Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................ 3 2.2 Multinomialfordeling....................... 4 2.3 Normalfordeling.......................... 5 2.4 Poisson fordeling......................... 5 3 Kapitel 3 - Eksperimentelle usikkerheder 6 4 Kapitel 4 - Parameterbestemmelser 6 5 Kapitel 5 - Prior sandsynligheder 8 6 Kapitel 6 - Termodynamik 10 6.1 Det kanoniske ensemble...................... 10 6.2 Tryk-ensemble........................... 12 6.3 Store Kanonisk ensemble..................... 13 7 Kapitel 7 - Kvantemekanik og varmefylder 15 8 Kapitel 8 - Fermioner og Bosoner 17 8.1 Fermioner............................. 17 8.2 Bosoner.............................. 19 1

1 KAPITEL 1 - INDLEDNING 2 1 Kapitel 1 - Indledning Regneregler : Hvis A er sand så er Ā falsk. AB = A og B A + B = A el. B AB = Ā + B P (A) er sandsynligheden for A, og der må gælde P (AB) = P (Ā + B) A givet I skrives A I, dvs P (A I) betyder sandsynligheden for A givet informationen I Sumregel : Produktregel : P (A I) + P (Ā I) = 1 } P (AB I ) = P (A I )P (B AI ) A og B afhængige P (AB I ) = P (B I )P (A BI ) P (AB I ) = P (A I )P (B I )} A og B uafhængige Gen. sumregel : Bayes formel : P (A + B I) = P (A I) + P (B I) P (AB I) P (T DI) = P (D T I) P (T I) P (D I) For eks. på brug af bayes formel se side 15-17. Kontinua : P (A(x) I) = p(a(x) I) x for x 0 bliver det til et kontinua. P (x 0 < x < x 1 I) = x1 x 0 p(x I)dx

2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER 3 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 2.1 Binomial fordeling Se side 19 for eksempler på problemer, hvor binomialfordelingen kan bruges. Plat og Krone : Begivenhederne er uafhængige og der er kun 2 udfald med sandsynligheder P (K n I) = k og P(T n I) = p Sandsynligheden for i en serie at få M krone og (N-M) plat P (K 1, T 2,..., K N ) = P (K 1 I)P (T 2 I)...P (K N I) = k M p N M Sandsynligheden for at få M krone ud af N kast, når A M er udsagnet: Sekvensen giver netop M krone ( ) N P (A M I) = Antal(N, M)k M p N M = k M p N M N! = k M p N M M M!(N M)! } {{ } Binomial kofficient Sandsynlighederne skal være normeret N P (A M I) = 1 M=0 Middelværdi : M = M MP (A M I) Varians : σ 2 = M (M M ) 2 P (A M I) = M 2 M 2 Tilstandssummen : Z(λ) = e λm N = e λm P (A M I) M Z (n) = M n

2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER 4 For binomialfordelingen er tilstandssummen (for plat og krone) Z(λ) = (ke λ + p) N M = Z (0) = Nk M 2 = Z (0) = (Nk) 2 + Nk(1 k) σ 2 = Z (0) Z (0) = Nk(1 k) = Nkp Store N : Stirlings approksimation: N! 2πN ( ) N N = N ln N N 2πNe e Se s. 23 (2.7) for binomialfordelingen. For store N kan binomialfordelingen approksimeres med en normalfordeling ( ) 1 P (A M I) exp (M µ)2 2πσ 2 2σ 2 hvor µ = Nk og σ 2 = Nk(1 k) 2.2 Multinomialfordeling Der er k udfald med sandsynlighed p i for i = 1,..., k. Sandsynligheden fo at der i N udfald er n 1 1 ere,..., n k k ere er når N = n 1 + + n k Tilstandsummen P (A(n 1,..., n k ) I) = N! p n 1 1 p n k k n 1! n k! } {{ } Multinomial koefficient Z(λ 1,..., λ k ) = (p 1 e λ 1 +... + p k e λ k ) N Z(0,..., 0) = 1 Z λ i = n i = Np i λ=0 2 Z λ i λ j = n i n j = N(N 1)p i p j + Np i δ ij λ=0 Variansen i udfaldet for type i σ 2 i = n 2 i n i 2 = Np i (1 p i )

