Kommunikation i matematikundervisning fra opgavediskurs til faglig dialog

Kommunikation i matematikundervisning fra opgavediskurs til faglig dialog Morten Blomhøj, INM, RUC Plan 1. Den didaktiske kontrakt og dens betydning i matematikundervisning 2. Differentialregning i gymnasiet en scene med klassesamtale 3. Hvordan kan kontrakten brydes? 4. Kommunikation i undersøgende matematikundervisning 5. Tid til spørgsmål 1. Den didaktiske kontrakt Teorien om didaktiske situationer (TDS) er udviklet af den franske matematikdidaktiker Guy Brousseau (1933 - ) og anvendes og videreudvikles af forskere internationalt. Den omfatter: (1) Modeller til analyse af undervisning (2) Didaktiske spil som værktøj til design af undervisning (3) En ramme for didaktisk forskning Guy Brousseau vinder af Felix Klien-medaljen tildelt ved ICME-1 i København i 24. (Brousseau, 1997) 1

Kernen i teorien om didaktiske situationer det didaktiske dobbeltspil Læreren Eleven/ Eleverne Opbygning af fælles viden Læring Læringsmiljø (Brousseau, 1997) Kapløb til 21 To spiller. Den der starter kan sige 1 eller 2. Den anden lægger 1 eller 2 til og siger summen. Sådan fortsættes til en af spillerne kan sige 21. Det er vinderen. Udvikling af en didaktisk kontrakt Matematikundervisning har som mål, at eleverne tilegner sig matematisk viden og udvikle matematiske kompetencer. Det er lærerens professionelle forpligtelse at tilvejebringe et læringsmiljø, der muliggør dette, samt - at støtte og vurdere den enkelte elevers læring - at støtte opbygning af en fælles faglig læring i klassen i overensstemmelse med læringsmålene. 2

Udvikling af en didaktisk kontrakt Med dette didaktiske dobbeltspil som drivekraft udvikles en didaktisk kontrakt mellem læreren og eleverne (klassen). Undervisningen forudsætter ligefrem etablering af en didaktisk kontrakt, som hvis den overholdes af både læreren og eleverne sikre, at projektet elevernes læring lykkes for de fleste elever i hvert fald på overfalden. Lærerens kommunikation er afgørende ved etablering af den didaktiske kontrakt. Samtidig former den didaktiske kontrakten rammerne for kommunikationen med eleverne. Indholdet af den didaktisk kontrakt Den didaktiske kontrakt i sædvanlig/traditionel matematikundervisning kan karakteriseres ved at: rækkefølge, progression og tilrettelæggelse af de enkelte faglige emner hovedsagligt varetages af det valgte lærebogssystem læreren gennemgår de begreber og især metoder, der præsenteres i lærebogen, og som eleverne forventes at kunne bruge i deres opgaveløsning læreren kun stiller opgaver, som eleverne på forhånd har fået metoder til at løse en opgave er løst, når dens enkelte spørgsmål er besvaret opgavebesvarelser typisk kan angives i kort form ved et tal, et symbolsk udtryk, en figur eller til nød en sætning It-baserede besvarelser (hvis tilladte) er fuldgyldige, hvis det er forklaret, hvordan it-værktøjerne er anvendt og at resultaterne er rigtige eleverne har krav på bedømmelse, når en opgave er løst elevernes læring kan bedømmes ud fra, om de kan regne de stillede opgaver eleverne på deres side gør deres bedste for at løse de stillede opgaver. Den didaktiske kontrakt virker tilbage på både lærerens og elevernes opfattelse af matematikundervisning. (Blomhøj, 1995) 3

