Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående forkortelser vil fremover blive brugt i noterne. Introduktion til matematik.tal og grundlæggende regneteknik (MatC side 7 15) Tal Oversigt over talmængder: N = { 1,2,3,..} Naturlige tal Z = {.-3,-2,-1,0,1,2,3 } Hele tal Q = mængden af rationale tal - tal der kan skrives som en kvotient mellem to hele tal. R = mængden af reelle tal rationale og irrationale tal C = mængden af komplekse tal En ny teori inden for matematikken fraktalgeometri anvender komplekse tal. Et freewareprogram til fremstilling af fraktaler findes på min hjemmeside www.hhhust.dk under matematiklinks (Fractint homepage ) Intervaller en sammenhængende mængde af tal på de reele tals akse kaldes et interval. Oversigt over intervaller på side 10 i MatC Koordinatsystem Oversigt side 10 i MatC Oversigt over forskellige talsystemer: grundtal: Indisk positionssystem 10 Babylonsk positionssystem 60 Græsk ikke positionssystem Ægyptisk ikke positionssystem Romersk ikke positionssystem Nora Malkeko s positionssystem 8 Binært positionssystem 2 Bemærk at der på dansk er rest af tallet 20 som basis for talordene. Arbejde med "tydning" af babylonske lertavler. 9 - tabel, der viser hvordan man har brugt kileskrift til angivelse af tal et positionssystem med grundtallet 60. Lertave " med 2 ", der tyder på at babylonierne har haft kendskab til Pythagoras sætning ca. 1200 år før Pythagoras levede. Et moderne bevis for Pythagoras sætning se noter.
De fire regningsarter side2 Oversigt på side 12 Introduktion til TI-82 STAT ( EKS side 4 12 ) Aktivitet : Aritmetiske udtryk. Eksponentiel notation Øvelser med regning med små og store tal Udregning af mængden af korn som "opfinderen" af skakspillet udbad sig som belønning. Hertil udregnes først det samlede antal korn: S = 1 + 2 + 4 + 8 +.+2 63 2S = 2 + 4 + 8 +..+ 2 64 (I) (II) I - II giver S = 2 64-1 = 1.84467 10 19 ( hvis kornet skal fordeles jævnt over Danmarks overflade, vil det komme op i en højde af ca. 40-50 meter!) EKS side 12 Eksponentiel notation på TI-STAT Bemærk, at hvis du ønsker at alle decimaltal noteres eksponentielt skal du vælge Scientific notation på lommeregneren ( se side 19 i MatC ) Potenser og rødder Definition af potens n N a n = a a a a n faktorer Definition af rod n a = b b n = a og 0 b
Det udvidede potensbegreb side3 Definition af potens med nul og negativ eksponent n = 0 a 0 = 1 n > 0 a n = 1 a n Definition af potens med brøker som eksponent Hvis a > 0 og p/q er en brøk defineres: a p/q = ( q a) p ( = q p a ) Bemærk af potensregnereglerne stadig gælder for det udvidede potensbegreb. Bemærk også, at vi med rødder har eksempler på tal, der ikke kan skrives som en brøk. Tal, der ikke kan skrives som en brøk kaldes irrationale tal. Eksempler på irrationale tal er π og 2 Oversigt over regneregler for potenser: Regneregler for potenser 1) a 0 = 1 2) a n+m = a n a m 3) a n m = an a m specielt er a m = 1 a m 4) a n m = (a n ) m 5) a m/n m = n a specielt er a 1/n = n a a>0 n, m Z Sådan beregnes rodstørrelser på TI-82 STATS 7 5 : 7 MATH ( 5 ) ENTER 1.258498951 eller 5^ 7 x -1 ENTER 1.2584498951 Kvadratsætningerne: (a+b) 2 = a 2 + b 2 +2ab (a- b) 2 = a 2 + b 2-2ab (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