2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER 5 2.3 Normalfordeling Også kaldet Gauss-fordeling eller klokkefordeling ) 1 (x µ)2 p(x µ, σ) = exp ( 2πσ 2σ ( 2 ) (µ + λσ 2 ) 2 µ 2 Z(λ) = exp 2σ 2 Z(0) = 1 2.4 Poisson fordeling Z (0) = x = µ Z (0) = x 2 = σ 2 + µ 2 For eksempler se side 28. Man kan bruge poisson-fordelingen når N er meget stor 10 20 og p 1 M = Np = µ ( ) N N M for M N M M! P (A M I) µm M! e µ Hvis µ 1 kan poisson fordelingen approksimeres med normalfordelingen P (A M I) 1 ) (M µ)2 exp ( 2πµ 2µ Tilstandssummen for poisson-fordelingen Z(λ) = exp(µ(e λ 1)) Z(0) = 1 Z (0) = µ Z (0) = µ(µ + 1) Det giver σ 2 = Z (0) Z (0) 2 = µ

Bayes formel : 3 KAPITEL 3 - EKSPERIMENTELLE USIKKERHEDER 6 3 Kapitel 3 - Eksperimentelle usikkerheder Den sande værdi for en måling er a, usikkerheden er δx. Sandsynligheden for x ) 1 (x a)2 P (x a, δx) = exp ( 2πδx 2δx 2 Usikkerheden på f afhænger af x med usikkerheden δx δf = df dx δx f er en funktion af n uafhængige størrelser x 1,..., x n med usikkerhed δx,... δx n (Ophobningsloven) ( ( ) 2 ( ) ) 2 1/2 f f δf = δx 1 +... + δx n x 1 x n 4 Kapitel 4 - Parameterbestemmelser P osterior { }} { P (T i DI) = P (D T i I) P (D T j I)P (T j I) j Apriori { }} { P (T i I) } {{ } Likelihood Hvor D er nye data, I er baggrundsinformation og T i er teori nr. i. Hvis der er tale om kontinuert varierende parametre, så bliver Bayes formel P (D θi) p(θ DI) = P (θ I) P (D θi)p(θ I)dθ } {{ } C Prognoser : I = der er N kugler i urnen M = der er M røde kugler i urnen D(n, m) = m røde kugler blandt de ialt n udtrukne. Sandsynligheden, for at en given kugle er rød, er f = M N Den ønskede sandsynlighed kan approksimeres med en Gaussfordeling P (M D(n, m), N) exp ( n (f f ) 0) 2 2f 0 (1 f 0 )

4 KAPITEL 4 - PARAMETERBESTEMMELSER 7 med middelværdi f 0 = m og varians n σ2 = f 0(1 f 0 ). n Resultatet af prognosen er M N = f = f 0 ± med relativ usikkerhed (s.39) σ f 0 = f0 (1 f 0 ) f 1 0 1 n Gen. uafh. målinger: Den målte størrelse har en bestemt værdi µ, men målingen har en usikkerhed σ. Når der foretages N uafhængige målinger x af µ, vil disse være Gaussfordelt, så µ = x ± σ N hvis målingerne ikke har samme usikkerhed vil dvs. 1 σ 2 eff µ = N k=1 N k=1 = 1 N x k σ 2 k 1 σ 2 k N 1 σ 2 k=1 k µ = x ± σ eff. N n Jeffreys prior : p(ln σ I)d ln σ = konst d ln σ = konst dσ σ Students fordeling : Sandsynlighed for µ når σ er ukendt, men opfylder Jeffreys prior p(µ {x 1,..., x N }, σ, I) ((µ x ) 2 + x 2 ) N/2 Dette giver middelværdier og varianser x 2 = x 2 x 2 (Observeret varians) µ = x σ 2 µ = x2 N 3 µ = x ± x N?????

