Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1

OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser; beregninger. Denne gang: M/M/(m, n m)-køsystemet med n kunder. Køsystemer uden Markovegenskab. OVERBLIK 2

KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Ekspeditionstidsproces KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 3

KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 1 2. k X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Population Ekspeditionstidsproces KØSYSTEMER MED ENDELIG POPULATION 3

M/M/(m, n m)-køsystemet MED n KUNDER Population på n kunder, m ekspedienter, n m køpladser. Dvs. alle kunder kan være i systemet samtidig (rent ventesystem). Ekspeditionsintensitet b Antager om ankomster at Hver kunde, som ikke er i system, har forsøger ankomst m. ventetider som er eksponentialfordelte med intensitet a. Mao. ankomstintensitet er tidsuafhængig for et givet antal tilbageværende kunder i populationen. Med x kunder i systemet, vil ankomstintensiteten være ankomstintensitet = a(n x), x kunder i system. M/M/(m, n m)-køsystemet MED n KUNDER 4

EKSEMPEL 3 computere, 6 ventepladser, 6 brugere. Ankomstintensitet per bruger: 2/time. Ekspeditionsintensitet: 1/time. Husk; ventetid på færdiggørelse af k 2 ekspeditioner er fordelt som S = min{s 1,...,S k }, S i Exp(b). Dvs. S Exp(kb). Ankomstintensiteter/ekspeditionsintensiteter Antal kunder i system 0 1 2 3 4 5 6 Antal kunder i population 6 5 4 3 2 1 0 Ankomstintensitet 12 10 8 6 4 2 0 Ekspeditionsintensitet - 1 2 2 2 2 2 EKSEMPEL 5

HOPDIAGRAM FOR M/M/(m,n m) MED n KUNDER a a(n 1) a(n m+1) a(n m) an 0 1 2 m-1 m m+1 n-1 n b 2b mb mb mb Ankomstintensitet med x kunder er a(n x). Hvis der er... 1. i < m kunder i systemet er færdiggørelsesintensitet ib. 2. i m kunder i systemet er færdiggørelsesintensitet mb. Hvis der er n kunder i systemet, er kundepopulationen udtømt. HOPDIAGRAM FOR M/M/(m, n m) MED n KUNDER 6

LIGEVÆGT FOR M/M(m,n m) MED n KUNDER Køsystemet kan beskrives vha. en fødsels- og dødsproces. Lad A = a/b betegne trafiktilbudet. Vha. formler i Andersen (2001), p. 50, fås ligevægtsfordeling p 0 = p k = = ( m 1 x=0 ( n x ( ) n A x + x n x=m n! (n x)!m!m x max) 1 ) A k p 0 hvis 0 k m; n! A k p (n k)!m!m k m 0 hvis m k n. ( n ) x A k p 0 hvis 0 k m; ( k mpm (n m)! A (n k)! m) hvis m k n. Ligevægt eksisterer for ethvert valg af A > 0 (antager n < ). LIGEVÆGT FOR M/M(m, n m) MED n KUNDER 7

KARAKTERISTISKE STØRRELSER Effektiv ankomstintensitet: a e = a gnsnt. antal kunder tilbage i population = a Udnyttelsesgrad af ekspedient: Gnsnt. kølængde: E = a e mb n (n k)p k. k=0 L q = n k=m+1 (k m)p k Gnsnt. ventetid i kø: V q = L q a e. KARAKTERISTISKE STØRRELSER 8

BEREGNINGER I EXCEL Binomialfordelingen med antalsparam. n, sandsynlighedsparam. p = A 1+A P(X = k) = Når 0 k m ( ) n ( A ) k ( 1 k 1 + A A ) n k = (1+A) n 1 + A ( ) n A k. k p k = POTENS(1+A;n) * BINOMIALFORDELING(k;n;A/(1+A);FALSK) *p 0 Når m k n p k = POISSON(n-k;m/A;FALSK)/POISSON(n-m;m/A;FALSK)*p m p 1 0 = POTENS(1+A;n)*(BINOMIALFORDELING(m;n;A/(1+A);SAND)+ POISSON(n-m-1;m/A;SAND)/POISSON(n-m;m/A;FALSK)* BINOMIALFORDELING(m;n;A/(1+A);FALSK)) BEREGNINGER I EXCEL 9

