Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning. Bevise Thales sætning. Kan bevise, at medianerne i en trekant skærer hinanden i samme punkt og tilsvarende for midtnormaler, højder og vinkelhalveringslinjer. Kender flere beviser for Pythagoras sætning. Tage stilling til bevisers rolle på skolens sluttrin. Afstandsbestemmelsens geometri Pythagoras og Thales à Opfattes som pionererne inden for græsk matematik. Thales = opdagelse om afstandsbestemmelse o Det siges, at han kunne bestemme pyramidernes højde ved at observere deres skyggelængde. Figur 1 s. 101 o Retvinklet trekant ABC o A = øjet o B = ligger på sigtelinjen vandret ind mod træet. o C = ligger på sigtelinjen mod toppen af træet. Thales afstandsberegning = bygger på antagelse af, at to trekanter med parvis ens vinkler er ens (kongruente). Han fandt aldrig et egentligt bevis derfor kalder man det i dag Thales sætning. Bevis for Thales sætning Begrebet bevis blev udviklet senere end Thales og derfor mener man ikke, at han har lavet et reelt bevis. Beviset er i Euklids elementer. Thales sætning: Et linjestykke parallelt med en af siderne i en trekant skærer de to andre sider i proportionale dele. Sætningen om ensvinklede trekanter Man har lavet en mere moderne udgave af den oprindelige sætning. Sætningen om ensvinklede trekanter: Hvis to trekanter har parvis lige store vinkler, så er de ensliggende sider i de to trekanter proportionale. o Ensvinklede trekanter er ligedannede. o Ligedannede trekanter = lige store vinkler og siderne er proportionale.
Thales sætning skabt og anvendt i praksis Eksempel og illustration på s. 106-107 Man kunne med Thales sætning måle utilgængelige højder. Andre beviser baseret på Thales sætning Sætninger i matematikken af formen: hvis..så. Den omvendte sætning til Thales sætning: Hvis en linje skærer de to af siderne i en trekant i proportionale dele, så er linjen parallel med den tredje. Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis S. 112: Hvis ABCD er en firkant, og P, Q, R og S er midtpunkterne af siderne, så er PGRS et parallelogram. Trekantens klassiske linjer Erfaring i DGP: Skæringspunktet mellem henholdsvis medianerne, vinkelhalveringslinjerne, midtnormalerne og højderne er i samme punkt. Pythagoras sætning Kan bruges til afstands-, areal- og rumfangsberegninger. Det er en del af fælles mål fra 2009. o Det er et nyttigt redskab til videre arbejde. o Eleverne skal som trinmål kunne arbejde med enkle beviser. Slutmål for 9. klasse à arbejde med definitioner, sætninger, geometriske argumenter og enkle beviser. o Pythagoras sætning er et muligt bevis at arbejde med. o Man skal som lærer kende til bevisernes sværhedsgrad så det kan tilpasses de givne elevers faglige niveau. Pythagoras sætning kan bidrage til elevernes ræsonnementskompetence. Pythagoras sætning: a 2 +b 2 = c 2 Kinesisk eksempel s. 117-118 Eleverne skal at forstå kernen i beviset før man forklarer det med bogstaver og symboler. o Symbolmanipulation Eksempel med beregning af hypotenuse s. 118-119 Hvilke FFM knytter sig til dette kapitel? Geometriske egenskaber og sammenhænge: Fase 3 færdighedsmål: Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. Fase 3 vidensmål: Eleven har viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter.