5 KAPITEL 5 - PRIOR SANDSYNLIGHEDER 8 Efter-sandsynligheden for σ p(σ {x 1,..., x N }, I) σ N exp σ = x σ 2 σ 2 = x2 2N ( ( x2 x 2 ) 2 2σ 2 N Fitning : Bedste rette linie y = Ax + B, når usikkerheden på y er σ, og der ingen usikkerhed er på x ) P (A, B (x 1, y 1 ),, (x N, y N ), I) = N x exp 2πσ 2 [ N 2σ 2 ( A A0 B B 0 ) ( x 2 x x 1 ) ( A A0 B B 0 )] A 0 = xy x y x 2 Korrelation : Korrelationskoefficient mellem A og B B 0 = x2 y x xy x 2 C(A, B) = δaδb δa2 δb 2 δa = A A 0 δb = B B 0 A og B er ukorrelerede når de er uafhængige: δaδb = δa δb = 0 Når A og B er ens bortset fra en faktor k δaδb = k δa 2 = k 1 δb 2 C(A, B) = ±1 hvilket afhænger af k s fortegn. 5 Kapitel 5 - Prior sandsynligheder Skala-faktor : a er en arbitrær skala-faktor p(am)adm = p(m)dm ap(am) = p(m) Maksimal entropi : Middelværdien for en størrelse er m. Vi kan regne os frem til entropien S(p) = i p i ln p i

5 KAPITEL 5 - PRIOR SANDSYNLIGHEDER 9 for at kunne maksimere denne, indføres nogle bibetingelser p i = 1 og ip i = m i for at maksimere S bruger vi lagrange-multiplikatorer ( S(p) λ 0 ( p i 1) λ 1 ( ) ip i m) = 0 p i Det giver sandsynligheden i p i = Z(λ 1 ) 1 e λ 1i og Z(λ 1 ) = i e λ 1i hvor λ 1 findes ved bibetingelsen om middelværdien. Her er det netop S(p) der er entropien og den er et mål for informationen. Entropien er en additiv størrelse S(p, q) = S(p) + S(q) MaxEnt : Et antal hypoteser H i er karakteriseret ved størrelsen x i og sandsynligheden p i f k (x i )p i = F k (en række middelværdier) (1) i k = 1,... m, hvor m er antalet af oplysniger. Vi vil finde det p i der maksimerer S(p), med betingelsen (1). Det giver løsningen p i = Z 1 e k λ kf k (x i ) og Z = i e k λ kf k (x i ) Dette er MaxEnt, og ved indsættelse fås S = ln Z + k λ k F k ln Z λ = F k 2 ln Z λ k λ l = f k f l f k f l S F l = λ l δs = k λ k (δ f k δf k ) = k λ k δq k

6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 10 6 Kapitel 6 - Termodynamik 6.1 Det kanoniske ensemble Volumen og partikel antal er faste, bestemte størrelser. Antag at gennemsnitsenergien er U. Vi kan så maksimere entropien S = i p i ln p i under bibetingelserne p i = 1 og E i p i = U, det giver Boltzmann/Gibbsfordeling i i p i = Z 1 e βe i, hvor Z = e βe i i Summen over alle de små celler i faserummet kan skrives som et integral Z = d 3N r d 3N pe βe(r,p) Ideal gas : Består af N ens atomer Temperatur : E(r, p) = N n=1 p 2 n 2m ) 3N/2 ( 2πm Z = V N β U = ln Z β = 3N 2 [ (2πem ) ] 3/2 S = ln Z + βu = N ln V β T = 1 β Det skal her bemærkes at Per Hedegård i disse noter bruger T i enheden [J], for at omregne til kelvin, skal vi bruge Boltzmanns konstant. 1 β T [J] T [K] = k B = 1, 3806505 10 23 J K

6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 11 Varmefylde : C er defineret som den varme der skal tilføres et system for at få systemets temperatur til at stige en grad, dvs. δu = CδT, og det giver C = β 2 2 ln Z β 2 ved at sammenbringe to systemer (1 og 2) bliver deres fælles temperatur T = C 1 C 1 + C 2 T 1 + C 2 C 1 + C 2 T 2 Ved en ændring af β vil entropien også ændres. Ændringen er givet ved ds = ln Z U dβ + Udβ + β β β dβ T ds = CdT = dq Arbejde : Hvis energien afhænger af en parameter α, så vil en lille ændring af denne give E δw = δe = δα α Arbejdet er udført på systemets omgivelser. Gas i beholder: δw = pδv 1. hovedsætning : Energien er en bevaret størrelse δu = T δs δw Ændring af Q ændring af sandsynlighederne p i. Ændring af W ændring af energierne E i. Helmholtz : frie energi er defineret som F (T ; α) = 1 β ln Z = U T S Ideal gas df = SdT dw p = F V [ (2πem F = 3N ) ] 2 3/2 2β NT V β p = NT V Tilstandsligningen