(a + b) 3, (a + b) 4 kan udregnes vha. Pascal s trekant: sum: 1 1 1 1 2 1 2 1 4 1 3 3 1 8 1 4 6 4 1 16 1 5 10 10 5 1 32 ( = 2 5 ).... side4 Eks: (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 En oversigt over regneregler for potenser, rødder, parentesregning og brøkregning kan i finde på www.hhhust.dk Regningsarternes hierarki Vigtige regneregler 1) Først udregnes eksponenter i potenser 2) Dernæst udregnes potenser og rødder 3) Så udregnes multiplikation og division. I brøker udregnes tæller og nævner, før brøken udregnes 4) Til sidst udregnes addition og subtraktion. a b = b a Den kommutative regel ( faktorernes orden er ligegyldig ) a (b c) = (a b) c Den associative regel a (b + c) = a b + a c Den distributive regel a p a q = a p+q a p a q = a p q a 0 = 1 a b = a b a b = a b Potensregneregler Regneregler for kvadratrødder der er tilsvarende regneregler for rødder med vilkårlig rodeeksponent a a c c = b b a b c d = a c b d a b :c = a a c a b :c d = a d b c Brøkregneregler
side5 Regnereglerne bruges ved reduktion og løsning af ligninger. Reduktion - betyder at gøre et udtryk simplere Formålet med reduktion er bl.a. At udtryk bliver mere nøjagtige ved beregning. At kunne løse ligninger Til dette må man kunne Hæve og sætte parenteser Sætte fælles faktorer uden for en parentes Gange parenteser ud Forkorte og forlænge brøker Sætte på fælles brøkstreg Brøkregning Det er nyttigt at have kendskab til regning med brøker. Vi har arbejdet med interaktive øvelser i brøkregning på Internettet. Øvelserne kan findes på min hjemmeside. Hvis man f.eks. skal lægge to brøker sammen eller trække dem fra hinanden må man først sørge for at brøkerne har samme nævner: 2/3 4/7 = 14/21 12/21 = 2/21 Med TI-82 kan man udregne resultatet ved at bruge faciliteten Frac i Mathbiblioteket: Endelige decimalbrøker Alle rationale tal er de tal, der kan skrives som en brøk. Dvs. at alle hele tal og blandede tal er rationale tal. Alle rationale tal kan omskrives til en endelig eller uendelig decimalbrøk - og omvendt. Eks. 2/5 = 0,4 22/7 = 3,1428571428571428571. ( 142857 er perioden, og man skriver 22/7 = 3,142857 ) Eksempler på irrationale tal er 2 og π Man kan vise at de irrationale tal er det samme som ikke periodiske decimaltal. π = 3,141592653 Interaktive øvelser i brøkregning på nettet På min hjemmeside kan I finde nogle java-appletter ( af Preben Møller Henriksen ) i brøkregning. Det drejer sig om følgende øvelser: Brøkregning Reduktion af brøkudtryk Et brøkspil C-niveau - brøkregning og regnetest