Strukturen af en sædvanlig matematiktime En (dobbelt-)lektion i matematik indeholder typisk: (1) Rettelser og (evt.) gennemgang af (hjemme-)opgaver fra forrige lektion (2) Lærerens præsentation af nye begreber og metoder. Nye typer af opgaver belyses med eksempler fra lærebogen (3) Evt. dialog med klassen undervejs om det nye indhold (4) Elevernes individuelle eller parvise arbejde med opgaver. (Mogensen, 211) Begrebet Opgavediskurs i matematikundervisning blev præsenteret af Steig Mellin-Olsen (199) til karakteristik af matematiklæreres beskrivelse af undervisning og læring i matematik og af kommunikation i klasserummet. Rejsemetaforen er dominerende i denne diskursen. Elevernes opgavegaveløsning er både (transport)midlet og (rejse)målet for elevernes læring (rejse). Læreren udvikler metoder til at hjælpe eleverne videre på rejsen særligt dem, der er kommet bagefter. Kommunikationen med eleverne lukker sig omkring konkret hjælp til, styring af, opmuntring til og bedømmelse af elevernes arbejde med opgaver. Klasserumsledelse via didaktisk kontrakt Eleverne ved, hvad der forventes af dem De kan arbejde i forskellige tempi Læreren kan differentiere hjælpen til eleverne Hurtige elever kan udfordres med flere og/eller sværere opgaver Læreren har høj grad af kontrol over det faglige indhold og forløbet af lektionen. Læreren har i en sådan undervisning gode muligheder for at sikre, at det store flertal af elever bliver i stand til at honorere kravene til deres opgaveløsning. (Blomhøj & Højgaard, 211) 4

Den didaktiske kontrakt, den faste lektionsstruktur og opgavediskursen understøtter lærerens klasseledelse og styrer kommunikationen ved traditionel matematikundervisning. Herved bliver det nemt at undervise i matematik! Gruppesnak i 3 minutter: Kan I genkende denne didaktiske kontrakt fra jeres egen undervisning og/eller i elevernes forventninger? Hvad er så problemet? Eleverne fokuserer på at løse opgaverne, og udvikler strategier hertil, der ikke nødvendigvis styrker deres matematiklæring. Brug af avancerede it-værktøjer især CAS kan føre til øget instrumentalisme i elevernes opgavevirksomhed. Som lærer forledes man til at støtte og hjælpe eleverne i deres opgaveløsning så konkret og detaljeret at læringsindhold reduceres. Man bliver som lærer meget overopmærksom på signaler fra eleverne, som kan tages som udtryk for, at de er godt på vej til den tilsigtede læring. 5

Hvad er så problemet? Der fokuseres på at lære eleverne bestemte instrumentelle fremgangmåder. Læreren forledes til direkte institutionalisering af viden. Det kan føre til afkobling mellem de faglige læringsmål og elevernes opgavebaserede virksomhed. Der skabes ikke tilstrækkeligt grundlag hos eleverne for udvikling af kompetencer og fælles læring af matematik. (Brousseau, 1997) Disse effekter forstærkes, når krav til pensum og eksamen øges, elevernes forudsætninger bliver mere forskellige, og læreren presses på tid og resurser. Den didaktisk kontrakt og dens paradoks Institutionaliseret matematikundervisning både forudsætter og skaber en didaktisk kontrakt Kontraktens indhold skabes/forhandles indirekte gennem undervisningen praksis Undervisningstraditionen former væsentlige dele af den didaktiske kontrakten og videreføres samtidig via denne med stor inerti. Den didaktiske kontrakt har som formål at sikre, at undervisningen fremmer elevernes læring som tilsigtet, men det kræver netop, at kontrakten brydes. (Brousseau, 1997) 2. Differentialregning i gymnasiet - en generel karakteristik af praksis Undervisningen er præget af en faglig tradition med gennemgang af teoriopbygningen styret af lærebogen Elevernes vanskeligheder med at følge teoriopbygningen fører til fokusering på træning af it-baserede procedurer til løsning af standardopgaver Elevernes læring bedømmes ud fra opgavebesvarelser It-værktøjer bruges til opgaveregning og til eksamen, men anvendes sjældent som læringsredskab It og især CAS har betydet en intern didaktisk transposition, der har bragt ubalance i undervisningen Den didaktiske kontrakt dækker over stor afstand mellem den tilsigtede og realiserede læring for de fleste elever. 6