6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 12 6.2 Tryk-ensemble En ligevægtssituation, hvor det kun er middelværdien af beholderens volumen der er kendt, og antaget er at systemet har en bestemt temperatur T = β 1. p i (V ) = Z 1 e βe i(v ) αv α = β E(V ) = pβ V Z(T, p) = dv e β(e i(v )+pv ) i 0 S = ln Z + β(u + pv ) Varmefylde : Vi ser på ændringer i p og β. Entropien er givet ved S = ln Z + βu + αv To systemer 1 og 2 kan udveksle energi og volumen δs = (β 1 β 2 )δu 1 + (β 1 p 1 β 2 p 2 )δv 1 0 Varmefylden ved fastholdt tryk er givet ved C p = U T + p V T Den varmefylde vi definerede i sidste afsnit er for fastholdt vol. dvs. C v. For en ideal gas er tilstandssummen ( ) 3N/2 2πM Z = N!(βp) (N+1) Z i (β) N β Z i (β) er tilstandssummen for et enkelt molekyle i hvile. Den beskriver indre bevægelser i molekylet. Udfra Z får vi d ln Z dp V = 1 β U = ln Z β u i = d ln Z i dβ = N βp C p = 3N 2 + N du i dt + N C V = 3N 2 + N du i dt 3N pv = 2β + Nu i(β) (middelværdi af molekylers indre energi)

6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 13 Ligefordelingslov : Denne lov vedrøre varmefylden for harmoniske oscillator. Z vib = 2π βω U vib = d ln Z = 1 = T dβ β V ibration C vib = 1 Z tr = V U tr = T 2 C tr = 1 2 Z rot = 2π U rot = T 2 C rot = 1 2 2πm β 2πI β T ranslation Rotation Det totale system for molekyler med mange atomer C = 1 2 N tr + N vib + 1 2 N rot Gibbs : Frie energi er defineret som frihedsgrader = N tr + 2N vib + N rot G(T, p) = 1 ln Z = U + pv T S β Ændringer i Gibbs frie energi er givet ved dg = SdT + V dp dw Dvs. hvis tryk og temperatur fastholdes, udtrykker dg det tilgængelige arbejde, som systemet kan udføre. Liouvilles sætning : ρ t = {H, ρ} = H r ρ p H ρ p r 6.3 Store Kanonisk ensemble Her skal vi studere et system, der er i stand til at udveksle partikler og energi med sine omgivelser. V 1 og V 2 er forbundet så V = V 1 + V 2 og det samlede antal partikler er N. Tilstandssummen for 2 systemer, der kan udveksle partikler Z(T, V, N) = N N 1 =0 N! N 1!(N N 1 )! Z 1(T, V 1, N 1 )Z 2 (T, V V 1, N N 1 )

6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 14 Helmholtz : frie energi bliver ) Kemisk poten. : F (T, V, N) = 1 β ln ( Z N! µ = F N Nu kan vi definere tilstandssummen for et system hvor kun partikkelantallets middelværdi er kendt. Z = N i e βe i(n) e βµn N! S = ln Z + β(u µn) System 1 bringes i kontakt med det større system 2 δs = (β 1 β 2 )δu 1 (β 1 µ 1 β 2 µ 2 )δn 1 Alt dette gør det muligt at definere en ny fri energi, kaldet det termodynamiske potentiale Ω = 1 ln Z = U T S µn β dω = SdT Ndµ + dw Ideal gas : Z = exp ( V ( ) ) 3/2 2πm e βµ β ( ) 3/2 2πm e βµ Ω = V β β N = Ω µ = βω pv = N T