Aktivitet 13 rigtige ( MatC s.29) side6 De 13 rigtige, antallet af rigtige hos eleverne samt sandsynlighedsfordelingen af antal rigtige: 0 0 0,5 % 1 1 1 3,4 % 2 x 1 10,0 % 3 x 1 18,4 % 4 2 1 23,0 % 5 x 2 20,7 % 6 1 2 13,8 % 7 2 3 6,9 % 8 2 1 2,6 % 9 2 1 0,72 % 10 1 4 0,14 % 11 x 3 0,02 % 12 1 5 0,002 % 13 2 6 0,000 % i alt 31 100 % Som det fremgår af tabellen er der nogen, der har misforstået opgaven med at anføre, hvor mange rigtige ud af 13, man har opnået. Der var 27 elever tilstede og optællingen af sidste kolonne giver 31!! Vi kan se af resultatet, at I har lært noget. Sandsynligheden for at få mere end 7 rigtige ved regulær gætning - sypigetips er 2,6 % + 0,72 % + = 3,46 % Og det var der 20 af jer der fik. Sandsynlighedsfordelingen er udarbejdet af et program binomial, som I kan finde på min hjemmeside under 1m programmer. Vi har set filmen Forunderlige former om fraktalgeometri og jeg har demonstreret programmet Fractint, som kan fremstille fraktaler, blandt andet Mandelbrotmængden. Linket til Fractint Hompage kan i også finde på min hjemmeside under 1m. Løsning af ligninger. Mat C s. 30 35 Løsning af ligninger. Udsagn Et udsagn er en sætning som har præcis en af værdierne sand eller falsk Åbne udsagn er en sætning, der indeholder en variabel størrelse som for enhver værdi af den variable har værdien sand eller falsk. Sandhedsmængden for et åbent udsagn kaldes også for løsningsmængden. Beregning af løsningsmængden til en ligning foretages ved at omforme ligningen, så den ubekendte isoleres på den ene side af lighedstegnet. Om disse omformninger gælder følgende regler: Regneregler for omformning af ligninger 1) Man må trække det samme tal fra eller lægge det samme tal til på begge sider af et lighedstegn 2) Man må gange og dividere med samme tal på begge sider af et lighedstegn, undtagen med nul. Når ovenstående regneregler anvendes, får man en ligning hvor løsningsmængden er den samme som den oprindelige. Man siger at udsagnene er ensbetydende. Man bruger symbolet imellem ensbetydende udsagn.
Metode til at beregne løsningsmængden til simple ligninger og uligheder: side7 3 eksempler: 1) gang parenteser ud. 2) fjern brøker ved at gange med fællesnævneren for brøkerne i udsagnet. 3) saml alle x ' erne på den ene side af lighedstegnet og alle tallene på den anden. 4) divider på begge sider af lighedstegnet med det tal,der står foran x. 5) opskriv løsningsmængden. Husk! Nulreglen a b = 0 a = 0 b = 0 a/b = 0 a = 0 ( b 0 ) Interaktiv løsning af ligninger på nettet - adresse: http://home3.inet.tele.dk/pmh/1g/mbequa/mbequa.htm 1) 2(x - 1) + 3 = 5 -(x-1) 2) 3(x+2) = x + 2(1+x) 3) 5x - 2(x+3) = 3x - 6 1) 2(x - 1) + 3 = 5 -(x-1) 2x 2 + 3 = 5 x + 1 3x = 5 x = 5/3 L = {5/3} 2) 3(x+2) = x + 2(1+x) 3x + 6 = x + 2 + 2x 3x + 6 = 3x + 2 6 = 2 L = Ø 3) 5x - 2(x+3) = 3x 6 5x 2x 6 = 3x 6 3x 6 = 3x 6 0 = 0 L = R Hvis udsagnet er ensbetydende med et udsagn der er falsk ( for alle x ) er der ingen løsninger og vi siger at løsningsmængden er tom og skriver L = Ø Hvis udsagnet er ensbetydende med et udsagn der er sandt ( for alle x ) er alle tal løsninger og vi skriver L = R ( mængden af alle tal ) Løsning af ligninger på grafregneren TI-82 Stats ( eller TI-83) Metoden er beskrevet i 9 i lærebogen. I TI-82Stats - Introduktion og eksempler er metoden beskrevet i 2 og 3 s.13 23.