Læringsvanskeligheder ved differentialregning Differentiation forudsætter forståelse af variabel-, funktions- og grænseværdibegrebet. Grænseværdi er kognitivt set et svært begreb (Sfard, 1991). Differentiation har høj algebraisk kompleksitet. Differentiation er defineret punktvis (lokalt), men anvendes hurtigt globalt over et interval. Differentialregning indebærer skift mellem numeriske, algebraiske og geometriske repræsentationer. Differentialregning før først og fremmest mening for eleverne gennem anvendelse til matematisk modellering. En scene fra undervisning i differentialregning L: Vi skal differentiere funktionen f(x) = x 2. L: Først danner vi differenskvotienten ud fra et vilkårligt punkt. Læreren tegner grafen med (x, f(x )) markeret og skriver: f ( x) f ( x) x x x x x x 2 2 L: Vi omskriver tælleren, og så reducerer vi. ( x x)( x x) ( x x) x x L: Nu kan vi lade x går mod x. Og så går differenskvotienten mod differentialkvotienten. Vi får: ( x x ) x x 2x for x x f ( x) 2x eller 2 ( x ) 2x L: Differentialkvotient for x 2 er altså 2x i x. Og da vi kan vælge x frit betyder det, at differentialkvotienten til x 2 over alt er 2x. Det skriver vi sådan: for alle x E: Jeg forstår ikke, hvordan du kom frem til x + x L: Forstår du ikke, at faktoren (x- x ) kan forkortes ud i denne brøk (læreren peger på brøken på tavlen)? 7

E: Jo, men hvordan kom du frem til den brøk? L: Forskellen på to tals kvadrater er produktet af tallenes differens og tallenes sum. Læreren regner på tavlen: ( x x )( x x ) xx xx x x x x x x 2 2 E: Ja, men det var jo x 2 - x o2 du havde! L: Ja, og hvad så? E: Hvordan fandt du på det? - jeg ville aldrig kunne have gjort det selv! E: Jeg forstår ikke det med x - hvad er x egentlig? L: x er et vilkårligt valgt fast tal. E: Jamen, hvad er x så? L: x kan vi varierer frit på, når vi lader x gå mod x. x kan vi skifte ud med et vilkårligt tal f.eks. 3. Hvis du gør det hele vejen gennem beviset får du: f () 3 23 6 E: Hvorfor skriver du så f ( x) 2x til sidst? L: Det er fordi vi kan vælge x helt frit. Det bevis her gælder for alle mulige værdier af x, og derfor skriver vi bare: f ( x) 2x E: Nåh? 3. Hvordan kan den didaktiske kontrakt brydes? Ved at åbne for faglig dialog med og mellem eleverne om deres begrebsforståelse Med problemer, der udfordre elevernes begrebsforståelse Ved at udfordre elevernes faglige kommunikation mundtligt og skriftligt gennem produktkrav og fremlæggelser (fx brug af video og skærmoptager). Gennem arbejde med elevernes kommunikation om deres egen begrebsforståelse fx med begrebskort. D39 D25 8

1 1 5 2 1-5 5-5 5 2-1 -5 5 1-1 1-5 5 1-5 5-1 -5 5 1 1 5-1 -5 5 2-2 -5 5 2 1-5 5 1-1 -5 5-5 -5 5-1 -5 5 5 1-5 -5 5 2 1-5 5 2-1 -5 5 1-1 1-5 5 1-5 5-1 -5 5 9

Begrebskort for differentialkvotient Vækstmodeller Stedfunktionen Funktionsforskrift Funktionsgraf Sekant m Differentiabilitet Gennemsnitshastighed Tangent n Differentialkvotient Afledet funktion Differentialligning Differenskvotient Regneregler for diff. Momentanhastighed Væksthastighed Eksempler på utraditionelle opgaver 1. Hvad er hældningen for sekanten til grafen for f (x) = x 2 gennem punktparrene: (-3,9) og (2,4); (2,4) og (5,25) samt (-3,9) og (3,9) 2. Om en funktion f (x) vides at f (-x) = f (x) for alle x tilhørende R. (a) Hvad er hældningen af sekanten gennem punkterne med første koordinaterne -4 og 4? (b) Hvis f (2)=1. Hvad er så f (-2)? 3. Den samme opgave for ulige funktioner. Det vil sige, hvor at f (-x) = - f (x) for alle x. 4. En differentiabel funktion, f, har følgende funktionstabel x -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 f(x) -7-5 -4-3,5-2 -,5 1 3 6 9 Skitser grafen for en funktion, der kan være den afledte funktion til f. 5. Lav en forskrift for en funktion, f, der har grafen for dens afledet funktion som tangent til grafen for f i punktet (1, f (1)). Geo Hvilke funktioner har denne egenskab? 6. Funktionsfabrikken lav en funktion der. 1