Matematiske kompetencer Ræsonnement og tankegang: Fase 1 færdighedsmål: Eleven kan skelne mellem hypoteser, definitioner og sætninger. Fase 1 vidensmål: Eleven har viden om hypoteser, definitioner og sætninger. Fase 2 færdighedsmål: Eleven kan skelne mellem enkelttilfælde og generaliseringer. Fase 2 vidensmål: Eleven har viden om forskel på generealiserede matematiske resultater og resultater, der gælder i enkelttilfælde. Fase 3 færdighedsmål: Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer. Fase 3 vidensmål: Eleven har viden om enkle matematiske beviser. Måling og areal (kapitel 7) Længde, omkreds, areal og rumfang. Problemløsning og ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Kender centrale dele af målingens og arealberegningens didaktik. Kan argumentere for de mest almindelige arealformer. Erkender målingers potentiale og muligheder for at forbinde talarbejdet i skolen med geometriske og praktiske situationer. Målingens didaktik Idé ved måling: Kvantificere en egenskab ved det, man måler. Kobling mellem tal og geometri. Trinmål: o Efter 3. klassetrin à Foretage enkelt måling af afstand, flade, rum og vægt. o Efter 6. klassetrin à Undersøge metoder til beregning af omkreds, areal, rumfang i konkrete situationer. o Efter 9. klassetrin à Kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum. Centrale aspekter af målebegrebet Udgangspunkt for måling = kvalitative sammenligninger. Måling forudsætter en enhed.
o Man skal bruge måleenheder for at kunne lave mere præcise kvalitative sammenligninger. Sætte tal på størrelser à det måling drejer sig om 8 aspekter af et målebegreb: o At der skal være sammenhæng mellem enheden og den egenskab, som skal måles. o Iteration, dvs. at en enhed kan flyttes og placeres i forlængelse af, hvor den var placeret før. o At den genstand, der skal måles skal fyldes ud med et antal enheder, så der ikke er nogen huller, men også så måleenhederne ikke breder sig ud over dens kanter. o At hvis enhederne er identiske, så giver antallet af dem måltallet (størrelsen) på genstanden. o At der er brug for en standardisering af enheder, således at forskellige mennesker bruger samme enheder for at lette kommunikationen. o At der er omvendt proportionalitet mellem enhedens størrelse og det antal enheder, som genstanden måler. o Additivitet, fx at længden af et linjestykke kan fås som summen af to eller flere linjestykker, som det oprindelige stykke består af. o Brugen af et nulpunkt og af, at der er samme afstand mellem enheder, således at afstanden mellem fx 10 cm og 20 cm er den samme som mellem 40 cm og 50 cm. Antaget-fælles-forståelse af eksempelvis omvendt proportionalitet i konkrete situationer. Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner Måling har forbindelse til ikke-matematiske problemstillinger. Egenskaben og genstanden behøver ikke komme fra matematikkens egen verden. o Det kan godt være ting fra hverdagen. o Evt. samarbejde med naturfag. To forbindelser mellem matematiske evner, som er relevante: o Tal på geometriske egenskaber areal, længde og rumfang. o Etablere situationer, hvor eleverne får brug for at udvikle talmængder, som de tidligere har arbejdet med (eksempelvis udvidelsen fra naturlige til rationale tal) Måling kan forbindes med algebra. Arealberegning didaktiske overvejelser Arealberegning er typisk det vanskeligste at forstå. Man møder indirekte længde- og rumfangsmål. o Eksempelvis: hvem kan løbe længst? o Rumfang: Hvor meget kan der være i spanden? o Begrebet flade indgår typisk ikke i børns leg. Figurer med et bestemt areal kan have utallige former. o Det er i modsætning af et linjestykke. Det er mere vanskeligt at vælge måleenhed for arealberegninger i modsætning til eksempelvis et linjestykke.
Eleverne kan have svært ved at forstå behovet for identiske enheder. De skal have en intuitiv forståelse af, at hvis enheden bliver større, så bliver måltallet mindre. Eksempler med elevbesvarelser s. 129-131 Areallæren Man kan bestemme arealer ud fra principperne på s. 125. Hvor mange gange kan arealenheden ligge i figuren? Arealet af et rektangel er lig med længde gange bredde. Beviser med opdeling og flytning Figurer beholder deres areal, selvom de flyttes rundt. Arealet af en figur, der er opdelt i 2 underfigurer, det kan findes som summen af underfigurernes arealer. Arealet af et parallelogram P er højde * højdelinje, symbolsk a(p) = hg Arealet af en trekant T er det halve af højden gange grundlinje, symbolsk a(t) = 0,5hg Måling af cirklen Omkredsen af en cirkel med radius r er 2*pi*r Arealet af en cirkel med radius r er pi*r 2