7 KAPITEL 7 - KVANTEMEKANIK OG VARMEFYLDER 15 7 Kapitel 7 - Kvantemekanik og varmefylder Middelværdi for A : Middelværdien af en operator A A = T r[âρ] Tæthedsmatrice : ρ = i w i ψ i ψ i w i er sandsynlighedeh for at være i tilstand i. Tæthedsmatricen er hermitisk så den kan diagolaniseres ρ = j p j φ j φ j p j er reel egenværdi og φ j er egentilstand til ρ p j = 1 0 p j 1 Entropien er da j S = j p j ln p j = T r[ρ ln ρ] Max entropi : Lad middelværdier for et fysisk system være givet f k = T r[ρ ˆf k ] = F k Så er tæthedsmatricen, tilstandssummen og entropien ρ = Z 1 e k λ k ˆf k Z = T r[e k λ k ˆf k ] S = ln Z + k λ k F k ln Z λ k = F k S F k = λ k λ k findes ved opfyldelse af middelværdierne F k Kanonisk ens. : Middelværdien for energien er kendt. E i er egenværdi til Ĥ. ρ = Z 1 e βĥ p i = e βe i Z Z = i e βe i

7 KAPITEL 7 - KVANTEMEKANIK OG VARMEFYLDER 16 Fri partikel : En fri partikel er i en kasse med volumen V = L x L y L z, og origo er lagt i kassens hjørne. Bølgefunktionen der opfylder bibetingelserne 8 φ k (r) = V sin(k xx) sin(k y y) sin(k z z) hvor kl = nπ, for n N. Hvis L 1 så vil tilstandssummen for en partikel være Z 1 = V (2π) 3 ) d 3 k exp ( β 2 2m (k2 x + ky 2 + kz) 2 = V For N frie partikler vil tilstandssummen være ( 2πm βh 2 ) 3/2 Z N = Z N 1 Hvilket er det samme som i det klassiske tilfælde bortset fra h 3N Harm osc. : Tilstandssummen når energiniveuaerne er ɛ n = ω( 1 2 + n) Z = e βɛ n = n=0 e β ω/2 1 e β ω Middelenergien, Entropien og varmefylde ( 1 U = ω e β ω 1 + 1 ) 2 S = x e x 1 ln(1 e x ) C = U T = x2 e x (e x 1) 2 x = β ω Hvis vi ser på grænsetilfældene bliver det: U = T S = ln ( ) T β ω 1, for T 1 ω C = 1 U = ω ( 1 + e β ω) 2 S = β ωe β ω β ω 1, for T 1 C = (β ω) 2 e β ω

8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 17 Roterende mol. : Der ses på et to-atomigt molekyle. Tilstandssummen for rotationstilstande Z = l=0 (2l + 1)e l(l+1) β2 2 2I hvor I = ms 2 0 og s 0 er minimum for potentialet V (s). For høje temperaturer er Z 2I β 2 U T C 1 For lave temperaturer se s.119. 8 Kapitel 8 - Fermioner og Bosoner Bossoner Fermioner Fasefaktor e iφ = 1 e iφ = 1 Ombytning ψ(r 1, r 2 ) = ψ(r 2, r 1 ) ψ(r 1, r 2 ) = ψ(r 2, r 1 ) 8.1 Fermioner Eks. He Elektroner γ, Z, W ± Kvarker Gluoner Neutrinoer. Protoner Neutron Fermi-stat : Det samlede antal partikler og energien for et system bestående af ikkevekselvirkende og identiske fermioner N = i n i E = i ɛ i n i Tilstandssummen Z = N,E e β(e µn) = i (1 + e β(ɛ 1 µ) )