Hvordan kan den didaktiske kontrakt brydes? Gennem udvikling af systemer af opgaver Undersøgelseslandskaber (Skovsmose, 23) Gennem design af didaktiske spil inden for rammerne af TDS (Brousseau, 1997) Gennem arbejde med i matematisk modellering (Blomhøj & Kjeldsen, 214) Gennem undersøgende matematikundervisning (Blomhøj, 216) D39 Undersøgelseslandskaber i matematik Opgaveparadigmet Undersøgelseslandskaber Reference til matematik (1) (2) Reference til som om virkelighed (3) (4) Reelle reference til virkeligheden (5) (6) (Skovsmose, 23, p. 149) Taxi-geometri et undersøgelseslandskab Taxi-afstanden fra A til B: T(A,B) = 5 enheder Taxi-afstanden mellem to punkter er den mindste længde af en tur på vejnettet, der forbinder de to punkter. D25 11

Taxi geometri et system af opgaver 1. Tegn hvis det er muligt rundture, der starter og slutter i et punkt A og som har længderne 8, 9, 12 og 17. 2. Afmærk de punkter, der har samme taxi-afstand til begge punkterne A og B. 3. Afmærk alle de punkter, der har taxi-afstande 3 til punktet A. Hvor mange punkter er der med denne taxi-afstand til A? Find på et navn til dette mønster af punkter. 4. Lav en formel for antallet af punkter, der har en given afstand, r, til punktet. 5. Lav en formel for antallet af punkter, der har en taxiafstand mindre en r til punktet A. D25 T: Har I fundet de fire rundture? P1: Ja, men hvis ikke vi må vende mellem to punkter, så kan vi ikke lave en rundtur på 9. T: Det er ikke tilladt at vende mellem punkterne. P2: Så er det ikke muligt med 9. T: Er I sikre? P1: Vi tror vi er sikre er det ikke rigtigt? T: Men hvorfor tror I det er umuligt med 9? P2: Måske fordi 9 er ulige de andre er lige. T: Godt forslag. Prøv med nogle andre lige tal. Efter nogle minutter vender lærer tilbage til eleverne: T: Har I fundet nogle rundture med ulige længde? P1: Nej, det er ikke muligt. T: Kan I formulere en regel? P2: Det er umuligt at lave en rundtur med ulige længde. T: Fint, hvad kan man så sige om en rundtur? P1: Den vil altid have en lige længde. T: Fint det er rart at vide, men kan I bevise det? Nogle minutter senere spørge eleverne om hjælp. T: Hver gang man går en enhed nord på, må man et andet sted på rundturen gå en enhed syd på ikke sandt? P2: Jo, ellers kan man jo ikke komme hjem. P1: Det må være det samme med øst og vest T: Præcis, så hvis man går x enheder nord på og y enheder vest på undervejs på turen, hvordan kan længden så udtrykkes? Efter lidt når eleverne frem til: 2x + 2y som udtryk for længden af en rundtur. De siger at summen af to lige tal er lige og at det beviser deres regel. D25 12

Eleverne anvender deres regel til at løse opgave 2: 2. Afmærk de punkter, der har samme taxi-afstand til punkt A og B. Der findes ingen punkter med samme afstand til A og B. Hvis der var et punkt, P, med afstanden x til både A og B, så ville der være en tur PABP med længden x + 5 + x = 2x + 5, og det er et ulige tal. Det er umuligt, så der er ingen punkter med samme afstand til A og B. D25 Taxi cirklen N(r): Antallet af punkter med taxi-afstanden r til et givent punkt P(r): Antallet af punkter med en afstand < r til et givent punkt. N(r) = 4r; P(r) = P(r-1) + N(r-1); P(1) = 1. Heraf fås P(r) = 2r 2 2r + 1 D25 Et didaktisk mulighedsrum for undersøgende forløb Elevstyret 7 8 Matematik morgener Design et hus* (Blomhøj & Skånstrøm, 26) Skorstenen ** Klassekamp i idræt og matematik * 5 Mal dit (klasse ) værelse * 6 Cykelmatematik (Skånstrøm, 214) 1=44 (Blomhøj & Højgaard, 27) Alkoholforbrænding (Blomhøj & Kjeldsen (213) 3 Centikubens fødselsdag * 4 Taxi geometri** Reb trekanten ** Tematisk 1 Orientering 2 Lærerstyret Problem (Blomhøj, 213) *) NNS Roskilde ; **) Artigue & Blomhøj (214) 13