KØSYSTEMER MED MARKOVSTRUKTUR REKAPITULATION Vi har i kurset indtil videre set på tilfælde, hvor antal kunder N(t) i systemet er en Markovproces: M/M(1, n). Ankomstprocessen er en Poissonproces, der er 1 ekspedient, n ventepladser, og ekspeditionstider er uafhængigt eksponentialfordelte. M/M(m, n m). Ankomstprocessen er en Poissonproces, der er m ekspedienter, n m køpladser, og ekspeditionstider er uafhængigt eksponentialfordelte. M/M(m, n m) med n kunder i population (eksponentialfordelte ventetider på ankomster). I alle ovenstående tilfælde fandt vi, at N kunne beskrives vha. en fødsels- og dødsproces. KØSYSTEMER MED MARKOVSTRUKTUR REKAPITULATION 10

HVAD FIK DET TIL AT VIRKE? a 0 a 1 0 1 2 n b 1 b 2 Overgangsintensiteterne afhænger kun af tilstanden og ikke af tiden tilbragt i tilstanden ( hukommelsesløs egenskab ved Poissonproces og eksponentialfordeling)! Når vi bevæger os bort fra setup et med eksponentialfordelte ventetider (dvs. tidsuafhængige overgangsintensiteter), er N(t) generelt ikke en Markovproces. HVAD FIK DET TIL AT VIRKE? 11

G/GI(1, )-KØSYSTEMET Stationær ankomstproces m. i snit a ankomster per tidsenhed. U: tiden mellem to ankomster. Opfylder EU = 1/a. S: ekspeditionstiden for en kunde (fra fast generel fordeling). Antal kunder i system er generelt ej stationær Markovproces; overgangsintensiteter afhænger af tid i tilstand. Ligevægt/stabilitet (dvs. P(N(t) < ) = 1) kræver EU > ES. Vi kan ikke udregne performancestørrelser som tidligere. Uligheder for gennemsnitlig kølængde og gennemsnitlig opholdstid i køen V q VarU + VarS, 2(EU ES) (Andersen (2001), pp. 66-69); L q VarU + VarS a 2(EU ES), (af Little s formel). G/GI(1, )-KØSYSTEMET 12

M/GI(1, )-KØSYSTEMET Ankomstproces Poisson; ekspeditionstider er uafhængige og følger generel fordeling; 1 server; uendeligt mange køpladser. Ankomstintensitet a; gennemsnitlig ekspeditionstid ES = 1/b. Antag desuden A = a/b < 1 (nødv. for ligevægt/stabilitet). Så gælder Pollaczek-Khintchin s formler for gnsntl. opholdstid i kø/gnsntl. kølængde: V q = 1 2 1 b A 1 A (1 + C2 v), C 2 v = VarS (ES) 2 V q = L q /a, (v. brug af Little s formel) Her kaldes C v variationskoefficienten for S. Bemærk at 1 + C 2 v = ES 2 /(ES) 2. M/GI(1, )-KØSYSTEMET 13

ARGUMENT FOR PK-FORMEL I Hvis W ventetid for en ankommende kunde gælder EW = V q = L q }{{} gnsnt. kølængde ES }{{} gnsnt. ekspeditionstid + ER }{{} arbejdsbyrde (residual eksp. tid) V q = EW følger af PASTA for køsystemer med Poisson ankomstproces: fordelinger (af W, L og R) i et ankomsttidspunkt er de samme som til et vilkårligt tidspunkt. Little s formel L q = av q medfører EW = a b V q + ER EW = ER 1 A. Vi skal altså indse, at ER = 1 2 aes2. ARGUMENT FOR PK-FORMEL I 14

ARGUMENT FOR PK-FORMEL II R(t) Skraveret område: samlet arbejdsbyrde over [0, t] 0 t I løbet af t tidsenheder ankommer n(t) trekanter, En(t) = λt. Gnsnt. værdi af R(t) i det lange løb : ER = lim t 1 t t 0 R(s)ds = 1 n(t) t i=1 1 2 S2 i = n(t) } {{ t } λ n(t) 1 1 n(t) 2 S2 i i=1 } {{ } 1 2 ES2 Dvs. ER = 1 2 aes2. ARGUMENT FOR PK-FORMEL II 15

ET PAR SPECIALTILFÆLDE AF PK-FORMLEN M/M(1, )-køsystemet: For eksponentialfordelte ekspeditionstider S gælder Dvs. V q = 1 2 1 b C 2 v = VarS (ES) 2 = 1/b2 1/b 2 = 1. A 1 A (1 + 1) = 1 b A 1 A. Blot den velkendte formel for gnsnt. tid i kø i M/M(1, ). M/D(1, )-køsystemet: For deterministiske ekspeditionstider S gælder C 2 v = VarS = 0, (da VarS = 0). ES2 Dvs. V q = 1 2 1 b A 1 A. ET PAR SPECIALTILFÆLDE AF PK-FORMLEN 16