8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 18 Energi, antal partikler og kemisk potentiale U µ N = i 1 (ɛ i µ) e β(ɛ i µ) + 1 Middelantallet af partikler i tilstanden φ i (Fermi-fordelingsfuntion) n i = n F (ɛ 1 ) = 1 e β(ɛ i µ) + 1 Fermi energien : Fermi energien, ɛ F,er givet som det kemiske potentiale ved T = 0. Kemisk pot. : For T ɛ L ɛ H er µ(t ) = ɛ L ɛ H 2 gh + T ln g L Tilstandstæthed : g erne er udartninger af hhv. LUMO og HOMO miveau. ρ(ɛ) = R (ɛ) = 3 ( ) V 2m ɛ 2 6π 2 2 R(ɛ) = V ( ) 3/2 2m ɛ 3/2 6π 2 2 tilstande med energier i intervallet ɛ ɛ + ɛ = ρ(ɛ) ɛ. tilstande med energier i intervallet < ɛ = R(ɛ). R(ɛ + ɛ) R(ɛ) = R (ɛ) ɛ = ρ(ɛ) ɛ. Det gennemsnitlige antal partikler og partikeltætheden N = R(ɛ F ) n = 1 6π 2 ( 2m 2 ) 3/2 ɛ 3/2 F Fermi gas : Degenereret Fermi gasser findes når temperaturen er meget lavere end Fermi energien, ɛ F. Sommerfelds approksimation benyttes ofte. Se s. 137. For frie partikler er N = R(µ) π2 6 ρ (µ)t 2 µ = ɛ F π2 6 ρ (ɛ F ) ρ(ɛ F ) T 2 µ = ɛ F π2 12 T 2 ɛ F

8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 19 Varmefylde Fermitryk C = π2 π2 ρ(µ)t = N 3 2 p = 2 5 nɛ F kan approksimeres med pv = N 2 5 ɛ F. (1 + 5π2 12 T ɛ F ) T 2 ɛ F NB!! Man skal huske på, at elektronerne har både spin op og ned, så på mange måder opfører de sig som to fermigasser. 8.2 Bosoner Bosestatistik : Ikke-vekselvirkende gas af bosoner i kontakt med partikelreservoir med kemisk potentiale µ. N = i n i E = i n i ɛ i Z = i ( n i e β(ɛi µ)ni ) = i Z i = 1 1 e β(ɛ i µ) Hver enpartikeltilstand, som bosoner kan være i, svarer til en harmonisk oscillator, og energien for egentilstanden svarer til oscillator frekvensen. Det gennemsnitlige antal bosoner i tilstanden i (Bosefunktionen) n B (ɛ i ) = n i = 1 e β(ɛ i µ) 1 Det kemiske potentiale må altid være mindre end den mindste af enpartikel enegierne ɛ i. Det gennemsnitlige antal partikler for µ 1. N 3 ( V 2mT 2 6π 2 2 Kar. temp. : Den gennemsnitlige afstand mellem partikler l = ( ) 1/3 V N ) 3/2 π 2 eβµ

8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 20 Typisk kvanteenergi e l = 2ml 2 Karakteristisk temperatur for Bose-gassen 2 T B = e l (2π) 4/3 For T T B vil µ(t ) = T [ ( ) ( )] 3 T 2 2 ln ln π T B Kritisk temp. : T C = g 1/2 (1) 2/3 T B = T B (2, 3152) 2/3 Brøkdel af partikler i grundtilstanden for T < T C ( T x 0 (T ) = 1 T C ) 3/2 Det mikroskopiske antal partikler i en kvantetilstand kaldes et Bosekondensat. Tryk : Varmefylde : T > T C : p = 3 2 nt ( T T C ) 3/2 g 3/2 (z)?? [ 3 g 3/2 (z) C = N 2 g 1/2 (z) 9 ] g 1/2 (z) 2 g 1/2 (z) T < T C : C = N 5 2 ( T Fotongas : Energi af foton ɛ = pc = ck = hc λ = hν Tilstandstæthed (2 tilstande per k) T C ɛ2 ρ(ɛ) = V π (hc) 3 R(ɛ) = V π 3 ɛ 3 (hc) 3 ) 3/2 g 3/2 (1) g 1/2 (1)

8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 21 Det kemiske potentiale er nul. Trykket pv = Ω = 1 β ln Z = V π 3 Det gennemsnitlige fotontal per volumen 1 (hc) 3 π 4 15 T 4 = 0, 287nT n = N V = 2π 3 1, 2021 T (hc) 3 Energitætheden u = U V = 1 ln Z V β = σt 4