Tænk på et naturligt tal Den der er alene om at have det mindste tal vinder Tænk på et naturligt tal 3 Tænk på et naturligt tal 3 14

Tænk på et naturligt tal 2 Tænk på et naturligt tal 1 Tænk på et naturligt tal Nu 15

4. Kommunikation i undersøgende forløb Undersøgende matematikundervisning kan struktureres i tre faser, der stiller forskellige krav til kommunikationen. 1. Iscenesættelse af forløbet over for eleverne - motivation, rammer og krav 2. Elevernes selvstændige undersøgende arbejde - tid, frihed og støtte, udfordring og feedback 3. Fælles refleksion og faglig læring - deling og systematisering af erfaringer og resultater, fælles faglige læring af matematisk viden (Blomhøj, 216) Reb-trekanten et undersøgende forløb i 6.kl. I skal lave trekanter ude i skolegården med rebet. Hver gruppe skal lave så mange forskellige trekanter som muligt. Men det er kun tilladt at lave trekanter, der har knuder i alle tre hjørner, og rebet skal være strakt mellem knuderne. For hver trekant, I får lavet, skal I tegne trekanten på papir og skrive længderne på siderne. Hvor mange forskellige trekanter kan I lave? Video (Blomhøj, 213) L: Hvad ved I om alle de trekanter, vi kan lave med rebet? E1: Siderne lagt sammen skal give 12. L: Ja, netop. Men det er ikke nok, fordi 2+4+6=12, men den kan ikke lade sig gøre. E2: Den længste side må højest være 5. L: Godt forslag. Vi har ingen trekanter med sider på 6 eller derover. L: 2-4-6 og 3-3-6 kunne ikke lade sig gøre. Kan der være andre med 6? E3: 1-5-6, men den dur heller ikke vel? L: Hvad siger I til det? E4: Nej, det er det samme som før de mødes på siden. 16

L: Kan der være andre med 6? E2: 4-2-6 er det samme som 2-4-6, så den har vi haft. Der er ikke flere med 6. L: Hvad med en med 7 som den længste side? E4: Nej, det blive dårligere så kan enderne ikke mødes. Læreren tegner en åben 2-3-7 trekant. L: Nej, det kan ikke lade sig gøre. Der er 5 tilbage til de to andre sider, og de kan ikke nå sammen, hvis der er 7 enheder mellem punkterne. Er I enige? L: Så skal vi se, om der er flere med 5 som længste side. Hvor mange enheder er der så tilbage til de to andre sider? E5: 7 E5: 7 L: Og hvordan kan de fordeles på to sider? E2: 2+5, og 3+4. L: Ja, det er dem, vi allerede har. Kan der være andre? E2: 1+6, men den dur jo ikke, så der er ikke andre. L: Hvad med 4 som længste side, er der andre af dem? E6: Nej, der er da kun 4-4-4. Ellers vil en af siderne jo være længere. L: Det er super, så har vi tre mulige trekanter, og vi ved, at der ikke er flere. Vi har bevist det. L: Hvad nu hvis rebet havde haft flere knuder, kan vi lave en regel, der altid gælder? Læreren tegner en trekant med sidelængderne angivet som a-b-c, hvor c er den længste side. L: Hvad kan vi sige om a og b sammenlignet med c? E3. De er mindre. L: Ja, og hvad mere kan vi sige? E2: a+b er større end c. L: Ja, ellers kan de ikke mødes. Så nu ved vi, at for alle trekanter a-b-c gælder, at a+b>c! (Blomhøj, 213) NNS 17

