frit benyttes. 2. Hvis kommandoen ikke virker første gang, så kan man ofte løse problemet ved i matematikmode at skrive restart og så køre kommandoen en gang til. Jeg har ikke kunnet gennemskue, hvor i problemet har bestået, men fremgangsmåden har bragt mange glade smil på læberne blandt elever og hos mig selv :-) Lektion 20. Vektorer i planen a) Definition af vektorer Man definerer vektorer i maple ved at bruge symbolerne mindre end < og større end >. To vektorer defineres: og b) Længden af en vektor Man kan finde længden af en vektor 5 og c) Bestemmelse af skalarprodukt Man kan finde skalarproduktet mellem to vektorer ved at bruge symbolet punktum. 26. d) Vinklen mellem to vektorer Man kan finde vinklen mellem to vektorer e) Bestemmelse af t så to vektorer er ortogonale Vi kan bestemme t, så og evaluate procedure f) Opløsning i komposanter Let overskuelig metode: Vi kan opløse vektoren i komposanter efter og ved at løse ligningen. Altså James Bond metode. Vi kan opløse vektoren
i komposanter efter a og b ved at løse g) Beregning af determinanter Man kan beregne determinanten mellem to vektorer vha. kommandoen det 7. h) Determinanter og arealer Arealet af det af a og b udspændte paralellogram findes 7. Arealet af den af a og b udspændte trekant findes 3.500000000 i) Bestemmelse af t, så to vektorer er parallelle Vi kan bestemme t, så og er parallelle. 8 3 j) projektion af vektorer Vi kan projicere vektoren b ned på vektoren a Lektion 21. Vektorer i rummet a. Skæringspunkt mellem linje og plan I linjens parameterfremstilling er koordinatfunktionerne givet ved Herudfra opskrives linjens parameterfremstilling evaluate procedure Vi bruger følgende funktion til at beskrive planens ligning
Vi indsætter koordinatfunktionerne i planens ligning og løser den for at finde den t-værdi der svarer til skæringspunktet mellem linjen og planen 5 Den fundne t-værdi indsættes i linjens parameterfremstilling for at finde skæringspunktet Skæringspunktet er altså Kontrol: 0 Skæringspunkter mellem linje og kugle Lad en linje være givet ved koordinatfunktionerne Lad en linje være givet ved evaluate procedure og en kugle være givet ved funktionen Vi finder t-værdierne svarende til eventuelle skæringspunkter mellem linjen og kuglen ved at indsætte koordinatfunktionerne i kuglens ligning og derpå løse den. Skæringspunkterne findes ved at indsætte disse tværdier i linjens parameterfremstilling
Dvs. skæringspunkterne er og Bestemmelse af centrum og radius for en cirkel (og en kugle) complete square complete square Dvs. centrum er og radius er 3