Indeks x 0, 20 1. hovedsætning, 11 Afhængige, 2 Apriori, 6 Arbejde, 11 formel, 6 Bayes formel, 2 Bedste rette linie, 8 Binomial fordeling, 3 Middelværdi, 4 Middelværdi, 3 Store N, 4 Tilstandssum, 3 Varians, 3, 4 Binomialkoefficient, 3 Boltzmann-fordeling, 10 Bosefunktion, 19 Bosegas Tryk, 20 Varmefylde, 20 Bosekondensat, 20 Bosestatistik, 19 Kemisk potentiale, 20 Tilstandssum, 19 Degenereret Fermi gas, 18 Kemisk potentiale, 18 Varmefylde, 19 Entropi, 8, 9 Ændring, 11, 12, 14 Kvant, 15 Regneregler, 9 Fermi energien, 18 Fermi-fordelingsfuntion, 18 Fermi-statistik, 17 Kemisk potentiale, 18 Energi, 18 Tilstandssum, 17 Fermitryk, 19 Fotongas, 20 Energitæthed, 21 Partikeltæthed, 21 Tryk, 21 Fri partikel, 16 Bølgefunktion, 16 Tilstandssum, 16 Frihedsgrader, 13 Gauss-fordeling, 5 Tilstandssum, 5 Gentagne uafhængige målinger, 7 Gibbe-fordeling, 10 frie energi Ændring i, 13 Gibbs frie energi, 13 Harmonisk oscillator, 16 Entropi, 16 Middelenergi, 16 Tilstandssum, 16 Varmefylde, 16 Jeffreys prior, 7 Kanonisk ensemble, 10 Arbejde, 11 Helmholtz frie energi, 11 Ideal gas, 10, 11 Kvantemekanik, 15 Temperatur, 10 Varmefylde, 11 Karakteristisk temperatur, 19 potentiale, 14, 18 Kemisk potentiale, 18 22

INDEKS 23 Korrelation, 8 Kritisk temperatur, 20 Lagrange multiplikator, 9 Likelihood, 6 Liouvilles sætning, 13 Maksimal entropi, 8 Entropi, 15 Tæthedsmatrice, 15 Tilstandssum, 15 MaxEnt, 9 Kvantemekanik, 15 Middelværdi af operator, 15 Multinomialfordeling, 4 Tilstandssum, 4 Multinomialkoefficient, 4 Normalfordeling, 5 Tilstandssum, 5 Observeret varians, 7 Ophobningsloven, 6 Plat og Krone, 3 Poisson fordeling, 5 Middelværdi, 5 Tilstandssum, 5 Varians, 5 Posterior, 6 Produktregel, 2 Prognoser, 6 Regneregler, 2 Relativ usikkerhed, 7 Roterende molekyle, 17 Entropi, 17 Tilstandssum, 17 Sandsynlighedstæthed, 2 Skala-faktor, 8 Sommerfelds approksimation, 18 Stirlings approksimation, 4 Store Kanonisk ensemble, 13 Entropi, 14 Helmholtz, 14 Ideal gas, 14 Kemisk potentiale, 14 Tilsstandssum, 14 Students fordeling, 7 Middelværdi, 7 Varians, 7 Sumregel almindelig, 2 generel, 2 Tæthedsmatrice, 15 Termodynamiske potentiale, 14 Ændring i, 14 Tilstandssum, 3 Bosoner, 19 Fermioner, 17 Gauss-fordeling, 5 Ideal gas i kanonisk enseble, 10 Ideal gas i store kanonisk ensemble, 14 Ideal gas i tryk-ensemble, 12 Kanonisk enseble, 10 Kvantemekanik: Fri partikel, 16 Kvantemekanik: Harmonisk oscillator, 16 Kvantemekanik: Kanonisk ensemble, 15 Kvantemekanik: Maksimal entropi, 15 Kvantemekanik: Roterende molekyle, 17 Ligefordelingslov, 13 Maksimal Entropi, 9 MaxEnt, 9 Multinomialfordeling, 4 Normalfordeling, 5 Poisson fordeling, 5 ensemble, 13

INDEKS 24 Store kanonisk ensemble, 14 Tryk-ensemble, 12 Tilstandstæthed, 18 Tryk-ensemble, 12 Tilstandssum, 12 Energi, 12 Entropi, 12 Gibbs frie energi, 13 energi, 12 Ligefordelingslov, 13 Varmefylde, 12 Volumen, 12 Uafhængige, 2