Styring af undersøgende forløb - Didaktisk udfordring: Der kan ikke styres ved hjælp af: lærerbogen, sekvensering af fagligt stof og opgaver Styring kan ske gennem - Iscenesættelse overdragelse af problemet/udfordringen - Rammerne for og organisering af forløbet - Dialog med eleverne undervejs - Opsamlinger undervejs i forløbet - synkronisering - Krav til det eller de produkt(er) eleverne skal fremstille - Formen på vurderingen af elevernes udbytte - Opsamling på og refleksion over erfaringer og resultater - Opbygning af fælles faglig viden i klassen ud fra forløbet Model for dialogiske talehandlinger Kontakt Elev Opdage Identificere Advokere Tænke højt Reformulere Udfordre Evaluere Lærer (Alrø & Skovsmose, 22 og 26) Sammenfatning Begreberne den didaktiske kontrakt og opgavediskurs tilbyder en ramme til forståelse og fortolkning af vilkår for kommunikation i matematikundervisning. Som lærer kan man arbejde bevidst med udvikling af den didaktisk kontrakt i sine klasser som middel til klasserumsledelse. Læring som tilsigtet forudsætter, at kontrakten passende ofte brydes eller i det mindste træder i baggrunden. Sådanne brud kræver bevidst tilrettelæggelse og iscenesættelse af det didaktiske miljø, og kan skabe rammer for faglig dialog med og mellem eleverne. 18

Sammenfatning TDS tilbyder en teoretisk ramme og praktiske værktøjer til udvikling af didaktiske spil, hvor kontrakten kan brydes. (Brousseau, 1997) Brug af opgaver, der udfordre elevernes begrebsforståelse. Matematisk problemløsning og modellering kan bryde den didaktiske kontrakt. Undersøgende matematikundervisning til bryder en generel ramme for forløb, der bryder den didaktiske kontrakt og giver nye muligheder for faglig dialog. (Blomhøj, 213, 216) Udvikling af matematikundervisning gennem samspil mellem praksis og forskning Udvikling Teori Praksis Forskning Tak for opmærksomhed tid til spørgsmål Referencer Artigue, M. og Blomhøj, M. (213). Conceptualising inquiry based education in mathematics. ZDM - The International Journal of Mathematical Education, 45(6), 797-81. Balacheff, N. (1993). Artificial intelligence and real teaching. I: C. Keitel og K. Ruthven (eds.), Learning from computers: Mathematics education and technology. Nato ASI series. Berlin: Spring-Verlag, 131-158. Blomhøj, M. (216). Fagdidaktik i matematik. København: Frydenlund. Blomhøj, M. (26). Konstruktion af episoder Konstruktion af episoder som forskningsmetode - udforskning af læringsmuligheder i IT-støttet matematikundervisning. Skovsmose, O. og Blomhøj, M. (red.) (26). Kunne det tænkes? om matematik-læring. København: Maling Beck. Blomhøj, M., (1995). Den didaktiske kontrakt i matematikundervisningen. Nämnaren, 4. årg. nr. 3, 16-25. Blomhøj og T.H. Kjeldens (214). Brug af didaktisk teori i læreres udvikling af modelleringsprojekter i matematik. MONA, 2, s.42-63. Blomhøj, M. and Kjeldsen, T.H. (21): Learning mathematics through modelling the case of the integral concept. In B. Sriraman, C. Bergsten, S. Goodchild, G. Pálsdóttir, B. Dahl and L. Haapasalo (eds.) The first Sourcebook on Nordic Research in Mathematics Education. Montana: Information Age Publishing, 569-582. 19

Brousseau, G., (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer. Lithner, J. (28). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67 (3), 255-276. Mellin-Olsen, S. (199). Oppagvediskursen. I G. Nissen & J. Bjørneboe (red.), Matematikundervisning og Demokrati (47-64). Roskilde: IMUFA, Roskilde Universitetscenter. Mogensen, A. (211). Point-driven mathematics teaching. Studying and investiagating in Danish classrooms. IMFUFA-tesk 484, Roskilde Universitet. Niss, M. & Højgaard Jensen, T. (22). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. Niss, M. (27). Opgavediskursen i matematikundervisningen. MONA, 1, 57-64. Sfard, A., (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36. Steinbring, H. (25). The construction of new mathematical knowledge in classroom interaction: An epistemological perspective (Vol. 38). Springer Science & Business Media. Tall, D., 1996: Functions and Calculus. I International handbook of mathematics education, A.J. Bishop et al. (eds.), 289-325, Dordrecht, Kluwer,. Tall, D. & Vinner, S., 1981: Concept image and concept definition in mathematics, with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. 2