Formeleditor side8 I forbindelse med udarbejdelse af rapporter skrevet i et tekstbehandlingsprogram(word, Works m.fl.) er det vigtigt at kunne skrive de matematiske tegn rigtigt. I Word er der Equatin Editor. I menubjælken vises den med ikonet α. Hvis det mangler kan man finde det som en kommando i tilpasning af værktøjslinier, som man så trækker op på menubjælken. På min hjemmeside er der et link til et freeware program Amath96, som installerer en formeleditor som en værktøjslinie. En vejledning i installation af Amath96 og eksempler på brugen af den finder I på min hjemmeside under 1m. Sammenhænge I sammenhæng mellem variable størrelser indføres følgende notationer og benævnelser: Uafhængig variabel Afhængig variabel ofte betegnet med x ofte betegnet med y En størrelse der ikke varierer kaldes konstant. Sammenhæng mellem størrelser kan beskrives på forskellige måder. På grundlag af: Proportionalitet En regneudtryk Eksempel : y = 2x 2 + 3 y-værdien kaldes også funktionsværdien En tabel En graf En sproglig beskrivelse Ved grafen for en sammenhæng mellem to variabler forstås mængden af sammenhørende værdier afsat i et koordinatsystem med den uafhængige variabel (x) som 1.koordinat og den afhængige variabel (y) som 2.koordinat. Definition af proportionalitet y er proportional med x når x y = k dvs. y = k x k kaldes proportionalitetsfaktoren Definition af omvendt proportionalitet y er omvendt proportional med x når x y = k dvs. y = k x
side9 Lineære sammenhænge Lineær sammenhæng Ved en lineær sammenhæng forstås en sammenhæng, hvor grafen er en ret linie eller dele af en ret linie. Alle rette linier, undtagen lodrette, kan være graf for en lineær funktion. Sætning: Enhver lineær sammenhæng har en graf hvis ligning der kan skrives på formen: Forskriften y = ax + b hvor a og b er reelle tal. Eksempler: y = 2x 3 (2 x + ( 3)) a = 2 b = 3 y = x +1 ( 1 x + 1) a = 1 b = 1 y = x ( 1 x + 0 ) a = 1 b = 0 y = 5 ( 0 x + 5 ) a = 0 b = 5 Betydning af konstanterne a og b: a: kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og er den tilvækst i y-koordinat der svarer til tilvæksten 1 i x-koordinat. b: angiver liniens skæring med 2. aksen. Der er arbejdet med interaktive øvelser i liniens ligning på nettet www.hhhust.dk klasser 1m mac interaktive øvelser på Internettet Linien Beregning af a og b i ligningen y = ax + b Hvis der er givet to punkter A= (x 1, y 1 ) og B = (x 2, y 2 ) er hældningskoefficienten givet ved : a = y 2 y 1 x 2 x 1 b beregnes ved at indsætte et af punkterne A eller B og den beregnede værdi for a i ligning y = ax + b b = y 1 ax 1
Skæring mellem linier (løsning af to ligninger med to ubekendte) side10 Eksempel: Find skæringspunktet mellem linierne y = 1 3 x + 2 og y = 5 2 x 1 Skæring mellem linierne er hvor y-værdierne ( og x-værdierne) er ens, så vi sætter y- værdierne i de to ligninger lig med hinanden: 1 3 x + 2 = 5 2 x 1 2x + 12 = 15x 6 17x = 18 x = 18 1,06 y = 1 + 2 = 2 6/17 = 28/17 1,65 17 3 18 17 Skæringen kan findes vha. TI-82: Linierne indtastes som Y1 og Y2 og graferne tegnes. I Calc vælges Intersect x og y bliver automatisk gemt i lagrene x og y den eksakte løsning med brøker kan findes ved kommandoen MATH Frac
At afsløre en lineær sammenhæng side11 Lineær vækst er karakteriseret ved, at der til lige store tilvækster på den uafhængige variabel svarer lige store tilvækster på den afhængige variabel. Man kan undersøge om der er en lineær sammenhæng mellem to størrelser ved at afsætte sammenhørende værdier i et koordinatsystem. Hvis punkterne tilnærmelsesvis ligger på ret linie, kan vi konstatere en lineær sammenhæng. Forskriften for den lineære sammenhæng bestemmes ved at tegne en ret linie, der " bedst muligt " passer til punkterne. METODE til tegning af den " bedste rette linie ": Ved brug af millimeterpapir: 1) Vælg en enhed på akserne, så figuren bliver så stor som muligt. 2) Afsæt punkterne og vurder om der "tilnærmelsesvis er lineær sammenhæng". Husk at respektere de enheder, der er valgt på akserne! 3) Placer linien sådan at punkternes samlede afvigelse fra linien er mindst mulig, og så afvigelsen er ligelig fordelt på begge sider af linien. 4) Bestem forskriften ud fra to punkter på grafen. Punkterne skal vælges langt fra hinanden. Husk at der ofte er valgt forskellig enheder på akserne! Ved hjælp af grafisk lommeregner ( TI-82 Stat, TI-83 eller TI-84 ) : På den grafiske lommeregner kan man beregne forskriften for den bedste rette linie. Metoden kaldes lineær regression. Metoden er gennemgået ( Aktiviteten Dataanalyse med grafregner i Matematik C ) og er beskrevet i detaljer i den udleverede Eksempelsamling til TI-82, 83. Nedenfor er et skærmbillede fra TI-82 fra undersøgelsen af talmaterialet fra Matematik C side 57: Hvis man brugeren grafisk lommeregner til at beregne modellen, skal der foreligge en grafisk dokumentation på, at modellen med rimelighed kan anvendes, evt. en skitse af skærmbilledet. ( dvs. at punkterne skal tilnærmelsesvis ligge på en ret linie ).