EKSEMPEL I et produktionssystem m. uendeligt mange ventepladser ankommer emner efter en Poissonproces med intensitet 3 per time. Ekspeditionstider er fordelt med middelværdi 15 minutter og en standardafvigelse på 5 minutter. Hvad er den gennemsnitlige kølængde? Løsning: a = 3; 1/b = 1/4; A = 3 1/4 = 3/4 Erlang. Variationskoefficient for ekspeditionstider C v = 5/15 = 1/3. PK-formlen giver V q = 1 2 1 4 3/4 1 3/4 (1 + 1/9) = 5/12 = 25 minutter. EKSEMPEL 17

M/E s (1,n 1)-SYSTEMET Ankomstproces Poisson (med intensitet a). Ekspeditionstider Erlangfordelte af orden s (m. middelv. 1/b). Husk; S er Erlangfordelt af orden s med middelværdi 1/b hvis S = s S i, S i iid Exp(bs). i=1 Antal kunder i system til tid t er ikke som udgangspunkt en Markovproces men kan indlejres i en Markovproces. Trick: En ekspedition sammensættes af s delekspeditioner, som er uafhængige og eksponentialfordelte med middelværdi 1/(sb). M/E s (1, n 1)-SYSTEMET 18

Systemtilstande (0, 0). Systemet er tomt. (i, j); 1 i n; 1 j s. Der er i kunder i systemet, og ekspedienten er i gang med den jte delekspedition. Udvikling af systemtilstande kan beskrives vha. Markovproces (se hopdiagram p. 76 i Andersen (2001)). Dvs. systemproces er nu en 2d-Markovproces K(t) = (N(t), M(t)), hvor N(t) M(t) = antal kunder i system til tid t = delekspedition for den nyeste kunde. Vi kan opstille ligevægtsligninger for hver tilstand (i, j) og løse numerisk. Se p. 179 i Andersen (2001) for pseudokode. M/E s (1, n 1)-SYSTEMET 19

TO SPECIALTILFÆLDE Afvisningssystemet M/E s (1, 0): Ligevægtsligninger i M/E s (1, 0) kan løses eksakt. (0,0) a sb sb (1,1) (1,2) (1,s-1) (1,s) sb p 00 = 1 1+A, p 1j = A s(1+a), j = 1, 2,...,s. Udnyttelsesgrad E = 1 p 00 = A 1+A. Ventesystemet M/E s (1, ): Brug PK-formlen: L q = A2 1 A 1+s 2s ; V q = 1 b A 1 A 1+s 2s. TO SPECIALTILFÆLDE 20

APPROKSIMATIONER I M/E s (1,n 1) Lad L q (A, s, n) være gnsntl. kølængde i M/E s (1, n 1). Vi ved at lim n L q (A, s, n) = lim n L q (A, 1, n) 1+s 2s Under hvilke antagelser gælder dette også for n lille? Hvis A < 1 gælder L q (A, s, n) L q (A, 1, n) 1+s 2s. Hvis A > 1 gælder L q (A, s, n) L q (A, 1, n). Se Andersen (2001) pp. 85-87. Endvidere gælder for afvisning og forsinkelse B(A, s, n) B(A, 1, n); D(A, s, n) D(A, 1, n); undtagen hvis både n lille og s er stor. APPROKSIMATIONER I M/E s (1, n 1) 21

Køsystem med... M/E s (m,n m)-køsystemet Poisson ankomstproces. Ekspeditionstider Erlangfordelte af orden s. m ekspedienter; n m ventepladser. Ingen simpel rekursiv løsning som for M/E s (1, n 1). Simulation nødvendig for performanceevaluering. Approksimationer (Andersen (2001), 2.6.5): Hvis A < m gælder L q (A, s, m, n) L q (A, 1, m, n) 1+s 2s. Hvis A > m gælder L q (A, s, m, n) L q (A, 1, m, n). M/E s (m, n m)-køsystemet 22

OPSUMMERING: HVAD KAN I REGNE EKSAKT PÅ? 1. M/M(m, n m)-køsystemer, evt. med n =. 2. M/M(m, n m)-køsystemer med n kunder. 3. M/E s (1, n 1)-køsystemet. 4. Gnsntl. kølængde/gnsntl. ventetid i kø i M/GI/(1, )-køsystemet vha. PK-formler. 5. Visse andre specialtilfælde (herunder visse kønetværk mere herom til næste forelæsning). OPSUMMERING: HVAD KAN I REGNE EKSAKT PÅ? 23