Ved hjælp af regneark Excel. side12 Også på Excel regneark kan man udregne forskriften for den lineære sammenhæng. Metoden er anvendt i aktiviteten Dataanalyse med regneark i datalokalet. Figuren nedenfor viser diagrammet fra regnearket: Fødevareproduktion i Tanzania y = 0,0967x + 0,4518 R 2 = 0,9882 Mill. Ton 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 = Lineær (=) År efter 1960 Anvendelse af regneark er specielt en fordel, når der skal fremstilles en skriftlig rapport i f.eks. Word. Figuren ovenfor er kopieret fra Excel regneark. Anvendelse af forskriften for den lineære sammenhæng Ved hjælp af forskriften, kan der laves prognose over udviklingen. x er kendt : y udregnes ved y = ax + b y er kendt : x udregnes ved x = y b a Hvordan man bruger den grafiske lommeregner til at udregne ovenstående er beskrevet i Introduktion og eksempler. Bemærk, at man skal være kritisk indstillet ved anvendelse af sådanne prognoser. Den lineære model gælder oftest kun i et begrænset interval. ( jf. Kritik af modellen s. 64 i Matematik C ) Eksperiment med brændetid for et fyrfadslys Eksperimentet resulterede i en påvisning, at vægten i et tændt fyrfadslys afhænger lineært med tiden, og at brændetiden for lysene ligger mellem 6 og 7 timer. Der er skrevet rapport over forsøget
Geometri Trekanter Tre grundlæggende sætninger om trekanter: side13 1) Vinkelsummen er 180 Vinkler mellem 0 og 90 kaldes spidse Vinkler over 90 kaldes stumpe En vinkel på 90 kaldes ret. 2) Pythagoras læresætning : c 2 = a 2 + b 2 Summen af kateternes kvadrat er lig med kvadratet på hypotenusen. 3) Trekantens areal : T = ½ h g ( en halv højde gange grundlinie ) Videofilm med Pythagoras læresætning med flere beviser for sætningen samt nogle anvendelser. Ligedannede trekanter Sætning om ensvinklede trekanter : Hvis to trekanter er ensvinklede er de ligedannede, og tilsvarende sider i de to trekanter er forbundet med samme skalafaktor. Øvelser med anvendelse ovenstående sætninger. Trekantsberegninger Definition af sinus, cosinus og tangens Sinus til en vinkel er andenkoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel Cosinus til en vinkel er førstekoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel Ved tangens til en vinkel v forstås : tan(v) = sin(v) cos(v) cos(v) 0 Sætning Hvis A er en spids vinkel i en retvinklet trekant gælder: sin(a) = cos(a) = tan(a) = modstående katete hypotenusen hosliggende katete hypotenusen modstående katete hosliggende katete Sætningen bør læres udenad!!
Lommeregner: Husk at indstille den til gradtal Øvelser med beregning af sider og vinkler i en retvinklet trekant. side14 Vedrørende opgaver i trekantsberegning: Tegn en figur med benævnelser for sider og vinkler, der indgår i opgaven. Sæt mål på de opgivne sider. På min hjemmeside ligger et lille program ( som kan downloades ) til beregning af ubekendte størrelser i en vilkårlig trekant.